1、第二章推理與證明教材分析與教學(xué)建議廣州市黃埔區(qū)教育局教研室肖凌戇“推理與證明”是新課標(biāo)新增內(nèi)容（選修1-2第二章，選修2-2第二章），主要包括合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法三個部分（其中數(shù)學(xué)歸納法文科數(shù)學(xué)不作要求）“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式本章內(nèi)容是各知識模塊中常用推理方法和論證方法的總結(jié)，推理方法與證明方法是從思維活動中抽象出來的，是由數(shù)學(xué)思維過程凝縮而成的，是高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位和作用一、課標(biāo)要求1合情推理與演繹推理（1）結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比

2、進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用（2）結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理（3）通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異2直接證明與間接證明（1）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點（2）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點3數(shù)學(xué)歸納法（文科不做要求）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題二、課時安排1本章理科教學(xué)時間約需8課時，具體分配如下：合情推理與演繹推

3、理約2課時直接證明與間接證明約2課時數(shù)學(xué)歸納法約2課時小結(jié)與復(fù)習(xí)約2課時2本章文科教學(xué)時間約需10課時，具體分配如下合情推理與演繹推理約4課時直接證明與間接證明約4課時小結(jié)與復(fù)習(xí)約2課時三、教材分析與教學(xué)建議本章結(jié)合生活實例和學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，介紹兩種基本的推理-合情推理與演繹推理、兩類基本的證明-直接證明與間接證明、一種特殊的方法-數(shù)學(xué)歸納法本章的內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)思維方法的范疇，把過去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的思維方法，以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來，使學(xué)生更加明確這些方法，并能有意識地使用它們，以培養(yǎng)言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣（一）合情推理與演繹推理1教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：了解合情推理的含義，能

4、利用歸納和類比等進行簡單的推理；了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進行一些簡單推理教學(xué)難點：用歸納和類比進行推理，做出猜想；用“三段論”證明問題2教材分析合情推理和演繹推理是數(shù)學(xué)推理的兩種基本推理形式（1）“合情推理”是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的亮點之一從解放后首次制定（1952年）中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱開始，關(guān)于數(shù)學(xué)能力主要以三大能力為具體內(nèi)容；1978年增加了“培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力”，而對核心邏輯思維能力中推理的理解，僅局限在演繹和歸納兩個方面，并且不論是教材的呈現(xiàn)方式，還是教師的教學(xué)、考試都是以演繹推理和嚴格的證明為主，歸納推理沒有引起足夠的重視，類比推理更難尋其蹤影2001年7月全日

5、制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）中，提出讓“學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點”合情推理首次進入國家綱領(lǐng)性文件，這標(biāo)志著我國數(shù)學(xué)教育觀念的一次轉(zhuǎn)變，標(biāo)志著合情推理得到了應(yīng)有的重視2003年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）中，強調(diào)在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論的作用，而且在教材中專門設(shè)置了合情推理的內(nèi)容（2）歸納推理和類比推理是合情推理的兩種常用的思維方法歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理由于歸納推理是由部分到整

6、體、由個別到一般，所以結(jié)論不一定可靠，只能算是一種猜想類比推理是由兩類對象具有某些類似特性和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理其思維過程是從特殊到特殊，類比的基礎(chǔ)是事物之間的相似性或某種特殊性由于類比推理是由特殊到特殊的推理，因此結(jié)論不一定可靠，只能算是一種猜想合情推理具有兩大功能：一是探索一般結(jié)論，二是發(fā)現(xiàn)解題思路M是P,S是MAS是P（3）演繹推理是由一般到特殊的推理，“三段論”是演繹推理的一般模式三段論由三部分構(gòu)成：（兩個前提，一個結(jié)論）大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷三段論可用右邊的格式來表示.用集合觀點就

7、是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的子集，則S中所有元素都具有性質(zhì)P.演繹推理只要前提正確，推理的形式正確，那么推理所得結(jié)論就一定是正確的但錯誤的前提會導(dǎo)致錯誤的結(jié)論.4）合情推理與演繹推理的聯(lián)系與差異：從推理形式和推理所得結(jié)論的正確性上講，二者有差異.合情推理是根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，是由部分到整體、由個別到一般、由特殊到特殊的推理，合情推理作出的結(jié)論未必可靠，有待于進一步證明或否定.演繹推理是由一般到特殊的推理，只要前提正確，推理的形式正確，那么推理所得結(jié)論就一定是正確的.正如波利亞所說：“論證推理（即演繹推理）是可靠的、無

8、可置疑的和終決的.合情推理是冒險的、有爭議的和暫時的.”從二者在認識事物的過程中所發(fā)揮的作用的角度上講，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的演繹推理回答如何證明定理或命題的問題，是“論證”的手段，而合情推理回答如何發(fā)現(xiàn)定理或命題的問題，是發(fā)現(xiàn)的工具合情推理可以為演繹推理提供方向和思路，演繹推理可以驗證合情推理的結(jié)論的正確性合情推理和演繹推理是數(shù)學(xué)推理的兩種基本推理形式許多重要的科學(xué)結(jié)論（包括數(shù)學(xué)的定理、法則、公式等）的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對事物的觀察、比較、歸納、類比等，即通過合情推理提出猜想，然后再通過演繹推理證明猜想正確或錯誤對于

9、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，既要學(xué)會證明，也要學(xué)會猜想3教學(xué)建議（1）要注意結(jié)合實際例子，使學(xué)生了解合情推理的含義；（2）要通過學(xué)生學(xué)過的簡單的數(shù)學(xué)例子，讓學(xué)生掌握歸納推理和類比推理的基本方法；（3）要通過數(shù)學(xué)史事，使學(xué)生認識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；（4）要通過學(xué)生學(xué)過的簡單的數(shù)學(xué)例子，讓學(xué)生掌握演繹推理的基本模式“三段論”推理模式；（5）要通過反例，讓學(xué)生理解演繹推理的前提與結(jié)論之間的蘊涵關(guān)系；（6）要通過具體實例，幫助學(xué)生了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差異，讓學(xué)生既學(xué)會猜想，又學(xué)會證明（二）直接證明與間接證明1教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合

10、法，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解分析法、綜合法和反證法的思考過程、特點教學(xué)難點：根據(jù)問題的特點,結(jié)合分析法、綜合法和反證法的思考過程、特點,選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法或使用不同的證明方法解決同一問題.2教材分析數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯推理的方式加以證明才能得到確認，這是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的顯著特點.直接證明與間接證明是兩類基本的數(shù)學(xué)證明方法（1）綜合法的思維特征是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法（2）分析法的思維特征是：執(zhí)果索因即從結(jié)論入手進行反推，看看需要知道什么，最后推出一個已證的命題（定義、公理、定理、公式等）或已知條件，從而得到證

11、明很多演繹推理的證明題都是采用這種方法進行思考的，有時也將綜合法和分析法結(jié)合起來使用（3）反證法是間接證明的一種基本方法，任何一個問題都有正反兩面，當(dāng)直接證明有困難時，便可以考慮使用反證法反證法證題的步驟可歸結(jié)為：反設(shè)歸謬結(jié)論3教學(xué)建議（1）先講綜合法，后講分析法綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問題時常用的思維方式綜合法是學(xué)生使用較多、較為熟悉的一種方法分析法雖然在過去也經(jīng)常使用，但學(xué)生在理解上顯然不如綜合法那樣容易（2）要突破分析法這一教學(xué)難點分析法的主要困難有兩點：一是學(xué)生對這種證明方法的思考過程不理解；二是學(xué)生對這種證明方法的表達方式不習(xí)慣突破難點的方法有兩

12、點：一是結(jié)合具體的數(shù)學(xué)實例，讓學(xué)生感受分析法證明的可靠性，以及“要證只需證”這種表達的必要性；二是將分析法與綜合法對比著進行講解幫助學(xué)生加深對分析法思考過程及特點的理解（3）通過具體的數(shù)學(xué)實例，幫助學(xué)生形成既分析又綜合的思維方式，學(xué)會將分析法與綜合法結(jié)合起來運用結(jié)合方式有兩種：一是先用分析法探尋證題思路，再用綜合法有條理地表述證明過程；二是將分析法與綜合法結(jié)合起來，證明某些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題（4）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，幫助學(xué)生了解間接證明的一種基本方法反證法，了解反證法的思考過程、特點在必修課的教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)使用反證法證明了一些較簡單的數(shù)學(xué)命題，對于反證法學(xué)生并不是完全陌生的本次教學(xué)應(yīng)盡量利

13、用學(xué)生已有的經(jīng)驗，進一步加深對反證法的思考過程、特點的了解一是要提煉用反證法證題的基本模式反證法證題的步驟可歸結(jié)為：反設(shè)歸謬結(jié)論其中，正確反設(shè)是用好反證法的前提，推出矛盾（歸謬）是用好反證法的關(guān)鍵反設(shè)是否正確，與邏輯知識密切相關(guān)，因此，在反證法教學(xué)前，宜先復(fù)習(xí)常用邏輯用語中的相關(guān)知識二是總結(jié)反證法的適用范圍反證法主要適用于以下兩種情形： 要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰； 如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形（三）數(shù)學(xué)歸納法1教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握數(shù)學(xué)歸納法的基

14、本步驟，運用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.教學(xué)難點：（1）對數(shù)學(xué)歸納法基本原理的理解；（2）在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系2教材分析本節(jié)分為兩部分：第一部分主要內(nèi)容是借助具體實例歸納出數(shù)學(xué)歸納法的基本原理、步驟；第二部分的重點是用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，教科書安排了兩個例題，通過證明數(shù)學(xué)命題鞏固對數(shù)學(xué)歸納法的認識數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的直接證明的方法.在證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時，數(shù)學(xué)歸納法往往是非常有用的研究工具，它通過有限個步驟的推理，證明n取無限多個正整數(shù)的情形用數(shù)學(xué)歸納法證題分為兩大步驟：第一步（歸納奠基）

15、：證明當(dāng)nn時命題成立，其中n是命題成立的初始值，不一定00是自然數(shù)1這一步是論證的基本保證，是遞推的基礎(chǔ)，必須保證其真實性第二步（歸納遞推）：假設(shè)n二k（k>n,keN*）時命題成立，證明n二k+1時命題也0成立.這一步是命題具有后續(xù)傳遞性的保證，是遞推的依據(jù).由knk+1時必須使用歸納假設(shè)，否則不算數(shù)學(xué)歸納法只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n開始的所有正整數(shù)n都成立.0數(shù)學(xué)歸納法雖然僅限于與正整數(shù)有關(guān)的命題，但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的命題都能使用數(shù)學(xué)歸納法3教學(xué)建議（1）通過遞推數(shù)列求通項問題，引發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的欲望，說明探索新的證明方法的必要性（2）分析“多米諾骨牌”全部倒下的原理遞推思想（3）給出數(shù)學(xué)歸納法的基本原理（4）結(jié)合例題，講解數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟與要求，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法證題中的“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個步驟缺一不可（5）向?qū)W生指明數(shù)學(xué)歸納法的