1、1 5.2 復(fù)數(shù)的向量表示復(fù)數(shù)的向量表示2一、引入一、引入 事實上事實上,把數(shù)系從實數(shù)集擴(kuò)充為復(fù)數(shù)集后把數(shù)系從實數(shù)集擴(kuò)充為復(fù)數(shù)集后,不僅可以不僅可以把原來在實數(shù)集中開方運算不總可以實施的矛盾得以解把原來在實數(shù)集中開方運算不總可以實施的矛盾得以解決決,而且還可以用來表示坐標(biāo)平面上的點而且還可以用來表示坐標(biāo)平面上的點. 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,我們知道我們知道,任何一個復(fù)數(shù)任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi,都可以由一個有序?qū)崝?shù)對都可以由一個有序?qū)崝?shù)對(a,b)唯一確定唯一確定;我們還知道我們還知道,有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對(a,b)與平面直角坐標(biāo)系中的點是一一對應(yīng)與平面直角坐標(biāo)系中的點是一一對應(yīng)

2、的的.由此由此,可以建立復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點集之可以建立復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點集之間的一一對應(yīng)間的一一對應(yīng).3二、基礎(chǔ)知識二、基礎(chǔ)知識 1.復(fù)數(shù)的點表示復(fù)數(shù)的點表示建立復(fù)平面建立復(fù)平面:在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,把把x軸叫做實軸軸叫做實軸,y軸叫軸叫做虛軸做虛軸,這個坐標(biāo)系叫做復(fù)平面這個坐標(biāo)系叫做復(fù)平面.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi 可用點可用點Z(a,b)表示表示,橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)a是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)z的實部的實部,縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)b是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)z的虛部的虛部,其中其中a,b R. .Z:a+biO a xyb實軸上的點都表示實數(shù)實軸上的點都表示實數(shù);除了原除了原點以外點以外,虛軸上的點都表示虛

3、數(shù)虛軸上的點都表示虛數(shù).復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi 復(fù)平面點復(fù)平面點Z(a，b) 一一對應(yīng)一一對應(yīng)這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.42.共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)當(dāng)兩個復(fù)數(shù)實部相等當(dāng)兩個復(fù)數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時虛部互為相反數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)這兩個復(fù)數(shù)稱為稱為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù).特別地特別地,虛部不等于虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用的共軛復(fù)數(shù)用 表示表示,即即z=a+bi,則則 =a-bi._z_z 的充分必要條件是的充分必要條件是 .Rz _zz z純虛數(shù)純虛數(shù)的充分必要條件是的充分必要條件是 . 0_ zzz且且復(fù)平面內(nèi)與一對共軛

4、復(fù)數(shù)對應(yīng)的點復(fù)平面內(nèi)與一對共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點Z和和 關(guān)于實軸關(guān)于實軸對稱對稱._Z :a-bi_Z-bO a xyZ:a+bib53.復(fù)數(shù)的向量表示復(fù)數(shù)的向量表示設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)點對應(yīng)點Z(a,b),連結(jié)連結(jié)OZ,則向量則向量OZ表示復(fù)表示復(fù)數(shù)數(shù)z,(規(guī)定實數(shù)規(guī)定實數(shù)0與零向量對應(yīng)與零向量對應(yīng)).復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi 平面向量平面向量OZ一一對應(yīng)一一對應(yīng)Z:a+biybO a x oz我們常把復(fù)數(shù)我們常把復(fù)數(shù)z=a+bi說成點說成點Z或向或向量量OZ,并規(guī)定并規(guī)定,相等的向量表示同相等的向量表示同一個復(fù)數(shù)一個復(fù)數(shù).向量向量OZ的模的模r叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模的模(絕對值絕對

5、值),記作記作|z|或或|a+bi|.即即|z|=|a+bi|=r= a2+b20.模的幾何意義模的幾何意義:表示該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點與原點表示該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點與原點之間的距離之間的距離.注意注意:任意兩個復(fù)數(shù)不一定可以比較大小任意兩個復(fù)數(shù)不一定可以比較大小,但它們的模但它們的模 由于都是由于都是非負(fù)的非負(fù)的實數(shù)實數(shù),所以一定能比較大小所以一定能比較大小.顯然有顯然有 .|_zz . 0|0 zz64.復(fù)平面上的區(qū)域或軌跡問題復(fù)平面上的區(qū)域或軌跡問題模的幾何意義表明模可以用來表示點的軌跡模的幾何意義表明?？梢杂脕肀硎军c的軌跡.例如滿例如滿足足|z|=r(0)的點的軌跡是以原點為圓心的點

6、的軌跡是以原點為圓心,r為半徑的圓為半徑的圓.復(fù)數(shù)與點的一一對應(yīng)復(fù)數(shù)與點的一一對應(yīng),使復(fù)數(shù)問題與解析幾何問題相互使復(fù)數(shù)問題與解析幾何問題相互轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化.如果復(fù)數(shù)的實部與虛部是一對實變量如果復(fù)數(shù)的實部與虛部是一對實變量,那么對應(yīng)那么對應(yīng)的點在復(fù)平面上就是動點的點在復(fù)平面上就是動點.如果變量按某種條件變化如果變量按某種條件變化,那么復(fù)平面上對應(yīng)點就構(gòu)成具有某種特征的點的集合那么復(fù)平面上對應(yīng)點就構(gòu)成具有某種特征的點的集合或軌跡或軌跡,這樣就把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來了這樣就把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來了.下面的圖形是幾種常見的軌跡圖下面的圖形是幾種常見的軌跡圖.z=a+biZ(a,b)OZ一一對應(yīng)一一對應(yīng)一一

7、一對應(yīng)一對應(yīng)一一對應(yīng)一一對應(yīng)7-a o a x-a o a x-a -b o b a xyyy|z|=a|z| ab |z| a -a o a x o x o xyyy|Re(z)| a|Im(z)| b|Im(z)| bbb8三、例題分析三、例題分析例例1:試求實數(shù)試求實數(shù)m的值或取值范圍的值或取值范圍,使復(fù)數(shù)使復(fù)數(shù)z=(m2-m+2)+ (m2-3m+2)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在 (1)實軸的負(fù)半軸上實軸的負(fù)半軸上; (2)第二象限第二象限.解解:(1). 121210230222 mmmmmmm或或(2) . 1121210230222mmmmmmmm或或9例例2:解方

8、程解方程:3z+|z|=1-3i.解解:設(shè)設(shè)z=x+yi(x,yR),則則3(x+yi)+|x+yi|=1-3i,即即 3x+ +3yi=1-3i.22yx 由復(fù)數(shù)相等的條件得由復(fù)數(shù)相等的條件得:.10331322 yxyyxx所以所以z=-i.延伸延伸1:已知已知z=|z|i,求復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點的軌跡的對應(yīng)點的軌跡.解解:設(shè)設(shè)z=x+yi(x,yR),則則x+yi=.22iyx .00022 yxyxyx所以復(fù)數(shù)所以復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點的軌跡是虛軸的上半軸和原點的對應(yīng)點的軌跡是虛軸的上半軸和原點(即軌跡是一條射線即軌跡是一條射線).10例例3:設(shè)全集為設(shè)全集為C,A=z|z|-1|=1-|z|

9、,zC,B=z|z|1,z C,若若zA(C CCB),求復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的 軌跡軌跡.解解:由由|z|-1|=1-|z|R,得得|z|-10,即即|z|1;故故A=z|z|1,zC.由由B=z|z|Imz; (3)z=-1+ai且且|z| .2所以軌跡是連接所以軌跡是連接(-1,-1)與與(-1,1)的線段的線段(包括端包括端點點).-1 O x-1y112四、小結(jié)四、小結(jié)1.復(fù)數(shù)與點及向量均建立了一一對應(yīng)關(guān)系復(fù)數(shù)與點及向量均建立了一一對應(yīng)關(guān)系,這兩種對應(yīng)這兩種對應(yīng)關(guān)系是把復(fù)數(shù)給以幾何解釋的依據(jù)關(guān)系是把復(fù)數(shù)給以幾何解釋的依據(jù).學(xué)習(xí)時要注意從不學(xué)習(xí)時要注意從不同的

10、角度認(rèn)識并分析復(fù)數(shù)問題同的角度認(rèn)識并分析復(fù)數(shù)問題,以便尋求最佳的解題途以便尋求最佳的解題途徑徑.2.由復(fù)平面內(nèi)適合某種條件的點的集合來求其對應(yīng)的復(fù)由復(fù)平面內(nèi)適合某種條件的點的集合來求其對應(yīng)的復(fù) 數(shù)集時數(shù)集時,通常是由其對應(yīng)關(guān)系列出方程或不等式通常是由其對應(yīng)關(guān)系列出方程或不等式(組組)成成 混合組混合組,求得復(fù)數(shù)的實部、虛部的值或范圍求得復(fù)數(shù)的實部、虛部的值或范圍,來確定所來確定所 求的復(fù)數(shù)集求的復(fù)數(shù)集.3.復(fù)數(shù)與其對應(yīng)點之間的相互轉(zhuǎn)化是通過復(fù)數(shù)的實部、復(fù)數(shù)與其對應(yīng)點之間的相互轉(zhuǎn)化是通過復(fù)數(shù)的實部、 虛部與點的坐標(biāo)間的關(guān)系來實現(xiàn)的虛部與點的坐標(biāo)間的關(guān)系來實現(xiàn)的.4.數(shù)的范圍擴(kuò)充后數(shù)的范圍擴(kuò)充后,原有的運算性質(zhì)在新的數(shù)域內(nèi)不一原有的運算性質(zhì)在新的數(shù)域內(nèi)不一 定成立定成立,所以實數(shù)范圍內(nèi)的運算性質(zhì)所以實數(shù)范圍內(nèi)的運算性質(zhì),在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)需在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)需 證明后方可使用證明后方可使用.13五、作業(yè)五、作業(yè)5.要重視共軛復(fù)數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用要重視共軛復(fù)數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用,很多時候很多時候,運用共軛運用共軛 復(fù)數(shù)的性質(zhì)解題復(fù)數(shù)的性質(zhì)解題,能使解題過程簡潔明了能使解題過程簡潔明了.6.對于復(fù)數(shù)的模對于復(fù)數(shù)的模,可以從以下兩個方面進(jìn)行