1、數(shù)字信號處理及應(yīng)用數(shù)字信號處理及應(yīng)用21.1 模擬信號數(shù)字處理方法模擬信號數(shù)字處理方法1.2 離散時(shí)間信號離散時(shí)間信號序列序列1.3 離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)1.4 離散時(shí)間傅里葉變換離散時(shí)間傅里葉變換1.5 z變換變換1.6 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析3l在數(shù)字信號處理中，人們往往希望將模擬信號經(jīng)過在數(shù)字信號處理中，人們往往希望將模擬信號經(jīng)過采樣和模采樣和模/數(shù)（數(shù)（A/D）變換器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號，再采）變換器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號，再采用數(shù)字信號處理技術(shù)進(jìn)行處理。處理完畢，如果需用數(shù)字信號處理技術(shù)進(jìn)行處理。處理完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號，這種處理方法稱為模擬信要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號，這

2、種處理方法稱為模擬信號數(shù)字處理方法，其原理框圖如圖號數(shù)字處理方法，其原理框圖如圖0.1所示。所示。圖圖0.1 系統(tǒng)簡單框圖系統(tǒng)簡單框圖4圖圖1.1 連續(xù)時(shí)間信號的采樣過程連續(xù)時(shí)間信號的采樣過程5采樣器可以看成是一個(gè)電子開關(guān)，其工作原理可由圖采樣器可以看成是一個(gè)電子開關(guān)，其工作原理可由圖1.1 (a)來說明。設(shè)電子開關(guān)每隔來說明。設(shè)電子開關(guān)每隔T秒閉合一次，實(shí)現(xiàn)一秒閉合一次，實(shí)現(xiàn)一次采樣。如果開關(guān)每次閉合的時(shí)間為次采樣。如果開關(guān)每次閉合的時(shí)間為秒，那么采樣秒，那么采樣器的輸出將是一串周期為器的輸出將是一串周期為 T、寬度為、寬度為、幅度是、幅度是時(shí)間時(shí)間內(nèi)信號幅度的脈沖。如果內(nèi)信號幅度的脈沖。如

3、果 以代表輸入的連續(xù)信號，以代表輸入的連續(xù)信號，如圖如圖1.1 (b)所示，以所示，以 表示采樣輸出信號，如圖表示采樣輸出信號，如圖1.1 (d)所示。顯然，這個(gè)過程可以看作是一個(gè)脈沖調(diào)幅過所示。顯然，這個(gè)過程可以看作是一個(gè)脈沖調(diào)幅過程，被調(diào)制的載波是一串周期為程，被調(diào)制的載波是一串周期為T、寬度為、寬度為的矩形脈的矩形脈沖信號，如圖沖信號，如圖1.1 (c)所示，而調(diào)制信號就是輸入的連所示，而調(diào)制信號就是輸入的連續(xù)信號。因而有續(xù)信號。因而有a( )x t( )pxta( )( ) ( )pxtx t p t 6 通常，開關(guān)閉合時(shí)間很短，且通常，開關(guān)閉合時(shí)間很短，且越小，采樣輸出越小，采樣輸出

4、脈沖的幅度就越能準(zhǔn)確地反映輸入信號在離散時(shí)間脈沖的幅度就越能準(zhǔn)確地反映輸入信號在離散時(shí)間點(diǎn)上的瞬時(shí)值。矩形脈沖寬度點(diǎn)上的瞬時(shí)值。矩形脈沖寬度 越窄，采樣值越精越窄，采樣值越精確，當(dāng)確，當(dāng)/T區(qū)域區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時(shí)域上，就是恢復(fù)出的有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時(shí)域上，就是恢復(fù)出的模擬信號是臺階形的。因此需要在模擬信號是臺階形的。因此需要在D/A變換器之后變換器之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對時(shí)間加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對時(shí)間波形起平滑作用，這也就是在圖波形起平滑作用，這也就是在圖0.1模擬信號數(shù)字模擬信號數(shù)字處理框中，最后加平滑濾波的原因。處理框中，最后加平滑濾

5、波的原因。 34【例例1.1】 設(shè)模擬信號設(shè)模擬信號 為一雙邊指數(shù)信號。試完成為一雙邊指數(shù)信號。試完成（1）并畫出信號）并畫出信號 的時(shí)域波形及其頻譜圖。的時(shí)域波形及其頻譜圖。（2）用兩種不同的采樣頻率：）用兩種不同的采樣頻率： 樣本樣本/s和和 樣本樣本 /s，分別對，分別對 進(jìn)行采樣，得到進(jìn)行采樣，得到 和和 。試分別畫出他們各自的頻譜。試分別畫出他們各自的頻譜 和和 。（3）分別用（）分別用（2）中得到的兩種序列）中得到的兩種序列 和和 對對 進(jìn)行恢復(fù)，并對結(jié)果作討論。進(jìn)行恢復(fù)，并對結(jié)果作討論。1000a( )etx t a( )x t5000s1f= =s21000f= =a( )x

6、t1( )x n2( )x n1j(e)X 2j(e)X 1( )x n2( )x na( )x t35【解解】（1）信號）信號 的頻譜，即傅里葉變換為的頻譜，即傅里葉變換為a( )x t 010001000020 00211000jaajjjedeedeed.tttttXxtttt 36圖圖1.12 模擬信號及其頻譜模擬信號及其頻譜(a) 模擬信號模擬信號 a( )x t(b) 的頻譜的頻譜a( )xt ajX37（2） 樣本樣本/s，因?yàn)椋驗(yàn)?的帶寬的帶寬是是2kHz，奈奎斯特率，奈奎斯特率為為4000樣本樣本/s，它小，它小于給出的于給出的 ，因此，因此混疊（幾乎）不存在。混疊（幾乎）

7、不存在。 圖圖1.13 離散信號離散信號 及其頻譜及其頻譜 1( )x n5000s1f= =a( )x ts1f(a) 采樣得到的離散信號采樣得到的離散信號 1( )x n(b) 的頻譜的頻譜 1( )x n1j(e)X 38 樣本樣本/s，它小，它小于奈奎斯特率于奈奎斯特率（4000樣本樣本/s），所以一），所以一定會存在有相定會存在有相當(dāng)大的混疊量。當(dāng)大的混疊量。 s21000f= =圖圖1.14 離散信號離散信號 及其頻譜及其頻譜 2( )x n(a) 采樣得到的離散信號采樣得到的離散信號 2( )x n(b) 的頻譜的頻譜 2( )x n2j(e)X 39（3） 用序列用序列 對對

8、進(jìn)行恢復(fù)，恢復(fù)結(jié)果進(jìn)行恢復(fù)，恢復(fù)結(jié)果如圖如圖1.15 (a) 所示，表明由所示，表明由 恢復(fù)的信號與真正恢復(fù)的信號與真正的模擬信號的模擬信號 之間的最大誤差是之間的最大誤差是0.0363，這是，這是由于由于 不是嚴(yán)格帶限產(chǎn)生的（況且還是一個(gè)有限的不是嚴(yán)格帶限產(chǎn)生的（況且還是一個(gè)有限的樣本數(shù)）。顯然，恢復(fù)是很成功的。樣本數(shù)）。顯然，恢復(fù)是很成功的。 用序列用序列 對對 進(jìn)行恢復(fù)，恢復(fù)結(jié)果如圖進(jìn)行恢復(fù)，恢復(fù)結(jié)果如圖1.15 (b) 所示，表明由所示，表明由 恢復(fù)的信號與真正的?；謴?fù)的信號與真正的模擬信號擬信號 之間的最大誤差是之間的最大誤差是0.1852，比較大，比較大，在內(nèi)插范圍內(nèi)的許多地方恢復(fù)

9、信號都不同于真正的在內(nèi)插范圍內(nèi)的許多地方恢復(fù)信號都不同于真正的信號。信號。 1( )x na( )x t1( )x na( )x ta( )x ta( )x t2( )x n2( )x na( )x t40圖圖1.15 信號的恢復(fù)信號的恢復(fù)(a) 由由 恢復(fù)的模擬信號恢復(fù)的模擬信號 (b) 由由 恢復(fù)的模擬信號恢復(fù)的模擬信號 1( )x n2( )x n41 由于離散信號實(shí)際上是一個(gè)數(shù)據(jù)序列，所以又由于離散信號實(shí)際上是一個(gè)數(shù)據(jù)序列，所以又叫做離散時(shí)間序列。當(dāng)對離散時(shí)間序列叫做離散時(shí)間序列。當(dāng)對離散時(shí)間序列 進(jìn)行進(jìn)行處理時(shí)（尤其是在非實(shí)時(shí)處理時(shí)），往往對周期處理時(shí)（尤其是在非實(shí)時(shí)處理時(shí)），往往對

10、周期 值并不感興趣，而主要關(guān)心的是這個(gè)隨值并不感興趣，而主要關(guān)心的是這個(gè)隨 變化的變化的離散序列。因此，常常將離散序列。因此，常常將 寫成寫成 ，它表，它表示一個(gè)隨示一個(gè)隨 變化的數(shù)據(jù)序列。也可以認(rèn)為變化的數(shù)據(jù)序列。也可以認(rèn)為 是是自變量自變量 的函數(shù)，而的函數(shù)，而 是一個(gè)取值只能為整數(shù)的是一個(gè)取值只能為整數(shù)的離散變量。離散變量。l一個(gè)具體的序列可以有三種表示方法。一個(gè)具體的序列可以有三種表示方法。 a()x nTTn()ax nT( )x nn( )x nnn42 （1）用集合符號表示序列）用集合符號表示序列 對于數(shù)的集合，可用集合符號對于數(shù)的集合，可用集合符號表示，時(shí)域離散信表示，時(shí)域離散

11、信號是一個(gè)有序的數(shù)的集合，可用集合表示。例如號是一個(gè)有序的數(shù)的集合，可用集合表示。例如 就是用集合符號表示的時(shí)域離散信號，其中小箭頭就是用集合符號表示的時(shí)域離散信號，其中小箭頭 表示表示n=0 的位置。的位置。 （2）用公式表示序列）用公式表示序列 例如例如 ， 是是，間變化間變化的整數(shù)的整數(shù) ，這里，這里 就是用公式表示的序列。就是用公式表示的序列。 2 11 0 1 4 3 7, , , , , , , ,x n 01( ),nx naa n( )x n43 （3）用圖表示）用圖表示 如圖如圖1.16所示，用有限長線段表示數(shù)值大小。雖然所示，用有限長線段表示數(shù)值大小。雖然橫坐標(biāo)畫成一條連續(xù)

12、的直線，但橫坐標(biāo)畫成一條連續(xù)的直線，但 僅對于整數(shù)僅對于整數(shù) 值的值的 才有定義，而對于非整數(shù)值才有定義，而對于非整數(shù)值 沒有定義，此沒有定義，此時(shí)認(rèn)為時(shí)認(rèn)為 為零是不正確的。為零是不正確的。 圖圖1.16 序列的圖形表示序列的圖形表示( )x nnn( )x n44l在在MATLAB中可用一個(gè)適當(dāng)值的行向量來表示一中可用一個(gè)適當(dāng)值的行向量來表示一個(gè)有限長序列。然而，這樣一個(gè)向量并沒有任何有個(gè)有限長序列。然而，這樣一個(gè)向量并沒有任何有關(guān)樣本位置關(guān)樣本位置n的信息，因此，的信息，因此，x(n)的準(zhǔn)確表示要求的準(zhǔn)確表示要求有兩個(gè)向量：一個(gè)對有兩個(gè)向量：一個(gè)對x，另一個(gè)對，另一個(gè)對n。例如，一個(gè)序。

13、例如，一個(gè)序列列 在在MATLAB中能表示為中能表示為 n=3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 ； x=2, 1, 1, 0, 1, 4, 3, 7 l一般來說，當(dāng)不要求樣本的位置信息時(shí)，或者當(dāng)這一般來說，當(dāng)不要求樣本的位置信息時(shí)，或者當(dāng)這個(gè)信息無關(guān)緊要時(shí)個(gè)信息無關(guān)緊要時(shí)(例如，當(dāng)序列在例如，當(dāng)序列在n=0開始時(shí)開始時(shí))，只用只用x向量表示。由于有限的存儲空間限制，一任向量表示。由于有限的存儲空間限制，一任意無限長序列不能用意無限長序列不能用MATLAB表示。表示。 2 11 0 1 4 3 7, , , , , ,x n 45 1. 單位脈沖序列單位脈沖序列 如圖如圖1.17 (a

14、)所示。所示。 ( )n 1000( )nnn 圖圖1.17 單位脈沖序列和單位沖激信號單位脈沖序列和單位沖激信號(a) 單位脈沖序列單位脈沖序列 (b) 單位沖激信號單位沖激信號（1.20） 46l 與模擬信號中的單位沖激信號與模擬信號中的單位沖激信號 （如圖（如圖1.17 (b)所示）類似，但所示）類似，但 在在t=0處的值為處的值為，只是其，只是其積分（面積）為積分（面積）為1，是不可實(shí)現(xiàn)的數(shù)學(xué)極限，并非，是不可實(shí)現(xiàn)的數(shù)學(xué)極限，并非任何現(xiàn)實(shí)的信號。而離散時(shí)間系統(tǒng)中的任何現(xiàn)實(shí)的信號。而離散時(shí)間系統(tǒng)中的 在在t=0處值為處值為1， 是可實(shí)現(xiàn)的。是可實(shí)現(xiàn)的。( )n ( ) t ( ) t (

15、 )n ( )n MATLAB實(shí)現(xiàn)：實(shí)現(xiàn)： function x,n = impseq(n0,n1,n2)% Generates x(n) = delta(n-n0); n1=n0時(shí)為時(shí)為0，而，而在在n0時(shí)為時(shí)為1。1( )( )()nu nu n （1.22） 012( )()( )()()mu nnmnnn ( )( )nku nk （1.23）49l在在MATLAB中，利用函數(shù)中，利用函數(shù)ones(1,N)可以實(shí)現(xiàn)有限可以實(shí)現(xiàn)有限長區(qū)間的長區(qū)間的u(n) ，也可以用邏輯關(guān)系式，也可以用邏輯關(guān)系式n0來實(shí)現(xiàn)來實(shí)現(xiàn)u(n) 。例如，為了實(shí)現(xiàn)。例如，為了實(shí)現(xiàn) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的值的內(nèi)的值的M

16、ATLAB程序?yàn)椋撼绦驗(yàn)椋?function x,n = stepseq(n0,n1,n2) % Generates x(n) = u(n-n0);n1=n= 0; 00010,nnu nnnn102nnn 50 3. 矩形序列矩形序列 如圖如圖1.19所示。所示。 ( )NRn101( )0NnNRnn 其他 其他 （1.24） 圖圖1.19 矩形序列矩形序列 ( )NRn 的下標(biāo)的下標(biāo)N表示從表示從n=0到到N-1共有共有N個(gè)個(gè)1項(xiàng)，其包絡(luò)項(xiàng)，其包絡(luò)是一個(gè)矩形。是一個(gè)矩形。 ( )NRn51 和和 、 u(n)的關(guān)系為的關(guān)系為l用用MATLAB產(chǎn)生矩形序列的方法類似于產(chǎn)生單位產(chǎn)生矩形序列的

17、方法類似于產(chǎn)生單位階躍序列，只要令其參數(shù)階躍序列，只要令其參數(shù)n1=0，n2=N，即可。，即可。 ( )NRn( )n 10NNmRnnm NRnu nu nN 52 4. 實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列 當(dāng)當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)，為實(shí)數(shù)時(shí)， an稱為實(shí)指數(shù)序列，當(dāng)稱為實(shí)指數(shù)序列，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，信號隨信號隨n指數(shù)衰減，序列收斂；當(dāng)指數(shù)衰減，序列收斂；當(dāng) 時(shí)，信號時(shí)，信號隨隨n指數(shù)增長，序列發(fā)散；當(dāng)為負(fù)指數(shù)增長，序列發(fā)散；當(dāng)為負(fù)a數(shù)，序列值正負(fù)數(shù)，序列值正負(fù)交替變化。如圖交替變化。如圖1.20所示。所示。l在在MATLAB中，利用數(shù)組運(yùn)算符中，利用數(shù)組運(yùn)算符“. ” 可以實(shí)現(xiàn)有可以實(shí)現(xiàn)有限長區(qū)間的實(shí)指數(shù)序列。限長區(qū)間

18、的實(shí)指數(shù)序列。 例如，為了產(chǎn)生例如，為了產(chǎn)生 ，可以用，可以用如下程序來實(shí)現(xiàn)：如下程序來實(shí)現(xiàn)：n=0:10;x=(0.9).n; ( )nx na 1a 1a 0 9010.,nx nn （1.25）53圖圖1.20 實(shí)指數(shù)信號實(shí)指數(shù)信號 ( )nx na 54 5. 復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列 其中，其中， 稱為衰減，稱為衰減， 是頻率。其指數(shù)是復(fù)數(shù)（或純是頻率。其指數(shù)是復(fù)數(shù)（或純虛數(shù)）。虛數(shù)）。在直角坐標(biāo)系中可寫為在直角坐標(biāo)系中可寫為 0 0(j)( )enx n （1.26） 0000( )ecos()jsin()ecos()jesin()nnnx nnnnn （1.27） 55在極坐標(biāo)系中可

19、寫為在極坐標(biāo)系中可寫為這里模這里模 ,幅角幅角 ?！咀⒁庾⒁狻吭谠?或其奇數(shù)倍處應(yīng)有或其奇數(shù)倍處應(yīng)有 以至于信號在相鄰點(diǎn)上都改變符號。以至于信號在相鄰點(diǎn)上都改變符號。 ( )enx n 0arg x nn 0 je(cos )( 1) nnn （1.29） 0jarg( )j( )( ) eeex nnnx nx n （1.28） 56l可以用可以用MATLAB函數(shù)函數(shù)exp產(chǎn)生指數(shù)序列，例如產(chǎn)生指數(shù)序列，例如 所用的所用的MATLAB命令為命令為 n=0:10;x=exp(2+3j)*n); exp2j3,010 x nnn576. 正弦序列正弦序列 如圖如圖1.21所示。這里，幅值所示。這

20、里，幅值 、初相角、初相角 的含義的含義與模擬正弦信號相同，但正弦序列的數(shù)字角頻率與模擬正弦信號相同，但正弦序列的數(shù)字角頻率 的含義與一般模擬信號的概念不同。模擬正弦中的的含義與一般模擬信號的概念不同。模擬正弦中的角頻率單位是角頻率單位是rad/s，而此處，而此處 的單位僅是的單位僅是rad， 表示相鄰兩個(gè)樣值間弧度的變化量。利用歐拉公式表示相鄰兩個(gè)樣值間弧度的變化量。利用歐拉公式把復(fù)指數(shù)和正弦序列相聯(lián)系為把復(fù)指數(shù)和正弦序列相聯(lián)系為 A0000( )Asin()x nn （1.30） 0j00ecos()jsin()nnn （1.31） 58l可利用以下可利用以下MATLAB程序程序 n=0:

21、10;x=3*cos(0.1*pi*n+pi/3)+2*sin(0.5*pi*n); 圖圖1.21 1.21 正弦序列正弦序列 597. 周期序列周期序列 對于任意整數(shù)對于任意整數(shù)n，若下式成立，若下式成立 為整數(shù)為整數(shù) 則序列則序列 是周期序列，且周期為是周期序列，且周期為 。 模擬周期信號的采樣不一定是周期序列，只有當(dāng)采模擬周期信號的采樣不一定是周期序列，只有當(dāng)采樣頻率與信號周期構(gòu)成一定關(guān)系時(shí)才能得到周期序樣頻率與信號周期構(gòu)成一定關(guān)系時(shí)才能得到周期序列。欲使一個(gè)正弦序列是周期序列，必須滿足條件列。欲使一個(gè)正弦序列是周期序列，必須滿足條件 即滿足即滿足 或或 （有理數(shù)）。（有理數(shù)）。 由于由

22、于是無理數(shù)，顯然只有當(dāng)是無理數(shù)，顯然只有當(dāng) （ 是有是有, rN( )x nN02 rNk 0/2 /k rN 0a a( )()x nx nrN （1.32） 00sin()sin ()AnAnrN （1.33） 60理數(shù)）時(shí)正弦序列才可能是周期的。理數(shù)）時(shí)正弦序列才可能是周期的。 由一個(gè)有限長序列由一個(gè)有限長序列 產(chǎn)生周期序產(chǎn)生周期序列列 的的 個(gè)周期，可將個(gè)周期，可將 重復(fù)重復(fù) 次：次：xtilde=x,x,.,x，還可以利用，還可以利用MATLAB首先產(chǎn)生包首先產(chǎn)生包含含 個(gè)個(gè) 值的行矩陣，然后利用結(jié)構(gòu)將此矩陣連值的行矩陣，然后利用結(jié)構(gòu)將此矩陣連成一個(gè)長的行向量。這種結(jié)構(gòu)僅對列起作用，

23、必須成一個(gè)長的行向量。這種結(jié)構(gòu)僅對列起作用，必須要用矩陣轉(zhuǎn)置算符，才能對行提供相同的效果。如要用矩陣轉(zhuǎn)置算符，才能對行提供相同的效果。如 lxtilde=x*ones(1,R); % R columns of x;x is a row vector xtilde=xtilde(:); % long column vector ,01x nnN x n R x nRR x n61l【例例1.2】 在給定的區(qū)間上產(chǎn)生并畫出序列在給定的區(qū)間上產(chǎn)生并畫出序列 【解解】 在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間 上，上， 有有4個(gè)周期。個(gè)周期。 n=-10:9;x=5,4,3,2,1; xtilde=x*ones(1,

24、4); xtilde=(xtilde(:); subplot(2,2,4);stem(n,xtilde); xlabel(n);ylabel(xtilde(n);運(yùn)行結(jié)果如圖運(yùn)行結(jié)果如圖1.22所示。所示。 ,5,2,3,2,1,5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,;109x nn 109n x n 圖圖1.22 例例1.2圖圖 621. 序列相加序列相加 兩序列兩序列 相加，是將它們的各個(gè)對應(yīng)項(xiàng)相加，是將它們的各個(gè)對應(yīng)項(xiàng)分別相加。如分別相加。如 指兩個(gè)不同序列，在同一時(shí)刻指兩個(gè)不同序列，在同一時(shí)刻n，對幅度進(jìn)行疊加。，對幅度進(jìn)行疊加。 12( )( )x nxn、12( )( )( )y

25、 nx nx n （1.34） 632. 序列相乘序列相乘 序列相乘是指在同一時(shí)刻序列相乘是指在同一時(shí)刻 n，對不同的兩個(gè)序列作，對不同的兩個(gè)序列作幅度做乘法運(yùn)算，如幅度做乘法運(yùn)算，如 上式表示將兩序列上式表示將兩序列 的各個(gè)對應(yīng)項(xiàng)分別的各個(gè)對應(yīng)項(xiàng)分別相乘。相乘。 序列相加和序列相乘如圖序列相加和序列相乘如圖1.23所示。所示。 12( )( )x nx n、12( )( )( )y nx nxn （1.35） 64圖圖1.23 序列的相加和相乘序列的相加和相乘 65founctiony,n=sig-proc(x1,n1,x2,n2,s)% x1，x2分別為輸入序列，分別為輸入序列，n1，n2

26、為對應(yīng)下標(biāo)為對應(yīng)下標(biāo)% s=0為加法，為加法，s=other為乘法為乘法n=min(min(n1),min(n2): max(max (n1), max (n2);y1=zeros(1,lenghth(n);y2=y1;y1(find(n= min(n1)&(n= min(n2)&(n1時(shí)，就是通常所說的放大作用，即把序列時(shí)，就是通常所說的放大作用，即把序列 的幅的幅度放大了度放大了 倍。倍。l在在MATLAB中，算術(shù)算符中，算術(shù)算符“*”用來實(shí)現(xiàn)這種加權(quán)用來實(shí)現(xiàn)這種加權(quán)運(yùn)算。運(yùn)算。 ( )x naaaaa( )x na( )( )y nx na（1.36） 674. 序列移位

27、序列移位 序列序列 向右（左）平移，是將序號減去（加向右（左）平移，是將序號減去（加上）上） ，如，如 右移右移 通常稱序列的延時(shí)通常稱序列的延時(shí) 左移左移 通常稱序列的超前通常稱序列的超前如圖如圖1.24所示所示x(n)、x(n-1)、x(n+1)。 ( )x nm( )()y nx nm( )()y nx nmmm圖圖1.24 序列的移位序列的移位 68l作為實(shí)現(xiàn)序列延時(shí)的實(shí)際離散系統(tǒng)就是移位寄存器作為實(shí)現(xiàn)序列延時(shí)的實(shí)際離散系統(tǒng)就是移位寄存器或存儲器。延時(shí)單元如圖或存儲器。延時(shí)單元如圖1.25所示。所示。 l用用MATLAB編寫的信號延遲程序如下：編寫的信號延遲程序如下： function

28、 y,n = sigshift(x,m,n0) % implements y(n) = x(n-n0) % y,n = sigshift(x,m,n0) n = m+n0; y = x ;圖圖1.25 單位延時(shí)單元的圖形表示單位延時(shí)單元的圖形表示 69 【例例1.3】 令令 確定并畫出序列確定并畫出序列 【解解】 序列序列 x1(n)的第一部分是將的第一部分是將 x(n)右移位右移位5再乘以再乘以2得得到到，第二部分是將第二部分是將x(n)左移位左移位4再乘以再乘以3而得到。而得到。移位和相加都能容易用移位和相加都能容易用MATLAB中中sigshift函數(shù)和函數(shù)和sigadd函數(shù)完成。函數(shù)完

29、成。l相應(yīng)的相應(yīng)的MATLAB程序?yàn)槌绦驗(yàn)?n=-2:10; x=1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1; 1, 2, 3,4,5,6,7,6,5,4, 3, 2,1 , 210 x nn 12534xnx nx n 70 x11,n11=sigshift(x,n,5);x12,n12=sigshift(x,n,-4); %調(diào)用調(diào)用sigshift 函數(shù)函數(shù)x1,n1=sigadd(2*x11,n11,-3*x12,n12); %調(diào)用調(diào)用sigadd 函數(shù)函數(shù)subplot(2,1,1);stem(n1,x1);xlabel(n);ylabel(x1(n);axis(-10 15

30、-30 20);運(yùn)行結(jié)果如圖運(yùn)行結(jié)果如圖1.26所示。所示。 圖圖1.26 例例1.3中的序列中的序列 1( )x n715序列的反摺序列的反摺 序列的反摺是用序列的反摺是用-n代換代換x(n)中的獨(dú)立變量中的獨(dú)立變量n。反摺的。反摺的圖形表示就是序列以圖形表示就是序列以n=0的縱軸為對稱軸，將序列的縱軸為對稱軸，將序列 x(n)反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)180o。圖。圖1.27表示了序列反摺運(yùn)算的過程，表示了序列反摺運(yùn)算的過程， (a)與圖與圖 (b)為軸對稱圖形。為軸對稱圖形。 圖圖1.27 1.27 序列反摺運(yùn)算序列反摺運(yùn)算 (a) (a) 原序列原序列 (b) (b) 原序列的反摺原序列的反摺 72l在

31、在MATLAB中，這一運(yùn)算對樣本值用函數(shù)中，這一運(yùn)算對樣本值用函數(shù)fliplr(x)實(shí)現(xiàn)，對樣本位置通過函數(shù)實(shí)現(xiàn)，對樣本位置通過函數(shù)-fliplr(x)實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)， 例如例如y(n)=x(-n)的的MATLAB實(shí)現(xiàn)為實(shí)現(xiàn)為 y=fliplr (x); n=-fliplr (n); 736序列的卷積和序列的卷積和 兩個(gè)序列的卷積和被定義為兩個(gè)序列的卷積和被定義為 其中，其中，“*”表示線性卷積。注意：求和是在虛設(shè)表示線性卷積。注意：求和是在虛設(shè)的變量的變量m下進(jìn)行的，下進(jìn)行的，m為求和變量，為求和變量，n為參變量。結(jié)為參變量。結(jié)果仍為果仍為n的函數(shù)。的函數(shù)。l 序列卷積和計(jì)算的基本方法有解析法、

32、圖解法和序列卷積和計(jì)算的基本方法有解析法、圖解法和不進(jìn)位乘法求卷積等。不進(jìn)位乘法求卷積等。 1212( )( )( )()()mx nx nx nx m x nm （1.37） 74l（1）解析法）解析法 如果已知兩個(gè)卷積序列的解析表達(dá)式，則可以直接如果已知兩個(gè)卷積序列的解析表達(dá)式，則可以直接按照卷積和式（按照卷積和式（1.37）進(jìn)行計(jì)算。舉例說明。）進(jìn)行計(jì)算。舉例說明。 【例例1.4】 已知已知 其中其中 0a1。求。求 【解解】 152( )( ),( )( ),nx nR nxna u n 12( )( )( )y nx nxn 。12( )( )( ) ()(5)()n mmy nx

33、nxnu mu mau nm 75 要計(jì)算上式，關(guān)鍵是根據(jù)求和號內(nèi)兩個(gè)序列乘積的要計(jì)算上式，關(guān)鍵是根據(jù)求和號內(nèi)兩個(gè)序列乘積的非零值區(qū)間確定求和的上、下限。因?yàn)榉橇阒祬^(qū)間確定求和的上、下限。因?yàn)閚m時(shí)，時(shí)， u(n-m)才能取非零值；才能取非零值；0m4時(shí)，時(shí)，R5(n)取非零值，取非零值，所以求和區(qū)間所以求和區(qū)間m要同時(shí)滿足下面兩式：要同時(shí)滿足下面兩式：mn0m4 這樣求和限與這樣求和限與n有關(guān)系，必須將有關(guān)系，必須將n分段然后進(jìn)行計(jì)算。分段然后進(jìn)行計(jì)算。 當(dāng)當(dāng)n0時(shí)時(shí) ( )0y n 760n4時(shí)，乘積的非零值范圍為時(shí)，乘積的非零值范圍為0mn，因此，因此 當(dāng)當(dāng)n4時(shí)，乘積的非零值范圍為時(shí)，

34、乘積的非零值范圍為0m4，因此，因此 寫成統(tǒng)一表達(dá)式為寫成統(tǒng)一表達(dá)式為1100( )1nnnn mnmmmaay naaaa 444100( )1nnn mnmmmaay naaaa 114100( )04151nnnnaay nnaaana 77l（2）圖解法）圖解法 圖解法的步驟包括：圖解法的步驟包括：兩個(gè)序列變量置換兩個(gè)序列變量置換，任選任選其中一個(gè)序列反摺位移其中一個(gè)序列反摺位移，兩個(gè)序列相乘兩個(gè)序列相乘，對相對相乘后的非零值序列求和乘后的非零值序列求和。下面舉例說明。下面舉例說明?！纠?.5】 已知序列已知序列 求求 12( )1, 3,2( )4,3, 2, 1x nx n ，。

35、12( )( )( )x nx nxn 。78【解解】 根據(jù)序列的卷積和的計(jì)算公式（根據(jù)序列的卷積和的計(jì)算公式（1.37）計(jì)算）計(jì)算過程如下：過程如下： 第一步第一步，將，將n換為換為m，畫出，畫出 x1(m) 、x2(m)圖形，分圖形，分別如圖別如圖1.28 (a)、(b)所示。所示。 圖圖1.28 圖解法求卷積圖解法求卷積 79 第二步第二步，將，將 圖形以縱坐標(biāo)為軸翻摺圖形以縱坐標(biāo)為軸翻摺180，得，得到到 圖形，如圖圖形，如圖1.28 (c) 所示。所示。 2()x m2(-)xm圖圖1.28 圖解法求卷積圖解法求卷積 80 第三步第三步，將，將 圖形沿圖形沿m軸左移軸左移 或右移或右

36、移 個(gè)時(shí)間單位，得到個(gè)時(shí)間單位，得到 圖形。例如，當(dāng)圖形。例如，當(dāng)n=1和和n=1時(shí)，時(shí)， 圖形分別如圖圖形分別如圖1.28 (d)、(e) 所示。所示。 2( -)x n m(0)n (0)n n2( -)x n m圖圖1.28 圖解法求卷積圖解法求卷積 2(-)xm81 第四步第四步，對任一給定值，對任一給定值n，按式（，按式（1.37）進(jìn)行相乘、）進(jìn)行相乘、求和運(yùn)算，得到序號為求和運(yùn)算，得到序號為n的卷積和序列值的卷積和序列值 x(n) 。若。若令令n由由至至變化，變化，x2(n-m)圖形將從圖形將從 處開始沿處開始沿m軸自左向右移動，可計(jì)算求得卷積和序列軸自左向右移動，可計(jì)算求得卷積和

37、序列x(n)對對于本例中給定的于本例中給定的x1(n)和和x2(n) ，具體計(jì)算過程如下：，具體計(jì)算過程如下： 時(shí)，由于乘積項(xiàng)時(shí)，由于乘積項(xiàng) 均為零，故均為零，故 時(shí)，時(shí)， 0n 12()()x m xnm ( )=0 x n0n 012120(0)()(0)(0)(0)144mxx m xmxx 82 時(shí)，時(shí)， 時(shí)，時(shí)， 1n 11201212(1)()(1)(0)(1)(1)(0)31215mxx m xmxxxx 2n 2120121212(2)()(2)(0)(2)(1)(1)(2)(0)29819mxx m xmxxxxxx 83l最后可得到卷積結(jié)果，如圖最后可得到卷積結(jié)果，如圖1.

38、28 (f)所示，所示， 的的表達(dá)式為表達(dá)式為 ( )x n 12( )=( )*( )4, 5, 19, 13, 7, 2x nx nx n 圖圖1.28 圖解法求卷積圖解法求卷積 84（3）不進(jìn)位乘法求卷積）不進(jìn)位乘法求卷積 對于兩個(gè)有限長序列的卷積和計(jì)對于兩個(gè)有限長序列的卷積和計(jì)算，可以采用更為簡便實(shí)用的不算，可以采用更為簡便實(shí)用的不進(jìn)位乘法求卷積計(jì)算。這種方法進(jìn)位乘法求卷積計(jì)算。這種方法不需要畫出序列圖形，不需要畫出序列圖形，只要把兩只要把兩個(gè)序列排成兩行，按普通乘法運(yùn)個(gè)序列排成兩行，按普通乘法運(yùn)算進(jìn)行相乘，但算進(jìn)行相乘，但中間結(jié)果不進(jìn)位中間結(jié)果不進(jìn)位，最后將位于同一列的中間結(jié)果相最后

39、將位于同一列的中間結(jié)果相加得到卷積和序列。加得到卷積和序列。例例1.5 計(jì)算過程如右圖所示計(jì)算過程如右圖所示85線性卷積的性質(zhì)線性卷積的性質(zhì)（1）交換律）交換律（2）結(jié)合律）結(jié)合律（3）分配律）分配律1221( )( )( )( )x nx nx nx n （1.38） 312312( ) ( )( )( )( )( )x nx nx nx nx nx n （1.39） 3123132( )( )( )( )( )( )( )x nx nx nx nx nx nx n （1.40） 86【例例1.7】 證明下面兩公式成立：證明下面兩公式成立：【解解】 式中，只有當(dāng)式中，只有當(dāng)n=m時(shí)，時(shí)，x(

40、n)才取非零值。將才取非零值。將n=m代代入上式中，得到入上式中，得到 (1)( )( )( )x nx nn （1.41） 00(2)( )()()x nnnx nn （1.42） (1)( )( )() ()mx nnx mnm ( )( )( )x nnx n 87 式中，只有當(dāng)式中，只有當(dāng)m=n-n0時(shí)，時(shí)，x(n)才取非零值。將才取非零值。將m=n-n0代入上式中，得到代入上式中，得到【結(jié)論結(jié)論】式（式（1.41）說明序列卷積單位脈沖序列等）說明序列卷積單位脈沖序列等于序列本身；式（于序列本身；式（1.42）說明序列卷積一個(gè)移位）說明序列卷積一個(gè)移位n0的單位脈沖序列，相當(dāng)于將該序列

41、移位的單位脈沖序列，相當(dāng)于將該序列移位n0。 00(2)( )()() ()mx nnnx mnnm 00( )()()x nnnx nn 88lMATLAB提供了一個(gè)內(nèi)部的提供了一個(gè)內(nèi)部的conv函數(shù)用于計(jì)算兩函數(shù)用于計(jì)算兩個(gè)有限長序列之間的卷積，其調(diào)用格式為個(gè)有限長序列之間的卷積，其調(diào)用格式為 a=conv(b,c) 向量向量b和和c的長度分別為的長度分別為N和和M，則向量，則向量a長度為長度為NM1。l【注意注意】conv函數(shù)默認(rèn)向量函數(shù)默認(rèn)向量b和和c表示的兩個(gè)序列都表示的兩個(gè)序列都是從是從0開始，不需要位置向量。默認(rèn)卷積結(jié)果向量開始，不需要位置向量。默認(rèn)卷積結(jié)果向量a也是從也是從0開

42、始，即卷積結(jié)果向量不提供特殊的位置開始，即卷積結(jié)果向量不提供特殊的位置信息。信息。當(dāng)兩個(gè)當(dāng)兩個(gè)序列序列不是不是從從0開始時(shí)，必須對開始時(shí)，必須對conv函函數(shù)稍加擴(kuò)展。數(shù)稍加擴(kuò)展。 897序列的相關(guān)序列的相關(guān) 序列的相關(guān)是對兩個(gè)序列相似程度的一種度量。已序列的相關(guān)是對兩個(gè)序列相似程度的一種度量。已知兩個(gè)有限能量的實(shí)值序列知兩個(gè)有限能量的實(shí)值序列x(n)和和y(n)，其，其互相關(guān)互相關(guān)是一個(gè)序列是一個(gè)序列rxy(m) m稱為位移或滯后參數(shù)。稱為位移或滯后參數(shù)。 xynrmx n y nm （1.43） 90 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，式（時(shí)，式（1.43）的特殊情況稱為）的特殊情況稱為自相自相關(guān)關(guān)，定義為，定義

43、為 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 反映了序列反映了序列 和其自身作了一和其自身作了一段延遲之后的序列段延遲之后的序列 的相似程度。的相似程度。 l相關(guān)和卷積的時(shí)域關(guān)系相關(guān)和卷積的時(shí)域關(guān)系 y nx n xxrm x n x nm xxnrmx n x nm （1.44） *x yrmxmy m （1.45） 918. 序列的能量序列的能量 序列序列x(n)的能量定義為序列各抽樣值的平方和。的能量定義為序列各抽樣值的平方和。l在在MATLAB中，有限長序列的能量能用以下兩種中，有限長序列的能量能用以下兩種方法計(jì)算：方法計(jì)算： Ex=sum(x.*conj(x) 或或 Ex=sum(abs(x).2)2(

44、 )nEx n （1.47） 92 離散時(shí)間系統(tǒng)的本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列離散時(shí)間系統(tǒng)的本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個(gè)運(yùn)算，如圖的一個(gè)運(yùn)算，如圖1.30所示。所示。圖圖1.30 離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng) 其中其中 用來代表這個(gè)運(yùn)算關(guān)系，反映出系統(tǒng)持征，也即用來代表這個(gè)運(yùn)算關(guān)系，反映出系統(tǒng)持征，也即T ( )T ( )y nx n （1.48） 93 設(shè)系統(tǒng)在設(shè)系統(tǒng)在 和和 輸入時(shí)的輸出分別為輸入時(shí)的輸出分別為 及及 ，即，即 l如果系統(tǒng)在如果系統(tǒng)在 輸入下能保證輸出為輸入下能保證輸出為 其中其中a a、b b為任意比例常數(shù)，為任意比例常數(shù)，則該系則該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)

45、。 （如圖（如圖1.31所示所示 ） 圖圖1.31 系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的線性 1122( )T( )( )T( )y nx nynxn ，1( )x n2( )xn1( )y n2( )yn12( )( )ax nbxn 12( )( ),ay nby n 94 系統(tǒng)的運(yùn)算關(guān)系系統(tǒng)的運(yùn)算關(guān)系 在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間（不隨序列的先后）而變化，這種系統(tǒng)稱為（不隨序列的先后）而變化，這種系統(tǒng)稱為時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)。 即若即若 有有 滿足以上關(guān)系的系統(tǒng)就稱為滿足以上關(guān)系的系統(tǒng)就稱為時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)（或者叫（或者叫“移不變系統(tǒng)移不變系統(tǒng)”），如圖），如圖1.32所示。所示。

46、 T T ( )( )x ny n 000T ()()()x nny nnn 為為任任意意整整數(shù)數(shù) （1.50） 95l既滿足線性，又滿足時(shí)不變條件的系統(tǒng)是既滿足線性，又滿足時(shí)不變條件的系統(tǒng)是線性時(shí)線性時(shí)不變系統(tǒng)不變系統(tǒng)。這里約定：。這里約定：本書所說的系統(tǒng)均指線性本書所說的系統(tǒng)均指線性時(shí)不變系統(tǒng)，簡稱時(shí)不變系統(tǒng)，簡稱LTILTI系統(tǒng)。系統(tǒng)。 圖圖1.32 系統(tǒng)的時(shí)不變性系統(tǒng)的時(shí)不變性 96 線性時(shí)不變系統(tǒng)可用它的單位脈沖響應(yīng)來表征。當(dāng)線性時(shí)不變系統(tǒng)可用它的單位脈沖響應(yīng)來表征。當(dāng)系統(tǒng)的輸入是單位脈沖序列系統(tǒng)的輸入是單位脈沖序列 時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)輸出稱為單位脈沖響應(yīng)，用輸出稱為單

47、位脈沖響應(yīng)，用 表示。單位脈沖響表示。單位脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)固有的，反映了系統(tǒng)特性，即應(yīng)是系統(tǒng)固有的，反映了系統(tǒng)特性，即l線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的輸出序列等于輸入序列和系線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的輸出序列等于輸入序列和系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的線性卷積。統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的線性卷積。 ( )n ( )h n ( )T( )h nn （1.51） 97【例例1.10】 判斷下列系統(tǒng)是否為線性時(shí)不變系統(tǒng)。判斷下列系統(tǒng)是否為線性時(shí)不變系統(tǒng)。（1）y(n)=Tx(n)=ax(n)+b；（2）y(n)=Tx(n)=nx(n)?！窘饨狻浚?）Tx(n-n0)=ax(n-n0)+b=y(n-n0)，是時(shí)不變系，是時(shí)不變系統(tǒng)；統(tǒng)；（2

48、）Tx(n- n0)=nx(n-n0)y(n-n0)=(n-n0)y(n-n0)，是時(shí)變系統(tǒng)。是時(shí)變系統(tǒng)。 981. 串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng) 11( )( )( )y nx nh n12( )( )( )y ny nh n 12( )( )( )( )y nx nh nh n 21( )( )( )( )y nx nh nh n 21( )( )( )h nh nh n ( )( )( )y nx nh n 圖圖1.33 并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng) 99l上式中上式中 h(n)稱為稱為h1(n)和和h2(n)串聯(lián)后的等效系統(tǒng)，該串聯(lián)后的等效系統(tǒng)，該等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)分別的等效系統(tǒng)的單位脈沖

49、響應(yīng)等于兩個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)的卷積，如圖單位脈沖響應(yīng)的卷積，如圖1.33 (c) 所示。所示。l依次類推，如果有依次類推，如果有n個(gè)系統(tǒng)串聯(lián)，那么它的總系統(tǒng)個(gè)系統(tǒng)串聯(lián)，那么它的總系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于的單位脈沖響應(yīng)等于n個(gè)分系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的卷個(gè)分系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的卷積。積。 1002. 并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng) 11( )( )( )y nx nh n22( )( )( )y nx nh n 1212( )( )( )( )( )( )( )y ny ny nx nh nx nh n 12( )( ) ( )( )y nx nh nh n 12( )( )( )h nh nh n ( )(

50、 )( )y nx nh n 是兩個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)的等效系統(tǒng)是兩個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)的等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，等于兩個(gè)并聯(lián)的單位脈沖響應(yīng)，等于兩個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)的單位脈沖相應(yīng)的相加。如系統(tǒng)的單位脈沖相應(yīng)的相加。如果有果有n個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)，它的總系統(tǒng)的個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)，它的總系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于單位脈沖響應(yīng)等于n個(gè)分系統(tǒng)單位個(gè)分系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)相加。脈沖響應(yīng)相加。 ( )h n圖圖1.34 1.34 并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng) 101 【例例1.11】 對圖對圖1.35所示的兩個(gè)線性非時(shí)變系統(tǒng)的級所示的兩個(gè)線性非時(shí)變系統(tǒng)的級聯(lián)，已知聯(lián)，已知 輸入為輸入為 求輸出求輸出 12( )sin,( )( ),| 1,nh nn h na u

51、na ( )( )(1),x nnan ( )y n 。圖圖1.35 例例1.11圖圖 【解解】 圖圖1.35所示系統(tǒng)的輸出為所示系統(tǒng)的輸出為 102利用卷積運(yùn)算的交換率、分配率等重要性質(zhì)可得利用卷積運(yùn)算的交換率、分配率等重要性質(zhì)可得 121( )( )( )( ) ( )(1) sin( )( ) sin( )(1) sin( )sin( )sin(1)sin ( )(1)sin( )sinnnnnnnnny nx nh nh nnann a u nnn a u nann a u nn a u nn aau nn au nu nn anan 103 【例例1.121.12】 對于圖對于圖1.

52、361.36所示的線性時(shí)不變系統(tǒng)的所示的線性時(shí)不變系統(tǒng)的互聯(lián)，試用互聯(lián)，試用 表示系統(tǒng)表示系統(tǒng)總的單位響應(yīng)總的單位響應(yīng) 12345( )( )( )( )( )h nh nh nh nh n，( )h n 。圖圖1.36 例例1.12圖圖 104 【解解】 通過串并聯(lián)系統(tǒng)的原理，即，分系統(tǒng)串聯(lián)，通過串并聯(lián)系統(tǒng)的原理，即，分系統(tǒng)串聯(lián)，它的總等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于各分系統(tǒng)單它的總等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于各分系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的卷積，可寫出位脈沖響應(yīng)的卷積，可寫出 112213435( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )y nx nh nh ny nx nh n

53、h nh ny nx nh n分系統(tǒng)并聯(lián)，它的總等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等分系統(tǒng)并聯(lián)，它的總等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于各分系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)相加，可寫出于各分系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)相加，可寫出 512134( )( ) ( )( )( )( )( )( )y nx nh nh nh nh nh nh n 51234( )( )( ) ( )( )( )h nh nh nh nh nh n 故有故有105 1.因果系統(tǒng)因果系統(tǒng) 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)是輸出序列一定在加入輸入序列之后才是輸出序列一定在加入輸入序列之后才出現(xiàn)的系統(tǒng)出現(xiàn)的系統(tǒng)，系統(tǒng)此時(shí)的輸出，系統(tǒng)此時(shí)的輸出 只取決于此時(shí)以只取決于此時(shí)以及此時(shí)以前的輸

54、入及此時(shí)以前的輸入 ( )y n( )(1)(2)x nx nx n ， 。( )( )y nnx n ( )(2)( )y nx nax n 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng) 非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng) 線性時(shí)不變系統(tǒng)具有因果性的線性時(shí)不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件充分必要條件是是 ( )00h nn ，將將 的序列稱為因果序列。的序列稱為因果序列。 ( )00 x nn ，1062. 穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng) 輸入信號序列有界就能保證輸出信號序列也有界的輸入信號序列有界就能保證輸出信號序列也有界的系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)。 要證明一個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，只需找一個(gè)特別的有界輸入，如果要證明一個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，只需找一個(gè)特

55、別的有界輸入，如果此時(shí)能得到一個(gè)無界的輸出，那么就一定能判定這個(gè)系統(tǒng)是此時(shí)能得到一個(gè)無界的輸出，那么就一定能判定這個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是要證明一個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，就不能只用某一不穩(wěn)定的。但是要證明一個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，就不能只用某一個(gè)特定的輸入作用來證明，而要采用任何有界的輸入下都產(chǎn)個(gè)特定的輸入作用來證明，而要采用任何有界的輸入下都產(chǎn)生有界輸出的辦法來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。生有界輸出的辦法來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件充要條件是系統(tǒng)的單位脈沖是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)絕對可和，即響應(yīng)絕對可和，即 ( )nh n 107 【例例1.13】 已知單位脈沖響應(yīng)已知單位脈沖響應(yīng)

56、 ，判斷，判斷系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 ( )( )nh na u n 【解解】 因?yàn)橐驗(yàn)閚0時(shí)，時(shí)，h(n)=0，所以是因果系統(tǒng)。，所以是因果系統(tǒng)。且有且有 201| | 11 | | ( )| |1 | | | | | 1nnnaah naaaa 因此，因此，|a|1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，|a|1時(shí)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。時(shí)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 108 【例例1.14】 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=u(n)，求對，求對于任意輸入序列于任意輸入序列x(n)的輸出的輸出y(n)，并檢驗(yàn)系統(tǒng)的因，并檢驗(yàn)系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。果性和穩(wěn)定性。 ( )( )( )() ()my n

57、x nh nx m u nm 【解解】 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)n-m0時(shí)時(shí)，u(n-m)=0； n-m0時(shí)時(shí)，u(n-m)=1，求和限求和限為為mn，所以所以 ( )()nmy nx m 0( )( )nnh nu n 因此，該系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)因此，該系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)。自然地，該系統(tǒng)定系統(tǒng)。自然地，該系統(tǒng)是一個(gè)因果系統(tǒng)。是一個(gè)因果系統(tǒng)。 109 線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性差分線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性差分方程來描述，其一般形式為方程來描述，其一般形式為 常系數(shù)常系數(shù)是指系數(shù)是指系數(shù)bk，ak是與序號是與序號n無關(guān)的常數(shù)，體現(xiàn)無關(guān)的常數(shù)，體現(xiàn)“移移不變不變”特性。特性。線性線性是

58、指是指x(n-k)，y(n-k)各項(xiàng)均是一次項(xiàng)，沒有高次項(xiàng)，也各項(xiàng)均是一次項(xiàng)，沒有高次項(xiàng)，也不存在它們的相乘項(xiàng)，符合系統(tǒng)的線性特性。不存在它們的相乘項(xiàng)，符合系統(tǒng)的線性特性。 式中式中N是差分方程的階，表示是差分方程的階，表示y(n)的當(dāng)前輸出值與前的當(dāng)前輸出值與前M個(gè)輸入、前個(gè)輸入、前N個(gè)輸出值有關(guān)，或者說對前面的輸出有個(gè)輸出值有關(guān)，或者說對前面的輸出有N位位“記憶記憶”。01( )()()MNkkkky nb x nka y nk（1.60） 110 差分方程可以看成是一個(gè)遞推公式，初始條件反映差分方程可以看成是一個(gè)遞推公式，初始條件反映了信號未到達(dá)前系統(tǒng)的狀況，是不可缺少的。了信號未到達(dá)前

59、系統(tǒng)的狀況，是不可缺少的。如果如果系統(tǒng)初始狀態(tài)不是零，即使沒有輸入，系統(tǒng)也會有系統(tǒng)初始狀態(tài)不是零，即使沒有輸入，系統(tǒng)也會有輸出，這就是系統(tǒng)的輸出，這就是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)；假設(shè)系統(tǒng)初始狀；假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，計(jì)算輸入激勵(lì)下的輸出，得到的便是態(tài)為零，計(jì)算輸入激勵(lì)下的輸出，得到的便是零狀零狀態(tài)響應(yīng)態(tài)響應(yīng)，將零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)相加，才是系，將零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)相加，才是系統(tǒng)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別是差分方程統(tǒng)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別是差分方程的特解和通解。的特解和通解。111 解差分方程的方法有三種：解差分方程的方法有三種：遞推法、經(jīng)典法和變換遞推法、經(jīng)典法和變換域

60、法。域法。其中只有遞推法適合用計(jì)算機(jī)求解。其中只有遞推法適合用計(jì)算機(jī)求解。【例例1.15】 已知一階線性常系數(shù)差分方程如下式所已知一階線性常系數(shù)差分方程如下式所示示 輸入信號輸入信號x(n)=(n)，初始條件為，初始條件為y(n)=0，(n0時(shí)時(shí))。求輸出信號求輸出信號y(n)。 ( )1.5 ( )0.5 (1)y nx ny n112【解解】 利用利用y(n)=0，x(n)=0 (n0時(shí)時(shí))，從，從n=0起向右遞起向右遞推。推。這里，這里，x(0)=(0)=1， y(-1)=0 這里，這里，x(1)=(1)=0 遞推可以得到通式遞推可以得到通式 0(0)1.5 (0)0.5 ( 1)1.5nyxy 1(1