1、第三節(jié)第三節(jié) 命題公式和真值函數(shù)命題公式和真值函數(shù) v3.1 命題公式命題公式v1“如果王進(jìn)是犯罪嫌疑人，那么他有犯罪動(dòng)機(jī)和犯罪時(shí)間。”v2“如果一個(gè)公民是完全行為能力人，那么他年滿十八周歲并且具有完全的行為能力?！眝它們具有相同的邏輯形式v“p ( q r )”命題公式從邏輯的角度看v“p ( q r )”是用命題符號(hào)p、q、r，邏輯聯(lián)結(jié)詞符號(hào)和，以及一對(duì)括號(hào)構(gòu)造而成的。v構(gòu)造命題公式的符號(hào)是人為創(chuàng)造出來(lái)的一種特殊的語(yǔ)言符號(hào)。人們創(chuàng)造這些符號(hào)是為了表達(dá)復(fù)合命題的邏輯形式以滿足邏輯研究的需要。v我們把這樣的語(yǔ)言叫做形式語(yǔ)言。構(gòu)造命題公式的初始符號(hào)：v1、命題變?cè)簆，q，r，v2、命題聯(lián)結(jié)詞：

2、，v3、輔助符號(hào)： （， ）v說(shuō)明：第1類符號(hào)是邏輯變?cè)?，是以真值為變域的變?cè)?。v第2類符號(hào)是邏輯常元，它們有確定的邏輯涵義因而能夠表達(dá)某種確定的真假聯(lián)系。v第3類符號(hào)則是為避免歧義以構(gòu)造合式命題公式所需要的輔助符號(hào)。合式公式的形成規(guī)則：v1.所有命題變?cè)敲}公式；v2.如果是命題公式，那么是命題公式；v3.如果、是命題公式，那么（），（）、（）和（）也是命題公式；v4.只有符合以上3條的才是命題公式。v通過(guò)有限次使用以上規(guī)則得到公式稱為合式公式。v第1條規(guī)則規(guī)定任意一個(gè)命題變?cè)枪?，顯然這是結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的命題公式，因此被稱作原子公式。v第2條規(guī)定在一個(gè)命題公式左邊添加聯(lián)結(jié)詞“”就得到一個(gè)新

3、的命題公式。這條規(guī)則規(guī)定“”只能作用于一個(gè)命題公式，“”因此被稱作一元聯(lián)結(jié)詞。v第3條規(guī)定，任意兩個(gè)命題公式用聯(lián)結(jié)詞、和聯(lián)結(jié)起來(lái)，并在兩頭分別加上括號(hào)就形成一個(gè)新的公式。這四個(gè)聯(lián)結(jié)詞也因?yàn)樗?lián)結(jié)的必須是兩個(gè)命題公式而被稱作二元聯(lián)結(jié)詞。五種基本的復(fù)合命題v“（pq）”表達(dá)聯(lián)言命題，稱其為合取式v“（pq）”表達(dá)選言命題，稱其為析取式v“（pq）”表達(dá)條件命題，稱其為蘊(yùn)涵式v“（pq）”表達(dá)等值命題，稱其為等值式v“p”表達(dá)負(fù)命題，稱其為否定式。合式公式都可以用樹形結(jié)構(gòu)來(lái)表示例例( (p q ) r ) ( ( p r ) ( q s ) )v我們把一個(gè)命題公式構(gòu)造過(guò)程中遇到的每一個(gè)公式叫做該命題

4、公式的子公式。v根據(jù)形成規(guī)則可以判定任一符號(hào)串是不是命題公式。例v pqr，pq，pq r括號(hào)的作用v在命題公式的構(gòu)造中正確添加括號(hào)是非常重要的?？慈缦聨讉€(gè)命題公式：v（pq）（rs）vp（q（rs）v（pq）r） s具體命題是命題公式的例示v從邏輯的角度看，具體命題只是命題公式的例示，即命題公式的一個(gè)特例。v例“（pq）r” ：v 1、如果加溫到了一定限度并且加壓到一定限度，那么空氣可以液化。v 2、如果考試合格并且體驗(yàn)合格，那么就可以上大學(xué)。3.2 命題公式與真值函數(shù)命題公式與真值函數(shù)v命題公式的真假是由命題變?cè)恼婕俅_定的。例 pqv如果p 、q的真假不確定，則pq的真假也不確定。v如果

5、p真q假，則pq可確定為假。v如果p真q真，則pq可確定為真。v命題公式就相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)式，公式的真值由變?cè)恼嬷滴ㄒ淮_定。v命題公式是一個(gè)以真、假為定義域，以真、假為值域的函數(shù)，因此稱作真值函項(xiàng)。v問題：v我們可以構(gòu)造出多少個(gè)命題公式？v我們可以構(gòu)造出多少個(gè)真值函項(xiàng)？為什么我們只能構(gòu)造出有限多個(gè)真值函項(xiàng)？v1、有限多個(gè)命題變?cè)恼婕俳M合是有限的。vn個(gè)變?cè)恼婕偃≈登闆r有2n種。v2、相對(duì)于變?cè)拿恳唤M取值，一個(gè)真值函項(xiàng)的值或者是真的或者是假的。v例v p f1(p) f2(p) f3(p) f4(p)v T T T F Fv F T F T F真值函項(xiàng)的種類v1、恒真式（重言式）。v2、恒

6、假式（矛盾式）。v3、協(xié)調(diào)式（可滿足式）。v所有的有效推理形式都表現(xiàn)為一個(gè)重言式（邏輯真理）。第四節(jié)第四節(jié) 命題公式間的邏輯等值關(guān)系命題公式間的邏輯等值關(guān)系v給定有限個(gè)命題變?cè)?，可以?gòu)造出無(wú)限多個(gè)命題公式。例如，給定p和q，可以無(wú)限多次運(yùn)用聯(lián)結(jié)詞和括號(hào)，構(gòu)造出無(wú)限多個(gè)命題公式。vp和q只能構(gòu)造出有限多個(gè)真值函項(xiàng)。v這意味著實(shí)際上總有若干個(gè)不同的命題公式相當(dāng)于同一個(gè)真值函項(xiàng)。何謂邏輯等值？v一些命題公式盡管形式各不相同，由于它們表示的是同一個(gè)真值函項(xiàng)，無(wú)論構(gòu)成公式的變?cè)∈裁礃拥闹?，這些公式要真都是真的，要假都是假的。由于這些表達(dá)同一真值函項(xiàng)的公式在任何情況下都具有相同的邏輯值，因此我們稱這些公

7、式是邏輯等值的公式。v兩個(gè)命題公式是邏輯等值的，那么它們一定有共同的命題變?cè)?，并且無(wú)論構(gòu)成公式的變?cè)∈裁粗担瑑蓚€(gè)公式要真都真，要假都假。例v命題公式“pq”與“（pq）”是邏輯等值的。如何判定兩個(gè)命題公式是否等值？v用真值表判定任意兩個(gè)有共同變?cè)墓绞欠襁壿嫷戎怠例1 判定命題公式v“(pq)r”和“p(qr)”是否邏輯等值邏輯等值和重言式有何聯(lián)系？v公式“ ”表示 和 邏輯等值。v兩個(gè)公式邏輯等值當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)公式的等值式是重言式。例v（pq）（pq）和v（pq） （pq）4.2 幾個(gè)重要的重言等值式幾個(gè)重要的重言等值式1.交換律交換律 (pq) (qp)、(pq) (qp)2.結(jié)合律

8、結(jié)合律 (pq)r) (p(qr)， v (pq)r) (p(qr)3.德摩根律德摩根律 (pq) (pq)， v (pq) (pq)4. 分配律分配律 (p (q r) (p q) (p r)， (p (q r) (p q) (p r)v5.實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵 (pq) (pq)v6.假言易位假言易位 (pq) (q p)v7.移出律移出律 (pq)r) (p(qr)v8.實(shí)質(zhì)等值實(shí)質(zhì)等值 (pq) (pq) (qp)v9.雙否律雙否律 p pv10.重言律重言律 p (pp)v p (pp)4.3 命題聯(lián)結(jié)詞的相互定義命題聯(lián)結(jié)詞的相互定義v例v（1）“如果李司是犯罪嫌疑人，那么李司有犯罪動(dòng)機(jī)?！眝（2）“或者李司不是犯罪嫌疑人，或者李司有犯罪動(dòng)機(jī)?！眝（3）“并非李司是犯罪嫌疑人并且李司沒有犯罪動(dòng)機(jī)?！眝(pq) (pq) (pq)v這三個(gè)命題是邏輯等的，它們描述的是同一個(gè)事件。如果描述符合事實(shí)，三個(gè)命題都是真的，如果不符合事實(shí)，則三個(gè)命題都假。因此，在人們?nèi)粘＝煌约霸谕评碇?，這三個(gè)命題可以相互進(jìn)行替換。v兩個(gè)命題公式邏輯等值意味著它們表達(dá)同一個(gè)真值函項(xiàng)，而兩個(gè)具體命題邏輯等值意味著兩個(gè)命題描述的是同一個(gè)事件，因此它們都可以相互交替使用。v我們?cè)诒磉_(dá)時(shí)可