1、1.1.3導數(shù)的幾何意義 定義：函數(shù)定義：函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是0000()()li.mlimxxf xxf xyxx ,|)(00 xxyxf 或或00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 即：我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的導數(shù)處的導數(shù),記作記作:回回憶憶 由導數(shù)的意義可知由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的導處的導數(shù)的基本方法是數(shù)的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xyfxx 取極

2、限，得導數(shù))2( ),1( ),( ,)(12ffxfxxf求：設例的值代入求得導數(shù)值。再將自變量義求思路：先根據(jù)導數(shù)的定),( xfxxxxxxxxxxxfxxfxfxxx2)2(lim)(lim)()(lim)( 02200解：由導數(shù)的定義有422)( )2( 2) 1(2)( ) 1( 21xxxffxff處的導數(shù)。在：求函數(shù)例12xxyxxxyxy1111解法一：21111lim0 xx111xxxxxxxxxyxxxy1解法二：xxxxxyxx211limlim00211xyxy21._)(,)()(lim,)()2(lim,)()(lim,)()(lim.)(. 100000000

3、000000相等的有中與則處可導在已知函數(shù)xfdcbaxxxfxfdxxfxxfcxxfxxfbxxfxxfaxxxfxxxxxx。則若_)3()(lim, 3)(. 20000hhxfhxfxfx00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函數(shù)在點處的導數(shù)等于 函數(shù)的導 函 數(shù)在點處的 函數(shù)值 什么是導函數(shù)?由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到處求導數(shù)的過程可以看到,當當x=x0時時,f(x0) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù)

4、.那么那么,當當x變變化時化時, f(x0)便是便是x的一個函數(shù)的一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導函數(shù)的導函數(shù).即即:下面來看導數(shù)的幾何意義: y=f(x)PQMxxyyOxyPy=f(x)QMxxyyOxy 如圖如圖,曲線曲線C是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象的圖象,P(x0,y0)是曲線是曲線C上上的的任意一點任意一點,Q(x0+x,y0+y)為為P鄰近一點鄰近一點,PQ為為C的割線的割線,PM/x軸軸,QM/y軸軸,為為PQ的的傾斜角傾斜角.tan,: xyyMQxMP則則yx請問：是割線PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T請看當點請看當點Q沿著曲線逐漸向點

5、沿著曲線逐漸向點P接近時接近時,割線割線PQ繞著繞著點點P逐漸轉動的情況逐漸轉動的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當點當點Q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點P即即x0時時,割線割線PQ有一個確定位置有一個確定位置PT.則我們把直線則我們把直線PT稱為曲線稱為曲線在點在點P處的切線處的切線. 設切線的傾斜角為設切線的傾斜角為,那么當那么當x0時時,割線割線PQ的斜的斜率率,稱為曲線在點稱為曲線在點P處的切線的斜率處的切線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線 這個概念這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點切線的斜率的一

6、種方法;切線斜率的本質切線斜率的本質函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導數(shù)處的導數(shù).導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù) y=f(x)在點在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線線 y=f(x)在點在點P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率.即即:0( )kf x切線 故曲線故曲線y=f(x)在點在點P(x0 ,f(x0)處的切線方程是處的切線方程是:)()(000 xxxfxfy /000/0/01y=f(x)P(x ,f(x )f (x )y 2f (x )0,Xf (x )0,X注注：（）若若曲曲線線在在點點處處的的導導數(shù)數(shù)不不存存在在，就就是是切切線線與與 軸

7、軸平平行行。（ ）切切線線與與 軸軸正正方方向向夾夾角角為為銳銳角角，切切線線的的斜斜率率為為正正，切切線線與與 軸軸正正方方向向夾夾角角為為鈍鈍角角，切切線線的的斜斜率率為為負負。例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點P(1,2)處的切線方程處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因而因而,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.（1求出函數(shù)在點求出函數(shù)在點x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線在點得到曲線在點(x0,f(x0)的切線的斜率。的

8、切線的斜率。)(0 xf （2根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即即).)()(000 xxxfxfy 求切線方程的步驟：求切線方程的步驟：練練習習線線點點點點 處處線線點點 處處線線3 31 18 8：已已知知曲曲y y = =x x 上上一一P P( (2 2, , ) )，求求：3 33 3( (1 1) )P P的的切切的的斜斜率率；（2 2）P P的的切切方方程程.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即點即點P

9、處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點在點P處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. .,.,.附近的變化情況附近的變化情況在在述、比較曲線述、比較曲線請描請描據(jù)圖象據(jù)圖象根根圖象圖象的的數(shù)數(shù)時間變化的函時間變化的函示跳水運動中高度隨示跳水運動中高度隨它表它表如圖如圖例例21021056943112tttthttth 0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖.,的的變變化化情情況況刻刻畫畫曲曲線線在在動動點點附附近近利利用用曲曲線線在在動動點點的的切切線線 .,變化情況在上述三個時刻附近的線刻畫曲處的切線在我們用曲線解thtttxh2

10、10 .,.,幾乎沒有升降較平坦附近曲線比在所以軸平行于處的切線在曲線時當00001ttxltthtt .,.,附近單調遞減在即函數(shù)降附近曲線下在所以的斜率處的切線在曲線時當11111102ttthttthltthtt .,.,單調遞減附近也在即函數(shù)附近曲線下降在所以的斜率處的切線在曲線時當12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得緩慢附近比在在這說明曲線程度的傾斜的傾斜程度小于直線直線可見從圖2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60

11、.70.90.01.11. mlmgc/ mint411 .圖圖 .,min.,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精確到精確到率率物濃度的瞬時變化物濃度的瞬時變化血管中藥血管中藥時時估計估計根據(jù)圖象根據(jù)圖象函數(shù)圖象函數(shù)圖象變化的變化的單位單位隨時間隨時間位位單單物濃度物濃度表示人體血管中藥表示人體血管中藥它它如圖如圖例例 ttmlmgtfc 它表示從圖象上看在此時刻的導數(shù)藥物濃度就是度的瞬時變化率血管中某一時刻藥物濃解,.,tf .在此點處的切線的斜率曲線tf.,.時變化率的近似值瞬可以得到此刻藥物濃度估計這條切線的斜率利用網格線畫出曲線上某點處的切如圖411 .,.,

12、.41804180 ft所以它的斜率約為處的切線作.,這些值是否正確一下驗證時變化率的估計值下表給出了藥物濃度瞬 417004080604020. tft藥物濃度的瞬時變化率（1求出函數(shù)在點求出函數(shù)在點x0處的變化率處的變化率 ，得到曲，得到曲線線 在點在點(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。)(0 xf （2根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即).)()(000 xxxfxfy 求切線方程的步驟：求切線方程的步驟：小結: 無限逼近的極限思想是建立導數(shù)無限逼近的極限思想是建立導數(shù)概念、用導數(shù)定義求概念、用導數(shù)定義求 函數(shù)的導數(shù)的函數(shù)的導數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無法理解基本思想，丟掉極限思想就無法理解導導 數(shù)概念。數(shù)概念。作業(yè):2342yxxM 2 2. .求求曲曲線線在在點點 （1 1，1 1）處處的的切切線