1、第十一節(jié) 數(shù)學(xué)建模微分方程的應(yīng)用舉例微分方程在幾何、力學(xué)和物理等實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)我們將集中討論微分方程在實(shí)際應(yīng)用中的幾個(gè)實(shí)例. 讀者可從中感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決實(shí)際問(wèn)題的魅力.內(nèi)容分布圖示 衰變問(wèn)題 追跡問(wèn)題 自由落體問(wèn)題 彈簧振動(dòng)問(wèn)題 串聯(lián)電路問(wèn)題 返回內(nèi)容要點(diǎn)：(1) 衰變問(wèn)題(2) 追跡問(wèn)題(3) 自由落體問(wèn)題(4) 彈簧振動(dòng)問(wèn)題(5) 串聯(lián)電路問(wèn)題例題選講： 衰變問(wèn)題例1（講義例1）鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量，這種現(xiàn)象稱(chēng)為放射性物質(zhì)的衰變. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)得知，衰變速度與現(xiàn)存物質(zhì)的質(zhì)量成正比，求放射性元素在時(shí)刻的質(zhì)量. 追跡問(wèn)題例2（講義

2、例2）設(shè)開(kāi)始時(shí)甲、乙水平距離為1單位, 乙從A點(diǎn)沿垂直于OA的直線以等速向正北行走；甲從乙的左側(cè)O點(diǎn)出發(fā), 始終對(duì)準(zhǔn)乙以的速度追趕. 求追跡曲線方程, 并問(wèn)乙行多遠(yuǎn)時(shí), 被甲追到. 自由落體問(wèn)題例3（講義例3）一個(gè)離地面很高的物體, 受地球引力的作用由靜止開(kāi)始落向地面. 求它落到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間(不計(jì)空氣阻力). 彈簧振動(dòng)問(wèn)題例4（講義例4）設(shè)有一個(gè)彈簧, 它的一端固定, 另一端系有質(zhì)量為m的物體, 物體受力作用沿x軸運(yùn)動(dòng), 其平衡位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)(圖12-11-3). 如果使物體具有一個(gè)初始速度那么物體便離開(kāi)平衡位置, 并在平衡位置附近作上下振動(dòng). 在此過(guò)程中, 物體的位置x隨時(shí)間t

3、變化. 要確定物體的振動(dòng)規(guī)律, 就是要求出函數(shù)據(jù)胡克定律知, 彈簧的彈性恢復(fù)力與彈簧變形成正比:其中(稱(chēng)為彈性系數(shù)), 負(fù)號(hào)表示彈性恢復(fù)力與物體位移方向相反. 在不考慮介質(zhì)阻力的情況下, 由牛頓第二定律可得 或 (11.9)方程(11.9)稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振動(dòng)的微分方程. 它是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程. 如果物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受到阻尼介質(zhì)(如空氣、油、水等)的阻力的作用, 設(shè)阻力與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成正比, 且阻力的方向與物體運(yùn)動(dòng)方向相反, 則有其中(阻尼系數(shù)). 從而物體運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足方程或 (11.10)這個(gè)方程叫做有阻尼的自由振動(dòng)微分方程, 它也是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程.如果物體在振動(dòng)過(guò)程中所

4、受到的外力除了彈性恢復(fù)力與介質(zhì)阻力之外, 還受到周期性的干擾力的作用, 那么物體的運(yùn)動(dòng)方程為即 (11.11)其中 這個(gè)方程稱(chēng)為強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程, 它是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.下面就三種情形分別討論物體運(yùn)動(dòng)方程的解. 串聯(lián)電路問(wèn)題如圖12-11-7是由電阻R、電感L及電容C（其中R,L,C是常數(shù)）串聯(lián)而成的回路, 時(shí)合上開(kāi)關(guān), 接入電源電動(dòng)勢(shì)求電路中任何時(shí)刻的電流根據(jù)克?；舴蚧芈冯妷憾? 有其中RI為電流在電阻上電降壓, 而(Q為電容器兩極板間的電量, 是時(shí)間t的函數(shù))為電容在電感上電壓降, 則為電流在電感上電壓降. 由電學(xué)知, 于是方程成為 (11.13)這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程. 若當(dāng)時(shí), 已知電量為和電流為則我們有初始條件: 此時(shí),