1、會(huì)計(jì)學(xué)1南航矩陣南航矩陣(j zhn)論論第一頁(yè)，共42頁(yè)。教材教材(jioci): (jioci): 矩陣論，戴華編，科矩陣論，戴華編，科學(xué)出版社。學(xué)出版社。主要參考書：主要參考書：方保镕，周繼東編，矩陣論，清華大學(xué)出版社方保镕，周繼東編，矩陣論，清華大學(xué)出版社，2004.2. 劉慧等，矩陣論及應(yīng)用，化學(xué)工業(yè)出版，劉慧等，矩陣論及應(yīng)用，化學(xué)工業(yè)出版，2003.3.程云鵬，矩陣論，西安工業(yè)大學(xué)出版，程云鵬，矩陣論，西安工業(yè)大學(xué)出版，2000.4. 羅家洪，矩陣分析羅家洪，矩陣分析(fnx)引論，華南理工大引論，華南理工大學(xué)出版，學(xué)出版，2002.第1頁(yè)/共41頁(yè)第二頁(yè)，共42頁(yè)。第第2 2章章

2、 線性映射線性映射(yngsh)(yngsh)與與線性變換線性變換第第1 1章章 線性空間線性空間(kngjin)(kngjin)與與內(nèi)積空間內(nèi)積空間(kngjin)(kngjin)第第3 3章章 - -矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)與矩陣與矩陣(j zhn)(j zhn)的的JordanJordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形第第4 4章章 矩陣的因子分解矩陣的因子分解第第7 7章章 矩陣函數(shù)與矩陣值函數(shù)矩陣函數(shù)與矩陣值函數(shù)第第5 5章章 HermiteHermite矩陣與正定矩陣矩陣與正定矩陣第第6 6章章 范數(shù)與極限范數(shù)與極限第第8 8章章 廣義逆矩陣廣義逆矩陣第2頁(yè)/共41頁(yè)第三頁(yè)，共42頁(yè)。

3、本章概述線性空間與內(nèi)積空間的基本概念和基本理論。這些概念是通常幾何空間概念的推廣和抽象。在近代數(shù)學(xué)(shxu)發(fā)展中，這些概念和理論已滲透到數(shù)學(xué)(shxu)的各個(gè)分支。本章內(nèi)容是學(xué)習(xí)本書的基礎(chǔ)。第3頁(yè)/共41頁(yè)第四頁(yè)，共42頁(yè)。1.1 預(yù)備知識(shí)：集合預(yù)備知識(shí)：集合(jh)映射與數(shù)映射與數(shù)域域1.2 線性空間線性空間(kngjin)1.3 基與坐標(biāo)基與坐標(biāo)(zubio)1.4 線性子空間線性子空間1.5 線性空間的同構(gòu)線性空間的同構(gòu)1.6 內(nèi)積空間內(nèi)積空間 第4頁(yè)/共41頁(yè)第五頁(yè)，共42頁(yè)。1.1 預(yù)備知識(shí)：集合預(yù)備知識(shí)：集合(jh)映射與映射與數(shù)域數(shù)域1.1.1 集合集合(jh)及其運(yùn)及其運(yùn)算

4、算1.1.2 二元關(guān)系與等價(jià)關(guān)系二元關(guān)系與等價(jià)關(guān)系1.1.3 映射映射(yngsh)1.1.4 數(shù)域與代數(shù)運(yùn)算數(shù)域與代數(shù)運(yùn)算第5頁(yè)/共41頁(yè)第六頁(yè)，共42頁(yè)。元素元素(yun s) a 屬于集合屬于集合 M , 記作記作元素元素 a 不屬于不屬于(shy)集合集合 M , 記作記作1. 定義及表示法定義及表示法定義定義 1. 具有具有某種特定性質(zhì)的事物的總體某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為稱為集合集合.組成集合的事物稱為組成集合的事物稱為元素元素.不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集 ,記作記作 . Ma( 或或Ma) .Ma第6頁(yè)/共41頁(yè)第七頁(yè)，共42頁(yè)。(1) 列舉列舉(li

5、j)法：法：按某種方式按某種方式(fngsh)列出集合中的全體元素列出集合中的全體元素 .例例:有限有限(yuxin)集集合合naaaA,21自然數(shù)集自然數(shù)集,2,1,0Nn(2) 描述法：指把集合中元素所具有的特征性質(zhì)表示出來(lái)。描述法：指把集合中元素所具有的特征性質(zhì)表示出來(lái)。 xM x 所具有的特征所具有的特征例例: 整數(shù)集合整數(shù)集合 ZxNx或Nx有理數(shù)集有理數(shù)集qpQ,N,Zqp p 與與 q 互質(zhì)互質(zhì)實(shí)數(shù)集合實(shí)數(shù)集合 Rx x 為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共41頁(yè)第八頁(yè)，共42頁(yè)。是 B 的子集(z j) , 或稱 B 包含 A ,BA

6、BA定義定義(dngy(dngy)2 .)2 .則稱 A若且則稱 A 與 B 相等相等,.BA例如 ,ZNQZRQ顯然有下列關(guān)系 :;) 1 (AA ;AABA)2(CB 且CA , ,A若Ax,Bx設(shè)有集合,BA記作記作必有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 AB 第8頁(yè)/共41頁(yè)第九頁(yè)，共42頁(yè)。AcABB并集 xBAAx交集(jioj) xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定義(dngy)下列運(yùn)算:余集)(ABBABcA其中ABABBABA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Bx或第9頁(yè)/共41頁(yè)第十頁(yè)，共42頁(yè)。由集合的交與并運(yùn)算由集合的交與并運(yùn)算(yn sun)的定義，顯然有的定義

7、，顯然有BAABAB AAA AA ABA BBA AAA A第10頁(yè)/共41頁(yè)第十一頁(yè)，共42頁(yè)。定理定理(dngl) 1.1.1 設(shè)設(shè)A、B、C是三個(gè)集合是三個(gè)集合,則則(1).,ABBAABBA交換律：(2).()()()()ABCABCABCABC結(jié)合律: (3).:()()()()()()ABCABACABCABAC分配律第11頁(yè)/共41頁(yè)第十二頁(yè)，共42頁(yè)。ABBA特例(tl):RR記2R為平面(pngmin)上的全體點(diǎn)集機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回(fnhu) 結(jié)束 1.1.2 1.1.2 二元關(guān)系與等價(jià)關(guān)系二元關(guān)系與等價(jià)關(guān)系定義定義1.1.2 設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，元素對(duì)的集

8、合 為A與B 的笛卡笛卡兒積兒積，記作 ，即 ,| ),(BbAabaBA,| ),(BbAabaBA第12頁(yè)/共41頁(yè)第十三頁(yè)，共42頁(yè)。定義定義1.1.3 1.1.3 設(shè)設(shè)A A、B B是兩個(gè)集合，是兩個(gè)集合， 的子集的子集R R 稱為稱為(chn wi) (chn wi) 中的一個(gè)二元關(guān)系，即按某種中的一個(gè)二元關(guān)系，即按某種規(guī)定，定義了一個(gè)有序?qū)σ?guī)定，定義了一個(gè)有序?qū)?a,b)(a,b)的集合的集合R R，其中其中BABA,.aA bB特別特別(tbi)(tbi)地，地， 中的二元關(guān)系簡(jiǎn)稱為中的二元關(guān)系簡(jiǎn)稱為A A上的二元關(guān)系。上的二元關(guān)系。 AA實(shí)質(zhì)：二元關(guān)系實(shí)質(zhì)：二元關(guān)系(gun x

9、)是描述兩個(gè)集合之間元素與元素是描述兩個(gè)集合之間元素與元素的關(guān)系的關(guān)系(gun x)或者是一個(gè)集合內(nèi)部?jī)蓚€(gè)元素之間的關(guān)系或者是一個(gè)集合內(nèi)部?jī)蓚€(gè)元素之間的關(guān)系(gun x)，它是滿足某種規(guī)律的有序?qū)θw。它是滿足某種規(guī)律的有序?qū)θw。記為：aRb.第13頁(yè)/共41頁(yè)第十四頁(yè)，共42頁(yè)。例 1：(B1,2,3AAB設(shè)甲，乙，丙，丁 四個(gè)人），（三套房間），與 之間是一個(gè)住宿關(guān)系。例 2：A=A=矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)論五班學(xué)生論五班學(xué)生 。RA顯然，均來(lái)自于南京的同學(xué)關(guān)系 是 上的一個(gè)二元關(guān)系。想一想：想一想： 在該例中還存在在該例中還存在(cnzi)什么關(guān)系？什么關(guān)系？AB為上的一

10、個(gè)二元關(guān)系。(),(),(),()RA B顯然，甲，1乙，3丁，3丙，2第14頁(yè)/共41頁(yè)第十五頁(yè)，共42頁(yè)。例：例： 4321aaaa李蘭，陳平，王兵，張華是學(xué)生集合是學(xué)生集合 4321bbbb遙感，自動(dòng)化，硬件，軟件是專業(yè)集合是專業(yè)集合 則：則：1 1（1 1，1 1），（），（1 1，3 3），）， （2 2，2 2），（），（2 2，4 4），）， （3 3，3 3），（），（3 3，4 4）, , （4 4，1 1），（），（4 4，4 4） 是選雙學(xué)位專業(yè)是選雙學(xué)位專業(yè)(zhuny)的二元關(guān)系。的二元關(guān)系。第15頁(yè)/共41頁(yè)第十六頁(yè)，共42頁(yè)。定義定義1.1.4 1.1.4 若集合

11、若集合A A上的一個(gè)上的一個(gè)(y )(y )二元關(guān)系二元關(guān)系R R 滿足滿足（1） 自反性：對(duì)任意(rny) ，有aRa； （2） 對(duì)稱性：對(duì)任意(rny) ，如果aRb， 則bRa；（3） 傳遞性：對(duì)任意 ，如果 aRb，bRc，則aRc則稱則稱R R是是A A上的一個(gè)上的一個(gè)等價(jià)關(guān)等價(jià)關(guān)系系。AaAba,Acba,第16頁(yè)/共41頁(yè)第十七頁(yè)，共42頁(yè)。定義定義1.1.5 1.1.5 設(shè)設(shè)R R是是A A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系， 稱稱 為為a a關(guān)于關(guān)于R R的等價(jià)類。的等價(jià)類。A A的所有的所有(suyu)(suyu)元素關(guān)于元素關(guān)于R R的等價(jià)類集合的等價(jià)類集合 稱為稱為A

12、A關(guān)于關(guān)于R R的商集。的商集。Aa,|xRaAxxa| AaaRA特點(diǎn)特點(diǎn)(tdin)：同一等價(jià)類之間有關(guān)系同一等價(jià)類之間有關(guān)系R, R, 而不同等價(jià)類之間而不同等價(jià)類之間無(wú)此關(guān)系。無(wú)此關(guān)系。由對(duì)集合中各元素性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化由對(duì)集合中各元素性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化(zhunhu)(zhunhu)為對(duì)為對(duì)一個(gè)一個(gè)等價(jià)類的研究，大大減少了工作量。等價(jià)類的研究，大大減少了工作量。第17頁(yè)/共41頁(yè)第十八頁(yè)，共42頁(yè)。A=A=矩陣論五班學(xué)生矩陣論五班學(xué)生 ， R: R: 為同性別為同性別(xngbi)(xngbi)關(guān)系。關(guān)系。例 4：RR11則【男】男生 ，【女】女生 。11/,.RA RR【男】【女】例例 5

13、 5：張撲克張撲克(p k)(p k)1 1（，）與同花，是撲克（，）與同花，是撲克(p k)(p k)2 2（，）與同點(diǎn)，是撲克（，）與同點(diǎn)，是撲克(p k)(p k)第18頁(yè)/共41頁(yè)第十九頁(yè)，共42頁(yè)。 1把分為(fn wi)四類同花類，則則 2把分為(fn wi)類同點(diǎn)類。第19頁(yè)/共41頁(yè)第二十頁(yè)，共42頁(yè)。 定義定義1.1.6 設(shè)每個(gè)設(shè)每個(gè) 都是集合都是集合A的非空的非空子集，如果子集，如果(rgu) ，并且對(duì)任意，并且對(duì)任意 ，當(dāng)當(dāng) 時(shí)有時(shí)有 ，則稱，則稱 是是A的的一個(gè)分類。一個(gè)分類。)(IiBiIiiBAIji,ji jiBB iB第20頁(yè)/共41頁(yè)第二十一頁(yè)，共42頁(yè)。定理

14、定理(dngl)1.1.2 （1） 集合A上的每個(gè)等價(jià)關(guān)系R 都決定A的一個(gè)(y )分類。 （2） 集合(jh)A的每個(gè)分類都決定A 上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。證明證明（1） 如果如果R是是A上的等價(jià)關(guān)系，則上的等價(jià)關(guān)系，則 A/R給出了給出了A的一個(gè)分類的一個(gè)分類。 （2） 如果如果 是是A的一個(gè)分類，令的一個(gè)分類，令 存在存在 ，使得，使得 則則R是是A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。iB| ),(yxR iB,iiByBx第21頁(yè)/共41頁(yè)第二十二頁(yè)，共42頁(yè)。定義定義1.1.6 若集合若集合A上的一個(gè)上的一個(gè)(y )二元關(guān)系二元關(guān)系R滿滿足足（1） 自反性：對(duì)任意(rny) ，有aRa；A

15、a （2） 反對(duì)稱性：對(duì)任意(rny) ，如果aRb， 且bRa，則a = b；Aba,（3） 傳遞性：對(duì)任意傳遞性：對(duì)任意 ，如果，如果 aRb，bRc，則，則aRcAcba,則稱則稱R是是A上的一個(gè)上的一個(gè)偏序關(guān)系偏序關(guān)系，記為，記為“”。若。若是集合是集合A上的一個(gè)偏序關(guān)系，則稱上的一個(gè)偏序關(guān)系，則稱A是關(guān)于是關(guān)于偏序關(guān)系偏序關(guān)系的偏序集，記為（的偏序集，記為（A , ）。）。第22頁(yè)/共41頁(yè)第二十三頁(yè)，共42頁(yè)。定義定義1.1.6” 設(shè)（設(shè)（A , ）是一個(gè)偏序集，如）是一個(gè)偏序集，如果對(duì)任意果對(duì)任意 ，總有，總有 或或 則稱則稱是集合是集合A上的順序關(guān)系上的順序關(guān)系(gun x)，

16、并稱（，并稱（A , ）為序集或序空間。為序集或序空間。Aba,ba ab 第23頁(yè)/共41頁(yè)第二十四頁(yè)，共42頁(yè)。1. 映射映射(yngsh)的概念的概念 南航學(xué)生南航學(xué)生(xu sheng)的集合的集合學(xué)號(hào)的集合學(xué)號(hào)的集合按一定規(guī)則查號(hào)矩陣論矩陣論5班學(xué)生班學(xué)生的集合的集合531教室座位教室座位的集合的集合按一定規(guī)則入座機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 引例引例1. 第24頁(yè)/共41頁(yè)第二十五頁(yè)，共42頁(yè)。設(shè) X , Y 是兩個(gè)(lin )非空集合,若存在一個(gè)(y )對(duì)應(yīng)規(guī)則 f ,使得,Xx有唯一確定的Yy與之對(duì)應(yīng) ,則稱 f 為從 X 到 Y 的映射映射,記作.:YXf元素 y 稱為

17、元素 x 在映射 f 下的 像像 ,記作).(xfy 元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的 原像原像 .集合 X 稱為映射 f 的定義域定義域 ;Y 的子集)(XfXxxf)(稱為 f 的 值域值域 .注意注意: 1) 映射的三要素 定義域 , 對(duì)應(yīng)規(guī)則 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYfxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第25頁(yè)/共41頁(yè)第二十六頁(yè)，共42頁(yè)。機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1Df手電筒DD1D映射(yngsh)f 第26頁(yè)/共41頁(yè)第二十七頁(yè)，共42頁(yè)。恒等映射恒等映射(yngsh)（單位映射（

18、單位映射(yngsh)）I：.)(,:,aaIAaAAIA有的映射，對(duì)為一個(gè)非空集合設(shè)第27頁(yè)/共41頁(yè)第二十八頁(yè)，共42頁(yè)。對(duì)映射(yngsh)YXf:若YXf)(, 則稱 f 為滿射滿射; XYf)(Xf若,2121xxXxx有 )()(21xfxf則稱 f 為單射單射;若 f 既是滿射又是單射,則稱 f 為雙射 或一一映射(yngsh). XY)(Xff機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回(fnhu) 結(jié)束 第28頁(yè)/共41頁(yè)第二十九頁(yè)，共42頁(yè)。設(shè)設(shè)111:BAf222:BAf如果如果(rgu)()(,2112121afafAaBBAA有并且對(duì)任意則稱映射則稱映射(yngsh)21ff 與.2

19、1ff 記為相等相等(xingdng)，第29頁(yè)/共41頁(yè)第三十頁(yè)，共42頁(yè)。1.1.8 逆映射的定義(dngy) 定義定義(dngy):設(shè)有映射,:BAf若存在一新映射,:ABg使習(xí)慣上 計(jì)為例如, 映射, 0,(,2xxy其逆映射為,xy),0 xBAf1f,.,.BAIgfIfg為恒等映射，BAII ,稱此映射g為 f 的逆映射 , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .1f若f有逆映射，則稱f可逆.第30頁(yè)/共41頁(yè)第三十一頁(yè)，共42頁(yè)。 定理定理1.1.4 設(shè)映射設(shè)映射(yngsh)f :AB是可逆的，則是可逆的，則f 的逆的逆 映射映射(yngsh) 是唯一的。是唯一的。1f第31

20、頁(yè)/共41頁(yè)第三十二頁(yè)，共42頁(yè)。 12. ff機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 B2f手電筒A1fCC引例引例(yn l). (yn l). 復(fù)合映射 A21.ff第32頁(yè)/共41頁(yè)第三十三頁(yè)，共42頁(yè)。 定義定義(dngy)1.1.9 設(shè)設(shè)A、B、C是三個(gè)非空集合，并是三個(gè)非空集合，并設(shè)設(shè) 有兩個(gè)映射有兩個(gè)映射,:,:21CBfBAf由由21, ff確定確定(qudng) A 到到 C 的映射的映射)(:123Aaaffaf稱為稱為(chn wi)映射映射21ff 和的的乘積（復(fù)合）乘積（復(fù)合），記為，記為123fff第33頁(yè)/共41頁(yè)第三十四頁(yè)，共42頁(yè)。)(2BfY )(

21、2ufy )(12xffBAx)(1xfu 1f2f12ff )(1Af機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意(zh y): 構(gòu)成復(fù)合映射的條件 BAf)(1 不可(bk)少.以上定義也可推廣到多個(gè)映射的情形.C C第34頁(yè)/共41頁(yè)第三十五頁(yè)，共42頁(yè)。定理定理(dngl)1.1.3 設(shè)有設(shè)有映射映射,:,:21CBfBAf則有,:3DCf;)()() 1 (123123ffffff.)2(111ffIIfBA注意：復(fù)合映射一般注意：復(fù)合映射一般(ybn)不滿足交換律。不滿足交換律。1212(1) 2(1) 1(2) 1(2) 11,2.,.ffffABC如設(shè)定義：21212.

22、 )(1)(1)(2)1,fffff則(而12121( .)(1)(1)(1)2,f ffff2112.fff f第35頁(yè)/共41頁(yè)第三十六頁(yè)，共42頁(yè)。定理定理1.1.5 1.1.5 映射映射(yngsh)f :AB(yngsh)f :AB是可逆映射是可逆映射(yngsh)(yngsh)的充的充分必要條件是分必要條件是 f f 是是A A 到到B B 的雙映射的雙映射(yngsh)(yngsh)。證明(zhngmng)：B-1設(shè)f:AB是可逆映射,f :A為f的逆映射.先證f是單映射。 22,()(),aA ff a11對(duì) aa22()(,fff aa-1-1-1111則 af(a )=f(

23、a )=f()=f是AB單映射;b,( ),Bba -1再證f是滿映射。對(duì)設(shè)f則( )()( ),bbb-1-1f(a)=f(ff ff是AB滿映射， f是AB的雙射。必要性（略）。第36頁(yè)/共41頁(yè)第三十七頁(yè)，共42頁(yè)。定義定義1.1.11 1.1.11 設(shè)設(shè)A A 是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，A A 到到自身的映射稱為自身的映射稱為A A 的變換；的變換；A A 到自身的雙到自身的雙映射稱為映射稱為A A 的一的一 一變換；如果一變換；如果(rgu)A (rgu)A 是有限集，是有限集，A A 的一一變換稱為的一一變換稱為A A 的置換。的置換。第37頁(yè)/共41頁(yè)第三十八頁(yè)，共42頁(yè)。1.1.4 1.1.4