1、高中數(shù)學(xué)必修第二冊空間幾何體解答題專項練習(xí)如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為菱形，E為AC與BD的交點，PA平面ABCD，M為PA中點，N為BC中點，連接MN.(1)證明：直線MN平面PCD；(2)若點Q為PC中點，BAD=120°，PA=，AB=1，求三棱錐A­QCD的體積如圖，四棱錐P­ABCD中，PD底面ABCD，ABCD，BAD=，AB=1，CD=3，M為PC上一點，且MC=2PM.(1)證明：BM平面PAD；(2)若AD=2，PD=3，求點D到平面PBC的距離.在四棱錐P­ABCD中，ABC=ACD=90°，B

2、AC=CAD=60°，PA平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2.(1)求證：CE平面PAB；(2)若F為PC的中點，求三棱錐F­AEC的體積.如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是菱形，DAB=60°，PD平面ABCD，PD=AD=1，點E，F(xiàn)分別為AB和PC的中點，連接EF，BF.(1)求證：直線EF平面PAD.(2)求三棱錐F­PEB的體積.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S，E，G分別是B1D1，BC，SC的中點求證：直線EG平面BDD1B1.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD

3、=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)證明MN平面PAB;(2)求四面體N-BCM的體積.如圖，ABC中，AC=BC=AB，四邊形ABED是邊長為1的正方形，平面ABED底面ABC，G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(1)求證：GF底面ABC；(2)求幾何體ADEBC的體積如圖，在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2.(1)若點E在對角線BD1上移動，求證：D1EA1D；(2)當(dāng)E為棱AB中點時，求點E到平面ACD1的距離.如圖，已知AF平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，DAB=90

4、6;，ABCD，AD=AF=CD=2，AB=4.(1)求證：AC平面BCE；(2)求三棱錐E­BCF的體積.如圖，在三棱柱ABFDCE中，ABC=120°，BC=2CD, AD=AF, AF平面ABCD.(1)求證：BDEC；(2)若AB=1，求四棱錐BADEF的體積.如圖，AB是O的直徑，點C是上一點，VC垂直O(jiān)所在平面，D，E分別為VA，VC的中點.(1)求證：DE平面VBC；(2)若VC=CA=6，O的半徑為5，求點E到平面BCD的距離.如圖，三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB側(cè)面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，BCC1=60°.(1

5、)求證：BC1平面ABC；(2)E是棱CC1上的一點，若三棱錐E­ABC的體積為，求線段CE的長.如圖，四邊形ABCD為矩形，AD平面ABE，F(xiàn)為CE上的點，且BF平面ACE.求證：AEBE.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且平面PAC平面ABCD，E為PD的中點，PA=PC，AB=2BC=2，ABC=60°.(1)求證：PB平面ACE；(2)求證：平面PBC平面PAC.如圖所示，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，DAB=60°，PA=PB=PD=a.(1)求證：BDPC；(2)求點A到平面PBC的距離.如圖，四棱

6、錐P­ABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點，且PA=AD.(1)求證：AF平面PEC；(2)求證：平面PEC平面PCD.如圖，在四棱錐E­ABCD中，EAD為等邊三角形，底面ABCD為等腰梯形，滿足ABCD，AD=DC=AB，且AEBD.(1)證明：平面EBD平面EAD；(2)若EAD的面積為，求點C到平面EBD的距離.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P­ABCD中，ADBC，ABC=90°，PA平面ABCD，ACBD=E，AD=2，AB=2，BC=6.求證：平面PBD平面PAC.如圖，在四棱錐S­ABCD中，底面

7、ABCD是梯形，ABDC，ABC=90°，AD=SD，BC=CD=AB，側(cè)面SAD底面ABCD.(1)求證：平面SBD平面SAD；(2)若SDA=120°，且三棱錐S­BCD的體積為，求側(cè)面SAB的面積.如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分別為AB，VA的中點（1）求證：VB平面MOC；（2）求證：平面MOC平面VAB如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且，.求證：（1）直線DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F.如圖，四棱錐SABC

8、D的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點.(1)求證：ACSD；(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大??；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE平面PAC？若存在，求SEEC的值；若不存在，試說明理由.如圖，直棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1=AC=CB=AB求二面角DA1CE的正弦值答案解析解：(1)取PD中點R，連接MR，RC(圖略)，MRAD，NCAD，MR=AD，NC=AD，MRNC，MR=NC，四邊形MNCR為平行四邊形，MNRC，又RC平面PCD，MN平面PCD，直線MN平面PCD.(2)由已知條件

9、得AC=AD=CD=1，SACD=，VA­QCD=VQ­ACD=×SACD×PA=.解：(1)證明：如圖，過點M作MECD交PD于E，連接AE，因為ABCD，所以ABEM.又MC=2PM，CD=3，故=，得EM=1.由AB=1知EM綊AB，故四邊形ABME為平行四邊形，因此BMAE，又AE平面PAD，所以BM平面PAD.(2)連接BD，由已知AD=2，AB=1，BAD=，可得DB2=AD2AB22AD·AB·cosBAD=3，即DB=.因為DB2AB2=AD2，所以ABD為直角三角形，ABD=，因為ABCD，所以BDC=.又DC=3，

10、故BC=2.由PD底面ABCD，得PDDB，PDDC，故PB=2，PC=3.因為BC=PB，所以PBC為等腰三角形，SPBC=·PC·=×3×=.設(shè)點D到平面PBC的距離為h，則VD­PBC=·SPBC·h=h.而SBDC=·DC·DB=×3×=，所以VP­BDC=·SBCD·PD=××3=.因為VD­PBC=VP­BDC，即h=，故h=.所以點D到平面PBC的距離為.解：(1)證明：在RtABC中，AB=1，BAC

11、=60°，所以BC=，AC=2.取AD的中點M，連接EM，CM，則EMPA.因為EM平面PAB，PA平面PAB，所以EM平面PAB.在RtACD中，CAD=60°，AC=2，所以AD=4，AM=2=AC，所以ACM=60°.而BAC=60°，所以MCAB.因為MC平面PAB，AB平面PAB，所以MC平面PAB.因為EMMC=M，所以平面EMC平面PAB.因為CE平面EMC，所以CE平面PAB.(2)因為PA=AC=2，F(xiàn)為PC的中點，所以AFPC.因為PA平面ABCD，所以PACD.因為ACCD，PAAC=A，所以CD平面PAC.又EFCD，所以EF平面

12、PAC，即EF為三棱錐E­AFC的高.因為CD=2，所以EF=，從而VE­AFC=××AC×PA×EF=×××2×2×=.因為VE­AFC=VF­AEC，所以VF­AEC=.解：(1)如圖，作FMCD交PD于點M，連接AM.因為點F為PC中點，所以FM=CD.因為點E為AB的中點，所以AE=AB=FM.又AEFM，所以四邊形AEFM為平行四邊形，又EF平面PAD，AM平面PAD.所以EFAM.所以直線EF平面PAD.(2)連接EC.已知DAB=60

13、6;，AE=，AD=1，由余弦定理，得DEAB，又ABDC，則DEDC，設(shè)F到平面BEC的距離為h.因為點F為PC的中點，所以h=PD.從而有VF­PBE=VP­BEF=VP­BECVF­BEC=SBEC·(PDh)=SBEC·PD=×××××1=.證明：如圖所示，連接SB.E、G分別是BC、SC的中點，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直線EG平面BDD1B1.解析：(1)證明:由已知得AM=23AD=2,取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC中點知TNBC

14、,TN=12BC=2.又ADBC,故TN􀱀AM,故四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因為AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)因為PA平面ABCD,N為PC的中點,所以N到平面ABCD的距離為12PA.取BC的中點E,連接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距離為5,故SBCM=12×4×5=25.所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=13·SBCM·PA2=453.解：(1)證明：如圖，取BC的中點M，AB的中點N，連接GM，F(xiàn)N，MN.G，F(xiàn)分別是EC，BD

15、的中點，GMBE，且GM=BE，NFDA，且NF=DA.又四邊形ABED為正方形，BEAD，BE=AD，GMNF且GM=NF.四邊形MNFG為平行四邊形GFMN，又MN平面ABC，GF平面ABC，GF平面ABC.(2)連接CN，AC=BC，CNAB，又平面ABED平面ABC，CN平面ABC，CN平面ABED.易知ABC是等腰直角三角形，CN=AB=，C­ABED是四棱錐，VC­ABED=S四邊形ABED·CN=×1×=.解：(1)證明：由長方體ABCD­A1B1C1D1，得AB平面ADD1A1，而A1D平面ADD1A1，所以ABA1D

16、，即A1DAB，又由正方形ADD1A1，得A1DAD1，而AD1AB=A，所以A1D平面ABD1，于是A1DBD1，而EBD1，所以A1DD1E，即D1EA1D.(2)由已知得CD1=AC，AD1=，過C作CF垂直AD1于F，則CF= =，所以SACD1=××=，設(shè)點E到平面ACD1的距離為h，則由VE­ACD1=VD1­AEC有××h=××1，得h=，故點E到平面ACD1的距離為.解：(1)證明：過點C作CMAB，垂足為M，因為ADDC，所以四邊形ADCM為矩形，所以AM=MB=2，又AD=2，AB=4，所以AC

17、=2，CM=2，BC=2，所以AC2BC2=AB2，所以ACBC，因為AF平面ABCD，AFBE，所以BE平面ABCD，所以BEAC.又BE平面BCE，BC平面BCE，且BEBC=B，所以AC平面BCE.(2)因為AF平面ABCD，所以AFCM，又CMAB，AF平面ABEF，AB平面ABEF，AFAB=A，所以CM平面ABEF.VE­BCF=VC­BEF=××BE×EF×CM=×2×4×2=. (1)證明：已知ABFDCE為三棱柱，且AF平面ABCD，DEAF，ED平面ABCD.BD平面ABCD，EDBD

18、，又ABCD為平行四邊形，ABC=120°，故BCD=60°，又BC=2CD，故BDC=90°，故BDCD，EDCD=D，ED，CD平面ECD，BD平面ECD，EC平面ECD，故BDEC.(2)解：由BC=2CD得AD=2AB，AB=1，故AD=2，作BHAD于點H，AF平面ABCD，BH平面ABCD，AFBH，又ADAF=A，AD，AF平面ADEF，BH平面ADEF，又ABC=120°，在ABH中，BAH=60°，又AB=1，BH=，VBADEF=×(2×2)×=.解：(1)證明：因為AB是O的直徑，C是上一點，

19、所以ACCB.又因為VC垂直O(jiān)所在平面，所以VCAC，又VCBC=C，所以AC平面VCB.又因為D，E分別為VA，VC的中點，所以DEAC，所以DE平面VCB.(2)由(1)知，ACCB，又VC垂直O(jiān)所在的平面，所以VCBC，又VCAC=C，所以BC平面VAC，又CD平面VAC，所以BCCD，在RtACB中可求得BC=8，在RtDEC中，由DE=AC=3，CE=VC=3，DEC=得CD=3，設(shè)點E到平面BCD的距離為d，由VE­BCD=VB­CDE得d·SBCD=·BC·SCDE，即d·BC·CD=·BC·

20、;DE·CE，代入數(shù)據(jù)得d·×8×3=×8××3×3，所以d=，即點E到平面BCD的距離為.解：(1)證明：AB平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，ABBC1，在CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，BCC1=60°，由余弦定理得BC=BC2CC2BC·CC1·cosBCC1=12222×1×2cos60°=3，BC1=，BC2BC=CC，BCBC1，又AB，BC平面ABC，BCAB=B，BC1平面ABC.(2)AB平面BB1C1C，VE

21、3;ABC=VA­EBC=SBCE·AB=SBCE·1=，SBCE=CE·(BC·sin)=CE·，CE=1.證明：AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE.又AE平面ABE，AEBC.BF平面ACE，AE平面ACE，AEBF.又BF平面BCE，BC平面BCE，BFBCB，AE平面BCE.又BE平面BCE，AEBE.解：(1)連接BD，交AC于點O，連接OE.底面ABCD是平行四邊形，O為BD的中點.又E為PD的中點，OEPB.又OE平面ACE，PB平面ACE，PB平面ACE.(2)PA=PC，O為AC的中點，POAC.又平面PAC平

22、面ABCD，平面PAC平面ABCD=AC，PO平面PAC，PO平面ABCD.又BC平面ABCD，POBC.在ABC中，AB=2BC=2，ABC=60°，AC=，AB2=AC2BC2，BCAC.又PO平面PAC，AC平面PAC，POAC=O，BC平面PAC，又BC平面PBC，平面PBC平面PAC.解：(1)證明：連接AC和BD，交點為O.因為四邊形ABCD是菱形，且DAB=60°，所以AO是等邊ABD的底邊BD的高線.過點P作PH平面ABCD于H.因為PA=PB=PD=a，所以H是ABD的外心，又ABD是等邊三角形，所以HAO，從而HAC.因為PH平面ABCD，BD平面ABC

23、D，所以PHBD.又ACBD，ACPH=H，所以BD平面PAC.因為PC平面PAC，所以BDPC.(2)由(1)可知AO=a，AH=a，CH=a，PH=a，所以PC=a.在PBC中，PB=BC=a，所以PBC=90°，所以SPBC=a·a=.SABC=a·a·sin 120°=a2.對于四面體P­ABC，記A到平面PBC之間的距離為h.因為VP­ABC=VA­PBC，所以·a2·a=··h，解得h=a.所以點A到平面PBC的距離為a.證明：(1)取PC的中點G，連接FG、EG

24、，F(xiàn)為PD的中點，G為PC的中點，F(xiàn)G為CDP的中位線，F(xiàn)GCD，F(xiàn)G=CD.四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，AECD，AE=CD.FG=AE，F(xiàn)GAE，四邊形AEGF是平行四邊形，AFEG，又EG平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC.(2)PA=AD，F(xiàn)為PD中點，AFPD，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又CDAD，ADPA=A，CD平面PAD，AF平面PAD，CDAF，又PDCD=D，AF平面PCD，由(1)知EGAF，EG平面PCD，又EG平面PEC，平面PEC平面PCD.解：(1)證明：如圖，取AB的中點M，連接DM，則DMBC，DM=AB，即點D在以線段A

25、B為直徑的圓上，BDAD，又AEBD，且AEAD=A，BD平面EAD.BD平面EBD，平面EBD平面EAD.(2)BD平面EAD，且BD平面ABCD，平面ABCD平面EAD.等邊EAD的面積為，AD=AE=ED=2，取AD的中點O，連接EO，則EOAD，EO=，平面EAD平面ABCD，平面EAD平面ABCD=AD，EO平面ABCD.由(1)知ABD，EBD都是直角三角形，BD=2，SEBD=ED·BD=2，SBCD=BC·CDsin120°=.設(shè)點C到平面EBD的距離為h，由VC­EBD=VE­BCD，得SEBD·h=SBCD·EO，解得h=.點C到平面EBD的距離為.證明：PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又tan ABD=，tan BAC=，ABD=30°，BAC=60°，AEB=90°，即BDAC.又PAAC=A，BD平面PAC.又BD平面PBD，平面PBD平面PAC.解：(1)證明：設(shè)BC=a，則CD=a，AB=2a，由題意知BCD是等腰直角三角形，且BCD=90°，則BD=a，CBD=45°，所以ABD=ABCCBD=45°，在ABD