1、 假設(shè)有一質(zhì)點在常力假設(shè)有一質(zhì)點在常力 (大小與方向均不變大小與方向均不變) F 的的作用下，作用下， 那么位移那么位移 ，AB s規(guī)定兩向量規(guī)定兩向量 a , b 的正方向之間不超越的正方向之間不超越 180 的的夾角為向量夾角為向量 a 與與 b 的夾角，的夾角， 記作記作 (a , b) ，或，或 (b , a).由點由點 A 沿直線挪動到點沿直線挪動到點 B，由物理學(xué)可知，由物理學(xué)可知，力力 F 所做的功為所做的功為),(cossFsF WFAsB定義定義 1 1兩向量兩向量 a 、b 的模及其夾角余弦的連的模及其夾角余弦的連乘積，乘積，稱為向量稱為向量 a 、b 的數(shù)乘積或點積，的數(shù)

2、乘積或點積，記為記為 a b ， 即即),(cosbababa 由數(shù)量積的定義，由數(shù)量積的定義，上述作功問題可以表示為上述作功問題可以表示為W = F s. abab( a )baba( b ) 稱為向量稱為向量a 在向量在向量 b 上的上的投影投影 ，記為，記為ab , ),(cosbaa定義定義 2 2即即),(cosbaaa b類似地類似地),(cosabb ab所以，兩向量的數(shù)量積也可以用投影表示為所以，兩向量的數(shù)量積也可以用投影表示為.abba abba交換律交換律,abba 結(jié)合律結(jié)合律),()()(為為數(shù)數(shù)量量mmmbaba 分配律分配律.)(cabacba 由數(shù)量積的定義可知由

3、數(shù)量積的定義可知所以所以. 1 kkjjii,),cos()1(2aaaaaaa 當(dāng)當(dāng) a、b 均均為非零向量，為非零向量，當(dāng)當(dāng) a 、b 中至中至少有一個是零向量時，少有一個是零向量時，我們規(guī)定零向量與任何向量都我們規(guī)定零向量與任何向量都垂直垂直.即即 a 與與 b 垂直垂直.那么那么 cos ( a , b ) = 0.(2) (2) 假設(shè)兩個非零向量假設(shè)兩個非零向量 a a、b b 相互垂直，相互垂直， 即即a b.即有即有a b = 0；反之，反之，且且 a b = 0 時，時， 那么那么 cos ( a , b ) = 0，從從而而斷斷定定 2),( ba這樣，這樣， 兩個向量相互垂

4、直的充要條件是兩個向量相互垂直的充要條件是由這個結(jié)論可得由這個結(jié)論可得. 0 ikkjjia b = 0. ba)()(222111kzjyixkzjyix kizxjiyxiixx 212121kjzyjjyyijxy 212121kkzzjkyzikxz 212121.212121zzyyxx 即即.212121zzyyxxba 因此，因此， 兩向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積兩向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積之和之和. 利用利用數(shù)量積的運算規(guī)律有：數(shù)量積的運算規(guī)律有：2.數(shù)量積的坐標(biāo)計算式數(shù)量積的坐標(biāo)計算式,111kzjyixa 設(shè)設(shè),222kzjyixb 均為非均為非零向量，零向量，3

5、.兩非零向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩非零向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式,111kzjyixa 設(shè)設(shè)kzjyixb222 由兩向量的數(shù)量積定義可知由兩向量的數(shù)量積定義可知:),(cosbababa .222222212121212121zyxzyxzzyyxx 例例 1 知知 a = i + j，b = i + k，求求a b,),(cosba及及 ab .解解由公式可得由公式可得 , 10011,0,10,1, 1 babababa ),(cos2222221010111 ,21 .22212 ),(cosbaa b例例 2 設(shè)力設(shè)力 F = 2i -3 j+4k作用在一質(zhì)點上，質(zhì)作用在一質(zhì)點上，質(zhì)點

6、由點由A1,2,-1沿直線挪動到沿直線挪動到B3,1,2. 求：求：(1)力力F所做的功；所做的功；2力力F與位移與位移 的夾的夾角力的單位為角力的單位為N，坐標(biāo)的單位為，坐標(biāo)的單位為m.AB所以力所以力 F所做的功為所做的功為 解解，)J(1934) 1() 3(22 ABFW 由于由于 F = 2i -3 j+4k，,32) 12() 21 () 13(kjikjiAB ABFABFABF ),(cos2222223) 1(24)3(219 又又,9429. 0 所以，力所以，力F與位移與位移 的夾角約為的夾角約為.7219o AB 且與且與 a 垂垂直，直， 由于它在由于它在 x y 坐

7、標(biāo)面上，坐標(biāo)面上， 向量向量 a = 4i + 3j + 7k垂直垂直例例 3 3 求在求在 x y 坐標(biāo)面上與坐標(biāo)面上與的單位向量的單位向量.解解設(shè)所求的向量為設(shè)所求的向量為 b = x , y , z .所以所以 z = 0 . 又由于又由于 b 是單位向量是單位向量所以所以 , 1 b, 0 ba即有即有 0z,1222 zyx.0734 zyx解之得解之得0,54,53 zyx故所求向量故所求向量jib5453 .5453jib 或或 它的正方它的正方向由右手法那么確定，向由右手法那么確定，定義定義 3 3 設(shè)有兩向量設(shè)有兩向量 a，b ，假設(shè)向量，假設(shè)向量 c 滿滿足足:);,(si

8、n1babac ) )( (2) c (2) c 垂直于垂直于 a a，b b 所確定的平面，所確定的平面，那么稱向量那么稱向量 c 為為 a 與與 b 的向量的向量積，積，記為記為 a b，即，即 c = a b .因此向量積也稱為叉積因此向量積也稱為叉積.由向量積的定義可知，由向量積的定義可知， a b 的模等于以的模等于以 a、b 為鄰邊的平行四邊形面積為鄰邊的平行四邊形面積.向量積具有以下運算規(guī)律：向量積具有以下運算規(guī)律：;abba );()()(bababa .)(cabacba 由向量積的定義可知由向量積的定義可知:(1) i (1) i j = k j = k ， j k = i

9、 ，ki = j ; (2) 兩個非零向量兩個非零向量 a ，b 相互平行的充分必相互平行的充分必要條件是要條件是 ab = 0. c = abab所以所以 sin (a , b) = 0.當(dāng)當(dāng) a ，b 中至少有一個為零向量時，中至少有一個為零向量時，現(xiàn)實上，現(xiàn)實上， 假設(shè)假設(shè)a / b ，那么那么 ( a , b ) = 0或或 ， 即有即有 , 0),(sin bababa因此因此 a b = 0. 當(dāng)當(dāng) a、b 為非零向量，為非零向量，反之，反之，且且 a b = 0 時，那時，那么么ba sin (a , b) = 0.0,0 ba因因為為 從而斷定從而斷定 (a , b) = 0

10、或或 ，即即 a / b . 我我們規(guī)定零向量與任何向量平行們規(guī)定零向量與任何向量平行. 這樣，兩個向量這樣，兩個向量平行的充要條件是這兩個向量的向量積為平行的充要條件是這兩個向量的向量積為 0 .由此可知由此可知:,0 ii.0 kk,0 jj利用向量積的運算規(guī)律有：利用向量積的運算規(guī)律有：2 .向量積的坐標(biāo)計算式向量積的坐標(biāo)計算式,111kzjyixa 設(shè)設(shè).222kzjyixb ba)()(222111kzjyixkzjyix kizxjiyxiixx 212121k jzyjjyyijxy212121k kzzjkyzikxz212121.)()()(122112211221kyxyx

11、jzxzxizyzy 將上式將上式表示為：表示為： 為了便于記憶，為了便于記憶， 我們借用行列式記號，我們借用行列式記號，.222111zyxzyxkjiba 由于兩個向量由于兩個向量 a，b 平行的充要條件是平行的充要條件是 a b = 0，因此，可將因此，可將 a，b 平行的充要條件表示為平行的充要條件表示為:,01221 zyzy,01221 zxzx.01221 yxyx當(dāng)當(dāng) x2，y2，z2 全不為零時，有全不為零時，有,212121zzyyxx 我們商定相應(yīng)的分我們商定相應(yīng)的分子為零，例如子為零，例如:當(dāng)當(dāng) x2，y2，z2 中出現(xiàn)零時，中出現(xiàn)零時，,021211zzyyx 應(yīng)了解

12、為應(yīng)了解為:., 021211zzyyx ba211112 kji.35kji 由公式得由公式得解解,2 kjia 設(shè)設(shè)例例 4,kjib .ba 求求 求以求以 A(2, 2 , 0)，B(1, 0, 1 )，C (1, 1, 2 )為頂點的為頂點的 ABC 的面積的面積.例例 5 5解解 由向量積的定義可知由向量積的定義可知 ABC 的面積的面積.21ACABS ，因因為為 1,2,3 AB ,2,3,1 AC ACAB231123 kji,75kji 故故 ABC 的面積的面積.325)7(512121222 ACABS 假設(shè)假設(shè) a b = c，那么那么 c 同時垂直于同時垂直于a 和和 b ，例例 6 6 求同時垂直于向量求同時垂直于向量 和和 3,5,4 a .1,2,2 cb的的單單位位向向量量解解由向量積的定義可知，由向量積的定義可知，bac 122354kji ,22kji 因此，與因此，與 ca b 平行的單位向量應(yīng)有兩個：平行的單位向