1、會(huì)計(jì)學(xué)1一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用 一、一、 柯西中值定理柯西中值定理 二、二、 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 第1頁(yè)/共86頁(yè)定理定理 1 1 （柯西中值定理） 如果函數(shù)（柯西中值定理） 如果函數(shù))(xf與與 )(xF滿滿足下列條件：足下列條件： (1) (1) 閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)；上連續(xù)； (2) (2) 在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)； (3) (3) )( xF在在),(ba內(nèi)的每一點(diǎn)均不為零， 那么， 在內(nèi)的每一點(diǎn)均不為零， 那么， 在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn)， .f(b)f(a)f ()F(b)F(a)F ()使得使得第2頁(yè)/共86頁(yè) 把兩個(gè)無(wú)窮小量之

2、比或兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限把兩個(gè)無(wú)窮小量之比或兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限稱為稱為 00型或型或 型不定式型不定式( (也稱為也稱為 00型或型或 型未定型型未定型) )的極限的極限, ,洛必達(dá)法則就是以導(dǎo)數(shù)為工具求不定式的極限洛必達(dá)法則就是以導(dǎo)數(shù)為工具求不定式的極限方法方法 (1)(1) 0)(lim0 xfxx，0)(lim0 xgxx； (2) (2) )(xf與與)(xg在在 0 x的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)的某鄰域內(nèi)（點(diǎn) 0 x可除外）可除外）可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且0)( xg； 定定理理 2 2 ( (洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則) ) 若若 第3頁(yè)/共86頁(yè) (3) (3) Axgxfxx)()(lim0( (

3、 A為有限數(shù)，也可為為有限數(shù)，也可為或或 ) )，則，則 證證 由于我們要討論的是函數(shù)在點(diǎn)由于我們要討論的是函數(shù)在點(diǎn) 0 x的極限，的極限，而極限與函數(shù)在點(diǎn)而極限與函數(shù)在點(diǎn) 0 x的值無(wú)關(guān)， 所以我們可補(bǔ)充的值無(wú)關(guān)， 所以我們可補(bǔ)充)(xf與與)(xg在在0 x的定義，而對(duì)問(wèn)題的討論不會(huì)發(fā)生任何影的定義，而對(duì)問(wèn)題的討論不會(huì)發(fā)生任何影響令響令0)()(00 xgxf，則，則)(xf與與)(xg在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x就連就連續(xù)了在續(xù)了在 0 x附近任取一點(diǎn)附近任取一點(diǎn) x，并應(yīng)用柯西中值定理，并應(yīng)用柯西中值定理，得得 Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00 . . )()()()()

4、()()()(00gfxgxgxfxfxgxf (在x與 0 x之間) . 第4頁(yè)/共86頁(yè)由于由于0 xx 時(shí)，時(shí)，0 x ，所以，對(duì)上式取極限便得要證，所以，對(duì)上式取極限便得要證的結(jié)果，證畢的結(jié)果，證畢 注注：上述定理對(duì)：上述定理對(duì)x時(shí)的時(shí)的 00未定型同樣適用，對(duì)于未定型同樣適用，對(duì)于0 xx 或或x時(shí)的未定型時(shí)的未定型 ，也有相應(yīng)的法則，也有相應(yīng)的法則 第5頁(yè)/共86頁(yè)例例 1 1 求求123lim2331xxxxxx 解解 123lim2331xxxxxx = 12333lim221xxxx = 266lim1xxx = 46 = 23 例例 2 2 求求xxxtancos1lim

5、解解 xxxtancos1lim = xxx2cos1sinlim = 0 第6頁(yè)/共86頁(yè)例例 3 3 求求 arctan2lim1xxx 解解 arctan2lim1xxx = 22111limxxx = 221limxxx = 1 例例 4 4 求求 )0(lnlimnxxnx. . 解解 01lim1limlnlim1nxnxnxnxnxxxx 第7頁(yè)/共86頁(yè)例例 5 5 求求xxxxln11lim1 解解 這是這是未定型，通過(guò)“通分”將其化為未定型，通過(guò)“通分”將其化為 00未定型未定型 xxxxxxxxxxln) 1() 1(lnlimln11lim11xxxxxxx1ln1ln

6、1lim1 除未定型除未定型00與與之外， 還有之外， 還有00,1 ,0 ,0等未等未定型， 這里不一一介紹， 有興趣的同學(xué)可參閱相應(yīng)定型， 這里不一一介紹， 有興趣的同學(xué)可參閱相應(yīng)的書籍，下面就的書籍，下面就未定型再舉一例未定型再舉一例 第8頁(yè)/共86頁(yè) 在使用洛必達(dá)法則時(shí)，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：在使用洛必達(dá)法則時(shí)，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)： (1) (1) 每次使用法則前，必須檢驗(yàn)是否屬于每次使用法則前，必須檢驗(yàn)是否屬于 00或或 未定型，若不是未定型，就不能使用該法則；未定型，若不是未定型，就不能使用該法則； (2) (2) 如果有可約因子， 或有非零極限值的乘積因子，如果有可約因子， 或有非零極限值

7、的乘積因子，則可先約去或提出，以簡(jiǎn)化演算步驟；則可先約去或提出，以簡(jiǎn)化演算步驟； (3) (3) 當(dāng)當(dāng)(x)g(x)flim不存在不存在( (不包括不包括 的情況的情況) )時(shí)，并不時(shí)，并不能斷定能斷定g(x)f(x)lim也不存在，此時(shí)應(yīng)使用其他方法求極限也不存在，此時(shí)應(yīng)使用其他方法求極限 xxxxln11lnlim121111lim21xxxx . . 第9頁(yè)/共86頁(yè)2 2把柯西中值定理中的“把柯西中值定理中的“)(xf與與)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)”換成“上連續(xù)”換成“f(x)與與)(xF在開區(qū)間在開區(qū)間 ),(ba內(nèi)連續(xù)”內(nèi)連續(xù)”后，柯西中值定理的結(jié)論是否還成立？試舉例（只

8、需畫后，柯西中值定理的結(jié)論是否還成立？試舉例（只需畫出函數(shù)圖象）說(shuō)明出函數(shù)圖象）說(shuō)明 思考題思考題 1 1用洛必達(dá)法則求極限時(shí)應(yīng)注意什么？用洛必達(dá)法則求極限時(shí)應(yīng)注意什么？ 第10頁(yè)/共86頁(yè) 一、一、 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 二、二、 兩個(gè)重要推論兩個(gè)重要推論 三、三、 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 第11頁(yè)/共86頁(yè)定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf滿足下列條件：滿足下列條件： （1 1） 在在 區(qū)間區(qū)間,ba上連續(xù)；上連續(xù)； （2 2） 在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)，那么，在內(nèi)可導(dǎo)，那么，在),(ba內(nèi)內(nèi)至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn) ，使得，使得 )()()(abfafbf .

9、. 如果令如果令abxax,，則上式為，則上式為 xfxfxxf)( )()( , 其 中其 中介 于介 于x與與xx之 間 ， 如 果 將之 間 ， 如 果 將 表 是 成表 是 成) 10(xx，上式也可寫成，上式也可寫成 ()( )()(01)f xxf xfxxx . 拉格朗日中值定理幾何演示拉格朗日中值定理幾何演示第12頁(yè)/共86頁(yè)推論推論 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),(ba內(nèi)滿足內(nèi)滿足0)( xf，則在，則在),(ba內(nèi)內(nèi)Cxf)(（C為常數(shù)） 為常數(shù)） 證證 設(shè)設(shè)21,xx是區(qū)間是區(qū)間),(ba內(nèi)的任意兩點(diǎn)，且內(nèi)的任意兩點(diǎn)，且21xx ，于是在區(qū)間，于是在區(qū)間

10、,21xx上函數(shù)上函數(shù))(xf滿足拉格朗日滿足拉格朗日中值定理的條件，故得中值定理的條件，故得 由于由于0)( f，所以，所以0)()(12xfxf，即，即)()(21xfxf. . 212112()()( )()(),f xf xf xxxx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第13頁(yè)/共86頁(yè)因?yàn)橐驗(yàn)?1,xx是是),(ba內(nèi)的任意兩點(diǎn)，于是上式表明內(nèi)的任意兩點(diǎn)，于是上式表明)(xf在在),(ba內(nèi)任意兩點(diǎn)的值總是相等的，即內(nèi)任意兩點(diǎn)的值總是相等的，即)(xf在在),(ba內(nèi)是一個(gè)常數(shù)，證畢內(nèi)是一個(gè)常數(shù)，證畢 推 論推 論 2 2 如 果

11、 對(duì)如 果 對(duì)),(ba內(nèi) 任 意內(nèi) 任 意 x， 均 有， 均 有)()(xgxf，則在，則在),(ba 內(nèi)內(nèi))(xf與與)(xg之間只差一個(gè)之間只差一個(gè)常數(shù)，即常數(shù)，即Cxgxf)()(（C為常數(shù)） 為常數(shù)） 證證 令令)()()(xgxfxF，則，則0)( xF，由推論，由推論 1 1知 ，知 ，)(xF 在在),(ba內(nèi) 為 一 常 數(shù)內(nèi) 為 一 常 數(shù)C， 即， 即),(,)()(baxCxgxf，證畢，證畢 第14頁(yè)/共86頁(yè)如圖觀察區(qū)間如圖觀察區(qū)間,ba上的單調(diào)遞上的單調(diào)遞增函數(shù)增函數(shù))(xf的圖像，當(dāng)?shù)膱D像，當(dāng) x增大時(shí)，增大時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的切線與曲線上任一點(diǎn)處的切線與 x

12、軸正軸正向夾角為銳角，即向夾角為銳角，即0)( xf（個(gè)別點(diǎn)（個(gè)別點(diǎn)處處( )0fx） ，反過(guò)來(lái)是否也成立） ，反過(guò)來(lái)是否也成立呢？我們有如下定理：呢？我們有如下定理： 定理定理 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在,ba上連續(xù)，在上連續(xù)，在),(ba內(nèi)內(nèi)可導(dǎo)，則有可導(dǎo)，則有 （1 1）如果在）如果在),(ba內(nèi)內(nèi)0)( xf，則函數(shù)，則函數(shù))(xf在在,ba上單調(diào)增加；上單調(diào)增加； xy0ab第15頁(yè)/共86頁(yè)證證 設(shè)設(shè)21,xx是是,ba上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn), ,且且21xx ，由拉格由拉格朗日中值定理有朗日中值定理有 )()()()(211212xxxxfxfxf . 如果如果0)( xf，

13、必有，必有0)(f，又，又012 xx， 于是有于是有0)()(12xfxf， 即即)()(12xfxf, ,由于由于21,xx)(21xx 是是,ba上任意上任意兩點(diǎn)，所以函數(shù)兩點(diǎn)，所以函數(shù))(xf在在,ba上單調(diào)增加上單調(diào)增加 同理可證，如果同理可證，如果0)( xf，則函數(shù)，則函數(shù))(xf在在,ba上上單調(diào)減少，證畢單調(diào)減少，證畢 （2 2）如果在）如果在),(ba內(nèi)內(nèi)0)( xf，則函數(shù)，則函數(shù))(xf在在 ,ba上單調(diào)減少上單調(diào)減少 第16頁(yè)/共86頁(yè)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定：函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定： （1 1） 求出使） 求出使0)( xf的點(diǎn) （稱這樣的點(diǎn)為駐點(diǎn)） ，的點(diǎn) （稱這樣的點(diǎn)為駐

14、點(diǎn)） ， （2 2）用這些駐點(diǎn)將）用這些駐點(diǎn)將)(xf的定義域分成若干個(gè)子的定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，再在每個(gè)子區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間，再在每個(gè)子區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性. . 例例 討論函數(shù)討論函數(shù)323)(xxxf的單調(diào)性的單調(diào)性 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?23)(xxxf, , 所以所以)2(336)( 2xxxxxf, , 令令0)( xf得駐點(diǎn)：得駐點(diǎn)：01x，22x, ,用它們將用它們將)(xf的的定義區(qū)間定義區(qū)間),(分成三個(gè)部分區(qū)間分成三個(gè)部分區(qū)間: : )0 ,(，)2 , 0(，), 2(. . 第17頁(yè)/共86頁(yè)當(dāng)當(dāng))0 ,(x時(shí)， 有時(shí)， 有0)( xf； 當(dāng)； 當(dāng))2 , 0(

15、x時(shí)時(shí)0)( xf; ;當(dāng)當(dāng)), 2( x時(shí)，時(shí)，0)( xf， 因此， 由定理， 因此， 由定理 2 2 知， 函數(shù)知， 函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間)0 ,(與與), 2( 上單調(diào)減少，在區(qū)間上單調(diào)減少，在區(qū)間)2 , 0(單調(diào)增單調(diào)增加加 第18頁(yè)/共86頁(yè)1 1 將拉格朗日中值定理中的條件將拉格朗日中值定理中的條件)(xf“在“在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)”換為“在開區(qū)上連續(xù)”換為“在開區(qū)),(ba內(nèi)連續(xù)”內(nèi)連續(xù)”后后, ,定理是否還成立定理是否還成立? ?試舉例試舉例( (只需畫圖只需畫圖) )說(shuō)明說(shuō)明 羅爾羅爾(Rolle)(Rolle)中值定理中值定理 若若)(xf滿足如下滿足如下 3

16、 3 條條: : ( (1 1) ) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù); ; (2) (2) 在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo); ; (3) (3) 在區(qū) 間在區(qū) 間,ba端 點(diǎn)出的 函數(shù) 值相等端 點(diǎn)出的 函數(shù) 值相等 , ,即即)()(bfaf, ,則在開區(qū)間則在開區(qū)間),(ba內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn), ,使使得得0)(f 思考題思考題 2 2 羅爾羅爾(Rolle)(Rolle)中值定理是微分中值定理中一個(gè)最基本的定理仔細(xì)閱讀下面給出的羅爾中值定理的條件與結(jié)論中值定理是微分中值定理中一個(gè)最基本的定理仔細(xì)閱讀下面給出的羅爾中值定理的條件與結(jié)論, ,并回答所列問(wèn)題并回答所列問(wèn)題

17、 第19頁(yè)/共86頁(yè)需回答的問(wèn)題需回答的問(wèn)題: : ( (1 1) ) 羅爾中值定理與拉格朗日中值定理的聯(lián)系與羅爾中值定理與拉格朗日中值定理的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別? ? (2) (2) 若將羅爾中值定理中條件若將羅爾中值定理中條件(1)(1)換成“在開區(qū)間換成“在開區(qū)間),(ba內(nèi)連續(xù)”內(nèi)連續(xù)”, ,定理的結(jié)論還成立嗎定理的結(jié)論還成立嗎? ?畫圖說(shuō)明畫圖說(shuō)明 (3) (3) 不求不求)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), ,說(shuō)明方程說(shuō)明方程)(xf 有幾個(gè)實(shí)根有幾個(gè)實(shí)根, ,并指出它們所在的區(qū)間并指出它們所在的區(qū)間 第20頁(yè)/共86頁(yè) 一、一、函數(shù)的極值函數(shù)的極值 二、二、函數(shù)的最值

18、函數(shù)的最值 第21頁(yè)/共86頁(yè)定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在 0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, ,且對(duì)且對(duì)此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)此鄰域內(nèi)任一點(diǎn))(0 xxx, ,均有均有)()(0 xfxf, ,則稱則稱)(0 xf是函數(shù)是函數(shù))(xf的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值; ;同樣同樣, ,如果對(duì)此鄰域如果對(duì)此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn))(0 xxx, ,均有均有)()(0 xfxf, ,則稱則稱)(0 xf是函是函數(shù)數(shù))(xf的一個(gè)極小值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為的一個(gè)極小值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點(diǎn)函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點(diǎn) 0 x, ,稱為極值點(diǎn)稱為極值點(diǎn) 第22頁(yè)/共8

19、6頁(yè)定理定理 1 1 ( (極值的必要條件極值的必要條件) ) 設(shè)設(shè))(0 xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), , 且在點(diǎn)且在點(diǎn)0 x取得極值取得極值 , ,那么那么0)(0 xf 觀察可導(dǎo)函數(shù)在取得極值處切線特征，觀察可導(dǎo)函數(shù)在取得極值處切線特征， 可以看出可以看出, ,可導(dǎo)函數(shù)在取得極值處的可導(dǎo)函數(shù)在取得極值處的 切線是水平的切線是水平的, ,即極值點(diǎn)即極值點(diǎn) 0 x處處, ,必有必有 0)(0 xf, ,于是有下面的定理于是有下面的定理 證證 只證只證)(0 xf是極大值的情形由假設(shè)是極大值的情形由假設(shè), , )(0 xf 存在存在, ,所以所以 00000)()(lim)()(l

20、im)(00 xxxfxfxxxfxfxfxxxx, , xyO第23頁(yè)/共86頁(yè)因?yàn)橐驗(yàn)?(0 xf是是)(xf的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值, ,所以對(duì)于所以對(duì)于 0 x的某的某鄰域內(nèi)的一切鄰域內(nèi)的一切 x, ,只要只要0 xx , ,恒有恒有)()(0 xfxf因此因此, ,當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí), , 有有0)()(00 xxxfxf于是于是, ,有有 00)()(lim0 xxxfxfxx0， 當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí), ,0)()(00 xxxfxf, ,所以所以 00)()(lim0 xxxfxfxx 0, ,從而得到從而得到0)(0 xf 類似可證類似可證)(0 xf為極小值情形為極小值情形,

21、 ,證畢證畢 第24頁(yè)/共86頁(yè)函數(shù)極值點(diǎn)特征：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)由定理函數(shù)極值點(diǎn)特征：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)由定理 1 1 知，可導(dǎo)函數(shù)知，可導(dǎo)函數(shù))(xf的極值點(diǎn)必是的極值點(diǎn)必是)(xf的駐點(diǎn)反過(guò)來(lái)的駐點(diǎn)反過(guò)來(lái), ,駐點(diǎn)卻不一定駐點(diǎn)卻不一定 是是)(xf的極值點(diǎn)如的極值點(diǎn)如0 x是函數(shù)是函數(shù)3)(xxf的駐點(diǎn)，但的駐點(diǎn)，但不是其極值點(diǎn)對(duì)于連續(xù)函數(shù)不是其極值點(diǎn)對(duì)于連續(xù)函數(shù), ,它的極值點(diǎn)還可能是它的極值點(diǎn)還可能是使導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn), ,稱這種點(diǎn)為尖點(diǎn) 例如稱這種點(diǎn)為尖點(diǎn) 例如, ,xxf)(，但但0 x處導(dǎo)數(shù)不存在處導(dǎo)數(shù)不存在, ,但是，但是，0 x是它的極小值點(diǎn)是它的極小值點(diǎn) 定理定理 （極

22、值的第一充分條件）設(shè)（極值的第一充分條件）設(shè))(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x連續(xù)，在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn) 0 x的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)當(dāng)?shù)哪骋豢招泥徲騼?nèi)可導(dǎo)當(dāng) x由小由小增大經(jīng)過(guò)增大經(jīng)過(guò) 0 x時(shí)，如果時(shí)，如果 (1)(1) )(xf 由正變負(fù)，那么由正變負(fù)，那么 0 x 是極大值點(diǎn)；是極大值點(diǎn)；(2)(2) )(xf 由負(fù)變正，那么由負(fù)變正，那么 0 x是極小值是極小值點(diǎn)；點(diǎn)；(3) (3) )(xf 不變號(hào)，那么不變號(hào)，那么 0 x不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn) 第25頁(yè)/共86頁(yè)證證 （）由假設(shè)知，（）由假設(shè)知，)(xf在在 0 x的左側(cè)鄰近單調(diào)的左側(cè)鄰近單調(diào)增加增加, , 即當(dāng)即當(dāng)0 xx 時(shí)，時(shí)，)()(0 x

23、fxf; ;在在0 x的右側(cè)鄰近的右側(cè)鄰近單調(diào)減少，即當(dāng)單調(diào)減少，即當(dāng)0 xx 時(shí)，時(shí)，)()(0 xfxf. .因此因此 0 x是是)(xf的的極大值點(diǎn)極大值點(diǎn), , )(0 xf是是)(xf的極大值的極大值 類似可以證明（類似可以證明（2 2） ） (3)(3) 由假設(shè)，當(dāng)由假設(shè)，當(dāng) x在在 0 x 的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域)(0 xx 內(nèi)取內(nèi)取值時(shí)，值時(shí)，)0(0)( xf，所以，在這個(gè)鄰域內(nèi)是單調(diào)增加，所以，在這個(gè)鄰域內(nèi)是單調(diào)增加（減少）的，因此（減少）的，因此0 x不是極值點(diǎn)，證畢不是極值點(diǎn)，證畢 定理定理 （極值的第二充分條件）（極值的第二充分條件） 設(shè)設(shè))(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處具有

24、二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù), ,且且0)(0 xf, ,0)( xf 第26頁(yè)/共86頁(yè)(1)(1) 如果如果0)(0 xf, ,則則)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x取得極大值；取得極大值； (2) (2) 如果如果0)(0 xf, ,則則)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x取得極小值取得極小值 證證 （）由于（）由于0)(0 xf, ,所以所以 0)( )( lim)(0000 xxxfxfxfxx， 所以，在所以，在0 x的某鄰域內(nèi)必有的某鄰域內(nèi)必有 0)()(00 xxxfxf , , )(0 xx ， 因?yàn)橐驗(yàn)?)( xf，所以有，所以有0)(0 xxxf , , )(0 xx . . 第27頁(yè)/共86頁(yè)從而

25、知道， 當(dāng)從而知道， 當(dāng)0 xx 時(shí)，時(shí)，0)( xf； 當(dāng)； 當(dāng)0 xx 時(shí)，時(shí)，0)( xf, ,由定理知由定理知)(0 xf為為)(xf的極大值類似地可證明的極大值類似地可證明（） ，證畢（） ，證畢. . 例例 求函數(shù)求函數(shù)xxxxf96)(23的極值的極值. . 解解 一一 因 為因 為96)(23xxxf的 定 義 域 為的 定 義 域 為( (,),),且且 )3)(1(39123)(2xxxxxf, , 令令0)( xf，得駐點(diǎn)，得駐點(diǎn)11x, ,32x . . 在在) 1 ,(內(nèi)，內(nèi)，0)( xf，在，在)3 , 1 (內(nèi)，內(nèi)，0)( xf, ,故由定理故由定理2 2 知，知

26、，4) 1 (f為函數(shù)為函數(shù))(xf的極大值的極大值 第28頁(yè)/共86頁(yè)解二解二 因?yàn)橐驗(yàn)閤xxxf96)(23的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,(， 且且 9123)(2xxxf, ,126)( xxf 令令0)( xf, ,得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)11x, ,32x又因?yàn)橛忠驗(yàn)?6) 1 ( f, ,所以，所以，4) 1 (f為極大值為極大值 06)3( f, ,所以所以0)3(f為極小值為極小值 例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù)32) 1(2)(xxf的極值的極值 解解 因 為因 為32) 1(2)(xxf的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(, ,且且)(xf在在),(上連續(xù)，所以上連續(xù)，所以 第29頁(yè)/共8

27、6頁(yè)131322( )(1)(1)33(1)fxxxx , ,1x時(shí)時(shí), ,)(xf 不存不存在在 , , 所 以所 以1x為為)(xf的 可 能 極 值 點(diǎn) 在的 可 能 極 值 點(diǎn) 在) 1 ,(內(nèi)內(nèi), ,0)( xf; ;在在), 1 ( 內(nèi)內(nèi), ,0)( xf, ,由定理知由定理知)(xf在在1x處取得極大值處取得極大值2) 1 (f 第30頁(yè)/共86頁(yè)對(duì)于閉區(qū)間對(duì)于閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù))(xf由最值存在定由最值存在定理知一定存在著最大值和最小值顯然，函數(shù)在閉區(qū)理知一定存在著最大值和最小值顯然，函數(shù)在閉區(qū)間間,ba上的最大值和最小值只能在區(qū)間上的最大值和最小值只能在區(qū)間

28、),(ba內(nèi)的極內(nèi)的極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處達(dá)到因此可得求閉區(qū)間值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處達(dá)到因此可得求閉區(qū)間,ba上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù))(xf的最值步驟為： （的最值步驟為： （1 1）求出一切可能的極）求出一切可能的極值點(diǎn)值點(diǎn)( (包括駐點(diǎn)和尖點(diǎn)包括駐點(diǎn)和尖點(diǎn)) )和端點(diǎn)處的函和端點(diǎn)處的函數(shù)值， （數(shù)值， （2 2）比較）比較這些函數(shù)值的大小，最大的值為函數(shù)的最大值，最小這些函數(shù)值的大小，最大的值為函數(shù)的最大值，最小的值為函數(shù)的最小值的值為函數(shù)的最小值 第31頁(yè)/共86頁(yè)例例 3 3 求函數(shù)求函數(shù)xxxxf1232)(23在在4 , 3上的最上的最大值和最小值大值和最小值 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?在在xxxx

29、f1232)(23在在4 , 3上連續(xù)，上連續(xù)，所以在該區(qū)間上存在著最大值和最小值所以在該區(qū)間上存在著最大值和最小值 又因?yàn)橛忠驗(yàn)? 1)(2(61266)(2xxxxxf, , 令令0)( xf, ,得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)21x, ,12x, ,由于由于 20)2(f, ,7) 1 (f, ,9)3(f, ,128)4(f 比較各值可得函數(shù)比較各值可得函數(shù))(xf的最大值為的最大值為128)4(f, ,最小值最小值為為7) 1 (f 對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的最值， 往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可斷對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的最值， 往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可斷定函數(shù)定函數(shù))(xf在定義區(qū)間的內(nèi)部確有最大值或最小值在定義區(qū)間的內(nèi)部確有最大

30、值或最小值 第32頁(yè)/共86頁(yè)理論上可以證明： 若實(shí)際問(wèn)題斷定理論上可以證明： 若實(shí)際問(wèn)題斷定)(xf在其定義區(qū)間內(nèi)在其定義區(qū)間內(nèi)部（不是端點(diǎn)處）存在最大值（或最小值） ，且部（不是端點(diǎn)處）存在最大值（或最小值） ，且0)( xf在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根0 x, ,那么，可斷定那么，可斷定)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x取得相應(yīng)的最大值（最小值） 取得相應(yīng)的最大值（最小值） 例例 4 4 有一塊寬為有一塊寬為a2的長(zhǎng)方形鐵皮，將寬的兩的長(zhǎng)方形鐵皮，將寬的兩個(gè)邊緣向上折起，做成一個(gè)開口水槽，其橫截面為矩個(gè)邊緣向上折起，做成一個(gè)開口水槽，其橫截面為矩形，高為形，高為x, ,問(wèn)高問(wèn)高 x

31、取何值時(shí)水槽的流量最大取何值時(shí)水槽的流量最大( (下圖所下圖所示為水槽的橫截面）？示為水槽的橫截面）？ 解解 設(shè)兩邊各折起設(shè)兩邊各折起 x, ,則橫截面積為則橫截面積為 )(2)(xaxxS )0(ax x2a-2xx第33頁(yè)/共86頁(yè)這樣，問(wèn)題歸結(jié)為：當(dāng)這樣，問(wèn)題歸結(jié)為：當(dāng) x為何值時(shí)，為何值時(shí)，)(xS取得最大值取得最大值 由于由于xaxS42)(, ,所以令所以令0)( xS, ,得得)(xS的的惟惟一駐點(diǎn)一駐點(diǎn)2ax 又因?yàn)殍F皮兩邊折的過(guò)大或過(guò)小，其橫截面積都又因?yàn)殍F皮兩邊折的過(guò)大或過(guò)小，其橫截面積都會(huì)變小，因此，該實(shí)際問(wèn)題存在著最大截面積會(huì)變小，因此，該實(shí)際問(wèn)題存在著最大截面積 所以

32、，所以，)(xS的最大值在的最大值在2ax 處取得，即當(dāng)處取得，即當(dāng)2ax 時(shí)，水槽的流量最大時(shí)，水槽的流量最大 例例 5 5 鐵路線上鐵路線上AB的距離為的距離為 100 km,100 km,工廠工廠C距距A處處為為 2020 km, km,AC垂直于垂直于AB, ,要在要在AB線上選定一點(diǎn)線上選定一點(diǎn) D向工向工廠修筑一條公路，已知鐵路與公路每廠修筑一條公路，已知鐵路與公路每 kmkm 貨運(yùn)費(fèi)之比為貨運(yùn)費(fèi)之比為3 3：5,5,問(wèn)問(wèn)D選在何處，才能使從選在何處，才能使從B到到 C的運(yùn)費(fèi)最少的運(yùn)費(fèi)最少? ? 第34頁(yè)/共86頁(yè)解解 設(shè)設(shè) xAD (km),(km),則則 xDB100, ,22

33、20 xCD 由于鐵路每由于鐵路每 kmkm 貨物運(yùn)費(fèi)貨物運(yùn)費(fèi)與公路每與公路每 kmkm 貨物運(yùn)費(fèi)之比為貨物運(yùn)費(fèi)之比為3 3：5 5，因此，不妨設(shè)鐵路上每，因此，不妨設(shè)鐵路上每km km 運(yùn)費(fèi)為運(yùn)費(fèi)為k3, ,則公路上每則公路上每 kmkm運(yùn)費(fèi)為運(yùn)費(fèi)為k5, ,并設(shè)從并設(shè)從 B 到到 C 點(diǎn)需點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為要的總運(yùn)費(fèi)為 y, ,則則 )100(320522xkxky 0( x )100. . 由此可見，由此可見，x過(guò)大或過(guò)小，總運(yùn)費(fèi)過(guò)大或過(guò)小，總運(yùn)費(fèi) y均不會(huì)變小，均不會(huì)變小，故有一個(gè)合適的故有一個(gè)合適的 x使總運(yùn)費(fèi)使總運(yùn)費(fèi) y達(dá)到最小值達(dá)到最小值 C BAD 第35頁(yè)/共86頁(yè)又因?yàn)橛忠驗(yàn)?/p>

34、 340052xxky 令令0 y, ,即即2530400 xx, ,得得15x為函數(shù)為函數(shù) y在在其定義域內(nèi)的惟一駐點(diǎn)，故知其定義域內(nèi)的惟一駐點(diǎn)，故知 y在在15x處取得最小處取得最小值，即值，即D點(diǎn)應(yīng)選在距點(diǎn)應(yīng)選在距 A為為 15 kmkm 處，運(yùn)費(fèi)處，運(yùn)費(fèi)最少最少 第36頁(yè)/共86頁(yè) 1. 1. 畫圖說(shuō)明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)畫圖說(shuō)明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù))(xf的極值與最的極值與最值之間的關(guān)系值之間的關(guān)系 2. 2. 可能極值點(diǎn)有哪幾種可能極值點(diǎn)有哪幾種？如何判斷可能極值點(diǎn)如何判斷可能極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn). . 思考題思考題 第37頁(yè)/共86頁(yè) 一、一、曲率的概念曲率的概念 二、二、曲率

35、的計(jì)算曲率的計(jì)算第38頁(yè)/共86頁(yè)設(shè)設(shè)和和 , ,是曲線是曲線)(xfy 上兩個(gè)點(diǎn)，假如曲線在上兩個(gè)點(diǎn)，假如曲線在點(diǎn)和點(diǎn)和點(diǎn)的切線與點(diǎn)的切線與 x 軸的夾角分別為軸的夾角分別為 和和 ，那，那么， 當(dāng)點(diǎn)從么， 當(dāng)點(diǎn)從沿曲線沿曲線)(xfy 變到變到 時(shí)，時(shí)， 角度改變了角度改變了 ，而改變這個(gè)角度所經(jīng)過(guò)的路程則是弧長(zhǎng)而改變這個(gè)角度所經(jīng)過(guò)的路程則是弧長(zhǎng)s AB，我們，我們自然就用比值自然就用比值s來(lái)刻畫曲線段來(lái)刻畫曲線段 AB上的彎曲程度，稱上的彎曲程度，稱為平均曲率為了刻畫曲線在某點(diǎn)處的曲率，我們有如為平均曲率為了刻畫曲線在某點(diǎn)處的曲率，我們有如下定義下定義 定義定義 稱稱sskxddlim0

36、為曲線在點(diǎn)為曲線在點(diǎn) A的曲率的曲率 第39頁(yè)/共86頁(yè)例例 1 1 求半徑為求半徑為R的圓的平均曲率及曲率的圓的平均曲率及曲率. . 解解 在圖中，由于在圖中，由于BOA 等于等于 ， 又等于又等于Rs，所以，所以RsRss1 為弧為弧 AB 段的平均曲率，段的平均曲率， 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有0s， 所以圓上任意一點(diǎn)所以圓上任意一點(diǎn) A 的曲率的曲率 RRsakss11limlim00 . O xyOABa+aaa第40頁(yè)/共86頁(yè)可見可見, ,圓上任一點(diǎn)處的曲率都等于圓半徑的倒數(shù)圓上任一點(diǎn)處的曲率都等于圓半徑的倒數(shù). .因而圓的半徑愈大因而圓的半徑愈大, ,曲率愈小曲率愈小; ;半徑愈小半徑

37、愈小, ,曲率愈大曲率愈大. .這這表明曲率確實(shí)反映了曲線的彎曲程度表明曲率確實(shí)反映了曲線的彎曲程度. . 由于圓的半徑等于圓的曲率的倒數(shù)由于圓的半徑等于圓的曲率的倒數(shù), ,所以對(duì)于一般所以對(duì)于一般的曲線的曲線, ,我們把它在各點(diǎn)的曲率的倒數(shù)稱為它在該點(diǎn)的我們把它在各點(diǎn)的曲率的倒數(shù)稱為它在該點(diǎn)的曲率半徑曲率半徑, ,記為記為R, ,因此因此, ,kR1( (如果如果0k, ,則說(shuō)明曲率則說(shuō)明曲率半徑為半徑為) ). . 第41頁(yè)/共86頁(yè)以以s表示這條曲線由基點(diǎn)表示這條曲線由基點(diǎn)0M到點(diǎn)到點(diǎn)M的一段弧的一段弧0M M的長(zhǎng)的長(zhǎng)度（當(dāng)度（當(dāng)M在在0M右邊時(shí)規(guī)定右邊時(shí)規(guī)定0s, ,當(dāng)當(dāng)M在在0M左邊

38、時(shí)規(guī)定左邊時(shí)規(guī)定0s）, ,弧長(zhǎng)弧長(zhǎng) s是是 x的函數(shù)，的函數(shù)， 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在在),(ba內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 0 x為為),(ba內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)；內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)；x, ,xx為為),(ba內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)；內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)；0M，M，M分別為曲線分別為曲線)(xfy 上與上與 0 x, , x, , xx對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn). . Ox yabM0MMxyxxx0 x第42頁(yè)/共86頁(yè)設(shè)對(duì)應(yīng)于設(shè)對(duì)應(yīng)于 x的增量的增量 x，弧長(zhǎng)，弧長(zhǎng) s的增量為的增量為 s， 則則00sM MM M. .于是有于是有0lim0MMx我們還我們還可以證明：可以證明：1lim0MMsx這就是說(shuō)這就是說(shuō)

39、s與與MM是是 0s時(shí)的兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小量，因此時(shí)的兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小量，因此 00220dlimlimd()()limxxxssMMxxxxyx 21y, 所以所以 xysd1d2. . 第43頁(yè)/共86頁(yè)又因?yàn)榍€又因?yàn)榍€)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) M處的切線斜率為處的切線斜率為tany 所以，所以，arctan y 2dd1yxy, , 因此因此 223/22dd1d(1)1dyxyyksyyx 這就是曲線這就是曲線)(xfy 的曲率計(jì)算公式的曲率計(jì)算公式 第44頁(yè)/共86頁(yè)例例 2 2 求直線求直線baxy的曲率的曲率 解解 因?yàn)橐驗(yàn)閍y , ,0 y, ,所以所以 0k, ,即直線的即直線的彎

40、曲程度為彎曲程度為 0（直線不彎曲） （直線不彎曲） 例例 3 3 一飛機(jī)沿拋物線路徑一飛機(jī)沿拋物線路徑40002xy 做俯沖飛行， 在做俯沖飛行， 在原點(diǎn)原點(diǎn)O處的速度為處的速度為400v m/s m/s 飛行員體重飛行員體重 7070 kg kg，求俯，求俯沖到原點(diǎn)時(shí)，飛行員對(duì)座椅的壓力沖到原點(diǎn)時(shí)，飛行員對(duì)座椅的壓力 解解 在在O點(diǎn)飛行員受到兩個(gè)力作用，即重力點(diǎn)飛行員受到兩個(gè)力作用，即重力 P和座椅對(duì)飛行員的反力和座椅對(duì)飛行員的反力 Q， 他們的合力， 他們的合力P-Q為飛行員為飛行員隨飛機(jī)俯沖到隨飛機(jī)俯沖到O點(diǎn)時(shí)， 所需的向心力點(diǎn)時(shí)， 所需的向心力 F, ,即即FP-Q或或FQ P，物體

41、做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心力為，向心力為 2mRv（R為圓半徑）為圓半徑） 第45頁(yè)/共86頁(yè)O 點(diǎn)可看成是曲線在這點(diǎn)的曲率圓上點(diǎn)可看成是曲線在這點(diǎn)的曲率圓上的點(diǎn)，所以在這點(diǎn)向心力為的點(diǎn)，所以在這點(diǎn)向心力為 2mFRv（R為為 O點(diǎn)的曲率半點(diǎn)的曲率半徑） ，徑） ， 因?yàn)橐驗(yàn)?020000 xxy, ,20001 y 故曲線在故曲線在 O O 點(diǎn)的曲率點(diǎn)的曲率20001k, ,曲率半徑曲率半徑 R R=2000=2000 m m，所以，所以 N5600N2000)400(702F )56008 . 970(QN N6286 N N 因?yàn)轱w行員對(duì)座椅的壓力和座椅對(duì)飛行員的反力因

42、為飛行員對(duì)座椅的壓力和座椅對(duì)飛行員的反力大小相等，方向相反，所以，飛行員對(duì)座椅的壓力為大小相等，方向相反，所以，飛行員對(duì)座椅的壓力為62866286 N N. . yPOxQ第46頁(yè)/共86頁(yè) 1.1. 對(duì)圓來(lái)說(shuō)，其半徑與其曲率半徑相等嗎？對(duì)圓來(lái)說(shuō)，其半徑與其曲率半徑相等嗎？ 為什么？為什么？ 2.2.是否存在負(fù)曲率，為什么？是否存在負(fù)曲率，為什么？ 思考題思考題 第47頁(yè)/共86頁(yè) 一、一、曲線的凹向及其判別法曲線的凹向及其判別法 二、二、拐點(diǎn)及其求法拐點(diǎn)及其求法 三、三、曲線的漸近線曲線的漸近線 四、四、函數(shù)作圖的一般步驟函數(shù)作圖的一般步驟 第48頁(yè)/共86頁(yè)定義定義 1 1 若在某區(qū)間若

43、在某區(qū)間()a,b內(nèi)曲線段總位于其上任意內(nèi)曲線段總位于其上任意一點(diǎn)處切線的上方，則稱曲線段在一點(diǎn)處切線的上方，則稱曲線段在 ()a,b內(nèi)是向上凹的內(nèi)是向上凹的（簡(jiǎn)稱上凹， 也稱凹的） ； 若曲線段總位于其上任一點(diǎn)處（簡(jiǎn)稱上凹， 也稱凹的） ； 若曲線段總位于其上任一點(diǎn)處切線的下方，則稱該曲線段切線的下方，則稱該曲線段),(ba內(nèi)是向下凹的（簡(jiǎn)稱下內(nèi)是向下凹的（簡(jiǎn)稱下凹，也稱凸的） 凹，也稱凸的） 從圖可以看出曲線段從圖可以看出曲線段AB是下凹是下凹的；曲線段的；曲線段 BC是上凹的是上凹的 定理定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y= =)(xf在開在開區(qū)間區(qū)間()a,b內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)

44、(1)(1)若在若在()a,b內(nèi)內(nèi)0)( xf, ,則曲則曲線線)(xfy 在在),(ba內(nèi)是向上凹的；內(nèi)是向上凹的； yOx ABCabc 第49頁(yè)/共86頁(yè)(2)(2)若在若在),(ba內(nèi)內(nèi)0)( xf, ,則曲線則曲線)(xfy 在在),(ba上是上是向下凹的向下凹的. 若把定理若把定理1 1中的區(qū)間改為無(wú)窮區(qū)間， 結(jié)論仍然成立中的區(qū)間改為無(wú)窮區(qū)間， 結(jié)論仍然成立 例例 1 1 判定曲線判定曲線xyln的凹向的凹向 解解 函數(shù)函數(shù)xyln的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?, 0( , , xy1, , 21xy , ,當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，0 y， 故曲線， 故曲線xyln在在), 0( 內(nèi)內(nèi)是向下凹的

45、是向下凹的 第50頁(yè)/共86頁(yè)定義定義 2 2 若連續(xù)曲線若連續(xù)曲線 y= =)(xf上的點(diǎn)上的點(diǎn) P是曲線向是曲線向上凹與向下凹的分界點(diǎn)，則稱上凹與向下凹的分界點(diǎn)，則稱 P是曲線是曲線)(xfy 的拐的拐點(diǎn)點(diǎn) 由于拐點(diǎn)是曲線凹向的分界點(diǎn)， 所以拐點(diǎn)左右兩側(cè)由于拐點(diǎn)是曲線凹向的分界點(diǎn)， 所以拐點(diǎn)左右兩側(cè)近旁近旁)(xf 必然異號(hào)因此，曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)必然異號(hào)因此，曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo) 0 x，只可能是使只可能是使0)( xf的點(diǎn)或的點(diǎn)或)(xf 不存在的點(diǎn)從而可不存在的點(diǎn)從而可得求得求),(ba內(nèi)連續(xù)函數(shù)內(nèi)連續(xù)函數(shù) y= =)(xf拐點(diǎn)的步驟：拐點(diǎn)的步驟： (1) (1) 先求出先求出)(xf ，

46、找出在，找出在),(ba內(nèi)使內(nèi)使0)( xf的點(diǎn)的點(diǎn)和和)(xf 不存在的點(diǎn)；不存在的點(diǎn)； (2) (2) 用上述各點(diǎn)按照從小到大依次將用上述各點(diǎn)按照從小到大依次將),(ba分成小分成小區(qū)間區(qū)間, ,再在每個(gè)小區(qū)間上考察再在每個(gè)小區(qū)間上考察)(xf 的符號(hào)；的符號(hào)； 第51頁(yè)/共86頁(yè)(3) (3) 若若)(xf 在某點(diǎn)在某點(diǎn) ix兩側(cè)近旁異號(hào)， 則兩側(cè)近旁異號(hào)， 則(,()iixf x是曲線是曲線y= =)(xf的拐點(diǎn)，否則不是的拐點(diǎn)，否則不是 例例 2 2 曲線曲線3xy 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,(，畫其草圖，畫其草圖 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?xy 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,(，且且23xy , ,

47、 xy6 , , 令令0 y，得，得0 x 用用0 x將將),(分成兩個(gè)分成兩個(gè) 小區(qū)間：小區(qū)間：)0 ,( 和和), 0( . . 當(dāng)當(dāng))0 ,(x時(shí)，時(shí)，0 y, , 曲線曲線3xy 下凹下凹 當(dāng)當(dāng)), 0( x時(shí)，時(shí)，0 y, , 曲線曲線3xy 上凹上凹 所以，點(diǎn)所以，點(diǎn))0 , 0(為曲線為曲線3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn) yxO11-1-1第52頁(yè)/共86頁(yè)定義定義 3 3 若曲線若曲線C上動(dòng)點(diǎn)上動(dòng)點(diǎn) P沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) P與某一固定直線與某一固定直線 L的距離趨于零，的距離趨于零， 則稱直線則稱直線 L為曲線為曲線 C的漸的漸近近線線 1 1斜漸斜

48、漸近近線線 定理定理 2 2 若若)(xf滿足：滿足： (1) (1) kxxfx)(lim; ; (2) (2) bkxxfx)(lim, , 則曲線則曲線y= =)(xf有斜漸有斜漸近近線線bkxy yOxCMNPLay kx b( )yf x第53頁(yè)/共86頁(yè)例例 3 3 求曲線求曲線3223xxxy的漸的漸近近線線 解解 令令32)(23xxxxf, ,因?yàn)橐驗(yàn)?132lim)(lim22xxxxxfkxx, 2)32(lim)(lim23xxxxkxxfbxx, 故得曲線的漸故得曲線的漸近近線方程為線方程為2 xy 第54頁(yè)/共86頁(yè)2 2鉛直漸鉛直漸近近線線 定義定義 4 4 若

49、當(dāng)若 當(dāng)Cx 時(shí)（有時(shí)僅當(dāng)時(shí)（有時(shí)僅當(dāng)Cx或或Cx） ，） ，)(xf則稱直線則稱直線Cx 為曲線為曲線)(xfy 的鉛的鉛直漸近線（也叫垂直漸近線） （其中直漸近線（也叫垂直漸近線） （其中 C為常數(shù)） 為常數(shù)） 所以當(dāng)所以當(dāng)3x和和1x時(shí)時(shí) ，有，有y，所以曲線，所以曲線3223xxxy有兩條鉛直漸近線有兩條鉛直漸近線3x和和1x 例例 ) 1)(3(32323xxxxxxy， 第55頁(yè)/共86頁(yè)例例 當(dāng)當(dāng)x時(shí)，有時(shí)，有2e0 x, ,所以所以0y為曲線為曲線2exy的水平漸近線的水平漸近線. . y O x 3 3水平漸水平漸近近線線 定義定義 5 5 若當(dāng)若當(dāng)x時(shí)，時(shí)，Cxf)(則稱曲

50、線則稱曲線)(xfy 有水平漸近線有水平漸近線Cy . . 第56頁(yè)/共86頁(yè)(1) (1) 確定函數(shù)的定義域及值域；確定函數(shù)的定義域及值域； (2) (2) 考察函數(shù)的周期性與奇偶性；考察函數(shù)的周期性與奇偶性； (3)(3) 確定函數(shù)的單增、單減區(qū)間、極值點(diǎn)、凹確定函數(shù)的單增、單減區(qū)間、極值點(diǎn)、凹凸區(qū)間及其拐點(diǎn)；凸區(qū)間及其拐點(diǎn)； (4) (4) 考察漸近線；考察漸近線； (5) (5) 考察與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)考察與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 最后，根據(jù)上面幾方面的討論畫出函數(shù)的圖最后，根據(jù)上面幾方面的討論畫出函數(shù)的圖像像 第57頁(yè)/共86頁(yè)例例 4 4 描繪函數(shù)描繪函數(shù)xyx1e的圖的圖像像 解解 函數(shù)函數(shù)x

51、xfy1e)(x的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?x的全的全體實(shí)數(shù)，且當(dāng)體實(shí)數(shù)，且當(dāng)1x時(shí)，有時(shí)，有0)(xf，即，即1x時(shí)，圖時(shí)，圖像像在在x軸下方，當(dāng)軸下方，當(dāng)1x時(shí)，有時(shí)，有0)(xf, ,即即1x時(shí)，時(shí)，圖圖像像在在x軸上方軸上方 由于由于)(lim1xfx，所以，所以1x為曲線為曲線)(xfy 的的鉛直漸鉛直漸近近線線 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?1elimxxx，所以，所以，0y為該曲線的水為該曲線的水平漸平漸近近線線 第58頁(yè)/共86頁(yè)因?yàn)橐驗(yàn)?2)1 (exxyx, , 32)1 () 1(exxyx ， 令令0 y, ,得得, 0 x又又1x時(shí)，時(shí)，y 不存在不存在 用用0 x, ,1x將定義區(qū)間分開

52、， 并進(jìn)行討論如將定義區(qū)間分開， 并進(jìn)行討論如下：下： x (,1) (1,0) 0 (0,+) y + y + + y 極小值 注注：符符號(hào)號(hào) 表表示示曲曲線線單單減減且且下下凹凹； 表表示示單單增增且且上上凹凹，其其余余類類推推 第59頁(yè)/共86頁(yè)極極小小值值0e(0)11 0f. .根根據(jù)據(jù)如如上上討討論論，畫畫出出圖圖像像 y O x 1 2 1 2 -1 第60頁(yè)/共86頁(yè)例例 5 5 描繪函數(shù)描繪函數(shù)xxxfln)(的圖的圖像像 （2 2） 漸漸近近線線 因?yàn)橐驗(yàn)?(lim0 xfx，所以，所以0 x為鉛直漸為鉛直漸近近線線 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?lnlimxxx，所以，所以y=0=0 為

53、水平漸為水平漸近近線；線； （3 3） 因?yàn)橐驗(yàn)?/32ln2xxy，2/548ln3xxy 所以所以，令令0 y得得2ex389. 7令令0 y得得 38ex39.14; ; 解解 （1 1）定義域）定義域), 0( ； 第61頁(yè)/共86頁(yè)（4 4） 列表討論：列表討論： x (0,e2) e2 (e2,e8/3) e8/3 (e8/3,+) y + y + y 極大值極大值 2e 拐點(diǎn)拐點(diǎn)48/338(e, e)3 第62頁(yè)/共86頁(yè)y O x 1 e2 e8/3 (5)(5) 令令ln0 xx，得，得 x=1=1 為曲線與為曲線與 x 軸交點(diǎn)的橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)坐標(biāo) (6) (6) 根據(jù)上

54、述討論畫出曲線根據(jù)上述討論畫出曲線 第63頁(yè)/共86頁(yè)1 1 若 若)(,(00 xfx為連續(xù)曲線弧為連續(xù)曲線弧)(xfy 的拐點(diǎn)， 問(wèn)：的拐點(diǎn)， 問(wèn)： (1) (1) )(0 xf有無(wú)可能為有無(wú)可能為)(xf的極值，為什么？的極值，為什么？ (2) (2) )(0 xf 是否一定存在？為什么？畫圖說(shuō)明是否一定存在？為什么？畫圖說(shuō)明 2. 2. 根據(jù)下列條件，畫曲線：根據(jù)下列條件，畫曲線： (1) (1) 畫出一條曲線，使得它的一階和二階導(dǎo)數(shù)處畫出一條曲線，使得它的一階和二階導(dǎo)數(shù)處處為正；處為正； (2) (2) 畫出一條曲線，使得它的二階導(dǎo)數(shù)處處為負(fù)，畫出一條曲線，使得它的二階導(dǎo)數(shù)處處為負(fù)，

55、但一階導(dǎo)數(shù)處處為正；但一階導(dǎo)數(shù)處處為正； (3) (3) 畫出一條曲線，使得它的二階導(dǎo)數(shù)處處為正，畫出一條曲線，使得它的二階導(dǎo)數(shù)處處為正，但一階導(dǎo)數(shù)處處為負(fù)；但一階導(dǎo)數(shù)處處為負(fù)； (4) (4) 畫出一條曲線，使得它的一階和二階導(dǎo)數(shù)處畫出一條曲線，使得它的一階和二階導(dǎo)數(shù)處處為負(fù)處為負(fù) 思考題思考題 第64頁(yè)/共86頁(yè) 一、一、成本函數(shù)與收入函數(shù)成本函數(shù)與收入函數(shù) 二、二、邊際分析邊際分析 三、三、彈性與彈性分析彈性與彈性分析第65頁(yè)/共86頁(yè)一個(gè)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)效益取決于該企業(yè)的成本支出、收一個(gè)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)效益取決于該企業(yè)的成本支出、收 入以及二者關(guān)于產(chǎn)量變化率等因素本節(jié)重點(diǎn)研究導(dǎo)數(shù)入以及二者關(guān)于產(chǎn)量

56、變化率等因素本節(jié)重點(diǎn)研究導(dǎo)數(shù) 應(yīng)用于成本函數(shù)和收入函數(shù)應(yīng)用于成本函數(shù)和收入函數(shù) 成本函數(shù)成本函數(shù)( )C q給出了生產(chǎn)給出了生產(chǎn)數(shù)量為數(shù)量為 q的某種產(chǎn)品的總的某種產(chǎn)品的總成本成本 )(qC是單增函數(shù)是單增函數(shù). .對(duì)一些產(chǎn)對(duì)一些產(chǎn)品來(lái)說(shuō)，如汽車或電視機(jī)等，產(chǎn)品來(lái)說(shuō)，如汽車或電視機(jī)等，產(chǎn)量量q只能是整數(shù)，所以只能是整數(shù)，所以)(qCC 的圖像由彼此孤立的點(diǎn)組成 （右的圖像由彼此孤立的點(diǎn)組成 （右圖一） ；對(duì)糖、煤等產(chǎn)品來(lái)說(shuō)，圖一） ；對(duì)糖、煤等產(chǎn)品來(lái)說(shuō)，產(chǎn)量產(chǎn)量q可以連續(xù)變化，所以可以連續(xù)變化，所以)(qCC 的圖像可能是一條連的圖像可能是一條連續(xù)曲線（右圖二） 續(xù)曲線（右圖二） O C q

57、圖二 O C q 圖一 第66頁(yè)/共86頁(yè)總假定成本函數(shù)總假定成本函數(shù))(qCC 對(duì)一切非負(fù)實(shí)數(shù)有意義對(duì)一切非負(fù)實(shí)數(shù)有意義 由于任何企業(yè)在正式生產(chǎn)之前，都要先期投入，即企由于任何企業(yè)在正式生產(chǎn)之前，都要先期投入，即企業(yè)的產(chǎn)量業(yè)的產(chǎn)量0q時(shí)，成本時(shí)，成本0)0(CC一般不為零，通常成為固一般不為零，通常成為固定成本，幾何上，固定成本定成本，幾何上，固定成本 C0 0就是成本函數(shù)曲線在就是成本函數(shù)曲線在 C 軸上軸上的截距的截距 一般來(lái)說(shuō)，成本函數(shù)最初一段時(shí)間增長(zhǎng)速度很快，然一般來(lái)說(shuō)，成本函數(shù)最初一段時(shí)間增長(zhǎng)速度很快，然后逐漸慢下來(lái)（即成本函數(shù)后逐漸慢下來(lái)（即成本函數(shù))(qCC 的曲線的斜率由大到

58、的曲線的斜率由大到小變化，曲線下凹） ，因?yàn)樯a(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量較大時(shí)要比數(shù)量小變化，曲線下凹） ，因?yàn)樯a(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量較大時(shí)要比數(shù)量較小時(shí)的效率高較小時(shí)的效率高這稱為經(jīng)濟(jì)規(guī)模 當(dāng)產(chǎn)品保持較高水這稱為經(jīng)濟(jì)規(guī)模 當(dāng)產(chǎn)品保持較高水平時(shí)， 隨著資源的逐漸匱乏， 成本函數(shù)再次開始較快增長(zhǎng)，平時(shí)， 隨著資源的逐漸匱乏， 成本函數(shù)再次開始較快增長(zhǎng)，當(dāng)不得不更新廠房等設(shè)備時(shí)，成本函數(shù)就會(huì)急速增長(zhǎng)因當(dāng)不得不更新廠房等設(shè)備時(shí)，成本函數(shù)就會(huì)急速增長(zhǎng)因此，曲線此，曲線)(qCC 開始時(shí)是下凹的，后來(lái)是上凹的（如上開始時(shí)是下凹的，后來(lái)是上凹的（如上頁(yè)頁(yè)圖圖二二） ） 第67頁(yè)/共86頁(yè) 收入函數(shù)收入函數(shù))(qR表示企業(yè)售出數(shù)量為

59、表示企業(yè)售出數(shù)量為 q的某種產(chǎn)品所的某種產(chǎn)品所 獲得的總收入由于售出量獲得的總收入由于售出量 q 越多，收入越多，收入)(qR越大，所越大，所 以以)(qR是單增函數(shù)是單增函數(shù). . 如果價(jià)格如果價(jià)格p是常數(shù)是常數(shù), ,那么那么 qpR ,數(shù)量?jī)r(jià)格收入 且且R的圖像是通過(guò)原點(diǎn)的圖像是通過(guò)原點(diǎn)的直線（圖一） ，實(shí)際上，當(dāng)?shù)闹本€（圖一） ，實(shí)際上，當(dāng)產(chǎn)量產(chǎn)量q的值增大時(shí)， 產(chǎn)品可能的值增大時(shí)， 產(chǎn)品可能充斥市場(chǎng)，從而造成價(jià)格下充斥市場(chǎng)，從而造成價(jià)格下落，落，R的圖像如圖二的圖像如圖二 作出決策?？紤]到利潤(rùn)作出決策常考慮到利潤(rùn) L, , 成本收入利潤(rùn), ,即即CRL. . O R q 圖一 O R

60、q 圖二 第68頁(yè)/共86頁(yè)例例 1 1 如果成本函數(shù)如果成本函數(shù))(qC及收入函數(shù)及收入函數(shù))(qR由下圖給由下圖給 出，問(wèn)出，問(wèn)q的值多大時(shí)，企業(yè)可獲得利潤(rùn)的值多大時(shí)，企業(yè)可獲得利潤(rùn) ？ 解解 只有當(dāng)收入大于只有當(dāng)收入大于成本時(shí)，即成本時(shí)，即 R C 時(shí)，企業(yè)時(shí)，企業(yè)才可以獲得利潤(rùn) 由右圖可才可以獲得利潤(rùn) 由右圖可知， 當(dāng)知， 當(dāng)200100 q時(shí)，時(shí)，R的的圖像位于圖像位于C的圖象之上，因的圖象之上，因此產(chǎn)量介于此產(chǎn)量介于100和和200之間，之間，可獲得利潤(rùn)可獲得利潤(rùn) C O R q C R 100 200 第69頁(yè)/共86頁(yè)邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要概念，通常指經(jīng)濟(jì)變化邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)