1、極限運算法則極限運算法則證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由無窮小運算法則由無窮小運算法則,得得*lim( ),lim ( ) ,xxf xAg xB定定若若理理5 5則則*lim ( )( )lim( )( );xxf xg xf xg xAB1（ ）*lim ( )( )lim( ) lim( );xxxf xg xf xg xA B2（ ）*lim( )( )lim ( )lim( )lim.( )xxxxf xf xAg xBg xg xB30（ ）時時，)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf A

2、BBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB0.)3( 成立注注此定理對于數(shù)列同樣成立此定理對于數(shù)列同樣成立此定理證明的基本原則：此定理證明的基本原則：)()()(limxAxfAxf (1),(2)可推廣到任意有限個具有極限可推廣到任意有限個具有極限 的函數(shù)的函數(shù) (2)有兩個重要的推論有兩個重要的推論推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論推論2 2.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)

3、數(shù)而而存存在在如如果果定理的條件：定理的條件：)(lim),(limxgxf存在存在商的情形還須加上分母的極限不為商的情形還須加上分母的極限不為0定理簡言之即是：和、差、積、商的極限定理簡言之即是：和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商等于極限的和、差、積、商定理中極限號下面沒有指明極限過程，是指對定理中極限號下面沒有指明極限過程，是指對任何一個過程都成立任何一個過程都成立lim-xxx21123例例 求求（）解解 limxxxx2212527例例 求求解解 lim-xxx2123（）(lim )limxxxx21123lim()lim()limxxxxx211123 6limxxxx2

4、21257所所以以lim()xx21780因因為為分分母母的的極極限限lim()lim()xxxxx21212574182limxxxx2143332例例 求求解解 xxxx232143即即是是時時的的無無窮窮小小，lim()xxx2320因因為為分分母母的的極極限限limxxxx213243lim()lim()xxxxx21132430043由由無無窮窮小小與與無無窮窮大大的的倒倒數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系，limxxxx214332得得到到limxxxx321142例例 求求limxxxx32112解解 x 1當當時時，此此分分式式的的分分母母與與分分子子的的極極限限都都為為零零，.因因而而不不能能直直

5、接接運運用用商商的的極極限限運運算算法法則則,xx11但但當當時時（）.可可通通過過因因式式分分解解消消去去零零因因子子，求求出出極極限限()()lim()()xxxxxx211112limxxxx2112lim()lim()xxxxx21112313例5 求xxx11lim0 解解xxx11lim0 ) )型型0 00 0( (（分子有理化）（分子有理化）)11()11)(11(lim0 xxxxx)11(1)1(lim0 xxxx111lim0 xx.21 例6 求3662lim3 xxx解解) )型型0 00 0( (（分母有理化）（分母有理化）3662lim3 xxx)36)(36()

6、36)(62(lim3 xxxxx9)6()36)(62(lim3 xxxx)36(2lim3 xx.12limxxxxxx3222258324例例 求求解解 limxxxxxx322225324limxxxxxx223252324 20limxxxx2322721例例 求求解解 limxxxx232221limxxxxx3312112002x由由此此可可見見，對對于于的的極極限限，分分子子、分分母母均均為為型型的的多多項項式式，則則可可用用它它們們的的最最高高次次冪冪同同除除分分子子與與分分母母，.以以分分出出無無窮窮小小，然然后后再再求求極極限限對對于于的的極極限限，我我們們可可以以得得出

7、出如如型型下下結(jié)結(jié)論論：limmmmnnxna xa xab xb xb101101 ,.amnbmnabmn0000000當當，當當，當當利利用用這這個個結(jié)結(jié)論論今今后后對對于于這這種種極極限限我我們們可可以以直直接接寫寫結(jié)結(jié)果果，lim,xxxxx2223523213如如：limxxxxx34357041.x 同同時時也也必必須須注注意意到到它它的的極極限限過過程程只只能能是是 ()lim()()nnnn1 352121 21例例9 9 lim()xxxx222142例例10 10 計計算算 解解()lim()()xnnn1 352121 21()limxnn22141limnnnn222141.14 解解這這是是一一個個型型極極限限，.不不能能直直接接利利用用差差的的極極限限運運算算法法則則.采采用用先先通通分分再再利利用用前前面面介介紹紹的的求求極極限限方方法法lim()xxxx222142limxxxx22224()()lim()()xxxxx22122.34221212lim1.111 1xxxx 21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx3113lim().11xxx求例例1123311131 3lim()lim111x