1、線性代數(shù)線性代數(shù)(xin xn di sh)課件課件4第一頁，共23頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形1BABU AnAUAUBB定義、對于 階矩陣 、 ，若存在可逆矩陣 ，使得，就稱矩陣，記作與 相似1(1,2,)kkkkkAnnUU AUB kAB為 階矩陣，任取 階可逆陣，作得到無數(shù)個與 相似的矩陣 ，它們有一系列共同性質(zhì)，如：相似矩陣秩相等，行列式值相等。kBA本章要研究的問題是 中能否有對角形矩陣，即要解決與 相似的對角形矩陣的存在性及其求法。第1頁/共23頁第二頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣(j zhn)的標(biāo)準(zhǔn)形 第1節(jié) 矩陣(j zhn)的特征值

2、和特征向量第一節(jié) 矩陣(j zhn)的特征值和特征向量第2頁/共23頁第三頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣(j zhn)的標(biāo)準(zhǔn)形 第1節(jié) 矩陣(j zhn)的特征值和特征向量 11111212122211211nnnnnnnnnnAnAnAfaIAaaaaaaIAaaaaa定義 、設(shè) 為 階矩陣， 為變量，矩陣為 的，它的行列式 是關(guān)于 的首項系數(shù)為 的 次多項特征矩陣特式，稱為 的，征多項式記作12,1,2,0niinAAinIA X 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)它一定有 個根，稱為 的(或特征根)，記作。對于 的每個特征值，考慮齊次線性方程組特征值第3頁/共23頁第四頁，共23頁。線性代數(shù)(xin x

3、n di sh) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 第1節(jié) 矩陣的特征值和特征向量0iiIAA由于，故它必有非零解，稱每一個非零解為 屬于特征值 的特征向量1122,nnnAAnA 注： 階矩陣 的行列式等于 的 個特征值的乘積，即0iiiiiiiAXAAXXX為 的一個特征值，為 的屬于特征值 的特征向量 0nAA階矩陣 為可逆矩陣的特征值均不為 。第4頁/共23頁第五頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣(j zhn)的標(biāo)準(zhǔn)形 第1節(jié) 矩陣(j zhn)的特征值和特征向量1221224242AA 例、設(shè)，求矩陣 的特征值與特征向量例2、證明(zhngmng)相似矩陣有相同的特征多項式，從而有相同的特征值

4、。113102 11iiiiiiAnAAAAA例 、 為 階可逆陣， 為 的特征值， 為 的屬于 的特征向量。證明： ） 的任一個特征值）是的特征值，且 是的屬于的特征向量40mAnmAA例 、設(shè) 為 階方陣，若存在正整數(shù) 使，則 所有的特征值均為零。第5頁/共23頁第六頁，共23頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 第1節(jié) 矩陣的特征值和特征向量212*62,112AAAIA AAAI例 、三階矩陣 的特征值為，求（1） （2） （3）的特征值1011( )(0)()( )mmmmiiiiif xa xa xaxaAff A 例5、設(shè)，且，則為的特征值。第6頁/共2

5、3頁第七頁，共23頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 第2節(jié) 矩陣的對角標(biāo)準(zhǔn)形第二節(jié) 矩陣的對角(du jio)標(biāo)準(zhǔn)形第7頁/共23頁第八頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣(j zhn)的標(biāo)準(zhǔn)形 第2節(jié) 矩陣(j zhn)的對角標(biāo)準(zhǔn)形AA定義、若矩陣 能與一個對角形矩陣相似，則稱此對角形矩陣為 的對角標(biāo)準(zhǔn)形nAAn、一個 階矩陣 能與對角形矩陣相似的定理充分必要條件為有 個線性無關(guān)的1特征向量111()(1, )niiinAUUUU AUAUUin：若 相似于對角形矩陣，則存在可逆矩陣且注使1AAnAAkk： 的對角標(biāo)準(zhǔn)形的主對角線元素為 的 個特征值（包括重根）

6、，因而若 相注似于對角形矩陣，且 有 重根 ，則屬于的線性無關(guān)的特征向量一定是2個。第8頁/共23頁第九頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形 第2節(jié) 矩陣的對角標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形121233122122424222121072012AAU 例、矩陣，時，；時，問 能否與對角形矩陣相似?若能求出可逆矩陣 與對角標(biāo)準(zhǔn)形。121212,.,.,2,.,sssA 、設(shè)為 的互不相等的特征值,是分別屬于它們的特征向量，則定理線性無關(guān)。nAnAnA、若 階矩陣 有 個不同的特征值，則 一定有 個推論線性無關(guān)的特征向量，從而 一定能與對角形矩陣相似。第9頁/共23頁第十頁，共23

7、頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 第2節(jié) 矩陣的對角標(biāo)準(zhǔn)形 121212121111122,.,.,1,.,.,.,.,.3.,issin riiiiin rn rn rssArrIAis 、設(shè)為 的互不相等的特征值,屬于 的線性無關(guān)的特征向量為，定理其中，則線性無關(guān)11,siisiinAsnrIAnAnrIAnA、若 階矩陣 有 個不同的特征值，且則 一定能推論與對角形矩陣相似；若則 不能與對角形矩陣相似。第10頁/共23頁第十一頁，共23頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 第2節(jié) 矩陣的對角標(biāo)準(zhǔn)形 2P1084114232 1023

8、 21820032143222 3254245AAA例 （例 ）判斷下列矩陣能否與對角形矩陣相似，若能，寫出對角標(biāo)準(zhǔn)形。10222325424 5AA例 、設(shè)矩陣，求第11頁/共23頁第十二頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形 第3節(jié) 實對稱矩陣的對角標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形第三節(jié) 實對稱矩陣(j zhn)的對角標(biāo)準(zhǔn)形第12頁/共23頁第十三頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形 第3節(jié) 實對稱矩陣的對角標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形一、向量一、向量(xingling)的正交概念和施密特正交化的正交概念和施密特正交化11111,niiiniiinnababa

9、bab定義 、設(shè)，稱實數(shù)為向量 與 的，記作內(nèi)積,TT 注：向量內(nèi)積可用矩陣乘法表示為。1, ）對稱性 2,kkk ）線性性 3,000 ）正定性 當(dāng)且僅當(dāng)時，第13頁/共23頁第十四頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣(j zhn)的標(biāo)準(zhǔn)形 第3節(jié) 實對稱矩陣(j zhn)的對角標(biāo)準(zhǔn)形2,1,0, 定義 、對向量 ，稱為向量（或），記作， 作非零向量 的數(shù)乘稱為對(單位化)；若兩個向量滿足，稱向量 與 正交，的長度模標(biāo)準(zhǔn)化記作123,.,01,.,0 ij; ,1,1siijiisi js 定義 、一個向量組，其中若，稱這個向量組為；若又有就稱這向量組正交向量組標(biāo)準(zhǔn)為正交向量組。12,.,s

10、 、一組正交向量組的向量必是命題線性無關(guān)的第14頁/共23頁第十五頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 第3節(jié) 實對稱(duchn)矩陣的對角標(biāo)準(zhǔn)形12,.,s 將已知線性無關(guān)向量組施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化過程為：111111 . 1q令222112221, . 2qqq333223113331, . 3qqqqqssssssssssqqqqqqq1, . 41122111212,.,.,ssq qq 得到一個與等價的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組第15頁/共23頁第十六頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形 第3節(jié) 實對稱矩陣的對角標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形121120,112TT 例 、

11、求與向量均正交的單位向量。123421 100 ,1010 ,1001 ,111 1 例 、將化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 1,00n r AnAXAX 2設(shè)為 元齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，求的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基礎(chǔ)解系。 11,n r An r Aq qq 22將施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化，得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，即為一個標(biāo)準(zhǔn)正交基礎(chǔ)解系。第16頁/共23頁第十七頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣(j zhn)的標(biāo)準(zhǔn)形 第3節(jié) 實對稱矩陣(j zhn)的對角標(biāo)準(zhǔn)形二、實對稱矩陣的對角二、實對稱矩陣的對角(du jio)標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形定理(dngl)1、實對稱矩陣的任一特征值一定是實數(shù)。定理2、實對稱矩陣的屬于不同特征

12、值的特征向量正交。12112,.,TnnnTT ATT ATA 、任意一個 階實對稱矩陣一定正交相似于實對角矩陣，即存在正交矩陣使其中為 的定理3全部特征值第17頁/共23頁第十八頁，共23頁。線性代數(shù) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 第3節(jié) 實對稱(duchn)矩陣的對角標(biāo)準(zhǔn)形nAT對于 階實對稱矩陣 求正交矩陣 及對角標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟：1A）求出 的全部特征值 1120,iiiiin riiiinAIA XqqrrIAAnqq）對于 的每一個不同的特征值 ，求出屬于特征值 的線性無關(guān)的特征向量(即求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系)，并將其施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化得屬于特征值 的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，其中，最后得

13、到 的個標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量121213nTnTq qqT ATT AT）令正交矩陣，則 第18頁/共23頁第十九頁，共23頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 第3節(jié) 實對稱矩陣的對角標(biāo)準(zhǔn)形11201222023ATT ATA例 、設(shè)，求正交矩陣 ，使為對角形矩陣，并寫出 的對角標(biāo)準(zhǔn)形。12222254245ATT ATA例 、，求正交矩陣 ，使為對角形矩陣，并寫出 的對角標(biāo)準(zhǔn)形。第19頁/共23頁第二十頁，共23頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 第4節(jié) 相似矩陣第四節(jié)相似矩陣第20頁/共23頁第二十一頁，共23頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 第4節(jié) 相似矩陣1nABUBU AUBABA定義、對于 階矩陣 、 ，若存在可逆矩陣 ，使得，就稱矩陣 與 相似，記作相似關(guān)系有以下相似關(guān)系有以下(yxi)性質(zhì)：性質(zhì)：1)nAAA反身性：對任一 階矩陣 ，有2),ABBA對稱性：若則3),ABBCAC傳遞性：若且則第21頁/共23頁第二十二頁，共23頁。線性代數(shù)(xin xn di sh) 第四章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 第4節(jié) 相似矩陣相似矩陣有以下相似矩陣有以下(yxi)性質(zhì)：性質(zhì)：1) 相似矩陣行列式值