1、2020-2021學(xué)年江蘇省南通市啟東市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.（5分）已知集合A=0,2,B=x|ax+1=0,則由實數(shù)a的所有可能的取值組成的集A.合為（）2.（5分）“（2x1）（x+1）v0”是“x=0”的（）條件A.充分不必要C.充要3.（5分）函數(shù)y=cos2x的單調(diào)減區(qū)間是（A.k冗.k兀B.必要不充分D.既不充分也不必要）B.河，岑-+2k兀.kZTTJTC.2kTt,兀+2kTt,kCZD.k兀一一,kJT-1-,444. （5分）九章算術(shù)中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底

2、面的四棱錐為陽馬.設(shè)AA1是正八棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正八棱柱的頂點為頂點1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是（）A.8B.16C.24D.28八口哀，”一，一一5. （5分）設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和，已知S3+S6=0,則=（）A.-512B.-8C.-2D.-16. （5分）若實數(shù)a,b,c滿足a3=5,b=log25,5c=3,則（）A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.cvavb7. （5分）已知角a的終邊經(jīng)過點P（3,4）,則317250B.C.17V250D.17V250+f(x)>1,f(0),貝U不8. （5

3、分）設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）（x）等式f（x）>2019ex+1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（A.(0°,0)U(0,+8)B.一巴0）u(2019,+8)C.(0,+8)D.(2019,+8)二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。r弓,下列命題正確的是（9. （5分）對于任意向量a,b,亡A.若a/b,b/仁，則w/cB.若a.?b=b，c,則金=二b=c,則a=匚D.若|ab|=|a+b|,則a?b=010. （5分）設(shè)正實數(shù)x

4、,y滿足x+2y=3,則下列說法正確的是（）A.工十國的最小值為4C.心的最小值為近B.xy的取大值為D.x2+4y2的最小值為2020年7月31日上11. （5分）北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，可在全球范圍內(nèi)為各類用戶提供全天候、全天時、高精度、高定位、導(dǎo)航、授時服務(wù),午，北斗導(dǎo)航能實現(xiàn)“天地互通”的關(guān)鍵是信號處理，其中某語言通訊的傳遞可以用函數(shù)f（x）當(dāng)產(chǎn)J2衿近似模擬其信號，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)f（x）的最小正周期為兀B.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-°）對稱C.對任意xCR,都有f'(Lx)=f(x)D.函數(shù)f'（x）的最小值為-

5、312. （5分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,點M,N分別是棱A1D1,CD的中點，點P在四邊形ABCD內(nèi)，點Q在線段BN上，若PM:2通,則（）A.點P的軌跡的長度為2兀B.線段MP的軌跡與平面ADC1B1的交線為圓弧C. PQ長度的最小值為4I5ID. PQ長度的最大值為2衣+2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上。q況甘后1n13. （5分）已知函數(shù)f（x）=«'，貝Uf（log32）=.f-x）s14. （5分）在我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱ABC-A

6、1B1C1是一個“塹堵”，其中AB=BB1=2,BC=1,AC=J15. （5分）已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=1,BC=2/工，貝位蠢=16. （5分）已知函數(shù)f（x）=（x2x）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，貝Ua+b=,函數(shù)y=f（x）的最小值為.四、解答題：本題共6小題，共70分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17. （10分）在a1=13,S10=-5;a3=7,a7=-5;S3=30,S5=35這三個條件中任選一個，回答下列問題，已知等差數(shù)列an滿足.（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）（1）求數(shù)列an的通項公式;（

7、2）求數(shù)列an的前n項和Sn,以及使得Sn取得最大值時n的值.18. （12分）如圖，在ABC中，CDLAB于D(1)若/BCD=2/ACD,求角A的大小;19. （12分）如圖，在正二棱枉ABC-A1B1C1中，皿一一，D,E,F分別為線段AC,AiA,CiB的中點.(1)證明：EF/平面ABC;(2)求直線CiB與平面BDE所成角的正弦值.半3a元20. (12分)如圖所示的某種容器的體積為187tdm3,它是由半球和圓柱兩部分連接而成,球的半徑與圓柱的底面半徑都為rdm,圓柱的高為hdm.已知頂部半球面的造價為/dm2,圓柱的側(cè)面造價為a元/dm2,圓柱底面的造價為2更元/dm2.3(1

8、)將圓柱的高h表示為底面半徑r的函數(shù)，并求出定義域；(2)當(dāng)容器造價最低時，圓柱的底面半徑r為多少？21. (12分)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+b的圖象在x=1處的切線方程為x+y-3=0.(1)求a和b的值；(2)對？x>0,f(x)Wxex-3x+m成立，求實數(shù)m的取值范圍.22. (12分)已知函數(shù)f(x)=xex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)求y=f(x)的最值；(2)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-klnx-e有且只有2個不同的零點2020-2021學(xué)年江蘇省南通市啟東市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的

9、四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. （5分）已知集合A=0,2,B=x|ax+1=0,則由實數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為（）to,-A出B作C0旬D【分析】由B?A,求出集合A的子集，這樣就可以求出實數(shù)a值集合.【解答】解：=B?A,而A=0,0,7,當(dāng)B=?時，顯然有a=0;當(dāng)B=0時，4?a=-1?aC?；當(dāng)8=2時，5a=-1?a=-工；2當(dāng)B=0,2時;.實數(shù)a值集合為4,-i.故選：D.【點評】本題考查了集合的子集的定義及應(yīng)用，還考查了分類討論的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.2. （5分）“（2x1）（x+1）v0”是“x=0”的（）條件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既

10、不充分也不必要【分析】解不等式，結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可.【解答】解：由（2x-1）（x+2）v0,解得：-1x手,故“（2x-2）（x+1）v0”是“x=7”的必要不充分條件，故選：B.【點評】本題考查了集合的包含關(guān)系，考查充分必要條件以及轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題.3. （5分）函數(shù)y=cos2x的單調(diào)減區(qū)間是（）B.92上元，寫+21兀.kEZC.2k;Tt,Tt+2kTt,kCZD-k：TTkn+,【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，可得結(jié)論.【解答】解：由2xe2kTt,7k兀+吊，ku，函數(shù)y=cos2x的單調(diào)遞減區(qū)間是ku,k兀+工4【點評】本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，比較基礎(chǔ).4.

11、 （5分）九章算術(shù)中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設(shè)AA1是正八棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正八棱柱的頂點為頂點1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是（）A.8B.16C.24D.28【分析】根據(jù)定義和正八邊形的性質(zhì)，利用線面垂直的判斷方法，即可得出答案.【解答】解：根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可得，底面邊長都相等,/HAG=/BAC=22.5°,/HAF=/BAD=45°,所以ABXAF,ACXAG,如圖所示:又因為AAi,平面ABCDEFGH,且AA4AAB=A,貝UAFL平面AAiBiB,又因為AF/A5F1/BE/B1E4,所以共有4個陽馬；同理，A

12、G,平面AA1C7C,有4個陽馬；第6頁（共22頁）AH，平面AA1D5D,有4個陽馬；AB,平面AA1F8F,有4個陽馬；AC,平面AA1G2G,有4個陽馬；ADL平面AA1H8H,有4個陽馬；所以共有24個陽馬.故選：C.【點評】本題考查了正八棱柱的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問題，也考查了新定義的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是判斷出線線、線面垂直關(guān)系，是中檔題.5. （5分）設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和，已知S3+S6=0,則一=（）B. -8C. -2D. 一1【分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,分析qw1,由等比數(shù)列的前n項和公式可得可(1-q3)1-q3",+-=0,變形解可得q3的值

13、，而=q9,計算可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,若q=1,S3=6a1,S6=7a1,S3+S7=0不會成立，故qw1,右S5+Sd=0,必有+變形可得：2-q2+q6=0,解可得q8=-2或q3=7(舍)，配力q9=(-5)3=-8,【點評】本題考查等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出等比數(shù)列的公比，屬于基礎(chǔ)題.6. （5分）若實數(shù)a,b,c滿足a3=5,b=log25,5c=3,則（）A.cvb<aB.b<c<aC.a<c<bD.cvavb1【分析】根據(jù)條件可得出a=53,c=10g53,然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單1調(diào)

14、性可得出1口1口氏3V1,然后即可得出a,b,c的大小關(guān)系.【解答】解:48C,c=10g53,b=10g25,=S=5*<8*=2'10g85>log23=2,log58V10g55=7,c<avb.【點評】本題考查了對數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和備函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.(5分)已知角一，一一一、.TT的終邊經(jīng)過點P(3,4),則0口三(2a*431725031V250C.17/250【分析】角a的終邊經(jīng)過點P(3,4),由三角函數(shù)的定義求出角»臂a正弦與余弦，進而利用二倍角公式，兩角和的余弦公式即可求解.【解答】解：角a的終邊經(jīng)

15、過點P(3,4),故|OP|=32+4&=5,由三角函數(shù)的定義知COSa=-,5sina=唾6民1=一5,sin2a=2sinacosa)=COS2aCOsn7T7遮一x=-2552525050【點評】本題考查三角函數(shù)的定義，知道終邊上一點的坐標(biāo)利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值是考查三角函數(shù)的定義的主要方式，屬于基礎(chǔ)題.8.(5分)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)(x)+f(x)>1,f(0),則不等式f(x)>2019ex+1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為(A.(8,0)u(0,+8)B.(-OO,0)U(2019,+8)C.(0,+8)D.(

16、2019,+8)【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)-1,求導(dǎo)后可證得g(x)在R上單調(diào)遞增；而原是x>0,從而得不等式可轉(zhuǎn)化為exf(x)-1)>e0f(0)-1,即g(x)>g(0),于解.解：設(shè)g(x)=exf(x)1,貝Ug'(x)=exf(x)+f(x)1>3,g(x)在R上單調(diào)遞增,.f(0)=2020,-f(x)>2019ex+i即exf(x)>ex+2019等價于exf(x)1)>2019=f(0)2=e0f(0)1,即g(x)>g(0),，不等式的解集為(4,+8).故選：C.【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、

17、解不等式，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。C.若9.(5分)對于任意向量卜列命題正確的是(A.若Z/W,b,b=c,則a.=cD,若血b|=|a+b|,則,世=0【分析】利用向量的共線以及向量的數(shù)量積的運算法則，向量的模，結(jié)合反例，判斷選項的正誤即可.【解答】解：若a/b,b/匚，則a/c,如果b=。，則a,亡，所以A不正確;若a?b=bc,則a=c,顯然不正確b=,可以是任意向量.若a=b|,b=ld

18、,則a=£,顯然正確;若|a|-b|=|g+b|a_,b都是非零向量自、占為鄰邊的平行四邊形是矩形，則a?b,如果用則下列說法正確的是()B.xy的取大值為D.x2+4y2的最小值為££零向量?-=3;故選：CD.【點評】本題考查命題的真假的判斷，向量的共線以及向量的數(shù)量積的應(yīng)用，是基本知識的考查.10.(5分)設(shè)正實數(shù)x,y滿足x+2y=3,A.戶的最小值為4xyC.五4的最小值為收【分析】分別根據(jù)基本不等式即可判斷.號;對于B,xy=Jx(空色L)2=_LxJ_=5L,當(dāng)且僅當(dāng)x=2足，y=且，故B正確;2E224264對于C,(正+/)2=x+2y+&

19、;/w3+4,2乂衛(wèi)_,則當(dāng)且僅當(dāng)x=7y對于D:x2+8y2=(x+2y)5-4xy>9-7*且=金E2x=_l三時取等號.84故選：ABD.【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵掌握不等式的應(yīng)用條件，屬于中檔題.11.(5分)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，可在全球范圍內(nèi)為各類用戶提供全天候、全天時、高精度、高定位、導(dǎo)航、授時服務(wù),2020年7月31日上午，北斗導(dǎo)航能實現(xiàn)“天地互通”的關(guān)鍵是信號處理，其中某語言通訊的傳遞可以用函數(shù)f(x)汽二戶片近似模擬其信號，則下列結(jié)論中正確的是(A.函數(shù)f(x)的最小正周期為兀B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點0)對稱C.對任意xC

20、R,都有f'(兀-x)=f(x)D.函數(shù)f'(x)的最小值為-3【分析】直接利用函數(shù)的周期函數(shù)的誘導(dǎo)公式和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用判定A、B、C、D的結(jié)論.【解答】解：函數(shù)f(x)=cosx+”5"十3一患59JT彳兀對于A：函數(shù)cosx的最小值正周期為2兀,函數(shù)cos6x的最小正周期為，其中2兀,5g故B正確;對于C:f'(x)=sinx-sin5x-sin9xwf'(兀x),故C錯誤；_對于D：令f(x)=cosx-8cos5x9cos7x=0,所以jf十7k河,所以f/（JL）=-si匹-由1TlzL12L=-3.i2'2sirr25故選：BD.

21、【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題.12.（5分）已知正方體ABCD-AlBlClDl的棱長為4,點M,N分別是棱AlDl,CD的中點，點P在四邊形ABCD內(nèi)，點Q在線段BN上，若PM=2m，則（）A.點P的軌跡的長度為2兀B.線段MP的軌跡與平面ADC1B1的交線為圓弧C.PQ長度的最小值為85T。5D.PQ長度的最大值為2西+2【分析】取AD中點O,則MOL面ABCD,即MO±OP,由已知得到OP=2,可知點P在以O(shè)為圓心，以2半徑位于平面ABCD內(nèi)的半圓上，然后

22、逐一分析四個選項得答案.【解答】解：如圖，取AD中點O,即MOXOP,PM=2、J且OP='（胞二2,以5半徑位于平面ABCD內(nèi)的半圓上.點P的軌跡的長度為/*6兀乂2=2兀；線段MP的軌跡為以MO為軸的半個圓錐側(cè)面，由圓錐曲線的定義可知，線段MP的軌跡與平面ADC5B1的交線為橢圓弧，故B錯誤；O到BN的距離減去2即為PQ長度的最小值，作OHXBN于H,BON的面積為：SaBON=2X4-yX4X2得乂4乂59XR/2=6,'S,n導(dǎo)BNX0H-|X2V5X0H=7平,PQ長度的最小值為OH-2=，故C正確；PQ長度的最大值為DB=小兀，故D錯誤.故選：AC.【點評】本題考查

23、軌跡方程的求法，考查空間中線線、線面間的位置關(guān)系，考查空間想象能力與運算求解能力，是中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上。13. (5分)已知函數(shù)f(x)='，則f(log32)=2.x>0-2-【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f(log32)=f(-log32)=f(log*),結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=32>8,則f(log32)=f(-log32)=f(log12'故答案為:【點評】本題考查函數(shù)的求值，涉及對數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.14. (5分)在我國古代數(shù)學(xué)名

24、著九章算術(shù)中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱ABC-AiBlCl是一個“塹堵”，其中AB=BB1=2,BC=1,AC=VS9兀.【分析】由題意可知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的小圓半徑為工3,連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑，即可求出球的表面積【解答】解：由題意可知直三棱柱ABC-A1B1C6中，底面小圓ABC的半徑為r,由=AB=BB1=2,BC=4,可得2r=AC連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑,外接球的半徑為：外接球的表面積為：4兀?(2)2=9兀；3故答案為：7兀.【點評】本題考查直三棱柱的外接球的表面積的求法

25、，解題的關(guān)鍵是外接球的半徑，直三棱柱的底面中心的連線的中點與頂點的連線是半徑，考查空間想象能力考查球的表面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.15. (5分)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=1,BC=2后，則二野混=.-4-【分析】畫出圖形，利用余弦定理求解AC,然后求解/ACB的余弦函數(shù)值，即可求解向量的數(shù)量積.【解答】解：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=1,AD=DC=V2cosD=cos（兀B）=-cosB,【點評】本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的求法，考查計算能力，是中檔題.16. (5分)已知函數(shù)f(x)=(x2x)(x2+ax+b)的圖象關(guān)

26、于直線x=2對稱，貝Ua+b=_5_Igl函數(shù)y=f(x)的最小值為.【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱可彳#函數(shù)f(x)的另外兩個零點，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得a、b的值；第二個空對函數(shù)f(x)代入a、b的值之后進行轉(zhuǎn)化然后應(yīng)用換元法，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題和復(fù)合函數(shù)求最值即可得到結(jié)果.【解答】解：由題意可知，*=0與*=1是函數(shù)的零點， .f(x)=(x8-x)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，x6+ax+b=0的根為4,5,a=-7,b=12,貝Ua+b=5,函數(shù)y=f(x)=(x2-x)(x2-7x+12)=x(x8)(x3)(x4)=(x3-4x)(x2-7x

27、+3),令t=x28x,則y=f(t)=t(t+3)=t2+8t,.'t(x)=x24x=(x6)24, 當(dāng)x=7時，t取得最小值-4, ,.t>4,y=f(t)=t2+3t=(t+卷)3看，(t>-4) 當(dāng)t=-、時,y取得最小值-孩.函數(shù)y=f(x)的最小值為-.4故答案為：5,-4【點評】本題主要考查二次函數(shù)的對稱性，零點問題以及根與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)求導(dǎo)，因式分解，換元法，復(fù)合函數(shù)的最值問題，考查了邏輯思維能力和計算能力，本題屬中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17. (10分)在ai=13

28、,S10=-5;a3=7,a7=-5;S3=30,S5=35這三個條件中任選一個，回答下列問題，已知等差數(shù)列an滿足.(如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn,以及使得Sn取得最大值時n的值.【分析】選：(1)利用等差數(shù)列前n項和公式列方程求出d=-3,由此能求出數(shù)列an的通項公式.(2)求出Sn=1-n2+iln=-1.(n-普)2+黑從而求出當(dāng)n=5時，Sn取得最大值35.選:(1)利用等差數(shù)列通項公式列出方程組，求出ai=13,d=-3,由此能求出數(shù)列an的通項公式.(2)求出Sn=-|-n+Lri=大值35.29,從而求出

29、當(dāng)n=5時，Sn取得最選:(1)利用等差數(shù)列前n項和公式求出ai=i3,d=-3,由此能求出數(shù)列an的通項公式.(2)求出Sn=n+2-rj=一("一"")21，從而求出當(dāng)n=5時，Sn取得最大值35.【解答】解：選：aj+4d=7ai+5d-5I*1,解得a1=13,d=-2,(1),一等差數(shù)列an滿足a1=13,S10=-5,，數(shù)歹Uan的通項公式為an=13+(n-1)x(3)=-5n+16.(2)Si=13n+，產(chǎn)X(-3)=-34H293丁.當(dāng)n=7時，Sn取得最大值35.選：(1).等差數(shù)列an滿足S3=30,S5=35,d=305乂45a6+一左益解

30、得ai=i3,d=-3,，數(shù)列an的通項公式為an=13+(n-4)x(-3)=-3n+16.(2) &=13/+口(口才x(_3)=+?9J，(n-)2+H,21“2n7324當(dāng)n=5時，Sn取得最大值35.【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和的最大值及相應(yīng)的項數(shù)n的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.18. (12分)如圖，在ABC中，CDLAB于D(1)若/BCD=2/ACD,求角A的大??；(2)若匚口5總=，求tanC的值3【分析】(1)由題意可得BD=3AD=3x,ZBCD=2ZACD=20,由于tan。=制，tan20青，利用二倍角的正切

31、公式可得,整理可得熙鵬,在RtAACD中，可求tanA=二二=進而可得A的值.(2)由題意，設(shè)AD=x,則AB=4x,可得cosA=,解得AC=3x,由余弦定理可得BC=x,結(jié)合BOAB,可得C為銳角，利用余弦定理可求cosC的值，利用三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanC的值.【解答】解：(1)由題意,BD=3AD=3x,所以在ACD中，可得tan9=J,CD在CDB中，可得tan29=巫，所以tan20=因為CDXAB于D,所以在RtAACD中，tanA=(2)由題意，設(shè)AD=x,因為cosA=所以在RtAACD中cosA=3ACAC,解得AC=3x,7229k+L?k-L&X2可得tan

32、C=1所以在ABC中，由余弦定理可得BC5=AB2+AC2-2AB?AC?cosA=16x2+9x5-2X4xX4xX春=17x5,可得BC=VT?x,0由BOAB,可得C為銳角,所以cosC【點評】本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19. (12分)如圖，在正二棱枉ABC-A1B1C1中，的二：，AA=2,D,E,F分別為線段AC,AiA,CiB的中點.(1)證明：EF/平面ABC;(2)求直線CiB與平面BDE所成角的正弦值.【分析】(1)以C為原點，在平面ABC中過C作AC的垂線為x軸，CA為y軸，CCi為z軸，建立空間直角

33、坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF/平面ABC.(2)求出平面BDE的法向量，利用向量法能求出直線CiB與平面BDE所成角的正弦值.【解答】(1)證明：以C為原點，在平面ABC中過C作AC的垂線為x軸，CA為y軸，CCi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則E(0,-1,5),烏7),Ci(0,5,2)-1堂，8),332G平面ABC的法向量n=(6,0,=EF*n=0,.EF/平面ABC.(2)解：D(8,堂，7),1),BD=(-1,7,0),BE,1),-2),o13nrBD=f=2-*m,BE=-=2O,設(shè)平面BDE的法向量it=(x,v,取y=3,得燈，3,-亞)，設(shè)直線C1B與平面BDE所成角為

34、0.則直線C1B與平面BDE所成角的正弦值為：【點評】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是中檔題.20. （12分）如圖所示的某種容器的體積為187tdm3,它是由半球和圓柱兩部分連接而成，半球的半徑與圓柱的底面半徑都為rdm,圓柱的高為hdm.已知頂部半球面的造價為3a元/dm2,圓柱的側(cè)面造價為a元/dm2,圓柱底面的造價為馬元/dm2.（1）將圓柱的高h表示為底面半徑r的函數(shù)，并求出定義域；（2）當(dāng)容器造價最低時，圓柱的底面半徑r為多少？【分析】（1）把半球面的面積用半徑r表示出來，由半球的體積與圓柱的體積和等于187td

35、m3得到圓柱的高與底面半徑的關(guān)系，從而用r表示h,再由半球的體積小于容器體第19頁（共22頁）積可得半徑的范圍；r的值.(2)利用導(dǎo)函數(shù)求極值，即可得到當(dāng)容器造價最低時，圓柱的底面半徑【解答】解：(1)半球面的表面積為2兀2,由題意得，丸r2冗t'二18n，h=1；27T3V18兀,得0vrv4;84318工(2)圓柱側(cè)面積為2行卜=2冗丁濁工白r3.容器造價y=3a?2兀r5+a(四上一上工8)用江小r33,=L64&2)(0vrv3).令f(r)=(0vr8),4r則，(r)=2r-上0=全上舁，4r38r2當(dāng)rC(0,二)時，f(r)單調(diào)遞減二，3)時，f(r)單調(diào)遞增，

36、2回Is?.一，一一.當(dāng)=高時，f(r)有最小值為3671a兀.故當(dāng)容器造價最低時，圓柱的底面半徑r=|.【點評】本題是根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型題，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解決實際問題時要注意函數(shù)的定義域要有實際意義，此題是中檔題.21. (12分)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+b的圖象在x=1處的切線方程為x+y-3=0.(1)求a和b的值；(2)對？x>0,f(x)Wxex-3x+m成立，求實數(shù)m的取值范圍.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f(1)=-1,f(1)=2,得到關(guān)于a,b的方程組，求出a,b的值即可；(2)問題轉(zhuǎn)化為m>lnx-xex+x+4(x>0)

37、恒成立，令h(x)=lnx-xex+x+4(x>0),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h(x)的最大值，從而求出m的范圍即可.【解答】解：(1)x+y-3=0即y2=(x2),故切線過(1,6),而f'(x)=_L-a,解彳導(dǎo):3=2,由f(1)=a+b=3,a=2,綜上：a=2,b=4;(2)由(1)得：f(x)=Inx2x+4,?x>7,f(x)Wxex3x+m成立，即m>Inx-xex+x+4(x>8)恒成立，令h(x)=Inx-xex+x+4(x>0),貝Uh'(x)=Wx+l=(1-xex)?x+且,XK令()(x)=1xex,貝U4'(x)=(x+1)ex<2,()(