1、矩陣的初等變換與線性方程組的求解矩陣的初等變換與線性方程組的求解高斯消去法高斯消去法在本部分，我們將對中學(xué)所接觸過的消元法求解線性方程組的過程用矩陣的初等變換來表示，并且對方程組的解的情況給出相應(yīng)的判斷標(biāo)準(zhǔn)。1. 1.線性方程組的矩陣形式表示線性方程組的矩陣形式表示 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111引入如下三個矩陣引入如下三個矩陣 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.,2121 mnbbbbxxxX 利用矩陣的乘法利用矩陣的乘法,線性方程組可以寫成如下的線性方程組可以寫成如下的矩陣形式：矩陣形式： A

2、X=b 定義定義解向量與解集合解向量與解集合方程組的一組解稱為方程組的一個方程組的一組解稱為方程組的一個解向量解向量，所，所有解向量的全體構(gòu)成的集合稱為方程組的有解向量的全體構(gòu)成的集合稱為方程組的解集合解集合(解解集集)定義定義方程組相容方程組相容方程組有解，我們稱這個方程組是相容的，方程組有解，我們稱這個方程組是相容的，否則，否則，稱之為不相容的。稱之為不相容的。定義定義增廣矩陣增廣矩陣 bAB 定義定義 齊次方程組齊次方程組 AX = 0; 定義定義 非齊次方程組非齊次方程組 AX = b, b 0 (b中至少有一分量不為零中至少有一分量不為零)2 2消元法與矩陣的初等變換消元法與矩陣的初

3、等變換 對于如上所示的最一般形式的線性方程組：對于如上所示的最一般形式的線性方程組： mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 在初等數(shù)學(xué)中，常常用在初等數(shù)學(xué)中，常常用消元法消元法求解。消元法的基本思想是求解。消元法的基本思想是通過消元變形把已知方程組化成容易求解的通過消元變形把已知方程組化成容易求解的同解方程組同解方程組。在解在解未知數(shù)較多的方程組時(shí)，需要使消元法步驟規(guī)范而又簡便。未知數(shù)較多的方程組時(shí)，需要使消元法步驟規(guī)范而又簡便。問題問題方程組何時(shí)有解方程組何時(shí)有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解若有解，有多少解？如何求出其

4、全部解？ 35231344452321321321321xxxxxxxxxxxx1x 44525231343321321321321xxxxxxxxxxxx 例例1 解線性方程組解線性方程組解解 第一步第一步 使第一個方程中使第一個方程中 的系數(shù)為的系數(shù)為1 與第四個方程的位置，與第四個方程的位置，交換第一個方程交換第一個方程可得可得 第二步第二步 把第一個方程以下的各方程中的把第一個方程以下的各方程中的 消去第二個方程消去第二個方程減去第一個方程減去第一個方程 , 第三個方程減去第一個方程第三個方程減去第一個方程 ，第四個方程減，第四個方程減去第二個方程的倍，可得去第二個方程的倍，可得 1x

5、2223232343333322221 xxxxxxxxx 第三步第三步 使第二方程中的系數(shù)為使第二方程中的系數(shù)為1第二個方程加上第三方程第二個方程加上第三方程后再乘以（后再乘以（1），可得），可得22032334333322221 xxxxxxxxx 44525231343321321321321xxxxxxxxxxxx 第四步第四步 把第二個方程以下的方程中的把第二個方程以下的方程中的 都消去第三都消去第三 個方程加上第二個方程的個方程加上第二個方程的4倍，第四個方程減去第二個方程倍，第四個方程減去第二個方程 的的3倍，可得倍，可得 2x 22033332321xxxxxxx 第五步第五步

6、 把第三個方程以下的方程中的把第三個方程以下的方程中的 消去第四消去第四 個方程加上第三個方程，可得個方程加上第三個方程，可得 3x 00203332321xxxxxx(2.4)22032334333322221 xxxxxxxxx 第六步第六步 用用“回代回代”方法求解經(jīng)第五步后得到的方程組方法求解經(jīng)第五步后得到的方程組(2.4) 與原方程組等價(jià)由方程組與原方程組等價(jià)由方程組(2.4)的第三個方程得的第三個方程得 ，代入，代入 第二個方程得第二個方程得 ；再把；再把 代入第一個方代入第一個方 程可得程可得 于是，于是，22 x2, 223 xx31 x 00203332321xxxxxx方程

7、組的解為方程組的解為 . 223321xxx23 x類似上面形式的方程組稱為類似上面形式的方程組稱為階梯形方程組階梯形方程組一般地，一個一般地，一個階梯形線性方程組階梯形線性方程組應(yīng)該應(yīng)該滿足滿足如下如下兩個條件：兩個條件： （1 1）如果方程組中某一方程的各項(xiàng)系數(shù)全為零，那么如果方程組中某一方程的各項(xiàng)系數(shù)全為零，那么它下方的所有方程（如果存在）的各項(xiàng)系數(shù)全為零；它下方的所有方程（如果存在）的各項(xiàng)系數(shù)全為零； （2 2）如果方程組中某一方程中至少有一項(xiàng)的系數(shù)不為如果方程組中某一方程中至少有一項(xiàng)的系數(shù)不為零，設(shè)第一個系數(shù)不為零的項(xiàng)是第零，設(shè)第一個系數(shù)不為零的項(xiàng)是第 項(xiàng)，那么此方程下項(xiàng)，那么此方程

8、下方的所有方程（如果存在）的前方的所有方程（如果存在）的前 項(xiàng)的系數(shù)全為零項(xiàng)的系數(shù)全為零例如線性方程組例如線性方程組 i 036032244321 xxxxx310205321 xxx與與i 上述的消元過程中，我們對線性方程組施行了上述的消元過程中，我們對線性方程組施行了下列下列三種變換：三種變換：（1） 交換兩個方程的位置；交換兩個方程的位置； （2） 以非零數(shù)以非零數(shù) k 乘一個方程；乘一個方程； （3） 把某一個方程的把某一個方程的 k 倍加到另一個方程上倍加到另一個方程上這三種變換稱為線性方程組的這三種變換稱為線性方程組的初等變換初等變換 任意線性方程組任意線性方程組 若干次初等變換若

9、干次初等變換階梯方程組階梯方程組GaussGauss消元法：消元法：原方程組原方程組階梯方程組階梯方程組回代回代得解得解 在例在例1的消元過程中，我們對方程組進(jìn)行的初等變換的消元過程中，我們對方程組進(jìn)行的初等變換實(shí)際上只對方程組中未知量的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，未實(shí)際上只對方程組中未知量的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算因而知量并未參與運(yùn)算因而對方程組施行的初等變換可以對方程組施行的初等變換可以用相應(yīng)的矩陣的變換來表示用相應(yīng)的矩陣的變換來表示 回顧前面的方程組回顧前面的方程組 3111523113414452bAB三、利用矩陣初等行變換解線性方程組三、利用矩陣初等行變換解線性方程組 35

10、231344452321321321321xxxxxxxxxxxx原方程組原方程組增廣矩陣增廣矩陣 444523523213413321321321321xxxxxxxxxxxx1x使第一個方程中使第一個方程中 的系數(shù)為的系數(shù)為1 與第四個方程的位置與第四個方程的位置交換第一個方程交換第一個方程 44525231134131111B使第一行第一個元素為使第一行第一個元素為1 1，交，交換換 的第一行與第行的位置的第一行與第行的位置 B第第一一步步 把把(1)(1)以下的各方程中的以下的各方程中的 消消去去(2)-(1),(3)-(1),(4)-2(2)(2)-(1),(3)-(1),(4)-2

11、(2) 1x第第二二步步2223232343333322221 xxxxxxxxx 22302340223031112B在在 中，第二行減去第一行，中，第二行減去第一行，第三行減去第一行，第四行第三行減去第一行，第四行減去第一行的減去第一行的2倍倍 1B 使第二方程中的系數(shù)為使第二方程中的系數(shù)為1第二個第二個方程加上第三方程后再乘（方程加上第三方程后再乘（1）22032334333322221 xxxxxxxxx第第三三步步在在 中，使第二行第一元素為中，使第二行第一元素為1 1，第二行加上第三行后再乘以（第二行加上第三行后再乘以（ ） 2B1 22302340011031113B 把第二個方

12、程以下的方程中把第二個方程以下的方程中的的 都消去第三個方程加上都消去第三個方程加上第二個方程的第二個方程的4倍，第四個方程倍，第四個方程減去第二個方程的減去第二個方程的3倍倍 2x第第四四步步 22033332321xxxxxxx在在 中，第三行加上第二行的中，第三行加上第二行的4倍，倍，第四行減去第二行的第四行減去第二行的3倍倍 3B 21002100011031114B 把第三個方程以下的方程中的把第三個方程以下的方程中的 消去第四個方程加上第三個方消去第四個方程加上第三個方程程 3x 00203332321xxxxxx 在在 中，第四行加上第三行中，第四行加上第三行 4B第第五五步步

13、第六步第六步 用用“回代回代”方法求方法求解解 00203332321xxxxxx 00002100011031115B階梯形方程組階梯形方程組行階梯形矩陣行階梯形矩陣 00002100011031115B（1 1）如果某一行元素全為零，那么它下方的所有行（如果存如果某一行元素全為零，那么它下方的所有行（如果存在在) ) 元素元素也全為零；也全為零；（2 2）某一行元素不全為零，并且第一個不為零的元素位某一行元素不全為零，并且第一個不為零的元素位 于第于第 列，那么它下方的所有行（如果存在）的前列，那么它下方的所有行（如果存在）的前 個元個元素全為零素全為零ii 000021000110311

14、15B行階梯形矩陣行階梯形矩陣 一般地，一個一般地，一個行階梯行階梯形矩陣形矩陣應(yīng)該滿足以下應(yīng)該滿足以下兩個條件：兩個條件： 000003120063021 3000105002011 0400350024204321ji,jirr kkiikrjjikrr kki稱為矩陣的初等行變換稱為矩陣的初等行變換 (1) 交換兩行的位置交換兩行的位置(交換第交換第 兩行兩行,記作記作 )(2) 以非零數(shù)以非零數(shù) 乘某一行（以乘某一行（以 乘第乘第 行行,記作記作 ）; (3) 把某一行的把某一行的 倍加到另一行上（把第倍加到另一行上（把第 行的行的 倍加到第倍加到第 行上，記作行上，記作 ）例如例如

15、矩陣矩陣 與與 都是行階梯形矩陣都是行階梯形矩陣不是行階梯形矩陣不是行階梯形矩陣總結(jié)上述的矩陣變換過程，有以下三種變換：總結(jié)上述的矩陣變換過程，有以下三種變換：利用矩陣的初等行變換解線性方程組的一般方法利用矩陣的初等行變換解線性方程組的一般方法原方原方程組程組增廣增廣矩陣矩陣對應(yīng)方對應(yīng)方程組程組行階梯行階梯矩陣矩陣回代回代求解求解任何線性方程組都可通過方程初等變換化為階梯方程組任何線性方程組都可通過方程初等變換化為階梯方程組任何矩陣都可以通過矩陣初等變換化為階梯形矩陣任何矩陣都可以通過矩陣初等變換化為階梯形矩陣 所以：所以： 線性方程組可以通過其對應(yīng)的增廣矩陣來解線性方程組可以通過其對應(yīng)的增廣

16、矩陣來解 例例2 解線性方程組解線性方程組 214241335423333222111 xxxxxxxxx 解解 對方程組的增廣矩陣對方程組的增廣矩陣 依次施行下列初等行變換，使它依次施行下列初等行變換，使它 化為行階梯形矩陣化為行階梯形矩陣 B 24531413412321B 8510121020232112133rrrr 85106510232122r 20006510232123rr這個矩陣的最后一行除最后一個元素不為零外其余元素這個矩陣的最后一行除最后一個元素不為零外其余元素都為零，它對應(yīng)一個矛盾方程都為零，它對應(yīng)一個矛盾方程 2000321 xxx原方程組無解原方程組無解811332

17、23444333222111 xxxxxxxxxxxxB 8112111113133211B 52130381052013321112133rrrr例例3 解方程組解方程組 解解 對方程組的增廣矩陣對方程組的增廣矩陣 依次施行下列初等行變換，使依次施行下列初等行變換，使它化為行階梯形矩陣它化為行階梯形矩陣 5213033841013321132rr 104261300338410133211233rr 82100338410133211133r3381328342444333221 xxxxxxxxx,2843xx 4x12 x12 x4328xx 412xx 已是行階梯形矩陣已是行階梯形矩陣

18、從最后一個方程可得從最后一個方程可得 其中其中可取任意實(shí)數(shù)可取任意實(shí)數(shù)代入第二個方程，得到代入第二個方程，得到 再把再把代入第一個方程，得到代入第一個方程，得到 82100338410133211最后一個矩陣最后一個矩陣它對應(yīng)的方程組是它對應(yīng)的方程組是4328xx 把把tx 4 tttxxxx28124321令令，得方程組的解為，得方程組的解為 方程組有方程組有無窮多個解無窮多個解472252232323232111 xxxxxxxxxxxB例例4 解線性方程組解線性方程組 解解 對方程組的增廣矩陣對方程組的增廣矩陣依次施行以下初等行變換，使依次施行以下初等行變換，使它化為行階梯形矩陣它化為行

19、階梯形矩陣 4112722151112110B 411272212110511121rr 631021102110511113142rrrr 42000000211051112324rrrr 000042002110511143rr 000021002110511123r225333212 xxxxxx它對應(yīng)的方程組是它對應(yīng)的方程組是 ,用回代方法得原方程組的解用回代方法得原方程組的解 203321xxx 方程組有唯一解方程組有唯一解 0000210021105111最后一個矩陣最后一個矩陣是行階梯形矩陣是行階梯形矩陣方程組解的三種情況方程組解的三種情況:無無 解解無窮多解無窮多解唯一解唯一解

20、 200065102321 82100338410133211 0000210021105111出現(xiàn)了矛盾方程出現(xiàn)了矛盾方程方程個數(shù)比未方程個數(shù)比未知數(shù)的個數(shù)少知數(shù)的個數(shù)少方程個數(shù)和未知方程個數(shù)和未知數(shù)的個數(shù)一樣多數(shù)的個數(shù)一樣多非零行個數(shù)比非零行個數(shù)比未知數(shù)個數(shù)少未知數(shù)個數(shù)少非零行個數(shù)和未非零行個數(shù)和未知數(shù)個數(shù)一樣多知數(shù)個數(shù)一樣多生活中應(yīng)保持一份幽默感生活中應(yīng)保持一份幽默感生活中應(yīng)保持一份幽默感 一般線性方程組的解也有：一般線性方程組的解也有：無解，無窮多解，唯一解無解，無窮多解，唯一解三種不同情況三種不同情況 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211122221

21、2111212111 (2.5) 對它的增廣矩陣施行若干次初等行變換，使它化為對它的增廣矩陣施行若干次初等行變換，使它化為行階梯形矩陣行階梯形矩陣 (2.6) 00000000000000000000112212222111111211rrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組如何判斷呢？如何判斷呢？其中其中ricii, 2 , 1, 0 01 rd根據(jù)方程求解的方法可得根據(jù)方程求解的方法可得 00000000000000000000112212222111111211rrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc情形情形1 若若可得到矛

22、盾方程可得到矛盾方程方程無解方程無解方程有唯一解方程有唯一解若若01 rd情形情形2非零行個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)非零行個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)且且nr 01 rd情形情形3 若若非零行個數(shù)小于未知數(shù)個數(shù)非零行個數(shù)小于未知數(shù)個數(shù)方程有無窮解方程有無窮解且且nr 無窮解的情形，我們作一討論無窮解的情形，我們作一討論nrnnnnnrrrrrrrrrrrrrrrxcxcxcxcdxcxcdxcxcdxcxcxcxc 21111122211111222212111 00000000000000000000112212222111111211rrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc階梯矩陣階梯矩

23、陣01 rd若若且且nr 對應(yīng)的方程組為對應(yīng)的方程組為未知量未知量 nrrxxx,21 任取一組值，例如任取一組值，例如nnrrrrkxkxkx ,2211可得未知量可得未知量 ,21xxrx,確定的一確定的一 組值組值 rkkk,21于是于是 nrrnrrkkkkxxxx1111 為方程組的一個解為方程組的一個解nrrxxx,21 由未知量由未知量 取值的任意性，線性方程組取值的任意性，線性方程組nrrxxx,21 未知量未知量可以自由可以自由取值，取值，所以稱為所以稱為自由未知量自由未知量的取值的取值有無窮多個解有無窮多個解,21xxrx,nrrxxx,21 的值依賴于的值依賴于未知量未知

24、量 rn 自由未知量的個數(shù)為自由未知量的個數(shù)為 未知量的個數(shù)未知量的個數(shù)非零行的個數(shù)非零行的個數(shù) 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 00021nxxx 總是它的解（稱為方程組的總是它的解（稱為方程組的零解零解）由于由于 故齊次線性方程組總是相容的故齊次線性方程組總是相容的 根據(jù)前面的討論，對于齊次線性方程組解的情況可得如下定理根據(jù)前面的討論，對于齊次線性方程組解的情況可得如下定理 對齊次方程組對齊次方程組定理定理 對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行有限次初等行變換，對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行有限次初等行變換，使它化為行階梯形矩陣那

25、么使它化為行階梯形矩陣那么(1) 只有零解只有零解 非零行的行數(shù)等于方程組未知量的個數(shù)；非零行的行數(shù)等于方程組未知量的個數(shù)；(2) 有非零解有非零解 非零行的行數(shù)小于未知量的個數(shù)非零行的行數(shù)小于未知量的個數(shù) 0340222022432143214321 xxxxxxxxxxxx求求解解齊齊次次線線性性方方程程組組例例 341122121221 00004630122123rr等等變變換換對對系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣施施行行初初解解： 46304630122113122rrrr 0000342101221231r 00003421035201212 rr從而原方程與下列方程組同解從而原方程與下列方程組同

26、解 0 3420352432431xxxxxxRkkkxkxkkxkkx 212413212211, 342352為階梯形矩陣為階梯形矩陣解得解得方程最后求解回代的過程可以通過如下的方法來實(shí)現(xiàn)：方程最后求解回代的過程可以通過如下的方法來實(shí)現(xiàn)：看前面的例題看前面的例題對最后的行階梯矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行矩陣的初等變換對最后的行階梯矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行矩陣的初等變換 0000210021105111 000021000010300121rr 203321xxx 00002100001030113231rrrr于是，由最后于是，由最后一個矩陣直接一個矩陣直接寫出原方程組寫出原方程組的解的解 行最簡矩陣行最簡矩陣（1）

27、非零行（元素不全為零的行）的第一非零元素都是）非零行（元素不全為零的行）的第一非零元素都是1；（2）非零行的第一個非零元素所在列的其余元素全為零）非零行的第一個非零元素所在列的其余元素全為零一般地，一個一般地，一個行最簡形矩陣行最簡形矩陣是滿足下列兩個條件的行階梯形是滿足下列兩個條件的行階梯形矩陣：矩陣：這個方法稱為線性方程組的高斯一若當(dāng)這個方法稱為線性方程組的高斯一若當(dāng)（Gauss -Jordan）消元法消元法，它是一種改進(jìn)了的高斯消元法，它是一種改進(jìn)了的高斯消元法任意矩陣任意矩陣行階梯形矩陣行階梯形矩陣從左至右，從上至下從左至右，從上至下從右至左，從下至上從右至左，從下至上行最簡形矩陣行最

28、簡形矩陣解線性方程組的最終一般步驟解線性方程組的最終一般步驟原方原方程組程組增廣增廣矩陣矩陣判斷解判斷解的情況的情況行階梯行階梯矩陣矩陣化最化最簡形簡形停止停止有解有解無解無解例例5 解線性方程組解線性方程組 21333322221111112122232224422 xxxxxxxxxxxx 211341224220210221220B 126812242202122010222152rrr 3220322032201220102214131524rrrrrr 24002400240012201022242325rrrrrr1000000002400122010223435Brrrr 解解

29、對增廣矩陣對增廣矩陣B施行初等行變換，使它化為行階梯形矩陣施行初等行變換，使它化為行階梯形矩陣 000000002400122010221B 000000001001220102221)4(3r 000000001002020102221232rr 00000000100101010222122r 000000001001010001212121r 000000001001010100221221rr 最后一個矩陣為行最簡形矩陣，由此可以直接寫出原最后一個矩陣為行最簡形矩陣，由此可以直接寫出原 方程組的唯一的解方程組的唯一的解 最后一個矩陣最后一個矩陣 為行階梯形矩陣，無矛盾方程，且非零行為行階梯形矩陣，無矛盾方程，且非零行的個數(shù)和未知數(shù)的個數(shù)一樣多，故原方程組有唯一的解的個數(shù)和未知數(shù)的個數(shù)一樣多，故原方程組有唯一的解繼續(xù)對繼續(xù)對 施行下列初等行變換，使它化為行最簡形矩陣施行下列初等行變換，使它化為行最簡形矩陣 1B1BTTxxx)