1、新人教版九年級數(shù)學新人教版九年級數(shù)學( (下冊下冊) )第二十八章第二十八章 28.2 28.2 解直角三角形（解直角三角形（2 2）例例3： 2012年年6月月18日日“神舟神舟”九號載人航天飛船與九號載人航天飛船與“天宮一號天宮一號”目標飛行目標飛行器成功實現(xiàn)交會對接器成功實現(xiàn)交會對接“神舟神舟”九號與九號與“天宮一號天宮一號”在離地球表面在離地球表面343km的的圓形軌道上運行如圖，當組合體運行到地球表面上圓形軌道上運行如圖，當組合體運行到地球表面上P點的正上方時，從中點的正上方時，從中能直接看到的地球上表面最遠的點在什么位置？最遠點與能直接看到的地球上表面最遠的點在什么位置？最遠點與P

2、點的距離是多少？點的距離是多少？（地球半徑約為（地球半徑約為6 400km，取取3.142，結果取整數(shù)），結果取整數(shù)） 分析分析：從組合體中能直接看從組合體中能直接看到的地球上的點，應是視線到的地球上的點，應是視線與地球相切時的切點與地球相切時的切點OQFP 如圖，如圖，O O表示地球，點表示地球，點F F是組合是組合體的位置，體的位置，F(xiàn)QFQ是是O O的切線，切點的切線，切點Q Q是從組合體中觀測地球時的是從組合體中觀測地球時的 最遠最遠點點 的長就是地面上的長就是地面上P P、Q Q兩點兩點間的距離，為計算間的距離，為計算 的長需的長需先求出先求出POQPOQ（即（即a a）的度數(shù)）的度

3、數(shù). .PQPQPQ例題例題 解：在圖中，設解：在圖中，設POQ=a POQ=a FQ是是 O的切線，的切線，F(xiàn)OQ是直角三是直角三角形角形9491. 034364006400cosOFOQa36.18a弧弧PQ的長為的長為)(2051640018036.18km 當飛船在當飛船在P點正上方時，從飛船觀測地球時的最遠點距離點正上方時，從飛船觀測地球時的最遠點距離P點約點約2009.6kmOQFP仰角和俯角仰角和俯角鉛鉛直直線線水平線水平線視線視線視線視線仰角仰角俯角俯角在進行測量時，在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角仰角；從上往下看，視線與水

4、平線的夾角叫做從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角俯角. .例例4: 熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30，看這棟高樓底部的俯，看這棟高樓底部的俯 角為角為60，熱氣球與高樓的水平距離，熱氣球與高樓的水平距離為為120m，這棟高樓有多高（結果精確到，這棟高樓有多高（結果精確到0.1m）分析分析：我們知道，在視線與水平線所：我們知道，在視線與水平線所成的角中視線在水平線上方的是仰角成的角中視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角，因此，視線在水平線下方的是俯角，因此，在圖中，在圖中，a=30,=60 Rt RtABC

5、ABC中，中，a a =30=30，ADAD120120，所以利用解直角三角形的知識求出所以利用解直角三角形的知識求出BDBD；類似地可以求出；類似地可以求出CDCD，進而求出，進而求出BCBCABCD仰角仰角水平線水平線俯角俯角解解：如圖，：如圖，a = 30,= 60， AD120ADCDADBDatan,tan30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC1 .2773160答：這棟樓高約為答：這棟樓高約為277.1mABCD1. 建筑物建筑物BC上有一旗桿上有一旗桿AB，由距，由距BC40m的的D處觀察旗桿頂部處

6、觀察旗桿頂部A的仰角的仰角54，觀察底部，觀察底部B的仰的仰角為角為45，求旗桿的高度（精確到，求旗桿的高度（精確到0.1m）ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰三角形解：在等腰三角形BCD中中ACD=90BC=DC=40m在在RtACD中中tanACADCDCtanACADC DCtan54401.38 4055.2所以所以AB=ACBC=55.240=15.2答：棋桿的高度為答：棋桿的高度為15.2m.練習練習 2. 如圖，沿如圖，沿AC方向開山修路為了加快施工進度，要在小山的另一邊同方向開山修路為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，從時施工，從AC上的一點上的一點

7、B取取ABD = 140，BD = 520m，D=50，那么，那么開挖點開挖點E離離D多遠正好能使多遠正好能使A，C，E成一直線（精確到成一直線（精確到0.1m）50140520mABCEDBED=ABDD=90cosDEBDEBDcosDEBDE BDcos505200.64 520332.8答：開挖點答：開挖點E離離點點D 332.8m正好能使正好能使A，C，E成一直線成一直線.解：要使解：要使A、C、E在同一直線上，在同一直線上，則則 ABD是是 BDE 的一個外角的一個外角 當堂反饋當堂反饋3.如圖如圖3，從地面上的，從地面上的C，D兩點測得樹頂兩點測得樹頂A仰角分別是仰角分別是45和

8、和30，已知，已知CD=200m，點，點C在在BD上，則樹高上，則樹高AB等于等于 （根號保留）（根號保留）4.如圖如圖4，將寬為，將寬為1cm的紙條沿的紙條沿BC折疊，使折疊，使CAB=45，則折疊后重疊部分的面積為，則折疊后重疊部分的面積為 （根號保留）（根號保留） 100( 31)m圖圖3圖圖4222cm 當堂反饋當堂反饋6.如圖如圖2，在離鐵塔，在離鐵塔BE 120m的的A處，處，用測角儀測量塔頂?shù)难鼋菫橛脺y角儀測量塔頂?shù)难鼋菫?0，已知測角儀高已知測角儀高AD=1.5m，則塔高，則塔高BE= _ （根號保留）（根號保留）圖圖1圖圖2(40 31.5)m5.如圖如圖1，已知樓房，已知樓

9、房AB高為高為50m，鐵塔塔基距樓房地基，鐵塔塔基距樓房地基間的水平距離間的水平距離BD為為100m，塔高，塔高CD為為 m，則下面結論中正確的是（則下面結論中正確的是（ ）A由樓頂望塔頂仰角為由樓頂望塔頂仰角為60B由樓頂望塔基俯角為由樓頂望塔基俯角為60C由樓頂望塔頂仰角為由樓頂望塔頂仰角為30 D由樓頂望塔基俯角為由樓頂望塔基俯角為30100 3(50)3C新人教版九年級數(shù)學新人教版九年級數(shù)學( (下冊下冊) )第二十八章第二十八章 28.2 28.2 解直角三角形（解直角三角形（3 3）n指南或指北的方向線與目標方向線構成小于指南或指北的方向線與目標方向線構成小于900的角的角,叫做方

10、位角叫做方位角.n如圖：點如圖：點A在在O的北偏東的北偏東30n點點B在點在點O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA東東西西北北南南方位角方位角問題問題如圖如圖: :一艘輪船由海平面上一艘輪船由海平面上A A地出發(fā)地出發(fā)向南偏西向南偏西40400 0的方向行駛的方向行駛4040海里到達海里到達B B地地, ,再由再由B B地向北偏西地向北偏西20200 0的方向行駛的方向行駛4040海里海里到達到達C C地地, ,則則A,CA,C兩地的距離為兩地的距離為 _北北A北北BC40海里海里D有一個角是有一個角是60600 0的三的三角形是等邊三角形角形是等邊三角形答：貨輪無觸礁

11、危險。答：貨輪無觸礁危險。在在RtADC中，中， tanDCA=- AD= tan600 x= x在在RtADB中，中， tan30= - = -AD121.732 =20.784 20 解：過點解：過點A作作ADBC于于D,ABDCNN1二二、探究探究24海里海里XADDCADBD 3 xX=123X+24設設CD=x,則則BD=X+24例、例、如圖，海島如圖，海島A A四周四周2020海里周圍內為暗礁區(qū)，一艘貨海里周圍內為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，航行輪由東向西航行，航行2424海里到海里到C C，在在B處見島處見島A在北在北偏西偏西60.在在c見島見島A A在北偏西在北偏西3030，

12、貨輪繼續(xù)向西航行，貨輪繼續(xù)向西航行，有無觸礁的危險？有無觸礁的危險？例例5 如圖，一艘海輪位于燈塔如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東的北偏東65方向，距離燈塔方向，距離燈塔80海里海里的的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東的南偏東34方向上的方向上的B處，這時，海輪所在的處，這時，海輪所在的B處距離燈塔處距離燈塔P有多遠（有多遠（結果取結果取整數(shù)整數(shù)）？）？解：如圖解：如圖 ，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在在RtBPC中，中，B34PBPCB sin130559. 08 .

13、7234sin8 .72sinBPCPB當海輪到達位于燈塔當海輪到達位于燈塔P的南偏東的南偏東34方向時，它距離燈塔方向時，它距離燈塔P大約大約130.23海里海里6534PBCA利用利用解直角三角形解直角三角形的知識的知識解決實際問題解決實際問題的的一般過程是一般過程是:1.將實際問題抽象為數(shù)學問題將實際問題抽象為數(shù)學問題;(畫出平面圖形畫出平面圖形,轉化為解直角三角形的問題轉化為解直角三角形的問題)2.根據(jù)條件的特點根據(jù)條件的特點,適當選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形適當選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形;3.得到數(shù)學問題的答案得到數(shù)學問題的答案;4.得到實際問題的答案得到實際問題的答案.鞏

14、固練習：海中有一個小島鞏固練習：海中有一個小島A，它的周圍，它的周圍8海里范圍內海里范圍內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島點測得小島A在北偏東在北偏東60方向上，航行方向上，航行12海里到達海里到達D點，這時測點，這時測得小島得小島A在北偏東在北偏東30方向上，如果漁船不改變航線繼方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？BA ADF601230BADF解：由點解：由點A作作BD的垂線的垂線交交BD的延長線于點的延長線于點F，垂足為，垂足為F，AFD=90由題意圖示可知由題意圖示可知DAF=30設

15、設DF= x , AD=2x則在則在RtADF中，根據(jù)勾股定理中，根據(jù)勾股定理222223AFADDFxxx在在RtABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得x=666 310.4AFx10.4 8沒有觸礁危險沒有觸礁危險30601.如圖所示，輪船以如圖所示，輪船以32海里每小時的速海里每小時的速度向正北方向航行，在度向正北方向航行，在A處看燈塔處看燈塔Q在輪在輪船的北偏東船的北偏東30 處，半小時航行到處，半小時航行到B處，處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔發(fā)現(xiàn)此時燈塔Q與輪船的距離最短，求與輪船的距離最短，求燈塔燈塔Q到到B處的距離（畫出圖像后再計算）處的距離（畫出圖像后再計算）ABQ3

16、0相信你能行相信你能行A2 2如圖所示，一漁船上的漁民在如圖所示，一漁船上的漁民在A A處看見燈處看見燈塔塔M M在北偏東在北偏東6060方向，這艘漁船以方向，這艘漁船以2828海里海里/ /時的速度向正東航行，半小時至時的速度向正東航行，半小時至B B處，在處，在B B處處看見燈塔看見燈塔M M在北偏東在北偏東1515方向，此時燈塔方向，此時燈塔M M與與漁船的距離是漁船的距離是( ) ( ) 海里海里 . . 海里海里C.7C.7海里海里 D.14D.14海里海里 27214D 氣象臺發(fā)布的衛(wèi)星云圖顯示，代號為氣象臺發(fā)布的衛(wèi)星云圖顯示，代號為W的臺風的臺風在某海島（設為點在某海島（設為點O

17、）的南偏東）的南偏東45方向的方向的B點點生成，測得生成，測得 臺風中心從點臺風中心從點B以以40km/h的速度向正北方向移動，經(jīng)的速度向正北方向移動，經(jīng)5h后到達海后到達海面上的點面上的點C處因受氣旋影響，臺風中心從點處因受氣旋影響，臺風中心從點C開始以開始以30km/h的速度向北偏西的速度向北偏西60方向繼續(xù)移方向繼續(xù)移動以動以O為原點建立如圖為原點建立如圖12所示的直角坐標系所示的直角坐標系100 6kmOBx/kmy/km北東AOBC圖12n（1）臺風中心生成點）臺風中心生成點B的坐標為的坐標為 ，臺風，臺風中心轉折點中心轉折點C的坐標為的坐標為 ；（結果保留根號）；（結果保留根號）n

18、（2）已知距臺風中心）已知距臺風中心20km的范圍內均會受到臺的范圍內均會受到臺風的侵襲如果某城市（設為風的侵襲如果某城市（設為A點）位于點點）位于點O的的正北方向且處于臺風中心的移動路線上，那么臺正北方向且處于臺風中心的移動路線上，那么臺風從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過多長時間？風從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過多長時間？x/kmy/km北東AOBC圖12解：（1） (100 3 100 3)B，(100 3 200 100 3)C，（2）過點）過點C作作 于點于點D，如圖，如圖2，則，則 CDOA100 3CD在在 中中 RtACD30ACD100 3CD 3cos302CDCA2 0 0C A20

19、0206305611臺風從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過臺風從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過11小時小時60 x/kmy/kmAOBC圖圖2D 王英同學從王英同學從A A地沿北偏西地沿北偏西6060方向走方向走100m100m到到B B地地，再從，再從B B地向正南方向走地向正南方向走200m200m到到C C地，此時王英地，此時王英同學離同學離A A地多少距離？地多少距離？ABC北北南南西西東東DE600100m200m練習新人教版九年級數(shù)學新人教版九年級數(shù)學( (下冊下冊) )第二十八章第二十八章 28.2 28.2 解直角三角形（解直角三角形（4 4）修路、挖河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要修路、挖

20、河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度注明斜坡的傾斜程度. 坡面的鉛垂高度（坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（）和水平長度（l）的比）的比叫做坡面叫做坡面（或（或）. 記作記作i , 即即 i = .坡度坡度通常寫成通常寫成1 m的形式，如的形式，如 i=1 6.坡面與坡面與 水平面的夾角叫做坡角，記作水平面的夾角叫做坡角，記作a，有，有. 顯然，坡度越大，坡角顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡. lhlh例例5. 如圖，攔水壩的橫斷面為梯形如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD（圖中（圖中i=1:3是指坡面的鉛直是指坡面的鉛直高度高度DE與水平寬度與水平寬度CE

21、的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：（1）坡角）坡角a和和;（2）壩頂寬）壩頂寬AD和斜坡和斜坡AB的長（精確到的長（精確到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90tan11.5AFiBF ：33.7 在在RtCDE中，中，CED=90tan1:3DEiCE 18.4圖 19.4.6 19.4.6 如圖一段路基的橫斷面是梯形，高為如圖一段路基的橫斷面是梯形，高為4.2米，上底的寬是米，上底的寬是12.51米，路基的坡面與地面米，路基的坡面與地面的傾角分別是的傾角分別是32和和28求路基下底的求路基下底的寬（精確到寬（精確到0.1米）米）想一想1. 認清圖形中的有關線段認清圖形中的有關線段;2. 分析輔助線的作法分析輔助線的作法;3. 坡角在解題中的作用坡角在解題中的作用;4. 探索解題過程探索解題過程.32tan2 . 4AEAEDEi)(72. 632tan2 . 4米AE作作DEAB，CFAB，垂足分別為，垂足分別為E、 F由題意可知由題意可知 DECF4.2（米），（米），CDEF12.51（米）（米）. .在在RtADE中，因為中，因為 所以所以 )(90. 728tan2 . 4米BF在在RtBCF中，同理可得中，同理可得 因此因此 ABAEEFBF 6