1、中考數(shù)學(xué)幾何模型11:阿氏圓最值模型名師點睛撥開云霧開門見山在前面的胡不歸問題中,我們見識了“kPA+PB最值問題,其中P點軌跡是直線,而當P點軌跡變?yōu)閳A時,即通常我們所說的阿氏圓問題.【模型來源】“阿氏圓又稱為“阿波羅尼斯圓,如下列圖,A、B兩點,點P滿足PA：PB=k(kwi),那么滿足條件的所有的點P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱“阿氏圓【模型建立】如圖1所示,OO的半徑為R,點A、B都在.O外,P為.O上一動點,R=CoB,5連接PAPB,那么當“PA+2PB的值最小時,P點的位置如何確定5解決方法：如圖2,在線段OB上截取OC使OC=2R,那么可

2、說明ABPO與APCO相似,那么有-PB=PCo55故此題求“PA+2PB的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC的最小值,其中與A與C為定點,P為動點,故當A、5P、C三點共線時,“PA+PC值最小.【技巧總結(jié)】計算PAkgPB的最小值時,利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形問題：在圓上找一點P使得PAkgPB的值最小,解決步驟具體如下:1.如圖,將系數(shù)不為1的線段兩端點與圓心相連即OP,OB2 .計算出這兩條線段的長度比OPOB一OCPC.3 .在OB上取一點C,使得k,即構(gòu)造pomsbop,那么k,PCkgPBOPPB4 .那么PAkgPB=PAPCAC,當A、P、C三點共線時可得最小值典

3、題探究啟迪思維例題1.如圖,在RtAABC中,/C=90,AC=4,BC=3,以點C為圓心,2為半徑作圓C,分別交探究重點AC、BC于D、E兩點,點P是圓C上一個動點,那么1【分析】這個問題最大的難點在于轉(zhuǎn)化,PA,此處P點軌跡是圓,注意到圓C半徑為2,CA=4,2PM=2:1,即PM=Ipa2連接CP,構(gòu)造包含線段AP的ACPA,在CA邊上取點M使得CM=2,連接PM,可得CPAsCMP,故PA:問題轉(zhuǎn)化為PM+PB>BM最小值,故當B,P,M三點共線時得最小值,直接連變式練習(xí)>>>AP.BP,1 .如圖1,在RTAABC中,/ACB=90°,CB=4,CA

4、=6,圓C的半徑為2,點P為圓上一動點,連接一237_答案:=寸'37=2«37,=7,=2庖.,3解答*如圖2,逐接CP,由于CPE,AC=6c=4,優(yōu)單推算得=!,冬=!.而題AC3CR2目中是求zp+Lbn其中的故舍棄在上取點,應(yīng)用"生所以在22CB2上取一點D.使8=1,那么有器二音二崇二J,無論戶如何移動,APCD與ABCP始純相似.故pc二,即始終成立.所以"4/?尸=+尸門*其中人力為定點,故4p、22力二點共線時最小,月F卜-BP=APPD=AD=AC2+CD2=假設(shè)求呢235一例題2.如圖,點C坐標為2,5,點A的坐標為7,0,OC的半徑

5、為J10,點B在OC上一動點,OBAB5的最小值為答案:5.變式練習(xí)>>>2 .如圖,在平面直角坐標系xoy中,A(6,-1),M(4,4),以M為圓心,24萬為半徑畫圓,O為原點,P是.M上一動點,那么PO+2PA的最小值為.答案:10.1,AB為直徑,AC、BD為切線,AC=1,BD=2,P遍上一動點,求mPC+PD2例題3.如圖,半圓的半徑為的最小值.連接PB、CO,AD與CO交于點M, ,AB=BD=4,BD是切線,/ABD=90°,ZBAD=ZD=45°, AB是直徑,./APB=90°, .ZPAB=ZPBA=45°,PA=

6、PB,POXAB, ,AC=PO=2,AC/PO,二.四邊形AOPC是平行四邊形,OA=OP,/AOP=90°,四邊形AOPC是正方形,PM=返pc,.22L1PC+PD=PM+PD=DM,-.DM±CO,.此時匹PC+DP最小=AD-AM=2變式練習(xí)>>>3 .如圖,四邊形ABCD為邊長為4的正方形,OB的半徑為2,P是.B上一動點,那么PD+PC的最小值為5;72PD+4PC的最小值為10匹.【解答】解：如圖,連接PB、在BC上取一點E,使得BE=1.PB2=4,BE軌=4,1.PB2=BE?BC,里=典BCPB.PE+PDOE,在RtDCE中,DE=

7、yl=5,PD+Lc的最小值為5.2./PBE=/CBE,連接DB,PB,在BD上取一點巳使得BE,連接EC,作EFXBCTF.BPBEBDBPPB2=4,BE?BD=,BP2=BE?BD,./PBE=/PBD,PBEADBP,->_-PE-PD,PEPD,PDBD447PD+4PC=4(苧PD+PC)=4(PE+PC).PE+PC壬C,在RtAEFC中,EF,FC=.寸叵PD+4PC的最小值為10也.故答案為5,1詆.例題4.如圖,正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3,點P是圓B上的一個動點,那么PDPC的2最大值為【分析】當P點運動到BC邊上時,此時PC=3,根據(jù)題意要求構(gòu)造二PC

8、,在BC上取M使得此時PM=-,那么在點P運動的任意時刻,均有pm=1pc,從而將問題轉(zhuǎn)化為求2PD-PM的最大值.連接PD,對于4PDM,PD-PMVDM,故當D、M、15P共線時,PD-PM=DM為最大值一.2的最小值為PD-2氏的最大值為Vios.3-變式練習(xí)>>>4 .(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為9,圓B的半徑為6,點P是圓B上的一個動點,那么PD(2)如圖2,菱形ABCD的邊長為4,ZB=60°,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點,那么DPD+/PC的最小值為二吁9C的最大值為一亙一.圖1【解答】解：(1)如圖圖23中,三=盟=2,PGPCPB

9、3PD+工PC=DP+PG,3當D、G、P共線時,PD+3PC的值最小,最小值為DG=PD-2pC=PD-PGBG,3當點P在DG的延長線上時,PD-_PC的值最大,最大值為2故答案為''J.J=刁DG4/106(2)如圖4中,在BC上取一點G,使得BG=1,作DFLBC于F.BCPB2/PBG=.PBGACBP,.PG-BG-lPCPG=PBPC,2PD+士PC=DP+PG,2.DP+PGG,當D、2,在RtACDF中,/DCF=60°,CD=4,.DF=CD?sin60=2后CF=2,在RtAGDF中,DG=PD?PC=PD-PGBG,當點P在DG的延長線上時,P

10、D-PC的值最大(如圖2中),最大值為DG=.街例題5.如圖,拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點,直線AC:y=-1x-62交y軸于點C.點E是直線AB上的動點,過點E作EF±x軸交AC于點F,交拋物線于點G.(1)求拋物線y=-x2+bx+c的表達式；(2)連接GB,EO,當四邊形GEOB是平行四邊形時,求點G的坐標；(3)在y軸上存在一點H,連接EH,HF,當點E運動到什么位置時,以A,E,F,H為頂點的四邊形是矩形求出此時點E,H的坐標；在的前提下,以點E為圓心,EH長為半徑作圓,點M為.E上一動1點,求一AM+CM它的最小值.2【解答】

11、解：(1)二點A(-4,-4),B(0,4)在拋物線y=-x2+bx+c上,(16+'c=4,Ic=4,的=-21,拋物線的解析式為y=-x2-2x+4;(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n過點A,B,口=4尸2.卜4"+n=-q.E=4,.直線ab的解析式為y=2x+4,設(shè)E(m,2m+4),G(m,-m2-2m+4),四邊形GEOB是平行四邊形,EG=OB=4,-m2-2m+4-2m-4=4,1.m=-2,.G(-2,4);(3)如圖1,由(2)知,直線AB的解析式為y=2x+4,設(shè)E(a,2a+4),;直線AC:y=x-6,1-F(a,a6),設(shè)H(0,p),22 以

12、點A,E,F,H為頂點的四邊形是矩形, 直線AB的解析式為y=2x+4,直線AC:y=-1x-6,2 .ABAC,EF為對角線,(-4+0)=(a+a),22一(4+p)=(2a+4a-6),222.a=-2,P=T,.E(-2,0).H(0,T);如圖2,由知,E(2,0),H(0,-1),A(4,4),.EH=75,AE=2J5,設(shè)AE交.E于G,取EG的中點P,PE=2連接PC交.E于M,連接EM,EM=EH=1R,5.,PE21.ME%51.PEME1ME,512'AE2512'MEAE_2一._PE./PEM=ZMEA,PEMsMEAME-PM=1AM,1AM+CM的

13、最小值=PC,設(shè)點22ME1=,AE2P(p,2p+4),E(-2,0),PE=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2,.PE=,.=5(p+2)2=-r,p=5或p=-3(由于E(-2,0),所以舍去),.P(5,-1),222C(0,一6),.PC=H)：小即：1aM+CMnWL222變式練習(xí)>>>5.如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(awQ與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,在x軸上有一動點E(m,0)(0vmv4),過點E作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點P,過點P作PMXAB于點M.(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達式；(2)設(shè)4PMN

14、的周長為Ci,求m的值;AEN的周長為C2,假設(shè)OE；旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°),連(3)如圖2,在(2)條件下,將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到【解答】解：(1)令y=0,那么ax2+(a+3)x+3=0,(x+1)(ax+3)=0,x=-1或-J-a:拋物線y=ax2+(a+3)x+3(awQ與x軸交于點A(4,0),設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,那么.A(4,4,q直線AB斛析式為y=-x+3.4(2)如圖1中,pmxab,pexoa,./PMN=/AEN,/PNM=/ANE,/.APNMAANE,NE/OB,ANAB,AN=OA(4m)拋物線解析式為

15、:-21-1Cy=x2+x+3,44m2+3m,4qm+3m-=旦,解得m=2.(3)如圖2中,在y軸上取一點M使彳導(dǎo)OM=AM',在AM'上取一點E使彳導(dǎo)OE'=OE.OE=2,OM'OB=33=4,.OE2=OM'OB,.uEOBAE'(兩點間線段最短,A、M'、E共線時),/BOE=ZMOE；'=AE'EM'=AM',此時AE'BE最小10.領(lǐng)悟提升強化落實最小值=AM'=達標檢測1 .如圖,在RTAABC中,/B=90°,AB=CB=2以點B為圓心作圓與AC相切,圓C的半徑

16、為J2,點P為圓B上的一動點,求AP返PC的最小值.2答案:J5.2 .如圖,邊長為4的正方形,內(nèi)切圓記為OO,P是.O上一動點,那么J2PA+PB的最小值為答案:2娓.3 .如圖,等邊4ABC的邊長為6,內(nèi)切圓記為OO,P是.O上一動點,那么2PB+PC的最小值為PB1的最小值為?4 .如圖,在R匕ABC中,ZC=90,CA=3,CB=4,eC的半徑為2,點P是eC上的一動點,那么AP一2解答,如圖"連接"LI算CPCH；,應(yīng)選擇在8上取點,構(gòu)造T核武器H“母子型相似模型修,取點M使開;1,那么有BHP=-,所以無論尸如M移動,FCH與ACP始終相似故再/18尸始終成立,

17、所以如“!尸口MP+PH,其中從d為定點故巾R/三點共線時局小,"二PH=正獷+=布.國考E假設(shè)求5 .如圖,在平面直角坐標系中,A2,0,B0,2,C4,0,D3,2,P是AOB外部第一象限內(nèi)的一動點,且/BPA=135.,那么2PDPC的最小值是多少?BI)答案4亞6 .如圖,RtAABC,/ACB=90°,AC=BC=2,以g為頂點的正方形CDEFC、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列可以繞點C自由轉(zhuǎn)動,且CD=V2,連接AF,BD求證：BDCAFC;(2)AD的值;當正方形CDEF有頂點在線段AB上時,直接寫出BD+返2(3)直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中,BD+

18、AD的最小值.2【解答】(1)證實：如圖1中,四邊形CDEF是正方形,CF=CD,ZDCF=ZACB=90°,./ACF=/DCB,AC=CB, .FCAADCB(SAS).(2)解：如圖2中,當點D,E在AB邊上時, .AC=BC=2,/ACB=90°, .AB=2V2, .CDXAB,AD=BD='/2,BD+!±1aD=V2+1.lIi如圖3中,當點E,F在邊AB上時.BD=CF=V2,AD=BD+=AD=2(3)如圖4中.取AC的中點M.連接DM,BM.CD=172,CM=1,CA=2, .CD2=CM?CA,.U_=CE./DCM=/ACD,CACD .DCMAACD,地=3ADAC綿DM=-AD,2V2BD+AD=BD+DM,2_ 當B,D,M共線時,BD+*AD的值最小,最小值=k/cB2+c"=詔7.(1)如圖1,在ABC中,AB=AC,BD是AC邊上的中線,請用尺規(guī)作圖做出AB邊上的中線CE,并證實BD=CE:S