1、李曉峰博士李曉峰博士/ /副教授副教授王悅東博士王悅東博士/ /講講 師師大連交通大學(xué)大連交通大學(xué)交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心現(xiàn)代軌道交通研究院數(shù)字化設(shè)計研究所現(xiàn)代軌道交通研究院數(shù)字化設(shè)計研究所0411-；唐車公司唐車公司- -大連交通大學(xué)技術(shù)培訓(xùn)大連交通大學(xué)技術(shù)培訓(xùn)有限元基本原理及車體強度計算有限元基本原理及車體強度計算 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心目目 錄錄第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法1.11.1 概述1.21.2 位移與應(yīng)變之間的幾何方程1

2、.31.3 應(yīng)變與應(yīng)變之間的彈性方程1.41.4 應(yīng)力與外力之間的平衡方程1.51.5 虛功方程1.61.6 單元分析的步驟 1.71.7 由角點位移求內(nèi)部任一點的位移位移模式1.81.8 由角點位移求應(yīng)變、應(yīng)力和角點力單元剛度矩陣1.91.9 整體分析的步驟1.101.10 剛體剛度矩陣的形成1.111.11 支承條件的引入1.121.12 整體剛度矩陣的特點 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心目目 錄錄 第二章 桿系結(jié)構(gòu)的有限單元法2.12.1 有限單元法的解題思路2.22.2 單元剛度矩陣2.32.3

3、坐標(biāo)變換2.42.4 結(jié)構(gòu)剛度矩陣2.52.5 載荷處理2.62.6 約束處理2.7 2.7 解題的具體步驟、簡例 第三章 單元類型及特性定義3.13.1 單元分類3.2 3.2 單元特性定義 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心目目 錄錄 第五章 模型的檢查與處理5. 1 網(wǎng)格的質(zhì)量檢查5. 2 重合節(jié)點檢查 5. 3 重合與遺漏單元檢查5. 4 帶 寬 優(yōu) 化5. 5 波 前 處 理 第六章 邊界條件的建立6. 1 位移的約束條件6. 2 熱邊界條件 6. 3 載 荷 條 件6. 4 其它邊界條件 第四章

4、網(wǎng)格劃分方法4.1 4.1 網(wǎng)格劃分原則4.24.2 網(wǎng)格劃分方法第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心1.1 概述概述 1.彈性力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)的區(qū)別 結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對象是桿件結(jié)構(gòu)。桿件的幾何特征是長度比橫截面積尺寸大得多。桿件的變形特征是其橫截面在變形后仍保持平面，計算桿件的變形時可以采用平面假設(shè)。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，由于采用平面假設(shè)，從而使計算機(jī)工作大為簡化。例如圖1-1所示的淺梁，其截面高度 小于跨度 的 ，計算時，可以采用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法。圖 1-

5、1圖 1-2hl14 彈性力學(xué)的研究對象是非桿件結(jié)構(gòu)。例如圖1-2所示的深梁，其截面高度 的大于跨度 的1/4 ，它的變形狀態(tài)比較復(fù)雜，平面假設(shè)不再適用。因此，計算深梁時，不能采用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法，而要采用彈性力學(xué)方法。 2.彈性力學(xué)平面問題的兩種類型 彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題。嚴(yán)格的說，任何彈性體總是處于空間受力狀態(tài)，因而任何實際問題都是空間問題。但是在某些情況下，空間問題可以近似地按平面問題處理。 彈性力學(xué)平面問題可分為兩類： （1）平面應(yīng)力問題：例如圖1-2中的深梁，由于梁的厚度很小，而荷載又都與 平面平行，且沿 軸方向的應(yīng)力分量等于零。這種問題稱為平面應(yīng)力問題。 2010.07.0

6、72010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心hlOxyz第一章第一章 彈性學(xué)平面問題的有限元法彈性學(xué)平面問題的有限元法 （2）平面變形問題：圖1-3示 一圓形隧洞的橫截面積。由于隧洞的長度比直徑大得多，而荷載又都與 平面平行，且沿 軸為均勻分布，因此可以認(rèn)為，沿 軸方向的位移分量等于零。這種問題稱為平面變性問題。 上述兩類問題有許多共同點，合稱為彈性力學(xué)平面問題。在本章中只討論平面問題。 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心圖 1-3Oxyzz第一章第一

7、章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 3.彈性力學(xué)問題的離散化 彈性力學(xué)問題有限元法的解題思路與前幾章剛架問題的解題思路是基本一致的，它們都是把結(jié)構(gòu)看作是由有限個單元組成的體系。但是，它們有一點不同：在剛架中，我們很自然地把剛架中的有限個桿件看作單元；而在彈性體中，我們需要人為地把它劃分成有限個單元。在彈性力學(xué)平面問題中，常用的單元是三角形單元。 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心圖1-4a圖1-4b第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072

8、010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心Wijqij/ 2qssiji jjqi6q sj3q s3W 例如圖1-4a是一個重力壩及其地基的橫截面圖。在1-4b中，我們將它劃分為三角形網(wǎng)絡(luò)，把原來的連續(xù)體簡化為由有限個三角形單元組成的離散體，其中三角形單元之間只在結(jié)點處用鉸相連，荷載也轉(zhuǎn)移到結(jié)點上，在位移為零的結(jié)點處以及在位移的數(shù)值很小因而可以忽略的結(jié)點處，可以設(shè)置支桿。 荷載向結(jié)點的轉(zhuǎn)移，是按靜力等效原則進(jìn)行的。 如果邊界 上作用均分布荷載，集度為 （圖1-5a），則轉(zhuǎn)移到結(jié)點 和 的荷載各為 （ 為 邊的長度）。 如果在邊界 上作用

9、三角形分布的荷載， 點的集度為 （圖1-5b），則轉(zhuǎn)移到結(jié)點 的荷載為 ， 點的荷載為 。 如果三角形單元所受的重力總共為 ，則轉(zhuǎn)移每一個結(jié)點的荷載各為 （圖1-5c）。第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心圖1-5a圖1-5b圖1-5c 在彈性力學(xué)問題中，需要經(jīng)過離散化，才能使結(jié)構(gòu)變成有限個單元的結(jié)合體，這是與桿件結(jié)構(gòu)問題不同的一個特點。 另一個不同的特點是彈性力學(xué)平面問題中采用的是二維單元，比桿件結(jié)構(gòu)中采用的桿件單元要復(fù)雜一些。 除上述不同特

10、點外，解題的步驟仍然相似。即首先進(jìn)行單元分析，得出單元矩陣；然后考慮單元的綜合，得出整體矩陣。因此，彈性力學(xué)問題的有限元法包括下列三個主要步驟： 離散化單元分析整體分析 下面，我們分三部分進(jìn)行討論，首先討論彈性力學(xué)的基本方程，然后討論整體分析。 第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法（）彈性力學(xué)的基本方程）彈性力學(xué)的基本方程1.2 1.2 位移與應(yīng)變之間的幾何方程位移與應(yīng)變之間的幾何方程 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 物體在平面內(nèi)的變形狀態(tài)有兩種描述方式：一是給出各點的位移

11、和 。二是給出各點微小矩形單元的應(yīng)變 、 、 。其中 和 分別表示沿x方向和 y方向的線應(yīng)變， 表示剪應(yīng)變（角應(yīng)變）。 現(xiàn)在推導(dǎo)位移和應(yīng)變之間的幾何關(guān)系。 圖1-6示變形前物體內(nèi)的一個微小矩形單元ABCD，邊長為 和 ?，F(xiàn)在分別考慮由于水平位移 和豎向位移 所引起的應(yīng)變。 圖1-6a中，我們只考慮水平位移 。矩形單元ABCD在變形后的新位置為 。由于 是逐點變化的， 是坐標(biāo)x與y的函數(shù)。偏導(dǎo)數(shù) 表示 沿x方向的變化率, 表示 沿y方向的變化率。uvxyxyxyxydxdyuv A B C Duuuxuuyu 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運

12、輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心圖1-6a 圖1-6b設(shè)A點水平位移為 。由A到B，坐標(biāo)x的增量為 ，故 的增量為 ，因而B點的水平位移為 由A到D，坐標(biāo)y的增量為 ，故 的增量為 ,因而D點的水平位移為 由圖1-6a可求得三個應(yīng)變分量如下：udxudxxuudxxdyuudyyuudyy第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法u 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心110 xyxyudxA BA BuxA BdxxudyD DuyA Ddyy同樣，由圖1-6b可求得由于豎向位移 所

13、引起的應(yīng)變：v第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心0 xyx yvyvx將以上兩項應(yīng)變進(jìn)行疊加，即得到總的應(yīng)變?nèi)缦拢?11)xyxyuxvyuvyx式（1-1）就是由位移求應(yīng)變的幾何方程。第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法1.3 應(yīng)變與應(yīng)變之間的彈性方程應(yīng)變與應(yīng)變之間的彈性方程 本節(jié)討論應(yīng)變與應(yīng)變之間的彈性方程。先討論平面應(yīng)力問題，然后討論空間問題和平面變形問題。 1.平面應(yīng)力問題的彈性方程 在平面應(yīng)力問題中，矩

14、形單元的應(yīng)力分量如圖1-7所示。 在以x軸為法線的截面上，作用的應(yīng)力分量為正應(yīng)力 和剪應(yīng)力 。 在以y軸為法線的截面上，作用的應(yīng)力分量為正應(yīng)力 和剪應(yīng)力 。 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心圖1-7xxyyyx第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 剪應(yīng)力 有兩個腳標(biāo)：第一個腳標(biāo)表示作用面的法線方向；第二個腳標(biāo)表示應(yīng)力的方向。由剪應(yīng)力互等定律，可知 。因此，共

15、有三個獨立的應(yīng)力分量，它們組成應(yīng)力分量如下：xyx y 應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定如下： 正面（其外法線與坐標(biāo)軸正方向一致的面）上的應(yīng)力，其方向與坐標(biāo)軸正方向一致時為正。 反面（其外法線與坐標(biāo)軸負(fù)方向一致的面）上的應(yīng)力，其方向與坐標(biāo)軸負(fù)方向一致時為正。 對于正應(yīng)力 來講，上述規(guī)定就是“以拉為正，以壓為負(fù)。” 在平面應(yīng)力問題中，由應(yīng)力求應(yīng)變的彈性方程為xyyx第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心1()1()(1 2)2(1)xxyyyxxyxyxyEEGE

16、由上式解出應(yīng)力，可得出由應(yīng)變求應(yīng)力的彈性方程：222()1()112(1)12xxyyxyxyxyxyEEEE第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心或?qū)懗?(13)D2110(14)110200ED其中D稱為彈性矩陣。它是一個對稱矩陣，它的元素與彈性常數(shù)E與 有關(guān)。 2 .空間問題的彈性方程 在空間問題中，我們從彈性體重街區(qū)一個六面體，其中有三對平面，分別與三個坐標(biāo)軸垂直（圖1-8）。每個面上有三個應(yīng)力分量：一個正應(yīng)力，兩個剪應(yīng)力，分別于三個坐標(biāo)

17、軸平行。在圖1-8中，畫出了三個正面上的九個應(yīng)力分量，其中有三個正應(yīng)力，六個剪應(yīng)力。六個剪應(yīng)力中實際上只有三個獨立的應(yīng)力分量，因為它們之間有下列三個剪應(yīng)力互等關(guān)系：第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心,xyyxyzzyzxxz 圖1-8 因此，空間應(yīng)力狀態(tài)共有六個獨立的應(yīng)力分量。與此相應(yīng)，空間變形狀態(tài)共有六個應(yīng)變分量。第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運

18、工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心xyzxyyzzx xyzxyyzzx 其中， 、 、 是沿x、y、z三個方向的線應(yīng)變， 、 、 是三個角應(yīng)變（剪應(yīng)變），例如 表示x、y方向的兩個線段之間的角應(yīng)變。 在空間問題中，應(yīng)力與應(yīng)變之間的彈性方程可仿照式（1-2）寫出如下：xyzxyyzzxzx第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心1()1()1()(15)2(1)2(1)2(1)xxyzyxyzzxyzxyxyyzyzzxz

19、xEEEEEE第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 3.平面變形問題的彈性方程 在平面應(yīng)變問題中，只有三個非零的應(yīng)變分量 、 、 ；其余三個應(yīng)變分量 、 、 都等于零。 由于 =0和 =0，故由式（1-5）的后兩式得:0,0yzzx由于 =0，故由式（5-5）的第三式得 ()( )zxya 由此看出，三個應(yīng)力分量 、 和 或者已知為零，或者是 和 的已知函數(shù)，因此，只有 、 、 三個應(yīng)力分量才是獨立的應(yīng)力分量。xyxyzyzzxyzzxxyzz

20、xzxyxy第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 為了求出應(yīng)力 、 、 和應(yīng)變 、 、 之間的關(guān)系，可利用式（1-5）中的第一、二、四式，并將式（a）帶入即得2221()11()(16)12(1)2(1)11xxyxyxxyxyxyEEEE 式（1-6）就是平面變形問題的彈性方程。xyxyxyxy第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交

21、通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 現(xiàn)將兩類平面問題的彈性方程（1-2）和（1-6）加以比較。如果在式（1-2）中把E換成21E把u換成1（1-7） 就得出式（1-6）。 由此看出，兩類平面問題可以按照同樣的方式進(jìn)行分析。只要利用轉(zhuǎn)換關(guān)系（1-7），就可將平面應(yīng)力問題的方程轉(zhuǎn)換成平面變形問題的方程。例如平面變形問題的彈性方程仍可寫成 D第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心(1)(18)(1)(12)00ED11-101-1- 202(1-)

22、 其中的彈性矩陣D則可由式（1-4）并利用關(guān)系（1-7）轉(zhuǎn)換成如下的形式：第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法1.4 應(yīng)力與外力之間的平衡方程應(yīng)力與外力之間的平衡方程 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 在彈性力學(xué)平面問題中，彈性體為一個厚度的平板。平分板厚的中間平面取為 x y平面，外力都作用在 x y平面內(nèi)。 外力可分為體積力和表面力兩類： 體積力是分布在物體體積中的力，例如重力。我們用 、 表示單位體積中的體積力在 x、 y方向的分量。 表面力是分布在平板側(cè)面上的力。我們用

23、 、 表示單位面積上的表面力在 x、 y方向的分量。 下面分別討論應(yīng)力與兩類外力之間的平衡方程。 1.應(yīng)力與體積力之間的平衡方程-平衡微分方程 我們從彈性體內(nèi)部取出一個微小單元，平面尺寸為 和 ，厚度為t。微小單元上的作用力為內(nèi)部的體積力和四個側(cè)面上的應(yīng)力。 一般情況下，體積力和應(yīng)力都是逐點變化的，但當(dāng) 和 為微量時，體積力和應(yīng)力的分布情況加以簡化。XYXYdxdydxdy第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 我們先考慮微小單元只在x方向受單向

24、拉應(yīng)力的簡單情況。 在圖1-9a中，設(shè)A點的應(yīng)力為 ，則另外三點B、D、C的應(yīng)力分別為 x( )xxBxxxDxxxxCxdxxdyaydxdyxy 由于 和 都是微量，在式（a）中我們忽略了兩階以上的高階微量，同時，在 AD和 BC面上的應(yīng)力可看作是線性分布的。dxdy第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心圖1-9a 圖1-9b再求 ABCD上的合力。由圖1-9a看出， AD面上的合力為 211122xxxxxFdytdytdytdyyy 20

25、10.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心BC面上的合力為221212xxxxxxxxxFdxdxdytdyxxytdytdxdytdyxy因此，總合力為21xFFFtdxdyx 如果把圖1-9a的應(yīng)力狀態(tài)簡化為圖1-9b的應(yīng)力狀態(tài)，即假設(shè) AD面和 BC面上的平均應(yīng)力分別為 和 ，其合力作用于各面的中點，則兩種應(yīng)力狀態(tài)所給出的總合力是完全相同的。在推導(dǎo)平衡方程時，我們只考慮單元的合力，因此，可以采用土1-9b中簡化了的應(yīng)力狀態(tài)來進(jìn)行推導(dǎo)。xxxdxx第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2

26、010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 對于平面應(yīng)力狀態(tài)的一般情形，按照上述簡化的表示方式，微小單元ABCD 的應(yīng)力狀態(tài)如圖1-10所示。根據(jù)同樣的簡化原則，單元內(nèi)的體積力 X、 Y可看作是均勻分布的，其合力作用于單元的中心。圖1-10第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心下面，參照圖1-10，推導(dǎo)平衡方程。先由平衡條件得0X0 xyxxxyxyxdx tdytdyd

27、y tdxtdxXtdxdyxy整理后，得 0 xyxX tdxdyxy由此得出下面的第一式。同理，由 可得出第二式0(19)0yxxyxyXxyYxy 式（1-9）就是在平面問題中應(yīng)力與體積力之間的平衡方程，稱為平衡微分方程。第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 2.應(yīng)力與表面力之間的平衡方程-靜力邊界條件 上面導(dǎo)出了應(yīng)力與體積力之間的平衡方程式（1-9），現(xiàn)在推導(dǎo)在邊界上的應(yīng)力與表面力之間的平衡方程。 在圖1-11中，彈性體的邊界周線為C

28、。其中一部分邊界 為自由邊，在自由邊上，作用給定的表面力 、 。另一部分邊界 為固定邊，在固定邊上，位移u和v都為零。1CXY圖1-11第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法2C 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 為了推導(dǎo)自由邊界處表面力 、 與應(yīng)力之間的平衡方程，我們在自由邊界處隔離體 ABD（圖1-11中的陰影部分），示于圖1-12。XY圖1-12第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工

29、具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 設(shè)邊界 AB 的外法線n與x軸的夾角為 ，AB 長度為 ，則直角邊 DA和 DB的長度分別為 和 。先由平衡條件dssindscosds0X 得cossin0 xyxXtdsdsds 由此得出下面的第一式。同理，由Y=0，可得出第二式cossin(1 10)cossinxyxyxyXY 式（1-10）就是在邊界 上的應(yīng)力 與表面力之間的平衡方程，稱作靜力邊界條件。 如果彈性體處于平衡狀態(tài)，則在內(nèi)部應(yīng)滿足平衡微分方程（1-9），同時在邊界 上應(yīng)滿足靜力邊界條件（1-10）。1C1C第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題

30、的有限元法1.5 虛功方程虛功方程 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 在彈性力學(xué)有限元法中，通常用虛功方程代替平衡方程與幾何方程。 我們先回顧一下剛體的虛功方程，然后討論變形體的虛功方程。 1.剛體的虛功方程 剛體虛功方程可表述于下： 設(shè)剛體上作用任意的平衡力系 ；又設(shè)由于他種原因，或者由于分析問題的需要，使剛體產(chǎn)生任意的剛體位移，這時與各力相應(yīng)的位移分量分別為 ；則平衡力系在剛體位移上所作的功的代數(shù)和恒等于零，即12,.nP PP*12,.n *10niiiP第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力

31、學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 應(yīng)當(dāng)注意，這里在功的前面加一個“虛”字，其目的是為了強調(diào)力系與位移是彼此無關(guān)而可以獨立選取這個性質(zhì)?；蛘哒f，虛功是指一種力系“騎”在他種位移上所作的功。 還要注意，如果位移是在某個約束條件下發(fā)生的，則在該約束力方向的位移應(yīng)是零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時該約束力叫做被動力。反之，如果位移是在某個約束被拆除的情況下發(fā)生的，這時在該約束力方向的位移可不為零，因而該約束力所作的虛功可不為零。這時，該約束力應(yīng)看作是主動力。因此，根據(jù)所設(shè)位移的情況，在

32、力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。 下面說明虛功方程的兩種用法。 第一、利用虛功方程求約束力。 例如，在圖1-13a中簡支梁 AB上作用已知載荷 與 ，擬求支座 B的反力 .1P2PBR第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心圖 1-13a圖 1-13b第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工

33、具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 為此，可按圖1-13b虛設(shè)剛體位移，即將擬求約束力 相應(yīng)的約束力拆除，使沿 方向產(chǎn)生位移 。這時， 已化為主動力。 令圖1-13a中的實際平衡力系在圖1-13b中的虛設(shè)剛體位移上作虛功，虛功方程為BRBR*BBR*1220( )33BBBBRPPa 由此求得121233BRPP 這里的虛功方程（a）可叫作虛位移方程，形式上是功的方程，實質(zhì)上它是平衡方程。第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究

34、中心 第二、利用虛功方程求位移。 例如，在圖1-14a中，簡支梁的支座沉降量已知為 和 ，現(xiàn)在擬求中點 C的豎向位移 。AfBfc圖 1-14 為此，可按圖1-14b虛設(shè)平衡力系：即在擬求位移 的方向虛設(shè)荷載 ，這個荷載 與相應(yīng)的支座反力 和 組成一個平衡力系。c*P*P*2APR *2BPR 第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 令圖1-14b中的虛設(shè)平衡力系在圖1-14a中的實際剛體位移上作虛功，則虛功方程為 *0( )22cABPPPff

35、b 由此求得 1122cABff 這里的虛功方程（b）可叫作虛力方程。形式上它是功的方程，實質(zhì)上是幾何方程。 2.變形體的虛功方程 變形體的虛功方程可表述如下： 設(shè)變形體處于平衡 受力狀態(tài)：體積力為 X、Y ，在自由邊界 上的表面力為 、 ，應(yīng)力為 ， ， 。1CXYxyxy第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 設(shè)變形體產(chǎn)生虛位移 、 ，在固定邊界 上的位移 及 為零，相應(yīng)的虛應(yīng)變?yōu)?*u*v2C*u*v*,*xyxyuvuvxyyx 則體積力

36、和表面力在虛位移上作的外力虛功W恒等于應(yīng)力的虛應(yīng)變上作的虛變形功U，即(111)WU其中1*)(1 12)cAWXuYvtdxdyXuYvtds*(113)xxyyxyxyAUtdxdy 第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心上面三個積分的意義為：式（1-12）右邊第一個積分表示全部體積力作的虛功。式（1-12）右邊第二個積分表示自由邊界 上的表面力作的虛功。式（1-13）積分中的積分項為1C*(1 14)x xy yxy xydUtdxdy 它

37、表示圖1-15中的微小單元ABCD 四個側(cè)面上的應(yīng)力在虛應(yīng)變上作的虛功?，F(xiàn)結(jié)合圖1-15詳細(xì)解釋如下： 第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心圖 1-15a 圖1-15a表示三個應(yīng)力變量 、 、 分別在側(cè)面上引起的合力（單元的體積力在圖1-15a中沒有畫出）。xyxy第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研

38、究中心圖 1-15b 圖1-15b表示三個應(yīng)變分量 、 、 分別引起的虛位移。這里假設(shè)A點沿 x、 y方向沒有唯一， AD邊沒有轉(zhuǎn)角。因此，這種唯一狀態(tài)是單純由虛應(yīng)變引起的。*x*y*xy第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心圖 1-15c 圖1-15c表示當(dāng) A點發(fā)生位移 和 、又 AD邊發(fā)生轉(zhuǎn)角 時所引起的剛性位移。這時，單元的三個應(yīng)變分量都為零。*Au*Av*AD第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.

39、07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 顯然，把圖1-15b和c中的兩種位移狀態(tài)疊加起來，才是總的虛位移狀態(tài)。 令圖1-15a中的應(yīng)力在圖1-15b中的虛應(yīng)變狀態(tài)上作功，即得*(115)yxxxyyxyxyxydUdx tdydxdy tdxdyxydx tdydxx 如果在式（1-15）中略去三階微量，則歸結(jié)為上面的式（1-14）。 以上說明了式（1-14）的涵義： 是單元側(cè)面的應(yīng)力在虛應(yīng)變上作的功，而不是在總的虛位移上作的功。為了強調(diào)這一點 ，我們稱 為單元的虛變形功，而不籠統(tǒng)地稱為應(yīng)力虛功。dUdU第一章第一章 彈性

40、力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 如果在虛位移中只有剛體位移，而沒有應(yīng)變，這時虛變形功 ，而式（1-11）即變成 ，這就是剛體的虛功方程。它是變形體虛功方程的一個特例。 3.變形體虛功方程的證明 我們分三步來證明虛功方程（1-11）。 第 一步，令 表示圖1-10中的微小單元上的平衡力系（包括側(cè)面應(yīng)力和體積力）在總的虛位移（即圖1-15b和c兩種位移狀態(tài)的總和）上所作的虛功。再對變形體整個平面面積 A積分，即得0U 0W dVVd V V是變形體中所有單元的

41、總虛功 的總和。第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 下面，分別證明 和 。 第二步，我們來證明 。 由于圖1-10中微小單元上的平衡力系包括體積力和側(cè)面應(yīng)力兩部分，因此單元總虛功 可分解為兩部分力所作的虛功：VWVUVWdV12dVdVdV 而 V也可分為兩部分虛功：1212( )AAVVVdVdV a 先看第一部分虛功。 表示單元的體積力在總虛位移上作的虛功，即1*dVXuYv tdxdy第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面

42、問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心而11*AAVdVXuYvtdxdy 由此可知， 是變形體全部體積力所作的虛功。 再看第二部分虛功。 表示單元四個側(cè)面的應(yīng)力在總虛位移作的虛功，而2dV1V22VdV 表示變形體中所有單元的側(cè)面應(yīng)力在總虛位移上的虛功總和。在所有單元的側(cè)面中可以分為兩類側(cè)面： 一類側(cè)面是在變形體的內(nèi)部，它是兩個相鄰單元的公共側(cè)面。由于兩個相鄰單元在公共側(cè)面上的應(yīng)力是作用力與反作用力的關(guān)系，因此，這些側(cè)面應(yīng)力的虛功相互抵消，其總和為零。第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性

43、力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 另一類側(cè)面是在變形體的邊界上，稱為邊界側(cè)面。在固定邊界 上，由于虛位移 與 為零，故這些側(cè)面應(yīng)力的虛功為零。在自由邊界 上 ，由于邊界側(cè)面應(yīng)力就是邊界上給定的表面力，故這些側(cè)面應(yīng)力的虛功總和就是邊界 上全部表面力作的虛功，即2C*u*v1C1C122*( )CVdVX uYvtds c 將式（b）和（c）代入式（a），并與（1-12）比較，即得出如下結(jié)論：()VW d 第三步，我們來證明 。 由于單元的總虛位移可以分解為圖5-15c和b兩種位移狀態(tài)，

44、因此，單元總虛功 可分解為在兩種位移狀態(tài)上所作的虛功：dV第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心34( )dVdVdV e 先看第一部分虛功 ，它表示單元上的平衡力系在圖1-15c的剛體位移狀態(tài)上作的虛功。根據(jù)剛體虛功方程，可知3dV30()dVf 再看第二部分虛功 。它表示單元上的平衡力系在圖1-15b的虛應(yīng)變狀態(tài)上作的虛功。由于單元上的平衡力系包括側(cè)面應(yīng)力和體積力兩部分，故 又可分為兩部分：4dV4dV44142dVdVdV 其中 是單元應(yīng)力

45、在虛應(yīng)變狀態(tài)上作的虛功 ，即前面所說的虛變形功 ，如果略去三階微量，則 由式（1-14）給出。41dVdUdU第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 是單元體積力在虛應(yīng)變狀態(tài)上作的虛功。由圖1-15b看出，單元中心點的水平位移為 ，豎向位移為 ，因此，42dV*12xdx*1122yxydydx*42111222xyxydVXtdxdydxYtdxdydydx由于 是三階微量，故可忽略不計。綜合起來，即得42dV4()dVdUg最后，將式（f）和

46、（g）代入（e），即得dVdU因此，即得出如下結(jié)論：()VUh第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 前面在式（d）和（h）中已經(jīng)分別證明了 和 ，因此可知VWVUW U 這樣，變形體虛功方程（1-11）就得到了證明。上面的證明過程初看起來似乎有些曲折，但基本思路是很清楚地：即以V 作為中間紐帶，來證明外力虛功 W與虛變形功 U的互等性。在證明 時，主要是論證了全部單元的側(cè)面應(yīng)力的虛功總和等于全部表面力的虛功，這里實際上考慮了在邊界處應(yīng)力與表面力

47、之間的平衡條件。在證明 時，主要是考慮了單元上的平衡力系在單元剛體位移上不作功這一性質(zhì)，這里引用了剛體虛功方程，實際上是考慮了在變形體內(nèi)部應(yīng)力與體力之間的平衡微分方程。VWVU第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 變形體虛功方程式一個普遍性方程。它的應(yīng)用條件是：對力系來講，應(yīng)力與外力（體積力與表面力）應(yīng)當(dāng)滿足平衡條件。對位移來講，位移應(yīng)當(dāng)是微小的，滿足邊界的約束條件，位移與應(yīng)變之間滿足幾何方程（1-1）。除這兩方面的條件外，不再有別的條件。例如

48、，應(yīng)用虛功方程時，并不要求應(yīng)力與應(yīng)變之間滿足彈性條件。也就是說，虛功方程既可用于彈性力學(xué)問題，也可用于塑性力學(xué)問題。為了強調(diào)這個特點，我們把式（1-11）稱為變形體的虛功方程，而不稱為彈性體的虛功方程。 如果外力是集中力 ，而各力相應(yīng)的位移分量為 ，則變形體虛功方程（1-11）可寫成：*1(116)niixxyyxyxyiAPtdxdy *(117)TTAPtdxdy12,.nP PP*12,.n 或第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法（）單元分析）單元分析1.6 1.6 單元分析的步驟單元分析的步驟 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工

49、具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 現(xiàn)在對彈性力學(xué)平面問題中的三角形單元進(jìn)行單元分析，建立單元的剛度矩陣。 圖1-16示一個三角形單元。三個角點按反時針方向的順序編碼為1、2、3。角點坐標(biāo)分別為 。 在彈性力學(xué)平面問題中，每個角點有兩位移分量，因此，三角形單元共有六個自由度： ，如圖1-16所示，結(jié)點1的位移向量可寫 123123,x yx yx y112233, , ,u v u v u v 111uv 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心因此，三角形單元的角點位移向量 可寫成 e11

50、1222333euvuvuv 在位移法中，我們以六個角點位移分量作為基本未知量。第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心圖1-16 圖1-17 與基本未知量對應(yīng)的物理量是六個角點力分量，如圖1-17所示。角點力向量 可寫成 eF第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心111222333eUVFUFFVF

51、UV 單元分析的主要任務(wù)是推導(dǎo)基本未知量 與其對應(yīng)量 之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即 1e eF 1(1 18)eeek第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 其中的轉(zhuǎn)換矩陣 稱為單元的剛度矩陣，它是 66階矩陣。 單元分析的步驟可表示如下： ek 下面按此次序分成四步求出相鄰各量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，最后綜合起來，即可得出由角點位移求角點力的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而求出單元剛度矩陣 。 ek第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法1.7 由角點位

52、移求內(nèi)部任一點的位移由角點位移求內(nèi)部任一點的位移位移模式位移模式 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 本節(jié)討論單元分析中的第一步：由單元的六個角點位移分量 推算內(nèi)部任一點 的位移 （參看圖1-18）。112233, ,u v u v u v,x y, u v圖 1-18第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 下面分幾步進(jìn)行討論。 1.選用位移模式 為了求任一點

53、的位移 u和v ?？上劝?假設(shè)為坐標(biāo) x、y 的某種函數(shù)。這就是選用位移模式的問題。 選用位移模式時，最簡便的做法是把 表示為坐標(biāo) x、y 的冪函數(shù)，即采用多項式的模式。 再考慮到三角形單元總共有六個自由度，內(nèi)部任一點的位移 是由六個角點位移分量完全確定的，因此，在位移模式中應(yīng)當(dāng)包含六個任意參數(shù) 。 最后把位移表示為, x y, u v,u v,u v126,.第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心123456,(119),u x yxyv x

54、yxy 式（1-19）是兩個一次多項式，正好含有六個位移參數(shù)，這就是我們選用的位移模式。 由于位移假設(shè)為坐標(biāo)的線性函數(shù)，位移模式非常簡單，這樣就使所討論的問題大為簡化。 本來，對整個彈性體來說，內(nèi)部各點的位移變化情況是很復(fù)雜的，不可能用一個簡單的線性函數(shù)來描繪?，F(xiàn)在我們采用分割的辦法，把整個彈性體分割成細(xì)小的單元。在一個單元的局部范圍內(nèi)，內(nèi)部各點的變化情況就簡單多了，就有可能用簡單的線性函數(shù)來描繪了。這種化整為零、化繁為簡的分析方法，應(yīng)當(dāng)說是有限元法的精華。第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技

55、術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心位移模式（1-19）可寫成矩陣形式如下：123456,1000,(120)0001,u x yxyx yxyv x y或簡寫成 ,(1 20)x yf x y 式（1-20）就是內(nèi)部點位移 與位移參數(shù) 之間的轉(zhuǎn)換式。為了求出內(nèi)部點位移 與角點位移 之間的轉(zhuǎn)換式，還需先求出角點位移 與位移參數(shù) 之間的轉(zhuǎn)換式。 , x y , x y e e 第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 2.角點位移 與位

56、移參數(shù) 之間的轉(zhuǎn)換式 先討論角點水平位移與位移參數(shù) 之間的轉(zhuǎn)換式。為此，將式（1-19）中的第一式用于三個角點，式中的 分別用角點坐標(biāo) 代入，即得 e 123, , x y 231123,x yxyxy112131212232312333()uxyuxyauxy這就是由 求 的轉(zhuǎn)換式。123, 123,u u u 下面要求它的逆轉(zhuǎn)換式。為此，由這個方程組解出 。如用行列式表示，則為第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心312123,()AAAbA

57、AA其中1223312223311111111xAxyxyuAuyuyyy1112223313223313111( )1uxAuxyxyxAxucxuyuu這四個行列式可寫成：第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心1112233211223331122332()AAuuuAu bu bu bdAu cu cu c其中，是三角形單元的面積:12233121321311(121)22x yx yx yx yx yx y 三組常數(shù)a，b，c都是與角點坐

58、標(biāo)有關(guān)的常數(shù)，可由下列輪換公式得出：12332123132123(122)x yx ybyycxx 第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 其中記號 表示將式（1-22）中的1、2、3進(jìn)行輪換后可以得出另外兩組a，b，c的公式。 將式（d）代入式（b），得1 2 3111223321122333112233121( )212uuub ub ub uec uc uc u式（e）就是由 求 的轉(zhuǎn)換式。用同樣的方法可得出由 求 的轉(zhuǎn)換式如下：123,u

59、 u u123, 123,v v v456, 第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心41 1223351 1223361 12233121()212vvvb vb vb vfc vc vc v將式（f）和（e）綜合起來，可得: (123)eA其中第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 1231231

60、231231231230000000001(1 24)0002000000aaabbbcccAaaabbbccc式（1-23）就是由角點位移 求位移參數(shù) 的轉(zhuǎn)換式。 e 第一章第一章 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法 2010.07.072010.07.07交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心交通運輸工程學(xué)院載運工具先進(jìn)技術(shù)研究中心 3.由角點位移 求內(nèi)部點位移 的轉(zhuǎn)換式 將式（1-23）代入式（1-20），得 e, x y ,ex yfx yA 式中的 可由式（1-20）得出， 可由式（1-24）得出，代入后，即得,f x y A111232212333000,(12