1、可交換矩陣的幾個(gè)充要條件及其性質(zhì)在高等代數(shù)中,矩陣是一個(gè)重要的內(nèi)容.由矩陣的理論可知,矩陣的乘法不同于數(shù)的乘法,矩陣的乘法不滿足交換律，即當(dāng)矩AB有意義時(shí)，矩陣BA未必有意義，即使AB,BA都有意義時(shí)它們也不一定相等但是當(dāng)A,B滿足一定條件是,就有ABBA,此時(shí)也稱A與B是可交換的,可交換矩陣有許多良好的性質(zhì),本文主要研究矩陣可交換的幾個(gè)條件及其常見的性質(zhì).本文矩陣均指n階實(shí)方陣.§1矩陣可交換成立的幾個(gè)充分條件定理(1)設(shè)A,B至少有一個(gè)為零矩陣,則A,B可交換；(2) 設(shè)A,B至少有一個(gè)為單位矩陣,則A,B可交換;(3) 設(shè)A,B至少有一個(gè)為數(shù)量矩陣,則A,B可交換；設(shè)A,B均為

2、對(duì)角矩陣,則A,B可交換；(5)設(shè)A,B均為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，則A,B可交換；設(shè)A*是A的伴隨矩陣，則A與A*可交換；(7) 設(shè)A可逆,則A與A1可交換；(8) 設(shè)ABE,則A,B可交換.證(1)對(duì)任意矩陣A,均有AOOA,O表示零距陣，所以A,B至少有一個(gè)為零矩陣時(shí),A,B可交換；(2) 對(duì)任意矩陣A,均有AEEA,E表示單位矩陣，所以A,B至少有一個(gè)為單位矩陣時(shí),A,B可交換；(3) 對(duì)任意矩陣A,均有A(kE)(kE)A,k為任意實(shí)數(shù)，則(kE)為數(shù)量矩陣，所以A,B至少有一個(gè)為數(shù)量矩陣時(shí),A,B可交換；(4) ,(5)顯然成立；AA*AEAA,所以矩陣A與其伴隨矩陣可交換；AA1EA1A,所

3、以矩陣A與其逆矩陣可交換；(8)當(dāng)ABE時(shí)，A,B均可逆,且互為逆矩陣,所以根據(jù)可知A,B可交換.定理(1)設(shè)ABAB,其中,為非零實(shí)數(shù)，則A,B可交換,設(shè)AmABEJ其中m為正整數(shù)，為非零實(shí)數(shù)，則A,B可交換.證(1)由ABAB可得(AE)(B1E)E,即(AE)(BE)E,故依定理(8)得丄(BE)(AE)E,于是BAABEE,所以BAABAB;由AmABE得A(Am1B)E,故依定理(8)得(Am1B)AE,于是AmBAE,所以可得ABBA.定理(1)設(shè)A可逆,若ABO或AAB或ABA,則A,B可交換；設(shè)A,B均可逆,若對(duì)任意實(shí)數(shù)k,均有A(AkE)B,則A,B可交換.證(1)若ABO,

4、由A可逆得B(A1A)BA1(AB)O,從而BAO,故ABBA;若AAB,同理可得B(A1A)BA1(AB)E,故ABBA;若ABA,則BB(AA1)(BA)A1E,故ABBA.因A,B均可逆，故由A(AkE)B得AkE可逆，且B(AkE)1A,貝UAB(AkE)B(AkE)1AB(AkE)A(AkE)1'''''1''''1B(AAkA)(AkE)BA(AkE)(AkE)IIBA,兩邊取轉(zhuǎn)置可得ABBA.或由11111111AB(AkE)B(AkE)AB(AkE)A(AkE)2B(AkA)(AkE)B(AkE)A(AkE

5、)1A1BA,兩邊取逆可得ABBA.§2矩陣可交換成立的幾個(gè)充要條件定理下列均是A,B可交換的充要條件:(1) (AB)*A*B*;(2) (AB)'A'B'(3) A2B2(AB)(AB)(AB)(AB);222(4) (AB)2A22ABB2.證(1)因?yàn)?AB)*A*B*,兩邊同時(shí)取伴隨矩陣可得ABBA;)因?yàn)锳BBA,兩邊同時(shí)取伴隨矩陣可得(AB)*A*B*;(2)因?yàn)?AB)'A'B',兩邊取轉(zhuǎn)置可得ABBA;)因?yàn)锳BBA,兩邊取轉(zhuǎn)置可得(AB)'A'B'(3)因?yàn)?AB)(AB)A2ABBAB2,A

6、2B2(AB)(AB),所以ABBA;同理由(AB)(AB)A2ABBAB2,可證ABBA,)因?yàn)锳BBA,且(AB)(AB)2A2ABBAB2,所以A2B2(AB)(AB);同理由(AB)(AB)A2ABBAB2,可證A2B2(AB)(AB);(4)因?yàn)?AB)2A2ABBAB2,又由條件知(AB)2A22ABB2,所以ABBA;)因?yàn)锳B2BA,(AB)2AABBAB2,所以(AB)222A22ABB2;定理可逆矩陣A,B可交換的充要條件是(AB)1A1B1.證)因?yàn)?AB)1A1B1,兩邊取逆可得ABBA;)因?yàn)锳BBA,兩邊取逆可得(AB)1A1B1;定理(1)設(shè)A,B均為(反)對(duì)稱矩

7、陣，則A,B可交換的充要條件是AB為對(duì)稱矩陣;(2)設(shè)A,B有一個(gè)為對(duì)稱矩陣,另一個(gè)為反對(duì)稱矩陣,則A,B可交換的充要條件是AB為反對(duì)稱矩陣.證(1)設(shè)A,B均為對(duì)稱矩陣，由定理(AB)'A'B'AB,因此AB為對(duì)稱矩陣；若A,B均為反對(duì)稱矩陣，則(AB)'A'B'(A)(B)AB,因此AB也為對(duì)稱矩陣.若A,B中有一個(gè)為對(duì)稱矩陣，不妨設(shè)A為對(duì)稱矩陣，則B為反對(duì)稱矩陣，則(AB)'A'B'A(B)AB,因此AB為反對(duì)稱矩陣.定理設(shè)A,B均為對(duì)稱正定矩陣，則A,B可交換的充要條件是AB為對(duì)稱正定矩陣.證充分性由定理(1)可得

8、,下面證明必要性.因A,B為對(duì)稱正定矩陣，故有可逆矩陣P,Q,使APP',BQQ',于是ABPP'QQ',P1ABP(P'Q)(P'Q)'所以P1ABP為對(duì)稱正定矩陣，其特征值全為正數(shù).而AB與P1ABP相似，從而AB的特征值也全為正數(shù)，因此AB為對(duì)稱正定矩陣.§3可交換矩陣的一些性質(zhì)定義(1)幕等矩陣：若A為矩陣，且A2A,則A幕等矩陣.(2) 幕零矩陣：若A為矩陣，且AkO(kZ*),則A為幕零距陣.(3) 幕幺矩陣：若A為矩陣，且AkE,E為單位矩陣，則A為幕幺矩陣.性質(zhì)設(shè)A,B可交換,則有：AmBm(AB)(Am1Am2

9、BBm-1)(1) ；(Am1Am2BBm-1)(AB)n(AB)nC'AnkBk(矩陣二項(xiàng)式定理).k0ABmBmA,(AB)kAkBk,A1BBA1,其中m,k,l都是正整數(shù)；Af(B)f(B)A,其中f(B)是B的多項(xiàng)式,即A與B的多項(xiàng)式可交換；證(1)對(duì)m用數(shù)學(xué)歸納法可證得當(dāng)m1時(shí),明顯成立.假設(shè)當(dāng)mk時(shí),有AkBk(AB)(Ak1Ak2BBk1),下證當(dāng)mk1時(shí)結(jié)論也成立.Ak1(A(A(AkBk1(AB)(AkAk1B2bBk1)(AB)B),k1kB)(AB)(AAB)(Ak1Ak2BAk1BBk)(ABk)Bk1)故對(duì)一切正整數(shù)m,結(jié)論成立.(2) 用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n1時(shí)

10、,(AB)1A1B1AB,結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，有kk(AB)AC：Ak1Bk-1k1kCkABB,F面證當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立.由ABBA得AiBBjAi,于是(AB)k1(AB)k(AB)Ak1(C；1)AkB(Ck(AkC：AkCk1)A1Bk1iBiCk-1ABk1Bk1,Bk)(AB)k!ii1k!CkCki!(ki)!(i1)!(k1i)!k!(k1i)k!ii!(k1i)!(k1)!i!(k1i)!C：1.所以(AB)k1Ak1C：1AkBCk.klk1ABB故對(duì)一切正整數(shù)n,二項(xiàng)式定理成立.(3)由ABBA可得ABmABBm個(gè)BBABBB(m1)個(gè)BBBAm個(gè)BmA,同理可證(

11、AB)kAkBk,A1BBA1.由可證得.性質(zhì)設(shè)A,B可交換,(1) 若A,B均為幕等矩陣,則AB,ABAB也為幕等矩陣；若A,B均為幕零距陣，則AB,AB均為幕零距陣；(3)若A,B均為冪幺矩陣,則AB也為冪幺矩陣；證由ABBA,A2A,B2B,(AB)2A2B2AB,及22222(ABAB)2A2B2(AB)22AB2A2B2BABABAB2AB2AB2AB2ABAB,即可證得；設(shè)AkO,B1O,取hmaxk,l,則(AB)hAhBhO,即AB為幕零距陣；令mmkl1,則(AB)mCmAmkBkO,所以AB為幕零距陣k0(3) 由ABBA,AkE,BkE,(AB)kAkBkE2E可證得；性

12、質(zhì)設(shè)A,B可交換，若A,B分別為n階Hermite正定矩陣和非負(fù)定矩陣，則AB為Hermite非負(fù)定矩陣；證因?yàn)?AB)hBhAhBAAB,所以AB是Hermite矩陣.又因?yàn)锳0,所以存在n階可逆Hermite矩陣C使AC2.于是C1(AB)CCBCCHBC,則AB與CHBC具有相同的特征值.由B0知CHBC0,故CHBC的特征值均為非負(fù)數(shù)，從而AB的特征值均為非負(fù)數(shù).即AB0.性質(zhì)AB與BA的特征多項(xiàng)式相等，即fAB()fBA(),從而AB與BA的特征值也相同(包括重?cái)?shù)也一致).(2) 多項(xiàng)式|EAB|與|EBA|相等，即|EAB|EBA|.推論EAB與EBA的特征多項(xiàng)式相等.EAB與EB

13、A的特征多項(xiàng)式相等證因?yàn)閨E(EAB)|(1)EAB|,|E(EBA)|(1)EBA|,由性質(zhì)可知|(1)EAB|(1)EBA|,所以|E(EAB)|E(EBA)|.同理可證|E(EAB)|E(EBA)|.推論ABA與BAA的特征多項(xiàng)式相等.(2)ABA與BAA的特征多項(xiàng)式相等.證(1)因?yàn)锳BAA(BE),BAA(BE)A.根據(jù)性質(zhì)知A(BE)與(BE)A的特征多項(xiàng)式相等，故ABA與BAA的特征多項(xiàng)式相等同理可證ABA與BAA的特征多項(xiàng)式相等性質(zhì)矩陣EAB與EBA的秩相等(0),即秩(EAB)=秩(EBA).特別地,秩(EAB)=秩(EBA).AB與BA的特征矩陣的秩相等(0),即秩(EAB

14、)=秩(EBA).特別地，秩(EAB)=秩(EBA).性質(zhì)若A,B中有一個(gè)是可逆的，則AB與BA相似.證不妨設(shè)A可逆，由BAA1(AB)A知，AB與BA相似.性質(zhì)(1)AB與BA同為可逆矩陣或同為不可逆矩陣.(2) |AB|BA|.(3) AB與BA的跡相等，即tr(AB)tr(BA).性質(zhì)(1)ABBA不可能相似于kE(k0).(2)對(duì)可逆矩陣A,不可能有ABBAA.證(1)因?yàn)閠r(ABBA)tr(AB)tr(BA)0,而tr(kEkn0(當(dāng)k0時(shí)),由于相似矩陣的跡相等，所以ABBA不可能相似于非零矩陣kE.若存在可逆矩陣A,使ABBAA則BA1BAE,于是A1BABE,即B與BE相似,從而tr(BE)tr(B)ntr(B)這是不可能的.性質(zhì)(1)設(shè)A,B同為(反)對(duì)稱矩陣，則ABBA是對(duì)稱矩陣，ABBA是反對(duì)稱矩陣.設(shè)A,B有一個(gè)為對(duì)稱矩陣,另一個(gè)為反對(duì)稱矩陣,則ABBA是反對(duì)稱矩陣,ABBA是對(duì)稱矩陣.推論設(shè)A,B同為實(shí)(反)對(duì)稱矩陣,則ABBA的特征值的實(shí)部為零.(2)設(shè)A,B有一為實(shí)對(duì)稱矩陣,另一個(gè)為實(shí)反對(duì)稱矩陣,則ABBA的特征值的實(shí)部為零.證(1)由性質(zhì)(1)知ABBA是實(shí)反對(duì)稱矩陣因?yàn)閷?shí)反對(duì)稱矩陣的特征值只能是零或純