1、基本不等式【知識(shí)框架】1、基本不等式原始形式(1)若a,bwR,貝Ua2+b2之2ab(2)若a,bwR,則ab2、基本不等式一般形式(均值不等式)-+-一_*一,_*右a,bR,貝Uab_2.ab3、基本不等式的兩個(gè)重要變形(1)若a,bwR*,則史上bvab2若a,bwR*,則ab0,則x十一主2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”)x1(2)若x0,則a+b22(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”)ba2.2(4)若a,bwR,則ab(ab)2-a一b-22*22(5)若a,b亡R，則VOb-ab/a1.122ab特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”6、柯西不等式(1)若a,b,c,d亡R,則(

2、a2+b2)(c2+d2)至(ac+bd)2若ai,a2,a3,bi,b2,b3wR,則有:,2222.2.22(aia?a3)(1blb?d)_(abia2b2a3b3)(3)設(shè)a1,a2,an與n,b2,bn是兩組實(shí)數(shù)，則有,222、2222(aia一一an)(bib2:ab+bc+ca題目3、已知a+b+c=1,求證：a2+b2+c2-3題目4、已知a,b,cwR*,且a+b+c=1,求證：(1-a)(1-b)(1-c)8abc題目5、已知a,b,cwR;且a+b+c=1,求證:111111ab,c2.22abc十一十一,1,題目6、(新課標(biāo)n卷數(shù)學(xué)(理)設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+

3、c=1,證明:,一、.1(I)ab+bc+ca0)(4)y=x+(x2,求函數(shù)y=2x-4+的最小值；2x-44變式1：已知x2,求函數(shù)y=2x+的最小值;2x-44變式2：已知x2,求函數(shù)y=2x+的最大值;2x-44x變式3：已知x5,求函數(shù)y=4x2+1的最小值;44x-55題目2、已知x,求函數(shù)y=4x-2+1的取大值;44x-5題型四：利用不等式求最值(二)(湊系數(shù))題目1、當(dāng)0C工4時(shí)，求y=x(82x)的最大值;變式1：當(dāng)0T4時(shí)，求y=4x(8-2x)的最大值;3變式2：設(shè)0x求函數(shù)y=4x(32x)的最大值。題目2、若0x2,求y=x(63x)的最大值;變式：若0x4,求丫=

4、vx(8-2x)的最大值;題目3、求函數(shù)y=j2x1+952x(1xM5)的最大值;22變式：求函數(shù)y=、4x3+Jl14x(2x0,a+2b=1,求1=十的最小值;ab11一變式1：已知a,b0,a+2b=2,求1=_+的最小值;ab、,、一，28變式2：已知x,y0,-+=1,求xy的最小值;xy11變式3：已知x,y0,且十=9,求x+y的最小值。xy19變式4:已知x,y0,且一+=4,求x+y的最小值;xy變式5:11(1)若x,yA0且2x+y=1,求一+的最小值；xy(2)若a,b,x,y乏R*且a+2=求x+y的最小值；xy變式6：已知正項(xiàng)等比數(shù)列Q滿足：a7=a6+2a5,若

5、存在兩項(xiàng)am,an,使得taman=4a1,求,+4mn的最小值；變式7：若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是(24A飛28B-5C.5變式8：設(shè)a0,b0.若聞3a與3b的等比中項(xiàng)，則1+1的最小值為().abA.1B.1C.4D.84變式9:已知ab0,且a+b=2,則21+的最小值為a3ba-ba2b2變式10：已知0cx0,bA0,求y=一+的取小值.x1-x183.一一變式11:求+(0x0,則當(dāng)a=時(shí)，+回取得最小值.2|a|ba1.變式15：設(shè)a0,b1滿足a+b=2,則+的取小值為b-1a14變式16：已知a,beR2a+b=1,則的最小值是ab題型六：分離

6、換元法求最值(了解)一一.一y27x10,、題目1、求函數(shù)y=(x#1)的值域;x1變式：求函數(shù)yx28x-1(x1)的值域;x2題目2、求函數(shù)y=的最大值;2x5x1變式：求函數(shù)y=的最大值;4x9題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用題目1、已知10g2a+log2b21,求3a+9b的最小值題目2、已知a,b0,求工十工+2nb的最小值;ab11變式1：(2010四川)如果ab0,求關(guān)于a,b的表達(dá)式a2+的最小值;aba(a-b)變式2:(2012湖北武漢診斷)已知，當(dāng)a0,a=1時(shí)，函數(shù)y=loga(x1)+1的圖像恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mxy+n=0上,求4m+2n的最小值;變式3:120

7、17天津】若a,a44b41bwR,ab0,則ab的最小值為ab題目3、已知x,y0,x+2y+2xy=8,求x+2y最小值;變式1：已知a,b0,滿足ab=a+b+3,求ab范圍;111變式2：已知x,y0,+=_,求xy最大值；（提?。和ǚ只蛉菗Q兀）2x2y3變式3：已知x,y0,x2+y2+xy=1,求xy最大值;題目4、（2013年山東（理）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2_3xy+4y2_z=0,則當(dāng)名取得最大值時(shí)，2+210的最大值為（）A.0B,1C.9D.342變式：設(shè)x,y,z是正數(shù)，滿足x2y+3z=0,求上的最小值;xz題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1a、_題目1、已知x,

8、y0,且（x+y）（+）之9恒成立，求正實(shí)數(shù)a的最小值;xy11n2、已知xyz:0且+恒成立，如果x-yy-zx-znwN求n的最大值；（參考：4）、，、一.14-4變式：已知a,b0酒則一十一=2,若a+bc恒成立，求c的取值范圍;ab題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式ab(a,b,c,d=R,當(dāng)且僅當(dāng)一=;即ad=bc時(shí)等號(hào)成立)右a,b,c,d=Rcd(a2b2)(c2-d),(ac)bd2、二維形式的柯西不等式的變式(1)*a2+b2，Jc2+d2ac+bdab(a,b,c,dcR,當(dāng)且僅當(dāng)一=;即ad=bc時(shí)等w成立)cd(2)va2+b2Wc2+d2之a(chǎn)c+|bd(a

9、,b,c,dwR,當(dāng)且僅當(dāng)-=-；即ad=bc時(shí)等號(hào)成立)cd11(3)(ab)(cd)-(-ac.bd)2ab（a,b,c,d0,當(dāng)且僅當(dāng)一=一；即ad=bc時(shí)等w成立）cd3、二維形式的柯西不等式的向量形式Cf.PCtP（當(dāng)且僅當(dāng)百=3或存在實(shí)數(shù)k,使a=k百時(shí)，等號(hào)成立）4、三維柯西不等式若ai,a2,a3,bi,b2,b3wR,則有：,2222.2.22(ai-a2a3)(ibb2,d)-(ahazd-a3b3)（a-bWR,當(dāng)且僅當(dāng)曳=也=也時(shí)等號(hào)成立）bib2b35、一般n維柯西不等式設(shè)ai,a2,烝與bi,b2,bn是兩組實(shí)數(shù)，貝U有：（a；%2an2）（bi2b22：bn2）,

10、（aibia2b2：；十叫）2（a-bWR,當(dāng)且僅當(dāng)曳=包=包時(shí)等號(hào)成立）bib2bn【題型歸納】題型一：利用柯西不等式一般形式求最值222題目i、設(shè)x,y,z=R,右x+y+z=4,則x-2y+2z的最小值為時(shí)，（x,y,z）=析：（x-2y2z）2M（x2y2z2）i2（2）222=49=36，x2y十2z最小值為一6此時(shí)工二工i-2z_62i2(-2)222-234y=3題目2、設(shè)x,y,zwR,2xy2z=6,求x2+y2+z2的最小值m,并求此時(shí)x,y,z之值。424、Ans：m=4;(x,y,z)=(-,-)333I2222題目3、設(shè)x,y,zwR,2*-3丫+2=3,求*十(y1)十z之最小值為,此時(shí)y=(析:2x3y+z=3u2x3(y1)+z=0)題目4、已知a,b,cw,a+2b+3c=6,貝Ua2+4b2+9c2的最