1、第十七章多元函數(shù)微分學(xué)3方向?qū)?shù)與梯度定義1:設(shè)三元函數(shù)f在點P0(R,y0,z)的某鄰域U(P0)?R3有定義，l為從點Po出發(fā)的射線，P(x,y,z為l上且含于U(P0)內(nèi)的任一點，以p表示P與Po兩點間的距離.若極限+f(P)-f(P0)=皆?存在,則稱此極限為函數(shù)f在點P。沿方向l的方向?qū)?shù)，記作p,fi(Po)或fi(X0,yo,Z0).d若f在點P。存在關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，則f在P。沿x軸正向的方向?qū)?shù)為：士”上P；當(dāng)l的方向為x軸的負方向時，則有po=-po.000000dexcex定理17.6:若函數(shù)f在點R(x0,y0m)可微，則f在點P0沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在，且fl(P

2、0)=fx(P0)COS%+fy(P0)COS/fz(P0)cos%其中cos/cos8cos丫是方向l的方向余弦.'x-x0=Ax=pcosa證：設(shè)P(x,y,z為l上任一點，于是有y-y0=Ay=pcos6z-z0=Az=pcosT:f在點P0可微，.f(P)-f(P)=fx(P0)Ax+fy(P0)Ay+fz(P0)Az+o(p),兩邊除以p得：f(P)-f(P0)=fx(F0)cosa+fy(F0)cos(3+fz(F0)cos廿0-立，ppfl(F0)=limf(P)-f(P°)=fx(P0)cosa+fy(F0)cos/fz(F0)cos.Tp注：二元函數(shù)f(x,

3、y)對應(yīng)的結(jié)果是：fl(P0)=fx(x0,y0)cos%+fy(x0,y0)cos&其中,(3是平面向量l的方向角.例1:設(shè)f(x,y,z)=x+y+z3,求f在點R)(1,1,1)沿方向l:(2,-2,1)的方向?qū)?shù).解:fx(R)=1；fy(P0)=2y|(w)=2;fz(R)=3z2|(w)=3;又cos0C=2=2;cos(3=-2；cos產(chǎn)1;22(-2)2123'.3'r35fl(P0)=fx(Po)COSo+fy(p0)cos/fz(Po)COS產(chǎn)2-+1=1.333例2:討論f(x,y)='：0：tx"x<g時在原點處的方向?qū)?shù)

4、.Q其余部分解：f在原點不連續(xù)，所有不可微.但在始于原點的任何射線上，都存在包含原點的充分小的一段，在這一段上，f的函數(shù)值恒為0.根據(jù)方向?qū)?shù)的定義，在原點處沿任何方向l都有f|(0,0)=0.注：例2說明：(1)函數(shù)在一點可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件，不是必要條件；(2)函數(shù)在一點連續(xù)既不是方向?qū)?shù)存在的必要條件也不是充分條件.定義2:若f(x,y,z在點P0(x0,y0,z0)存在對所有自變量的偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量(fx(P0),fy(P0),fz(P。)為函數(shù)f在點Po的梯度，記作：gradf=(fx(P0),fy(P0),fz(P0).向量gradf的長度(或模)為：|gradf|=，f；

5、(P。)+f：(P0)+f；(P°).若記l方向上的單位向量為：lo=(cosO,cos8cos由則方向?qū)?shù)公式可寫成：fl(P0)=gradf(P0)lo=|gradf(Po)|cos0,這里0是梯度向量gradf(P0)與10的夾角.因此當(dāng)仁0時，fi(R)取得最大值|gradf(Po)|,即當(dāng)f在點P?？晌r,f在點P0的梯度方向是f的值增長最快的方向，且沿這一方面的變化率就是梯度的模；而當(dāng)1與梯度向量反方向(芹©時，方向?qū)?shù)取得最小值-|gradf(Po)|.例3:設(shè)f(x,y,z)=xy+y/,求f在Po(2,-1,1)的梯度及它的模.解：由fx(Po)=y2|(

6、2,-1,1)=1；fy(Po)=2xy+Z(2,-1,1)=-3;fz(Po)=3y由山尸田得，f在P0的梯度gradf=(1,-3,-3),模為：，12+(3)2+(-3)2=<19.習(xí)題1、求函數(shù)u=xy2+z3-xyz在點(1,1,2船方向1(方向角分別為60?,45?,603的方向?qū)?shù).解：:Ux(1,1,2)=y2-yz|(i,i,2)=-1;uy(1,1,2)=2xy-xz(1,1,2)=0;Uz(1,1,2)=3-xy|(i,i,2)=11;cos60?=1;cos45i=2;一11fl(1,1,2)=(-1)x-+0+11x-=5.2、求函數(shù)u=xyz在點A(5,1,2

7、班至U點B(9,4,14»勺方向AB上的方向?qū)?shù).解：:ux(5,1,2)=yz|(5,1,2)=2;Uy(5,1,2)=xz|(5,1,2)=10;Uz(5,1,2)=xy|(5,1,2)=5;cos=，°95=;cos=;cos產(chǎn)12;(9-5)(4-1)(14-2)131313二fl(5,1,2)=2X-+10X-+5X-=98.'/131313133、求函數(shù)u=/+2y2+3z2+xy-4x+2y-4小A(0,0,0)及B(5,-32)的梯度以及3它們的模.解：ux(0,0,0)=2x+y-4|(0,0,0)=-4;Ux(5,-3,2)=2x+y-4|(5,

8、-3,z3)=3;3Uy(0,0,0)=4y+x+2|(0,0,0)=2;Uy(5,-3,；)=4y+x+2|(5,-3Z3)=-5;32、Uz(0,0,0)=6z-4|(0,0,0)=-4;Uz(5,-3,-)=6z-4|(5,-3,2/3)=0;gradu(0,0,0)=(-4,2,-4)|gradu(0,0,0)|=.(-4)222(-4)2=6;gradu(5,-3,2)=(3,-5,0),|gradu(5,-3,|)|二.,32(-5)202=34.334、設(shè)函數(shù)u=ln1j,其中r=v(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2,求u的梯度，并rjJ指出在空間哪些點上等式|gradu|

9、=1成立.du：:r1x-aa-xdu：:rb-ydufrc-z:Ux=-=；Uy=T；Uz=-；dr.xrrrdr.yrdrzzr.gradu=(W,整，弩).當(dāng)|gradu|=1時，由rrr>!WW=J222(a-x)(b-y)(c-z)(x-a)2(y-b)2(z-c)2=1,即空間以(a,b,c)為球心，以1為半徑的球面上的所有點，都有|gradu|=1.2225、設(shè)函數(shù)口=0-=-1，求它在點(a,b,c)的梯度.cab解：-Ux(a,b,c)=-T|(a,b,c)=-2；uy(a,b,c)=-yyr|(a,b,c)=-；aabb2z,2222、Uz(a,b,c)=|(a,b,

10、c)=-；gradu(a,bc)=(,-,-).ccabc6、證明：(1)grad(u+c)=gradu,(c為常數(shù))；(2)grad(«u+的)=ogradu+例radv;(3)grad(uv)=ugradv+vgradu(4)gradf(u)=f'(u)gradu.證：設(shè)u=u(Xi，,Xn),v=v(Xi，,Xn)；貝U(1)grad(u+c)=(Hi,uxn)=gradu.(2)grad(ou+M=(ouxl+Wx1,，ouxn+(Xn)=o(ux1,uxn)+Rvx1,vxn)=ogradu+例radv.(3)grad(uv)=(vux1+uvx1，,vuxn+uv

11、xn)=u(vx1，,vxn)+v(ux1，,uxn)=ugradv+vgradu.(4)gradf(u)=(f'(u)ux1,f'(u)uxn)=f'(u)gradu.7、設(shè)r=，x2+y2+z2,試求：(1)gradr;(2)grad1.r解:(1)q=x;ry=y;rz=-;二gradr=1(x,y,z).rrrr(2)令u=1,貝Uux=durx=-23-;ry=-Jr;=-1;grad1=-；(x,y,z).rdrrrrrr8、設(shè)u=x2+y2+z2-3xyz,試問在怎樣的點集上gradu分別滿足：(1)垂直于x軸；(3)平行于x軸；(3)恒為零向量.解:ux

12、=2x-3yz;iy=2y-3xz;iz=2z-3xy;gradu=(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy).當(dāng)gradu垂直于x軸時，.x軸的方向向量為(1,0,0),(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)(1,0,0)=2x-3yz=0即2x=3yz.當(dāng)gradu平行于z軸時，生著二生符二空衿(常數(shù))，即2x-3yz=c,2y=3xz,2z=3xy.(3)當(dāng)gradu恒為零向量時,(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)=(0,0,Q)即2x=3yz,2y=3xz,2z=3xy解得x2=y2=：=：9、設(shè)f(x,y)可微，l是R2上的一個確定向量.倘若處處有fi(x,y)=0,試問此函數(shù)f有何特征？解：若fi(x,y)=fxCOS%+fyCOSB筆即(fx,fy)(coso,cos3)=0,說明函數(shù)f在定義域內(nèi)任一點P(x,yH勺梯度向量與向量l垂直.10、設(shè)f(x,y)可微，1i與匕是R2上的一組線性無