1、關于標準差與抽樣平均誤差的關系標準差公式：1 .總體的標準差：方差8A2=(xi-x)A2+(x2-x)A2+.(xn-x)A2/n(用N表75更好)(x為平均數(shù))標準差=sqrt(xi-x)A2+(x2-x2+.(xn-x)A2/n)2 .對樣本而言：方差sA2=(xi-x)A2+(x2-x)A2+.(xn-x)A2/(n-1)(x為平均數(shù))3 .樣本標準差=sqrt(xi-x2+(x2-x2+.(xn-x)A2/(n-1)備注：如是總體，標準差公式根號內除以n如是樣本，標準差公式根號內除以(n-1)因為我們大量接觸的是樣本，所以普遍使用根號內除以(n-1)抽樣平均誤差(Samplingav

2、erageerror)什么是抽樣平均誤差抽樣平均誤差是抽樣平均數(shù)（或抽樣成數(shù)）的標準差,它反映抽樣平均數(shù)（或抽樣成數(shù)）與總體平均數(shù)（或總體成數(shù)）的平均差異程度。由于從一個總體可能抽取之個樣本，因此抽樣指標（如平均數(shù)、抽樣成數(shù)等），就有多個不同的數(shù)值，因而對全及指標（如總體平均數(shù)、總體成數(shù)等）的離差也就有大有小,這就必需用一個指標來衡量抽樣誤差的一般水平。抽樣平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)，抽樣成數(shù)的平均數(shù)等于總體總數(shù)，因而抽樣平均數(shù)（或抽樣成數(shù)）的標準差實際上反映了抽樣平均數(shù)（或抽樣成數(shù)）與總體平均數(shù)（或總體成數(shù)）的平均差異程度。抽樣平均誤差的計算：（一）樣本平均數(shù)的平均誤差以仙x表示樣本平均數(shù)

3、的平均誤差，表示總體的標準差。根據(jù)定義：/=E（x-xf1、當抽樣方式為重復抽樣時,樣本標志值1，”一工門是相互獨立的，樣本變量x與總體變量X同分布。所以得：2仃讓工=n（1）它說明在重復抽樣的條件下，抽樣平均誤差與總體標準差成正比,與樣本容量的平方根成反比。例1:有5個工人的日產量分別為（單位：件）：6,8,10,12,14,用重復抽樣的方法，從中隨機抽取2個工人的日產量，用以代表這5個工人的總體水平。則抽樣平均誤差為多少？»6+8+10+12+14解：根據(jù)題意可得：->（件）舊X-X）2西療=r=二=7$總體標準差“Ns”5（件）抽樣平均誤差2(件)2、當抽樣方式為不重復抽

4、樣時,樣本標志值11,工如一、不是相互獨立的，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計知識所a2Nn(2)出史=(3)當總體單位數(shù)N很大時，這個公式可近似表示為:與重復抽樣相比，不重復抽樣平均誤差是在重復抽樣平均誤差的基礎上,再乘以,(N-")/(N_1),而_總是小于1,所以不重復抽樣的平均誤差也總是小于重復抽樣的平均誤差。如前例，若改用不重復抽樣方法，則抽樣平均誤差為：a2N-n不N-18/5-2l=V12(51-)=1-732(件)在計算抽樣平均誤差時，通常得不到總體標準差的數(shù)值，一般可以用樣本標準差來代替總體標準差。(二)抽樣成數(shù)的平均誤差總體成數(shù)P可以表現(xiàn)為總體是非標志的平均數(shù)。即E(X)=P,它的標

5、準差根據(jù)樣本平均誤差和總體標準差的關系、可以得到樣本成數(shù)的平均誤差的計算公式。1、在重復抽樣下77P(l-P)(4)2、在不重復抽樣下(5)當總體單位數(shù)N很大時，可近似地寫成:(6)當總體成數(shù)未知時，可以用樣本成數(shù)來代替。例2:某企業(yè)生產的士近，按正常生產經驗，合格率為90%現(xiàn)從5000件產品中抽取50件進行檢驗，石格率的抽樣平均誤差。解：根據(jù)題意，在重復抽樣條件下，合格率的抽樣平均誤差為：IP(l-P)/0.9X0.1內=在不重復抽樣條件下，合格率的抽樣平均誤差為:抽樣調查練習題一、填空題1 .抽樣調查是遵循隨機的原則抽選樣本，通過對樣本單位的調查來對研究對象的總體數(shù)量特征作出推斷的。2 .

6、采用不重復抽樣方法，從總體為N的單位中，抽取樣本容量為n的可能樣本個數(shù)為N(N-1)(N-2),(N-n+1)。3 .只要使用非全面調查的方法，即使遵守隨機原則，抽樣誤差也不可避免會產生。4 .參數(shù)估計有兩種形式：一是點估計，二是區(qū)間估計。5 .判別估計量優(yōu)良性的三個準則是：無偏性、一致性和有效性。6 .我們采用“抽樣指標的標準差”，即所有抽樣估計值的標準差，作為衡量抽樣估計的抽樣誤差大小的尺度。7 .常用的抽樣方法有簡單隨機抽樣、類型(分組)抽樣、等距抽樣、整群抽樣和分階段抽樣。8 .對于簡單隨機重復抽樣，若其他條件不變，則當極限誤差范圍A縮小一半，抽樣單位數(shù)必須為原來的4倍。若A擴大一倍，

7、則抽樣單位數(shù)為原來的1/4。9.如果總體平均數(shù)落在區(qū)間9601040內的概率是95%,則抽樣平均數(shù)是1000,極限抽樣誤差是40.,抽樣平均誤差是20.41。（t=）x-xxx10.在同樣的精度要求下，不重復抽樣比重復抽樣需要的樣本容量需要的樣本容量多。二、判斷題1 .抽樣誤差是抽樣調查中無法避免的誤差。（，）2 .抽樣誤差的產生是由于破壞了隨機原則所造成的。（X）少,整群抽樣比個體抽樣t2二.-：2x222tN-n二2.22Nxt二x3 .重復抽樣條件下的抽樣平均誤差總是大于不重復抽樣條件下的抽樣平均誤差。（，）4 .在其他條件不變的情況下，抽樣平均誤差要減少為原來的1/3,則樣本容量必須增

8、大到9倍。（，）5 .抽樣調查所遵循的基本原則是可靠性原則。（X）6 .樣本指標是一個客觀存在的常數(shù)。（X）7 .全面調查只有登記性誤差而沒有代表性誤差，抽樣調查只有代表性誤差而沒有登記性誤差。（X）8 .抽樣平均誤差就是抽樣平均數(shù)的標準差。（X）三、單項選擇題1 .用簡單隨機抽樣（重復）方法抽取樣本單位，如果要使抽樣平均誤差降低50%,則樣本容量需擴大為原來的（C）A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍2 .事先將全及總體各單位按某一標志排列，然后依固定順序和間隔來抽選調查單位的抽樣組織方式叫做（D）A.分層抽樣B.簡單隨機抽樣C.整群抽樣D.等距抽樣3 .計算抽樣平均誤差時，若有多個樣本標準差的

9、資料，應選哪個來計算（B）A.最小一個B.最大一個C.4 .抽樣誤差是指（D）A.計算過程中產生的誤差B.C.調查中產生的系統(tǒng)性誤差D.5 .抽樣成數(shù)是一個（A）A.結構相對數(shù)B.比例相對數(shù)6 .成數(shù)和成數(shù)方差的關系是（C）A.成數(shù)越接近于0,成數(shù)方差越大C.成數(shù)越接近于0.5,成數(shù)方差越大中間一個D.平均值調查中產生的登記性誤差隨機性的代表性誤差C.比較相對數(shù)D.強度相對數(shù)B.成數(shù)越接近于1,成數(shù)方差越大D.成數(shù)越接近于0.25,成數(shù)方差越大t=7 .整群抽樣是對被抽中的群作全面調查，所以整群抽樣是（B）A.全面調查B.非全面調查C.一次性調查D.經常性調查8 .對400名大學生抽取19%進

10、行不重復抽樣調查，其中優(yōu)等生比重為20%,概率保證程度為95.45%,則優(yōu)等生比重的極限抽樣誤差為（40%）20%80%00.0458876t2N2N2t22人A.4%B.4.13%C.9.18%D.8.26%9 .根據(jù)5%抽樣資料表明，甲產品合格率為60%,乙產品合格率為80%,在抽樣產品數(shù)相等的條件下，合格率的抽樣誤差是（A）A.甲產品大B.乙產品大C.相等D.無法判斷10 .抽樣調查結果表明，甲企業(yè)職工平均工資方差為25,乙企業(yè)為100,又知乙企業(yè)工人數(shù)比甲企業(yè)工人數(shù)多3倍，則隨機抽樣誤差（B）A.甲企業(yè)較大B.乙企業(yè)較大C.不能作出結論D.相同四、多項選擇題抽樣調查中的抽樣誤差是（AB

11、CDE）A.是不可避免要產生的B.是可以通過改進調查方法來避免的C.是可以計算出來的D.只能在調查結果之后才能計算E.其大小是可以控制的11 重復抽樣的特點是（AC）A.各次抽選相互影響B(tài).各次抽選互不影響C.每次抽選時，總體單位數(shù)始終不變D每次抽選時，總體單位數(shù)逐漸減少E.各單位被抽中的機會在各次抽選中相等3.抽樣調查所需的樣本容量取決于（ABE）xA.總體中各單位標志間的變異程度B.允許誤差C.樣本個數(shù)D.置信度E.抽樣方法12 分層抽樣誤差的大小取決于（BCD）A.各組樣本容量占總體比重的分配狀況B.各組間的標志變異程度C.樣本容量的大小D.各組內標志值的變異程度E.總體標志值的變異程度

12、五、名詞解釋1 .抽樣推斷2 .抽樣誤差3 .重復抽樣與不重復抽樣4 .區(qū)間估計六、計算題1.某公司有職工3000人，現(xiàn)從中隨機抽取60人調查其工資收入情況，得到有關資料如下:（1）試以0.95的置信度估計該公司工人的月平均工資所在范圍。（2）試以0.9545的置信度估計月收入在2000元及以上工人所占比重。月收入1800190019502000205021002200250016500工人數(shù)67910987460af1080013300175502000018450168001540010000122300離差-238.33-138.33-88.33-38.3311.6761.67161.6

13、7461.67193.36離差平方56801.1919135.197802.191469.19136.193803.1926137.19213139.19328423.51-qxfx二'、f122300=2038.33602x-x60x162683333(164.66f60=164.6627113.8960=21.26離差平方乘權數(shù)340807.13133946.32170219.7014691.891225.7030425.51182960.32852556.761626833.33x-t.-x<X<xtLx2038.33-1.9621.262038.331.9621.2

14、62038.33-41.672038.3341.671996.662080.00(2)N=3000,n(s笠000)=38n(s<2000)=22P=38/60=0.633,8=sqrt(pq)=(0.232)A0.5=0.482wx=8k0.5=0.0622x-tx<XWx+th0.6333-2*0.06220.6333+2*0.0622,即0.50890.7577乘以3000,則估計人數(shù)在：15262273之間1-NORMDIST(2000,2038,21.26,TRUE)=2 .對一批產品按不重復抽樣方法抽選200件，其中廢品8件。又知道抽樣總體是成品總量的1/20,當概率為

15、95.45%時，可否認為這一批成品的廢品率低于5%?3 .某企業(yè)對一批產品進行質量檢驗，這批產品的總數(shù)為5000件，過去幾次同類調查所得的產品合格率為93%、95%和96%,為了使合格率的允許誤差不超過3%,在99.73%的概率下應抽查多少件產品？P=93%p（1-p）=0.93X（1-0.93）=0.06512tp(1-p)2_2320.06512(0.03)0.58590.0009=66(件)651件4.某企業(yè)對職工用于某類消費的支出進行了等比例分層抽樣，調查結果如下:職工人數(shù)（人）調查人數(shù)（人）平均支出（元）標準差（元）青年職，240012023060中老年職工16008014047要求

16、以95.45%的置信度估計該企業(yè)職工平均支出和總支出的置信區(qū)間。樣本平均數(shù)組間方差、'AiXi一i1X二-n12023080140一典.19412080200.2、ni"12060804010400”5=52n12080200抽樣平均誤差52，0.26=0.51,200區(qū)間估計xAx至x+AX=194-2x0.51-194+2x0.51192.98195.02在95.4既的把握程度保證下，該企業(yè)職工的平均支出在192.98元和195.02元之間.5.有一連續(xù)生產企業(yè)，一晝夜中每小時抽壽命為160小時，樣本平均數(shù)的群間方差為均使用壽命。5分鐘產品進行全面調查，測得該產品的平均使

17、用62小時，試以95.45%的把握推斷全天產品的平rxi全樣本平均數(shù)=x-i-=160小時)rs2N-n、2£僅收2或62/(x-x)xR、.2R-r二62（小時）rIR-1/224<288-1J：62288-24、:-=、2.5833父0.9197=1.54(小時)區(qū)間估計x-x至x：x=160-21.5416021.54156.92163.04在95.45%的把握程度的保證下，該批電子元件的平均使用壽命在156.92小時與163.04、時之間.n=24,N=24/(5/60)=2886.設“托福”的考分服從平均數(shù)580分，標準差為100分的正態(tài)分布，問當隨機抽取20人進行調查，樣本白平均數(shù)介于550分至610分的概率是多少？樣本的平均分數(shù)等于和超過600分的概率是多少？2222t2。2t21002n=2-20=2x580-550220580-5501002=1.8=1.3416當t=1.3416查概率表得到的概率為82%。也就是樣本平均數(shù)介于550分至610分的概率為82%。整個置信區(qū)間長度為60分，其概率為82%,由于考分平均數(shù)580分并成正態(tài)分布，因此我們可以1，、一這樣考慮，超過600分的區(qū)間為（60061010分，是整個區(qū)間60分的-，也