1、 數(shù)理金融理論與模型習題解答第一章 金融市場第一章 練習題 解答1. 已知一家上市公司在下一年度分紅為2元/股，該公司業(yè)績年均增長率為5%，并且紅利分配以同樣的增長率增加，并且假設每年的貼現(xiàn)率都為10%，那么這家上市公司現(xiàn)在的股票內(nèi)在價值是多少解答：2. 下表給出了“2005年記賬式(四期)國債”的基本信息，假設2010年3月19日觀察到的到期收益率曲線為水平直線4%，則問這一天“2005年記賬式(四期)國債”的價值應該是多少債券名稱2005年記賬式(四期)國債債券簡稱05國債(4)債券代碼010504發(fā)行額(億元)發(fā)行價(元)發(fā)行方式利率招標期限(年)發(fā)行票面利率(%)上市場所上海證券交易所

2、計息日2005-05-15到期日2025-05-15發(fā)行起始日2005-05-15發(fā)行截止日2005-05-19發(fā)行單位財政部還本付息方式半年付息到期收益率(%)剩余期限(年)發(fā)行對象在證券登記公司開立股票和基金賬戶,在國債登記公司開立一級債券賬戶的各類投資者。解答：3. 請簡要敘述利用復制技術(shù)與無套利原理對金融衍生品定價的原理與步驟，認真體會為什么由這個方法定出來的價格稱為無套利價格。并仔細回顧本章中如何利用復制技術(shù)和無套利原理進行衍生品定價，以及推導期權(quán)的價格性質(zhì)。解答： 見第二節(jié)內(nèi)容4. 請利用構(gòu)造股票和儲蓄存款組合復制遠期合約的方式，以及無套利原理證明股票遠期的定價公式，請分別就股票不

3、支付紅利與支付紅利的情形構(gòu)造組合，并給出無套利定價公式。解答：Case 1：無紅利支付情形：組合一：一個遠期合約多頭；組合二：一份不支付紅利的標的股票多頭和存款（即借款）；記兩個組合的價值函數(shù)分別為和，則顯然兩個組合在時刻的價值為，即時刻的價值可以完全復制。由無套利原理可知對任意，都有，即：由于簽訂遠期合約不需要支付任何成本，當時也沒有任何收入，所以這個合約在當時的價值應該等于零，也就是說對于任意，都有，從而可以得到遠期執(zhí)行價格的定價公式為：Case 2：支付連續(xù)紅利q情形：組合一：一個遠期合約多頭；組合二：份支付紅利的標的股票多頭和存款（即借款）；記兩個組合的價值函數(shù)分別為和，則顯然組合一在

4、時刻的價值為。由于股息連續(xù)累計，t時刻的1份股票在T時刻的價值為，從而組合二在時刻的價值為，即時刻的價值可以完全復制。由無套利原理可知對任意，都有，即：由于簽訂遠期合約不需要支付任何成本，當時也沒有任何收入，所以這個合約在當時的價值應該等于零，也就是說對于任意，都有，從而可以得到遠期執(zhí)行價格的定價公式為：5. 假設投資者在2010年3月12日簽訂一份股票遠期合約，合約的到期日為2010年9月12日，標的股票當日價格為5元每股，若一年期銀行存款利率為單利3%，則這份合約的執(zhí)行價格應該是多少若到2010年7月12日股票價格漲到了6元，而一年期銀行存款利率仍然為3%，那么在這一天該遠期合約多頭的價值

5、是多少解答：2010年3月12日： 對應 t=0，此時S0=5，r=3%，T=，從而這份遠期合約的執(zhí)行價格應該是：2010年7月12日：對應 t=1/12，此時St=6，r=3%，T-t=5/12，從而次遠期合約多頭價值為：6. 假設2010年6月17日的半年期與一年期無風險利率分別為單利%與3%，則這一天確定的36遠期單利是多少解答：以連續(xù)復利表示的兩個即期利率為：則連續(xù)復利表示的36遠期利率是：則36遠期單利是：7. 請利用復制技術(shù)和無套利原理證明歐式看漲期權(quán)與歐式看跌期權(quán)價格關(guān)于執(zhí)行價格分別呈現(xiàn)單調(diào)遞減與單調(diào)遞增的關(guān)系。解答：只證明看漲期權(quán)：不妨設組合一：一個執(zhí)行價格為看漲期權(quán)多頭；組合

6、二：一個執(zhí)行價格為看漲期權(quán)多頭；則，。分一下三種情形：，和分別討論，均可得：即 ，從而 ，即8. H公司和L公司都需要從銀行B借入期限為3年，本金為1000萬人民幣的貸款，銀行B向兩家公司提供的貸款利率為：固定利率浮動利率H公司SHIBOR+%L 公司SHIBOR+%H公司需要的是浮動利率貸款，L公司需要的是固定利率貸款。請設計一個利率互換，其中銀行B作為中介獲得的報酬是的利差，而且要求雙方平分互換收益。解答：H公司需要的是浮動利率貸款，能夠獲得的浮動利率是SHIBOR+%L公司需要的是固定利率貸款，能夠獲得的固定利率是總的利率是(SHIBOR+%)+=SHIBOR+%如果兩公司利用各自的比較

7、優(yōu)勢，能夠獲得的總利率是：(SHIBOR+%)+= SHIBOR+%因此，利用比較優(yōu)勢，如果H公司以固定利率借款，L公司以浮動利率借款，然后二者進行利率互換，可以節(jié)省1%的總利率。這個節(jié)省下來的成本留給銀行B，剩下的%二者平分，即都獲得%的成本節(jié)省。因此，利率互換合約設計如下：H公司：以固定利率借款，并且向公司L支付SHIBOR的利率；L公司：以SHIBOR+%浮動利率借款，并且向公司H支付x%的利率；因此，對于公司H，有： x%=%對于公司L，有： x%=%其中，等式右邊：粉色：做利率互換之前本來應該支付的紅色：做利率互換兩公司享受的收益藍色：做利率互換應該交給銀行B的收益（總共1%，兩公司

8、共同承擔）9. H公司希望以固定利率借入美元，而L公司希望以固定利率借入歐元，而且本金用即期匯率計算價值很接近。市場對這兩個公司的報價如下：歐元美元H公司%L公司%請設計一個貨幣互換，銀行作為中介獲得的報酬是50個基點，而且要求互換雙方平分互換收益，匯率風險由銀行承擔。解答：H公司需要的是以固定利率借入美元，能夠獲得的固定利率是%L公司需要的是以固定利率借入歐元，能夠獲得的固定利率是由于二者的本金在同一貨幣表示下相等，因此兩公司能夠獲得的總利率是：%+=%如果兩公司利用各自的比較優(yōu)勢，能夠獲得的總利率是：10%+=15%因此，利用比較優(yōu)勢，如果H公司以固定利率借入歐元，L公司以固定利率借入美元

9、，然后二者進行貨幣互換，可以節(jié)省%的總利率。這個節(jié)省下來的成本留給銀行，剩下的%二者平分，即都獲得%的成本節(jié)省。由于匯率風險不需要這兩家公司承擔，從而進行貨幣互換之后H公司支付%的美元利率，L公司支付%歐元利率。因此，貨幣互換合約設計如下：H公司：以固定利率借入歐元，期初向L公司以歐元本金換取等值美元，期末再換回本金；L公司：以10固定利率借入美元，期初向L公司以美元本金換取等值歐元，期末再換回本金；并且，H公司，L公司和銀行（中介）之間作如下互換：注意：H公司和L公司分別都達到了各自的目的，并且都已需要的貨幣支付，沒有匯率風向。銀行作為中介，賺取了%的的收益，但是這是%歐元利率減去%美元利率

10、，這%的收益包含這匯率風險。10. 請比較CDS與CSO合約的不同，并且指出兩種合約在對沖違約風險與利差風險方面各自的優(yōu)勢。解答：信用違約互換CDS的標的是違約事件（Credit Events），只要規(guī)定的違約事件發(fā)生，CDS合約的賠付機制就啟動，同時合約終止。而信用利差期權(quán)CSO的標的是信用利差（Credit Spread），當?shù)狡谌諛说睦钸_到執(zhí)行利差時，就會有相應的支付。因此，CDS保護的是違約事件所造成的風險，而CSO保護的是信用利差變動的風險。11. 見下圖：解答：1）直接可證；2）直接可證；12. 見下圖：解答：13. 見下圖：解答：公司A：P0=，D0=，r=%，從而由可以解得公

11、司B：g=%，D0=2，r=%，從而由可以解得元/股第二章 效用理論1. 參考書本相關(guān)內(nèi)容。2. b) 令，。如果，根據(jù)性質(zhì)a)，存在一個和組成的復合隨機計劃嚴格優(yōu)于。這與的定義矛盾。類似的，當時，存在一個和的復合隨機計劃嚴格優(yōu)于，也即存在使得。這也與的定義矛盾。因此c) d) 如果，則因為，有。則，矛盾。類似的同樣能證明也會導致矛盾。因此。e) 如果，則，。類似的，可以證明。如果，則。此外，因為否則會有從而導致矛盾。假設，則因為，存在使得。由于，這與性質(zhì)a)矛盾。如果，類似地可以證明。3. 假設字典序關(guān)系存在效用函數(shù)表示，即當且僅當。任取實數(shù)，考慮如下四個選擇集中的元素。根據(jù)字典序關(guān)系的定義

12、，有，且。定義開區(qū)間，則對于任意實數(shù)，因此實軸包含不可數(shù)無窮多個互不相交的開區(qū)間。但同時，由于有理數(shù)在實數(shù)中的稠密性可知，每個中都存在有理數(shù)，且。這與有理數(shù)的可數(shù)性矛盾。4. 沒有完全解決。例如對于von Neumann Morgenstern效用函數(shù)，對于隨機計劃，即圣彼得堡形式的悖論仍然存在。5. 如果投資者選擇前者，體現(xiàn)出他風險厭惡的特征。6. 期望效用遇到的挑戰(zhàn)可參見第二節(jié)。7. 根據(jù)定理2.3.2和定理，效用函數(shù)反映了當初始財富增加時，風險資產(chǎn)的絕對投資量與風險資產(chǎn)占比均下降的投資決策特征，而效用函數(shù)反映了當初始財富增加時，風險資產(chǎn)的絕對投資量增加，并且風險資產(chǎn)投資占比不變的投資決策

13、特征。8. 對于廣義冪效用函數(shù)，根據(jù)定理2.3.2和定理，廣義冪效用函數(shù)反映了當初始財富增加時，風險資產(chǎn)的絕對投資量增加，但風險資產(chǎn)投資占比下降的投資決策特征。9. 只需計算對應的Arrow-Pratt絕對風險厭惡系數(shù)。，所以10. 利用二階隨機占優(yōu)來考察風險厭惡個體的偏好。由于，故A二階隨機占優(yōu)于B，風險厭惡個體更偏好A。11. 二階單調(diào)隨機占優(yōu)等價條件敘述見定理2.4.3。定理證明思路同二階隨機占優(yōu)定理證明，其中需要進行幾處小的改動。1)=3)由于，根據(jù)定理2.4.2后的討論不難得到。因此。所以。3)=1)假設存在使得，由于的連續(xù)性，存在使得。類似定理2.4.2證明，取滿足且便可得到與3)

14、矛盾。2)=3)3)=2) 略。12. 數(shù)學意義參見書中各隨機占優(yōu)的定義。經(jīng)濟學意義：A一階隨機占優(yōu)于B在所有偏好多而厭惡少的個體看來，A優(yōu)于B；A二階隨機占優(yōu)于B在所有風險厭惡的個體看來，A優(yōu)于B；A二階單調(diào)隨機占優(yōu)于B在所有偏好多而厭惡少、且風險厭惡的個體看來，A優(yōu)于B；A三階隨機占優(yōu)于B在所有偏好多而厭惡少、風險厭惡且絕對風險厭惡遞減的個體看來，A優(yōu)于B。第三章 資產(chǎn)組合理論第三章 練習題 解答1. 已知兩只股票在5期的價格數(shù)據(jù)以及期末分紅數(shù)據(jù)如下：1）、分別求出兩只股票在各期的收益率，并根據(jù)這些收益率數(shù)據(jù)計算兩只股票的期望收益率與方差，以及收益率相關(guān)系數(shù)；2）、若投資者在兩只股票上的投

15、資比重分別為30%和70%，求這個投資組合在各期的收益率，并根據(jù)這些收益率數(shù)據(jù)計算該組合的期望收益率與方差。時間股票1價格股票2價格股票1期末分紅股票2期末分紅012345解答： 1）、記股票1,2在k時間的股價為，(k-1,k時間段內(nèi)的收益率為，則：收益率為：期望收益率為：收益率方差為：收益率相關(guān)系數(shù)為：2）、組合P在股票1、2上面的權(quán)重為，記該組合的到期收益率為，即，從而組合的期望收益率與方差為：組合期望收益率：組合收益方差：2. 根據(jù)練習題1的股票價格數(shù)據(jù)與分紅數(shù)據(jù)：1）、分別求出兩只股票在5期內(nèi)的離散復合收益率，即這樣的使得：再求出這兩只股票在5期內(nèi)的連續(xù)復合收益率，即這樣的使得：2）

16、、若投資者在兩只股票上的投資比重分別為30%和70%，求這個投資組合在5期內(nèi)的離散復合收益率和連續(xù)復合收益率。解答： 1）、對于股票1、2收益率已經(jīng)由第1題計算得到，則discrete yield y可以由下式表示：，對于股票1,22）、對于股票1、2收益率已經(jīng)由第1題計算得到，則continuous yield r可以由下式表示：，對于股票1,23. 根據(jù)練習題1的股票價格數(shù)據(jù)與分紅數(shù)據(jù)，以及練習題1計算出來的收益率數(shù)據(jù)，變換投資組合在兩只股票上的投資比重，再計算組合的期望收益率和方差，并且將這一組期望收益率與方差畫成圖像，觀察組合期望收益率與方差之間的變換關(guān)系。其中各個組合的投資比重如下：

17、組合序號1234567891011股票1-50%-30%-10%10%30%50%70%90%110%130%150%股票2150%130%110%90%70%50%30%10%-10%-30%-50%解答： 組合P在股票1、2上面的權(quán)重為和，兩個權(quán)重變化如上表，記該組合的到期收益率為，即，從而組合的期望收益率與方差為：組合期望收益率：（的單調(diào)函數(shù)）組合收益方差：（的函數(shù)）每給定一個可以計算一個和一個，并可以相應畫出期望-方差圖。4. 有兩個收益率分別為和的證券，假設這兩個證券具有相同的期望收益率和方差，并且和的相關(guān)系數(shù)是。試證明由這兩個證券構(gòu)成的資產(chǎn)組合達到方差最小當且僅當二者的投資權(quán)重相同

18、，并且這個最優(yōu)投資組合與獨立。解答： 不妨改記兩只股票為1和2，組合P在股票1、2上面的權(quán)重為和，記該組合的到期收益率為，即，滿足，。首先，該組合能夠獲得的期望收益率只能是其次，該組合方差為顯然最小值點就是5. 假設兩個資產(chǎn)的期望收益率與方差分別為： 若資產(chǎn)組合在這兩個資產(chǎn)上的投資權(quán)重均為50%，計算當兩資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)分別為與時組合的期望收益率與方差，并且將這兩組期望收益率和方差畫在平面上，再根據(jù)圖像解釋相關(guān)系數(shù)對組合投資的作用。解答： 對于：對于：隨著遞增6. 自融資組合是期初投資權(quán)重之和為零的“資產(chǎn)組合”，但是自融資組合并不是一個免費的午餐，零期初投入并不代表零風險和零收益，雖然組合可以有正

19、的期望收益率，但是也有相應的風險。為了理解自融資組合的含義，考慮兩個資產(chǎn)，相關(guān)系數(shù)為，它們的期望收益率與方差分別為： 自融資組合在這兩個資產(chǎn)上的投資份額分別為如下10中情形：組合序號12345678910資產(chǎn)1-10%-20%-30%-40%-50%-60%-70%-80%-90%-100%資產(chǎn)210%20%30%40%50%60%70%80%90%100%計算這10個組合的期望收益率與方差，并且將這10個資產(chǎn)組合的期望收益率和方差畫在平面上，再根據(jù)圖像理解自融資組合的含義。解答：隨著權(quán)重的變動，增加的同時，也在增加7. 已知3只股票的期望收益率向量為： 深發(fā)展星源深振業(yè) 這3只股票的協(xié)方差矩

20、陣為：深發(fā)展星源深振業(yè)深發(fā)展 星源 深振業(yè) 試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算Markowitz最優(yōu)資產(chǎn)組合中的4個參數(shù)A、B、C、D，并且根據(jù)這些參數(shù)，計算前沿組合期望收益率分別為、和時的組合方差。解答：（略）8. 當假設單個資產(chǎn)收益率服從學生t-分布時，計算置信水平下的VaR和C-VaR。當組合中每個資產(chǎn)收益率都服從學生t-分布時，且組合在每個資產(chǎn)上的投資權(quán)重為，試計算組合置信水平下的VaR和C-VaR。解答：同例3.4.3易知，其中是t-分布的下分位數(shù)；同例3.4.12可知，其中是學生t-分布的概率密度函數(shù)，上述積分沒有顯式解，不過可以用數(shù)值積分計算得到。對于一系列學生t-分布收益率資產(chǎn)構(gòu)成的資產(chǎn)組合，

21、由于t-分布不具備可加性，其VaR和C-VaR沒有顯式解，不過可以通過Monte Carlo方法估計。9. 已知深發(fā)展和萬科的收益率數(shù)據(jù)如下表，若假設這兩只股票的收益率服從正態(tài)分布，試根據(jù)這組數(shù)據(jù)計算深發(fā)展和萬科在1%、%、5%和10%置信度下的VaR和C-VaR。日期深發(fā)展萬科日期深發(fā)展萬科5-Jan-07 30-Jan-07 8-Jan-07 31-Jan-07 9-Jan-07 1-Feb-07 10-Jan-07 2-Feb-07 11-Jan-07 5-Feb-07 12-Jan-07 6-Feb-07 15-Jan-07 7-Feb-07 16-Jan-07 8-Feb-07 17

22、-Jan-07 9-Feb-07 18-Jan-07 12-Feb-07 19-Jan-07 13-Feb-07 22-Jan-07 14-Feb-07 23-Jan-07 15-Feb-07 24-Jan-07 16-Feb-07 25-Jan-07 26-Feb-07 26-Jan-07 27-Feb-07 29-Jan-07 28-Feb-07 解答：記深發(fā)展和萬科的股票分別為股票1和股票2，則由上面數(shù)據(jù)可以估計出其均值和波動率和；其次，在不同置信水平下計算標準正態(tài)分位數(shù)；最后，利用上面數(shù)據(jù)可以計算：10. 已知深發(fā)展和萬科的收益率數(shù)據(jù)如上表，若股票收益率不服從正態(tài)分布，則請根據(jù)經(jīng)驗分布

23、函數(shù)計算這兩只股票在1%、%、5%和10%置信度下的VaR和C-VaR。解答：首先，將每只34個收益率數(shù)據(jù)從小到大排序，記為，滿足：其次，為計算10%置信度下的VaR，只要找到第個收益率次序統(tǒng)計量，則；為計算10%置信度下的VaR，只要找到前個收益率次序統(tǒng)計量，則；其他置信度下的VaR和C-VaR可以類似計算；11. 利用第10題中深發(fā)展和萬科的歷史收益率數(shù)據(jù)，計算最小方差投資組合mvp的投資權(quán)重以及自融資組合的投資權(quán)重，并且據(jù)此理解“自融資”的含義；計算和的歷史收益率向量，并據(jù)此計算和的均值和方差；對分別計算組合p的收益率均值和標準差，并將其畫在平面上。解答：（本題可以直接利用本章公式計算）

24、12. 利用第10題的數(shù)據(jù)，以及第11題計算的和組合投資權(quán)重，計算的期望收益率以及的期望收益率，其中組合。另外，假設無風險收益率為1%，并構(gòu)造組合。首先，請直接計算，然后利用“零-資本資產(chǎn)模型”（3.2.14）計算。解答：首先，直接計算其次，計算和，從而可以利用計算；再利用計算，從而再次，方法一：最后，方法二：先計算，從而第四章 資本資產(chǎn)和套利定價模型2. CAPM屬于均衡定價模型范疇，它從投資個體的效用出發(fā)，著眼于個體效用最大化，從而研究市場均衡時的定價，并給出資產(chǎn)組合的“絕對定價”。而APT屬于無套利定價模型范疇，它基于市場中不存在套利機會的假設，尋找不同資產(chǎn)價格間存在的關(guān)系，并且將所研究

25、資產(chǎn)組合的價格用其他一些較為基礎的資產(chǎn)的已知價格表示，也就是給出資產(chǎn)組合的“相對定價”。 從結(jié)論上看，CAPM與APT在形式上有相似之處，但是其中解釋因子的選取不同，模型所代表的經(jīng)濟含義也不同。此外，這兩個模型在實證中所獲得的支持也不相同。具體內(nèi)容可參考4.4.5節(jié)。3. CAPM與APT共同的假設包括無摩擦假設、存在無風險資產(chǎn)假設，以及市場個體的同質(zhì)性假設。無摩擦假設與存在無風險資產(chǎn)假設從數(shù)學上簡化了模型，使其得到簡潔而直觀的結(jié)論，而市場個體同質(zhì)性假設使得所建立的模型從“個體模型”轉(zhuǎn)變?yōu)椤笆袌瞿Ｐ汀薄?CAPM與APT假設的主要不同之處在于，CAPM對資產(chǎn)收益率分布、個體效用函數(shù)或者偏好特征做出了假設，其必要性在于CAPM是絕對定價模型，定價的前提在于為資產(chǎn)組合對個體帶來的效用進行合理的刻畫。而APT并不需要這兩條假設，而是要求市場中不存在套利機會。此假設的必要性在于APT是相對定價模型，其定價基于無套利假設所導致的不同資產(chǎn)價格間的聯(lián)系。4. 對于風險厭惡投資者來說，資產(chǎn)收益率向量具有單基金分離性等價于存在資產(chǎn)組合,對于市場中任何資產(chǎn)組合q均成立.由