1、第1818屆數(shù)學(xué)建模競賽題目：基于國民經(jīng)濟建設(shè)、生產(chǎn)、投資等關(guān)系的探討作品類別:類別:A題聲音識別模型的建立與評價B題國民經(jīng)濟建設(shè)、生產(chǎn)、投資等關(guān)系的數(shù)學(xué)建模與分析C題水質(zhì)分析模型參賽隊伍：機械工程學(xué)院參賽隊員:姓名：竇德龍學(xué)號：11204020404O童原鳧Z大摩姓名：潘云峰學(xué)號：11204020218姓名：楊麗霞學(xué)號：11204020431基于國民經(jīng)濟建設(shè)、生產(chǎn)、投資等關(guān)系的探討摘要隨著社會主義市場經(jīng)濟的發(fā)展，中國地位不斷提升，其中自身的國民經(jīng)濟的快速增長，大大提高了全國經(jīng)濟總量。近二十年來，人均收入明顯上升，人民生活水平逐漸提高。因此加大力度對國民經(jīng)濟的發(fā)展調(diào)整，有助于我國實現(xiàn)現(xiàn)代化經(jīng)濟

2、建設(shè)，擴大就業(yè)率和提高人民生活質(zhì)量。本文主要通過對國民經(jīng)濟建設(shè)、生產(chǎn)、投資等關(guān)系的研究分析，確定影響經(jīng)濟重要因素，為未來中國經(jīng)濟的發(fā)展方向提供一定的參考資料。為此我們建立兩個數(shù)學(xué)模型即回歸模型和灰色時間序列模型。對于未來中國GDPCPI、M期指標(biāo)數(shù)據(jù)的分析、預(yù)測和控制，我們首先的問題就是要對這些指標(biāo)數(shù)據(jù)進行具體的分析，了解它們之間的相互關(guān)系、影響。在獲得各個指標(biāo)數(shù)據(jù)方面，我們最終選取了較為權(quán)威準(zhǔn)確的中國統(tǒng)計局網(wǎng)站，年度統(tǒng)計年鑒等發(fā)布機構(gòu)中所需要的指標(biāo)數(shù)據(jù)。并在獲取數(shù)據(jù)后，對其進行了標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換處理，克服了各類數(shù)據(jù)單位不統(tǒng)一、數(shù)量級相差大的問題是分析過程更加直接，簡便。文中對國民經(jīng)濟建設(shè)、生產(chǎn)、投

3、資等關(guān)系的探討所用模型即以上述標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。模型一是基于回歸分析方法的回歸模型， 本文中采用了一元線性回歸分析和多元線性分析。其中一元線性回歸分析是通過Excel軟件進行，首先在Excel中輸入基本數(shù)據(jù)，然后通過Excel作出散點圖， 利用普通最小二乘估計求出回歸方程和相關(guān)系數(shù)， 最后根據(jù)相關(guān)系數(shù)來確定個指標(biāo)間的相關(guān)關(guān)系。多元線性回歸分析是運用Matlab軟件建立回歸方程，找出依賴變量和多個解釋變量的關(guān)系。模型二是基于灰色時間序列的預(yù)測模型。 通過對原始數(shù)據(jù)進行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，從而預(yù)測事物發(fā)展的趨勢狀況。結(jié)合Matlab預(yù)測分析未來幾年經(jīng)濟的發(fā)

4、展情況。關(guān)鍵詞：國民經(jīng)濟回歸分析統(tǒng)計回歸模型灰色預(yù)測時間序列模型I、問題重述隨著社會主義市場經(jīng)濟的發(fā)展， 人民生活水平逐漸提高， 如何調(diào)整國民經(jīng)濟的建設(shè)、 生產(chǎn)、投資等關(guān)系，有助于我國現(xiàn)代化經(jīng)濟建設(shè)、擴大就業(yè)率和提高人民生活質(zhì)量。本文通過對國民經(jīng)濟建設(shè)、生產(chǎn)、投資等進行數(shù)學(xué)建模，為未來中國經(jīng)濟的分析、預(yù)測和控制提供一定的參考資料。n、模型假設(shè)2.1假設(shè)一：影響經(jīng)濟因素是多重的，可以通過生產(chǎn)、投資和GDPM0CPI、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值進行單獨分析。2.2假設(shè)二：所收集的數(shù)據(jù)是相對準(zhǔn)確的，通過多元回歸分析法進行走勢預(yù)測。2.3假設(shè)三：假定在沒有嚴(yán)重突發(fā)事件的影響下，經(jīng)濟穩(wěn)定發(fā)展。III、模型符號符號符

5、號說明x自變量y因變量R相關(guān)系數(shù)隨機誤差X1流通中的現(xiàn)金值M0X2工業(yè)生產(chǎn)總值X3農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值X4國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP?0回歸常數(shù)?i回歸系數(shù)(i=1,2,3,4)隨機誤差n年份數(shù)目；m自變量數(shù)目b回歸系數(shù)的點估計值brit回歸系數(shù)置信區(qū)問r殘差列向量rint區(qū)間矩陣F統(tǒng)計量P與F對應(yīng)的概率,2.、.、八S力左a發(fā)展灰數(shù)u內(nèi)生控制灰數(shù)IV、模型的建立及應(yīng)用1.1模型一：回歸模型1.1.1 .一元線性概述一元線性回歸模型的模型假設(shè)：假設(shè)因變量y的觀察值是自變量x的線性函數(shù)加上隨機誤差則，即y=00+0ix+并假設(shè)隨機誤差e服從正態(tài)分布N(0,/),相互獨立，同方差。經(jīng)過相關(guān)分析后，在直角坐標(biāo)系中將

6、大量數(shù)據(jù)繪制成散點圖，這些點不在一條直線上，但可以從中找到一條合適的直線，使各散點到這條直線的縱向距離之和最小，這條直線就是回歸直線，這條直線的方程叫作直線回歸方程。注意：一元線性回歸方程與函數(shù)的直線方程有區(qū)別，一元線性回歸方程中的自變量X對應(yīng)的是因變量Y的一個取值范圍。1.1.2模型建立及求解利用excel然后通過Excel作出散點圖， 得出普通最小二乘估計求出回歸方程和相關(guān)系數(shù)，最后根據(jù)相關(guān)系數(shù)來確定個指標(biāo)間的相關(guān)關(guān)系。圖4-1圖4-2GDP進出口量99214392371096554218312033251378135822704S31598739553918493711692121631

7、414997426581916686431404517992134090215064S401512201722473104236401519470244160系列1一線性(系列DGDPCPI992144341096554371203324341358224391598784561849374642163144712658104943140455233409025194015125364731045655194705800200000400000600000G GD DP P（億元）*口羽銅GDP與進出口量y=Q.4S25豆+9576.3即=0.9313GDP與CPIy=o.0004x+396.

8、37GDP工業(yè)9921440034109159435811203324743113582254946159378652101849377723021631491311265810110535314045130260340902135240如1508&7473104188470519470199859GDP與工業(yè)生產(chǎn)總值y-0,3895K+3351.4岸=0.9971系列1一線性（系列1）G GD DP P圖4-3GDP農(nóng)業(yè)一9921413B74109655144631203321493213582214870159878181331849371961321631421522265810

9、2465g3140452804434090230777401512369414731044771251947054660LGDP與農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值V=。9+皆12=0,96340200000的0000600000GDP圖4-4系列1一線性（系列1）GDPMO9921414653Il109655156891203321727813582219746159878214681S4937240322163142Y07326531030375JI3140453421934090238246401512446284731045074851947054660GDP與M0V=U.09必+631.9.=0.9973

10、4000030000200001000060000500000200000400000600000G GD DP P圖4-5系列工一線性（系列1）4.1.3模型結(jié)果分析由模型我們可以看出，GD百CPI、M0工業(yè)生產(chǎn)總值、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值、進出口量的相關(guān)系數(shù)分別為0.99、0.9973、0.9971、0.9684、0.9313,相關(guān)系數(shù)均接近1,說明回歸模型的擬合精確程度很高，即自變量對因變量的影響顯著，GD分別與CPI、M0工業(yè)生產(chǎn)總值、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值、進出口量均成簡單相關(guān)。1.2多元線性回歸模型對經(jīng)濟的影響及驗證模型4 .2.1多元線性回歸模型概述因變量的變化受幾個重要因素的影響，需要用兩個或兩個

11、以上的影響因素作為自變量來解釋因變量的變化，這就是多元回歸亦稱多重回歸。當(dāng)多個自變量與因變量之間是線性關(guān)系時，所進行的回歸分析就是多元性回歸。設(shè)y為因變量X1,X2為自變量，并且自變量與因變量之間為線性關(guān)系時，則多元線性回歸模型為：y=B0+B1X1+p2X2+,-,+P4X4+c其中，B。為常數(shù)項，X,X2 X為回歸系數(shù)，B1為x,X2 xEI定時，XI每增加一個單位對y的效應(yīng)，即X1對y的偏回歸系數(shù)；同理02為XI,X23X固定時，X2每增加一個單位對y的效應(yīng)，即，X2對y的偏回歸系數(shù)，等等。如果兩個自變量XI,X2同一個因變量y呈線相關(guān)時，可用二元線性回歸模型描述為：y=00+01X1+

12、02X2+04X4+建立多元性回歸模型時，為了保證回歸模型具有優(yōu)良的解釋能力和預(yù)測效果，應(yīng)首先注意自變量的選擇，其準(zhǔn)則是：(1)自變量對因變量必須有顯著的影響，并呈密切的線性相關(guān)；(2)自變量與因變量之間的線性相關(guān)必須是真實的，而不是形式上的；(3)自變量之彰應(yīng)具有一定的互斥性，即自變量之彰的相關(guān)程度不應(yīng)高于自變量與因變量之因的相關(guān)程度；(4)自變量應(yīng)具有完整的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，其預(yù)測值容易確定。5 .2.2模型建立及求解認(rèn)為與因變量CPI有關(guān)聯(lián)的自變量有GDP工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值、M/，則考慮用最小二乘準(zhǔn)則建立多元回歸線性模型。則有如下線性關(guān)系式2、y=B0+B1X1+22X2+B3X3+B4X4+&am

13、p;,&N(0,)如果對變量y與自變量x1,x2,x3,x4同時作13次觀察，得13組觀察值，采用最小二乘估計求得回歸方程?=?0+?1X1+?2X2+?3X3+?4X4建立以CPI與流通中的現(xiàn)金M0指標(biāo)X1、工業(yè)生產(chǎn)總值指標(biāo)X2、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值指標(biāo)X3、國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPHf標(biāo)X4之間的散點圖， 如以下四個圖形可以看出這些點大致分布在一條直線旁邊，因此有較好的線性關(guān)系，可以采用線性回歸。圖4-6CPI與各指標(biāo)間的散點圖利用Matlab統(tǒng)計工具箱得到初步的回歸方程下面表格為對初步回歸模型的計算結(jié)果對初步回歸牌的計算結(jié)果，r回歸系數(shù)二回歸系數(shù)的估計值回歸系數(shù)的置信區(qū)間P042S.73840

14、5.3291446.2470P1-0.00534).0003-0.0022P20.0007-0.00040.001863-0.0001-0.00150.0013P40.00060.00000.0012片二0.9974?-773.3364pFi-a(4,8)=3.8379輸入命令finv(0.95,4,8)計算,則認(rèn)為因變量y與自變量x1,x2,x3,x4之間有顯著地有線性相關(guān)關(guān)系；P值檢驗：pa=0.05(a為預(yù)定顯著水平)說明因變量與自變量之間顯著地有線性相關(guān)關(guān)系；相關(guān)系數(shù)R的評價： 相關(guān)系數(shù)R絕對值在0.81范圍內(nèi)， 可判斷回歸自變量與因變量具有較強的線性相關(guān)性；相關(guān)系數(shù)十分接近1,說明回

15、歸模型的擬合精確程度很高。以上三種統(tǒng)計推斷方法推斷結(jié)果是一致的，說明因變量y與自變量之間顯著地有線性相關(guān)關(guān)系，所得線性回歸模型可用。4.2.3模型的分析殘差分析它是線性回歸模型中誤差&的估計值。&N(0,d)即有零均值和常值方差，利用殘差這種特性反過來考察原模型的合理性就是殘差分析的基本思想。利用Matlab進行殘差分析則是通過殘差圖或時許殘差圖。殘差圖是指以殘差為縱坐標(biāo)，以其指定的量為橫坐標(biāo)的散點圖。以觀測時間為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)所得到的散點圖為時序殘差圖，畫出時序殘差圖的Matlab語句為rcoplot(r,rint)見下圖回2-TFileEditViewInsertTo

16、olsDesktopWindowHelpFileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelp口片IH昌爭口圖口圖4-7時序殘差圖從圖中，可以清楚看到殘差大部分分布在零點附近，因此還是比較好的516尋強ResidualCaseOrderPlot4.3灰色時間序列預(yù)測模型4.3.1灰色預(yù)測概念灰色預(yù)測是一種對含有不確定因素的系統(tǒng)進行預(yù)測的方法。 灰色預(yù)測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度，即進行關(guān)聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測事物未來發(fā)展趨勢的狀況。其用等時距觀測到的反應(yīng)預(yù)測對象

17、特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時間。4.3.2模型建立(GM(1,1)模型)令x(0)=(x(1),x，x(n)作一次累加生成，kx(k)=Ex(m)消除數(shù)據(jù)的隨機性和波動性m=1有x二(x，x，x(n)=(x，x+x，x(n-1)+x(n)x可建立白化方程：dx/dt+ax=u即gm(1,1).該方程的解為：x(k+1)=(x-u/a)e+u/a4.3.3模型的求解用MATLAB作灰色時間序列預(yù)測GM(1,1)模型，其中選取GDP和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值進行預(yù)測，a aFigure1Figure1。|回|Y&J|Y&JFileEditV

18、iewInsertFileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelpToolsDesktopWindowHelp G?HsTQi，ag果丁口園萬口109e166432104-8GDP擬合效果圖0246B101214161&xIQ-10H HFigure1Figure1,回4-9工業(yè)生產(chǎn)總值擬效果合圖4.3.4模型分析及說明從擬合圖可以看出，原序列和預(yù)測模型擬合度很高，用此模型進一步對2013-2016這四年進行預(yù)測。紅色三角形代表的是200A2012的已知量，藍(lán)色星號為預(yù)測值。4.4.4預(yù)測結(jié)果年份GDF工業(yè)201361922524307320147168

19、2627942820158298113212202016960604369262V、模型評價及優(yōu)缺點分析5.1回歸模型5.1.1優(yōu)點分析1、回歸分析法在分析多因素模型時，更加簡單和方便；2、運用回歸模型，只要采用的模型和數(shù)據(jù)相同，通過標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計方法可以計算出唯一的結(jié)果，但在圖和表的形式中，數(shù)據(jù)之間關(guān)系的解釋往往因人而異，不同11分析者畫出的擬合曲線很可能也是不一樣的；3、回歸分析可以準(zhǔn)確地計量各個因素之間的相關(guān)程度與回歸擬合度的高低，提高預(yù)測方程式的效果；在回歸分析法時，由于實際一個變量僅受單個因素的影響的情況極少，要注意模式的適合范圍，所以一元回歸分析法適用確實存在一個對因變量影響作用明顯高

20、于其他因素的變量是使用。多元回歸分析法比較適用于實際經(jīng)濟問題，受多因素綜合影響時使用。5.1.2缺點分析：1.有時候在回歸分析中，選用何種因子和該因子采用何種表達(dá)式只是一種推測，這影響了用電因子的多樣性和某些因子的不可測性，使得回歸分析在某些情況下受到限制。2.由于條件限制，所收集到的數(shù)據(jù)太少，一些數(shù)據(jù)也可能不太精確，可能會對所預(yù)測的結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。5.1.3模型合理性分析雖然模型是完全客觀準(zhǔn)確的，但在應(yīng)用于實際問題上也會存在一些可行性問題。在實際問題中，各因素對GDPCPI等的貢獻權(quán)重往往不是一成不變，而應(yīng)該是時變的值，同時，由于收集到的數(shù)據(jù)較少，定量分析上會存在一定的片面性。5.2灰色

21、時間序列預(yù)測模型5.2.1優(yōu)點分析1.根據(jù)時間序列，易于預(yù)測未來近期的數(shù)據(jù)；2.時間序列分析預(yù)測法是根據(jù)市場過去的變化趨勢預(yù)測未來的發(fā)展，它的前提是假定事物的過去會同樣延續(xù)到未來。事物的現(xiàn)實是歷史發(fā)展的結(jié)果，而事物的未來又是現(xiàn)實的延伸，事物的過去和未來是有聯(lián)系的。經(jīng)濟預(yù)測的時間序列分析法，正是根據(jù)客觀事物發(fā)展的這種連續(xù)規(guī)律性，運用過去的歷史數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計分析，進一步推測未來經(jīng)濟的發(fā)展趨勢。經(jīng)濟預(yù)測中，事物的過去會同樣延續(xù)到未來，其意思是說，未來經(jīng)濟不會發(fā)生突然跳躍式變化，而是漸進變化的。3 .2.2缺點分析1.時間序列預(yù)測法因突出時間序列暫不考慮外界因素影響，因而存在著預(yù)測誤差的缺陷，當(dāng)遇到外

22、界發(fā)生較大變化，往往會有較大偏差，時間序列預(yù)測法對于中短期預(yù)測的效果要比長期預(yù)測的效果好。因為客觀事物，尤其是經(jīng)濟現(xiàn)象，在一個較長時間內(nèi)發(fā)生外界因素變化的可能性加大，它們對市場經(jīng)濟現(xiàn)象必定要產(chǎn)生重大影響。如果出現(xiàn)這種情況，進行預(yù)測時，只考慮時間因素不考慮外界因素對預(yù)測對象的影響，其預(yù)測結(jié)果就會與實際狀況嚴(yán)重不符。2.這種分析假設(shè)過去的模式在將來仍能夠繼續(xù)存在。然而分析中考慮到的變量對分析結(jié)果也會發(fā)生變化，并且分析師無法預(yù)測到規(guī)則事件的發(fā)生。VI模型的改進和推廣本文僅針對部分影響經(jīng)濟增長的因素進行討論，但在實際經(jīng)濟發(fā)展過程中，影響經(jīng)濟發(fā)展存在不確定性因素的影響。7.1模型的改進引入更多的自變量，建立多因變量和多影響因素的模型。分析其影響的大小，能夠更加準(zhǔn)確的預(yù)測。7.2模型的推廣本文通過對影響經(jīng)濟建設(shè)、生產(chǎn)和投資等關(guān)系分析建立回歸模型和灰色時間1213參考文獻：1李志林，數(shù)學(xué)建模及其典型案例分析，北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2006;2章紹輝，數(shù)學(xué)建模，北京：科學(xué)出版社，2010;3劉振航