1、【1-4】應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？試畫(huà)出正坐標(biāo)面和負(fù)坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向?！窘獯稹繎?yīng)力的符號(hào)規(guī)定是：當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時(shí)（即正面時(shí)），這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面時(shí)），該面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。面力的符號(hào)規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。由下圖可以看出，正面上應(yīng)力分量與面力分量同號(hào),正面正的應(yīng)力負(fù)面上應(yīng)力分量與面力分量符號(hào)相反。他面正的面力（圖2-14）其應(yīng)力狀態(tài)接S.SS一【2-1】試分析說(shuō)

2、明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中近于平面應(yīng)力的情況?！窘獯稹吭诓皇苋魏蚊媪ψ饔玫目臻g表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無(wú)面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有zxzyz0,只存在平面應(yīng)力分量x,y,xy,且它們不沿z方向變化，僅為x,y的函數(shù)?？梢哉J(rèn)為此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題?！?-2】試分析說(shuō)明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15）,當(dāng)板邊上只受x,y向的面力或約束，且不沿厚度變化時(shí)，其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況?！窘獯稹堪迳咸幪幨芊ㄏ蚣s束時(shí)z0,且不受切向面力作用，則xzyz0（相應(yīng)zxzy0）板邊上只受X,y向的面力或約束，所以僅存在x,y,x

3、y,且不沿厚度變化，僅為X,y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況?！?-3】在圖2-3的微分體中，若將對(duì)形心的力矩平很條件件，試問(wèn)將導(dǎo)出什么形式的方程?【解答】將對(duì)形心的力矩平衡條件MC0,改為分別對(duì)四個(gè)角點(diǎn)A、B、D、E的平衡條件，為計(jì)算方便，在z方向的尺寸取為單位1。Ma0ydx1dx（xxdx）dy1dy（Xy-dx）dy1dx2x2xMC0改為對(duì)角點(diǎn)的力矩平衡條Cdx八fxdxdy10dy)dxyyx-yxdy)dx1ydyfxdxdy1dy萬(wàn)(a)Mb0xydydx)dy1x1dxdy萬(wàn)yx絲dy)dx1dydxdy)dx1xdy1dy萬(wàn)ydx1dx萬(wàn)fxdxdydy-2fyd

4、xdy1dx萬(wàn)(b)Me/yx(ydy)dx1xydy1y2.,dx,x.、,xdx1(xdx)dy2x0dydxxdy1-yxdx1dydyfxdxdy1dyfydxdy1(c)dy)dx1dx2xdy1dyyxdx1dyydx1dx2(d)后合并同類項(xiàng)，分別得到xyyxo(x-xdx)dy1dy(xy-xydx)dy1dxfxdxdy15fydxdy1dx0x2x22略去（a）、（b）、（c）、（d）中的三階小量（亦即令d2xdy,dxd2y都趨于0）,并將各式都除以dxdy【分析】由本題可得出結(jié)論：微分體對(duì)任一點(diǎn)取力矩平衡得到的結(jié)果都是驗(yàn)證了切應(yīng)力互等定理?！?-9】試列出圖2-17,圖

5、2-18所示問(wèn)題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。h1-xh2h2b圖2-17【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件,圖2-18若為小邊界也可寫(xiě)成圣維南原理的三個(gè)積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-15)?！窘獯稹繄D2-17:上（y=0）左(x=0)右（x=b）l0-11m-100fxs0gyhgyh17ysg%00代入公式（2-15）得在主要邊界上x(chóng)=0,x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件:g(yhi),xyx00；在小邊界yg(y幾),xyxb0；0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件:gh,xy在小邊界yh2上，能精確滿足下列位移邊界條件：u八0,v

6、八yh2yh2=1這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替，當(dāng)板厚時(shí)，可求得固定端約束反力分別為：Fs0,Fnghb,M0由于yh2為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，則有:xyh2h2h2dxxdxdxghib(2-15)圖2-18上下主要邊界y=-h/2,y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式fx(s)fyyh20-10qyh01-q102(y)y-h/2q,(yx)y-h/20,(y)yh/20,(yx)yh/2q1在x=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號(hào)相反，有h/2Jxy)x0dXFsh/2h/2h/9(x)xodxFnh

7、/2h/2h/2(x)xoydxM在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件uxl0,vxl0這兩個(gè)位移邊界條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來(lái)代替。首先，求固定端約束反力,按面力正方向假設(shè)畫(huà)反力，如圖所示，列平衡方程求反力:Fx0,FnFnqilFnqilFnFy0,FsFsql0FsqlFs121q1lhMA0,MMFSl-ql-q1lh0MM222由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，故h/2h/2(x)xldyFnqilFnFsIql2h/2h/2(x)xiydyMh/2h/2(xy)xidyFs粵M%1耳qlFs【2-19】試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力,即體力分量可以

8、表示為fqx則應(yīng)力分2x=-rV,y程。量亦可2y=一rV,xV,fyV，其中V是勢(shì)函數(shù)，y函數(shù)表示成為A.b/2b/2xy,試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方xyqb萬(wàn)2qb72b,1）將fx，fy帶入平衡微分方程(2-2)yx圖2-19將（a）式變換為為了滿足式（b)fx0xyyxfy0xy(a)V)V)xyyxxy(b)即x2-y（2）對(duì)體力、V,應(yīng)力分量-V,xfx,fy,xyxy求偏導(dǎo)數(shù),將（c）式代入公式(2-21)22xy整理得：2Vx2Vfyx2x-2-x2y2xy2V2Vy22,x2Vx-2y2v2y2V(c)得平面應(yīng)力情況下應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程2V2yy(1fy(2-21)即平面應(yīng)力問(wèn)題

9、中的相容方程為2Vx2V2y(12V2x2V2y(1(d)(1)2V,的平面應(yīng)變情況下的相容方程:將（c）式代入公式（2-22）或?qū)ⅲ╠）式中的替換為2V2V(e)2v。證畢。3-8所示的矩形板和坐3ay總能滿足應(yīng)力函系表【3-4】試考察應(yīng)力函數(shù)ay3在圖中能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì)）?【解答】相容條件：不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)示的相容方程，式（2-25）.求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得x6ay,y,xyyx0考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無(wú)面力左右邊界上；當(dāng)a0時(shí)，考察x分布情況，注意到xy0,故y向無(wú)面力左端：（x）x06ay0yhfyxyx

10、00右端：Wxxi6ay（0yh）fy（Xy）x,0應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)l?h時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問(wèn)題。偏心距e：因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為的偏心距e：b,集中ex.p荷載p同理可知，(x)A當(dāng)a0Pbh時(shí)pe2bh2/6,可0eh/6以解決偏心壓縮問(wèn)【3-6】試考察應(yīng)力函數(shù)一Txy（3h24y2）,能滿2h3足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫(huà)出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫(huà)出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問(wèn)題?！窘獯稹浚?）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）44

11、4一1222一4-0,顯然滿足xxyy（2）將代入式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式12Fxy0x.3,y0,xyyxh（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：3F2h(14y2h在主要邊界上（上下邊界）上，y0,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（22-15),應(yīng)力00yyh/20,yxyh/20因此，在主要邊界yh上，無(wú)任何面力,2fxy0,fyy在x=l的次要邊界上，面力分別為:0:fx14y21-F12Fly-3,fyh4y2h2因此，各邊界上的面力分布如圖所示:在x=0,x=l的次要邊界上,x=0上、h/2_x向主矢：Fvh/2fxdy面力可寫(xiě)成主矢、主矩形式:x=l上h/2_0,Fn,fx

12、dyN2h/2x7、h/2-y向主矢：fg=h/2fydyF,h/2一FS2h/2他Fh/2一主矩：M尸由/2fxydy0，M2h/2h/2fxydyFl因此，可以畫(huà)出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖:NWQr（b）F作用的問(wèn)題。（a）因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力【3-10設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計(jì)，數(shù)AxyBy2Cy3l?h(圖3-12),試用應(yīng)力函3.Dxy求解應(yīng)力分重?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼?1)將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(2-25),顯然滿足(2)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，代入公式(2-24)2B6By06DxyO圖3-9x

13、yyxA23Dy2(a)(3)考察邊界條件主要邊界yh/2上,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件滿足在次要邊界h/2xyyh/2x=0上，應(yīng)用圣維南原理,h/20,3_得A-Dh4(b)h/2xx0dyFnh/2h/2h/2h/2xx0ydyh/2寫(xiě)出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件2B2B6Cydy6CyydyFnh/2h/2xyx0dy聯(lián)立方程(b)(c)h/2Fsh/23Dy2dyFsAhFn2h2M-h3-Dh34Fs(c)3Fss,D2h2Fsh3最后一個(gè)次要邊界然滿足的，故不必在校核。上,在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下是必將系數(shù)A、B、C、D代入公式(a),得應(yīng)力分量Fnh012M12Fs

14、Fyxy3Fs2h24工h2【3-11】設(shè)圖3-13中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解?？诓贰窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼庖?1)檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)是否?t足相容方程(2-25)3223設(shè)應(yīng)力函數(shù)=AxBxyCxyDy,不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程(2-25)陰3-13(2)由式(2-24)求應(yīng)力分量由體力分量fx0,fyg,將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24)得應(yīng)力分量：x一fxx2Cx6Dy(a)y2y-rfyy6Ax2Bygy(b)y2xy2Bx2Cy(c)xy(3)考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。對(duì)于主要邊界y0,其應(yīng)力邊界條

15、件為：將式(d)代入式(對(duì)于主要邊界y(d)(e)lsin,(f)(g)(y)y00(yx)y0b),(c),可得A0,B=0xtan(斜面上)，應(yīng)力邊界條件:sinsin(x)yxtan(xy)yxtancoscos(yx)yxtan(y)yxtan00將式(a)、(b)、(c)、(e)代入式(Cgcot2f),D可解得g.2cot3將式(e)、(g)代入公式(a)、(b)、(c),得應(yīng)力分量表達(dá)式cos.由公式(2-15),得應(yīng)力邊界條件2在斜面上沒(méi)有面力作用，即三m0,該斜面外法線方向余弦為,gxcot2gycotgyxygycot4-3在軸對(duì)稱位移問(wèn)題中，試導(dǎo)出按位移求解的基本方程。并

16、證明u可以滿足此基本方程?！窘狻浚?）設(shè)，代入幾何方程中，教材中式（u4-2）得形變分量u(a)將式（a）代入物理方程，教材中式（4-3）E12得用位移表示的應(yīng)力分量(b)將（b）式代入平衡微分方程，教材中式（14-1）,在軸對(duì)稱問(wèn)題中，平衡方程為(c)式（c）中的第二式自然滿足，第一式為dudud2ud2ud2ududu1du1dudu2uu01dudu上式即為求的基本方程。（2）將代入式（d）,很顯然滿足方程。4-8試考察應(yīng)力函數(shù)A3cos36a4-8圖所示彈性體的何種受力問(wèn)題?題4后用88圖【解】本題按逆解法求解。(1)相容條件把應(yīng)力函數(shù)代入相容方程顯然是滿足的。(2)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分

17、量表達(dá)式6acos36a3cos31旦32cos36a2acos33q2a_U_26acos33sin3cos3q6a3cos32cos3cos3q6a3cos33q3sin36aq2sin32a求出邊界上的面力qsin3a30面上,0,a面上,qcos3q;aqsin3；面力分布如解4-8圖所示，因此上述應(yīng)力函數(shù)可解決如圖所示的受力問(wèn)題。4-18設(shè)半面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上力偶矩為試求應(yīng)力分量?！窘狻繎?yīng)用半逆解法求解。(1)按量綱分析方法，單位寬度上的力偶矩與力的量綱相同。應(yīng)為應(yīng)與有關(guān)，由于應(yīng)力的量綱是單位面積上的力，即，應(yīng)力只能以形勢(shì)組合。M如題4-18圖所示,(2)(3)2應(yīng)比應(yīng)力的長(zhǎng)度量綱高二次騫，可假設(shè)將。代入相容方程，得d26d2d412d212-2212-2221-2.d2d2d4廠1ddd2廠12d2d22廠d2420d2這是四階常系數(shù)齊次微分方程,其特征方程為442求解特征方程它的根是12i,2i,340。因此，所給微分方程的通解為此處0,2,C1cos0,C1cos2C2sin所以C2sin2將系數(shù)修改為，有本題中結(jié)構(gòu)對(duì)稱于的數(shù)，從而得A=D=OAcos2Bsin2Cx軸，而M是反對(duì)稱荷載,Bsin2C.