1、上課 手機(jī)手機(jī) 關(guān)了嗎？關(guān)了嗎？第第4章章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy C條件：條件： f (x)在在a，b上連續(xù)，上連續(xù)， (a，b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 端點(diǎn)端點(diǎn)f (a)=f (b)結(jié)論：結(jié)論：( , ),( )0a bf 一、一、 羅爾羅爾(Rolle)定理定理4.1 中值定理中值定理定定 理理證明分析：證明分析： 在在(a,b)(a,b)內(nèi)的最內(nèi)的最大大( (小小) )值點(diǎn)取得值點(diǎn)取得 在曲線弧在曲線弧AB上至少有上至少有一點(diǎn)一點(diǎn)C ，在該點(diǎn)處的，在該點(diǎn)處的切線是水平的切線是水平的.證證f(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù), 故必

2、能取得最大值故必能取得最大值M、最小值、最小值m.(1)若若Mm，(2) 若若Mm，則，則M、m中至少有一個(gè)在中至少有一個(gè)在(a,b)內(nèi)取得，內(nèi)取得，則則f(x)C，x(a,b)(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可取為內(nèi)每一點(diǎn)都可取為x.(否則否則Mf(a)f(b)m)不妨設(shè)最大值不妨設(shè)最大值M在點(diǎn)在點(diǎn)x (a,b)獲得獲得, 即即( )( )Mff x x(a,b)由極限的保號(hào)性定理有由極限的保號(hào)性定理有 0()( )( )limxfxffx 0()( )( )0limxfxffx ( )( )0ff ( )f 存在存在( )0f 即即0 注意注意: (1)若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足若羅爾定理的三

3、個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立其結(jié)論可能不成立.(2)定理的條件充分不必要定理的條件充分不必要.如圖，羅爾定理的三個(gè)如圖，羅爾定理的三個(gè)條件均不滿足，但卻能條件均不滿足，但卻能找到定理結(jié)論中的找到定理結(jié)論中的x (3)羅爾定理的結(jié)論可表示為羅爾定理的結(jié)論可表示為: 方程方程 在在(a，b)內(nèi)內(nèi)至少有一個(gè)根羅爾定理的代數(shù)意義）至少有一個(gè)根羅爾定理的代數(shù)意義）( )0fx 例例1 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)f (x)ln sinx在在 上滿足羅爾定上滿足羅爾定理?xiàng)l件，并求出定理中的理?xiàng)l件，并求出定理中的x5,66證證(2)5,66cos( )cotsinxfxxx 在在 上有定義，上有定義，故故f

4、(x)ln sinx 在在 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)5(,)66(3) 15()ln()626ff5,66(1) f (x)ln sinx是初等函數(shù)，且在是初等函數(shù)，且在 上有定上有定義，故連續(xù)。義，故連續(xù)。5( )cot0(,).266f 令得令得f (x)ln sinx在在 上滿足羅爾定理?xiàng)l件上滿足羅爾定理?xiàng)l件.5,66( () )2sincos00.xxx 例例 證證明明方方程程在在，內(nèi)內(nèi)必必有有實(shí)實(shí)根根)(xf ( )sinf xxx 設(shè)設(shè)()., 0, 0)(內(nèi)可導(dǎo)上連續(xù)，在在顯然，xf0)()0(ff且( () )( ( ) )0,0,f 由由羅羅爾爾定定理理知知，必必存存在在使使( )0co

5、ssinf即證明證明例例3 3.10155的的正正實(shí)實(shí)根根有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè)由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理即即x0為方程的小于為方程的小于1的正實(shí)的正實(shí)根根. 0)( f)1(5)(4 xxf但但矛盾矛盾,那么那么 f(x)在在 0, 1 上連上連續(xù)續(xù).且且 f(0)1, f(1)3.設(shè)設(shè)x1(0, 1) ,x1x0 ，使，使 f (x1) 0 x0(0, 1) , f (x0) 0,則則f (x)在以在以x0 , x1為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一個(gè)至少存在一個(gè)x 在在x0 , x1之間之間,

6、 使得使得 0 ( x(0, 1),x0為方程唯一的小于為方程唯一的小于1的正實(shí)根的正實(shí)根.條件：條件： f (x)在在a，b上連續(xù)，上連續(xù)， (a，b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)結(jié)論：結(jié)論：( )( )( , ),( )f bf aa bfba 二、二、 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理( )( )( )()f bf abafab 幾何解釋幾何解釋: ab)()(afbfab定理：定理：稱作拉格朗稱作拉格朗日中值公式日中值公式( )( )( )0f bf afba 證明分析證明分析:即證即證( )( ) ( )0 xf bf af xxba 亦亦即即( )( )( )( )f bf a

7、F xf xxba 故故令令0)()()( abafbff即即( )( )( )f bf afba 亦亦即即F(x)在在a，b上滿足羅爾定理的條件上滿足羅爾定理的條件,則在則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x , 使得使得F (x ) 0拉格朗日中值公式的等價(jià)形式拉格朗日中值公式的等價(jià)形式( )( )( )()f bf afabb a ( )( )( )().f bf afba ( )( )()()01f bf af ababa ，()( )( )f xxf xfxxxx ，在 與之間，在 與之間()( )( )()yf xxf xfxfxxx 01xxx 在 與之間，在 與之間，0(

8、 )()(01).yfxfxxx 增量增量y的精確表達(dá)式的精確表達(dá)式與與 不同不同0()yfxx 證明證明(1) 必要性：顯然必要性：顯然. 充分性：任取充分性：任取ax1 x2 0)(x 0)條件：f(x)和g(x)在a，b上連續(xù)， （a，b內(nèi)可導(dǎo) 且g(x) 在(a，b)內(nèi)不為零 結(jié)論：( )( )( )( , ),( )( )( )f bf afa bg bg ag 三、三、 柯西柯西( Cauchy)中值定理中值定理( )( )xg tyf t ()atbt Ctdykdx 切切幾何解釋幾何解釋:( )( )( )( )tft dtfg t dtg C定定 理理注注:柯西定理不柯西定理

9、不能由拉格朗日能由拉格朗日定理用除法證定理用除法證得。因?yàn)榈?。因?yàn)閤 1、 x 2未必相同。未必相同。( )( )( )( )0( )( )f bf afgg bg a 證明分析：即證證明分析：即證( )( ) ( )( )0( )( )xf bf af xg xg bg a 亦亦即即( )( )( )( )( )( )( )f bf aF xf xg xg bg a 證證 令令( )( )g bg a 則則(否則由羅爾定理否則由羅爾定理( , )( )0a bg ，與條件矛盾與條件矛盾)容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證, F(x)在在a,b上滿足羅爾定理的條件上滿足羅爾定理的條件, 故至少存故至少存在一點(diǎn)在

10、一點(diǎn)x (a,b)，使，使 ( )( )( )( )( )0,f bf aFfgba ( )( )( )( )ff bf agba 即即例例9 9 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)f (x)在在0, 10, 1上連續(xù)上連續(xù), (0, 1), (0, 1)內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，證明：證明：證證分析分析:即證即證 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf 2)(01)0()1(fff則則f (x), g(x)在在 0, 1上滿足柯西中值定理的條件，上滿足柯西中值定理的條件， 在在(0, 1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x, 使得使得至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)x (0, 1), 使得使得f (x )=2x f (1)f (0)即即 f (x )=2x f (1)f (0)設(shè)設(shè) g(x)x2，四、小結(jié)四、小結(jié)Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系理之間的關(guān)系:注意定理成立的條件；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟注意利用中值定理證明等式與不等式