1、2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【自主預(yù)習(xí)自主預(yù)習(xí)】主題主題: :等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和1.1.如圖如圖, ,某倉庫堆放的一堆鋼管某倉庫堆放的一堆鋼管, ,最上面一層有最上面一層有4 4根鋼管根鋼管, ,下面每層都比上面一層多一根下面每層都比上面一層多一根, ,最下面一層有最下面一層有9 9根根, ,怎樣怎樣計(jì)算這堆鋼管的總數(shù)計(jì)算這堆鋼管的總數(shù)? ?提示提示: :把同樣多的鋼管倒放在一起把同樣多的鋼管倒放在一起, ,如圖如圖, ,先算出每層的先算出每層的根數(shù)根數(shù)每層都是每層都是1313根根; ;再計(jì)算層數(shù)再計(jì)算層數(shù)共共6 6層層; ;所以共所以共 =39=39

2、根根. .13 622.2.問題問題1 1中的算法稱為中的算法稱為“倒序相加法倒序相加法”, ,利用利用“倒序相倒序相加法加法”及等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì), ,你能求首項(xiàng)為你能求首項(xiàng)為a a1 1, ,公差為公差為d d的的等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n嗎嗎? ?提示提示: :根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有: :a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2= =, ,又又S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n, ,S Sn

3、n=a=an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+ +a+a3 3+a+a2 2+a+a1 1, ,+ +得得:2S:2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+)+(a+(an-1n-1+a+a2 2)+(a)+(an n+a+a1 1) ) =n(a=n(a1 1+a+an n),),所以所以S Sn n= =將將a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d代入上式得代入上式得: :S Sn n=na=na1 1+ d.+ d. 1nn(aa ).2n(n1)2等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式: :已知量已知量a

4、a1 1,a,an n,n,na a1 1,d,n,d,n前前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式S Sn n=_=_S Sn n=_=_ _ _ _1nn(aa )21n(n1)dna2【深度思考深度思考】結(jié)合教材結(jié)合教材P43P43例例1,1,你認(rèn)為求等差數(shù)列你認(rèn)為求等差數(shù)列aan n 前前n n項(xiàng)和的關(guān)項(xiàng)和的關(guān)鍵是什么鍵是什么? ?提示提示: :求等差數(shù)列求等差數(shù)列aan n 前前n n項(xiàng)和的關(guān)鍵是確定等差數(shù)列項(xiàng)和的關(guān)鍵是確定等差數(shù)列aan n 的首項(xiàng)的首項(xiàng)a a1 1及公差及公差d d或首項(xiàng)或首項(xiàng)a a1 1與通項(xiàng)與通項(xiàng)a an n. .【預(yù)習(xí)小測預(yù)習(xí)小測】1.1.設(shè)設(shè)S Sn n是等差數(shù)列是等差數(shù)

5、列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,已知已知a a2 2=3,a=3,a6 6=11,=11,則則S S7 7= =( () )A.13A.13B.35B.35C.49C.49D.63D.63【解析解析】選選C.SC.S7 7= =49.= =49.17267(aa )7(aa )222.2.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,若若S S2 2=4,S=4,S4 4=20,=20,則則公差公差d=d=( () )A.7 B.3 A.7 B.3 C.2 C.2 D.6 D.6【解析解析】選選B.B.由由S S2 2=4,S=4,S4 4=20,=

6、20,得得2a2a1 1+d=4,4a+d=4,4a1 1+6d=20,+6d=20,所所以以d=3.d=3.3.3.在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中,S,S1010=120,=120,則則a a1 1+a+a1010= =( () )A.12 B.24 A.12 B.24 C.36 C.36 D.48 D.48【解析解析】選選B.B.由由S S1010= =120,= =120,所以所以a a1 1+a+a1010=24.=24.11010(aa )24.4.等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,且且S S3 3=6,a=6,a1 1=4,=4,則則d=

7、_.d=_.【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)镾 S3 3=3a=3a1 1+ d=6,+ d=6,所以所以d=-2.d=-2.答案答案: :-2-23 225.5.若等差數(shù)列若等差數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n=2n,=2n,則則S Sn n=_.=_.【解析解析】由題意知由題意知a a1 1=2,d=2,=2,d=2,所以所以S Sn n=na=na1 1+ + 2 2=n=n2 2+n.+n.答案答案: :n n2 2+n+nn(n1)26.6.為了參加為了參加5000m5000m長跑比賽長跑比賽, ,某生給自己制定了某生給自己制定了1010天的天的訓(xùn)練計(jì)劃訓(xùn)練計(jì)劃: :第第1

8、1天跑天跑5000m,5000m,以后每天比前一天多跑以后每天比前一天多跑400m,400m,問該生問該生1010天共跑多少天共跑多少m?m?【解析解析】由題意知由題意知, ,該生每天跑的距離數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差該生每天跑的距離數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列數(shù)列, ,把該生第把該生第1 1天跑的距離記為天跑的距離記為a a1 1=5000,=5000,且公差且公差d=400,d=400,則該生則該生1010天跑的距離為該等差數(shù)列的前天跑的距離為該等差數(shù)列的前1010項(xiàng)和項(xiàng)和. .因?yàn)橐驗(yàn)镾 S1010=10a=10a1 1+ d=10+ d=105000+ 5000+ 400400=68000(m).=6800

9、0(m).所以該生所以該生1010天共跑天共跑68000m.68000m.10 9210 92【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】1.1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式中共項(xiàng)和公式中共涉及幾個(gè)量涉及幾個(gè)量? ?如何求這些量如何求這些量? ?提示提示: :在這些公式中共含有在這些公式中共含有5 5個(gè)量個(gè)量a a1 1,d,n,a,d,n,an n,S,Sn n, ,所以只所以只需知道其中的需知道其中的3 3個(gè)量就可以通過解方程組求出另外的個(gè)量就可以通過解方程組求出另外的2 2個(gè)量個(gè)量. .2.2.若等差數(shù)列若等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=

10、an=an2 2+bn,+bn,則則a a與公差與公差d d的的關(guān)系是什么關(guān)系是什么? ?提示提示: :二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)a= .a= .d2【探究總結(jié)探究總結(jié)】知識歸納知識歸納: :方法總結(jié)方法總結(jié): :(1)(1)若若aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,則則S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n, ,仍是等差仍是等差數(shù)列數(shù)列. .(2)(2)若若S Sn n是等差數(shù)列是等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,則數(shù)列則數(shù)列 仍為等仍為等差數(shù)列差數(shù)列. .(3)(3)若若aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,則則S S2n-12n-1=(2n-1

11、)a=(2n-1)an n. .nSn(4)(4)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)數(shù)為m,m,其奇數(shù)項(xiàng)之和記其奇數(shù)項(xiàng)之和記為為S S奇奇, ,偶數(shù)項(xiàng)之和記為偶數(shù)項(xiàng)之和記為S S偶偶, ,那么那么, ,當(dāng)項(xiàng)數(shù)當(dāng)項(xiàng)數(shù)m m為偶數(shù)為偶數(shù)2n2n時(shí)時(shí), ,S S偶偶-S-S奇奇=nd, =nd, 當(dāng)項(xiàng)數(shù)當(dāng)項(xiàng)數(shù)m m為奇數(shù)為奇數(shù)2n+12n+1時(shí)時(shí),S,S奇奇-S-S偶偶=a=an+1n+1, ,nn 1SaSa奇偶Sn1.Sn奇偶注意事項(xiàng)注意事項(xiàng): :當(dāng)當(dāng)S Sn n是是n n的二次函數(shù)時(shí)的二次函數(shù)時(shí),a,an n 不一定是等差數(shù)列不一定是等差數(shù)列. .如果如果S Sn n=

12、an=an2 2+bn+c,+bn+c,則在則在c=0c=0時(shí)時(shí)aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,在在c0c0時(shí)時(shí)aan n 不是等差數(shù)列不是等差數(shù)列; ;反過來反過來aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列,S,Sn n的表達(dá)式可的表達(dá)式可以寫成以寫成S Sn n=an=an2 2+bn+bn的形式的形式, ,但當(dāng)?shù)?dāng)aan n 是不為零的常數(shù)列是不為零的常數(shù)列時(shí)時(shí),S,Sn n=na=na1 1是是n n的一次函數(shù)的一次函數(shù). .【題型探究題型探究】類型一類型一: :等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算【典例典例1 1】(1)(1)若若S Sn n是等差數(shù)列是等差數(shù)列aan

13、n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和,a,a2 2+a+a1010=4,=4,則則S S1111的值為的值為( () )A.44A.44B.33B.33C.24C.24D.22D.22(2)(2)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,若若a a1 1=2,S=2,S3 3=12,=12,則則a a5 5= =( () )A.8 B.10 A.8 B.10 C.12 C.12 D.14 D.14【解題指南解題指南】(1)(1)利用利用S Sn n= = 求解求解. .(2)(2)先由先由S S3 3=12,=12,求公差求公差d,d,再由通項(xiàng)公式求再由通項(xiàng)公式求a a5

14、5. .1nn(aa )2【解析解析】(1)(1)選選D.D.由題已知由題已知a a2 2+a+a1010=4,=4,則由等差數(shù)列性質(zhì)則由等差數(shù)列性質(zhì)可得可得: :a a1 1+a+a1111=a=a2 2+a+a1010=4,S=4,S1111= ,= ,所以所以S S1111= =22.= =22.(2)(2)選選B.B.設(shè)公差為設(shè)公差為d,d,依題意得依題意得S S3 3=3=32+ 2+ 3 32d=12,2d=12,所以所以d=2,d=2,所以所以a a5 5=2+(5-1)=2+(5-1)2=10.2=10.11111(aa )211 4212【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】兩種思想方法在等差

15、數(shù)列前兩種思想方法在等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式中項(xiàng)和公式中的應(yīng)用的應(yīng)用(1)(1)方程思想方程思想: :等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n n項(xiàng)和公式中項(xiàng)和公式中“知三求二知三求二”的問題的問題, ,一般是由通項(xiàng)公式和前一般是由通項(xiàng)公式和前n n項(xiàng)和公項(xiàng)和公式聯(lián)立方程式聯(lián)立方程( (組組) )求解求解. .(2)(2)整體代換整體代換: :在具體求解過程中應(yīng)注意已知與未知的在具體求解過程中應(yīng)注意已知與未知的聯(lián)系及整體代換思想的運(yùn)用聯(lián)系及整體代換思想的運(yùn)用. .【鞏固訓(xùn)練鞏固訓(xùn)練】已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 中中, ,其前其前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,公公差為差為d.

16、d.(1)a(1)a1 1= ,S= ,S4 4=20,=20,求求S S6 6. .(2)a(2)a1 1= ,d=- ,S= ,d=- ,Sn n=-15,=-15,求求n n及及a a1212. .(3)a(3)a1 1=1,a=1,an n=-512,S=-512,Sn n=-1022,=-1022,求求d.d.121232【解題指南解題指南】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式列方利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式列方程求解程求解. .【解析解析】(1)S(1)S4 4=4a=4a1 1+ d=4a+ d=4a1 1+6d=2+6d=20,+6d=2+6d=20,所以所以d=3.d=3.故故S

17、 S6 6=6a=6a1 1+ d=6a+ d=6a1 1+15d+15d=6=6 +15 +153=48.3=48.4 (4 1)26 (6 1)212(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)镾 Sn n=n=n整理得整理得n n2 2-7n-60=0,-7n-60=0,解得解得n=12n=12或或n=-5(n=-5(舍去舍去).).a a1212= = +(12-1)+(12-1)( )=-4.( )=-4.3n(n1)1()15222 ，3212(3)(3)由由S Sn n= =-1022,= =-1022,解得解得n=4.n=4.又由又由a an n=a=a1 1+(n-1)d,+(n-1)d,即即-51

18、2=1+(4-1)d,-512=1+(4-1)d,解得解得d=-171.d=-171.1nn(aa )n(1 512)22【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】記等差數(shù)列記等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,若若S S3 3=2a=2a3 3, , S S5 5=15,=15,則則a a20172017=_.=_. 【解析解析】設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,則由則由S S3 3=2a=2a3 3,S,S5 5=15,=15,可得可得: : 即即a a1 1=d=1,=d=1,所以所以a an n=n,=n,所以所以a a20172017=2017.=2017

19、.答案答案: :201720171115 45ad15,23 23ad2(a2d)2，類型二類型二: :等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用【典例典例2 2】(1)(1)已知兩個(gè)等差數(shù)列已知兩個(gè)等差數(shù)列aan n 和和bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和分別為分別為S Sn n和和T Tn n, ,且且 則則 的值為的值為( () )(2)(2)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,且且S S1010=100,=100,S S100100=10,=10,求求S S110110. .nnS7n14Tn271111ab73478A.B.C.

20、D.42371【解題指南解題指南】(1)(1)利用性質(zhì)利用性質(zhì)S S2n-12n-1=(2n-1)a=(2n-1)an n求解求解. .(2)(2)利用性質(zhì)利用性質(zhì)S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n, ,成等差數(shù)列求解成等差數(shù)列求解. .【解析解析】(1)(1)選選C.C.因?yàn)橐驗(yàn)镾 S2n-12n-1=(2n-1)=(2n-1)=(2n-1)=(2n-1) =(2n-1)a =(2n-1)an n, ,同理同理,T,T2n-12n-1=(2n-1)b=(2n-1)bn n. .所以所以令令n=11n=11得得, ,12n 1aa2n2a22n 1nn2

21、n 1nnS(2n1)aa.T(2n1)bb11211121aS721 14.bT421273(2)(2)數(shù)列數(shù)列S S1010,S,S2020-S-S1010,S,S3030-S-S2020, ,S,S100100-S-S9090,S,S110110-S-S100100成等成等差數(shù)列差數(shù)列, ,設(shè)其公差為設(shè)其公差為D,D,前前1010項(xiàng)和項(xiàng)和10S10S1010+ + D=SD=S100100=10,=10,所以所以D=-22,D=-22,所以所以S S110110-S-S100100=S=S1010+(11-1)D=100+10+(11-1)D=100+10(-22)(-22)=-120.

22、=-120.所以所以S S110110=-120+S=-120+S100100=-110.=-110.10 92【延伸探究延伸探究】1.(1.(改變問法改變問法) )本例本例(2)(2)若條件不變?nèi)魲l件不變, ,試求試求S S120120的值的值. .【解析解析】數(shù)列數(shù)列S S1010,S,S2020-S-S1010,S,S3030-S-S2020, ,S,S100100-S-S9090,S,S110110-S-S100100成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,設(shè)其公差為設(shè)其公差為D,D,其前其前1010項(xiàng)和為項(xiàng)和為10S10S1010+ + D=SD=S100100=10,=10,所以所以D=-22,

23、D=-22,所以所以S S120120-S-S110110=S=S1010+(12-1)D +(12-1)D =100+11=100+11(-22),(-22),所以所以S S120120=S=S110110+100+11+100+11(-22)=-252.(-22)=-252.10 922.(2.(變換條件變換條件) )本例本例(2)(2)中的條件中的條件“S S1010=100,S=100,S100100=10”=10”若若換為換為“S Sm m=70,S=70,S2m2m=110”,=110”,其他條件不變其他條件不變, ,試求試求S S3m3m的值的值. .【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍an

24、n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,所以所以S Sm m,S,S2m2m-S-Sm m,S,S3m3m-S-S2m2m也成等差數(shù)列也成等差數(shù)列, ,所以所以2(S2(S2m2m-S-Sm m)=S)=Sm m+S+S3m3m-S-S2m2m, ,即即2 2(110-70)=70+S(110-70)=70+S3m3m-110,-110,所以所以S S3m3m=120.=120.【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的幾個(gè)常用性質(zhì)項(xiàng)和的幾個(gè)常用性質(zhì)已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,其前其前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,在解題中常在解題中常用的性質(zhì)有用的性質(zhì)有: :(

25、1)S(1)Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n, ,成等差數(shù)列成等差數(shù)列. .(2)(2)若項(xiàng)數(shù)為若項(xiàng)數(shù)為2n-12n-1項(xiàng)項(xiàng), ,則則S S2n-12n-1=(2n-1)a=(2n-1)an n. .類型三類型三: :數(shù)列數(shù)列aan n 中中S Sn n與與a an n的關(guān)系問題的關(guān)系問題【典例典例3 3】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列設(shè)正項(xiàng)數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和滿足項(xiàng)和滿足S Sn n= (a= (an n+1)+1)2 2, ,求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. .【解題指南解題指南】利用利用a an n= = 轉(zhuǎn)化求解轉(zhuǎn)化求解. .141nn 1

26、S ,n1SS,n2，【解析解析】當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí),a,a1 1=S=S1 1= (a= (a1 1+1)+1)2 2, ,得得a a1 1=1.=1.當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí),a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1= (a= (an n+1)+1)2 2-(a-(an-1n-1+1)+1)2 2,整理得整理得(a(an n+a+an-1n-1)(a)(an n-a-an-1n-1-2)=0.-2)=0.因?yàn)橐驗(yàn)閍 an n0,0,所以所以a an n+a+an-1n-10.0.所以所以a an n-a-an-1n-1-2=0,-2=0,即即a an n-a-an-1n-1=2(n2).=

27、2(n2).1414所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 是以是以1 1為首項(xiàng)為首項(xiàng),2,2為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列. .所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.故數(shù)列故數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n=2n-1.=2n-1.【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】由數(shù)列的前由數(shù)列的前n n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式的步項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式的步驟驟(1)(1)令令n=1,n=1,求求a a1 1, ,即即a a1 1=S=S1 1. .(2)(2)當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí),a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1. .(3

28、)(3)驗(yàn)證驗(yàn)證n=1n=1時(shí)時(shí),a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1是否成立是否成立. .(4)(4)得出結(jié)論得出結(jié)論. .【鞏固訓(xùn)練鞏固訓(xùn)練】已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n= =求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式a an n. .23205nn22，【解析解析】當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí),a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=-3n+104.=-3n+104.當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí),a,a1 1=S=S1 1= =101= =101滿足上式滿足上式, ,所以所以a an n=-3n+104(nN=-3n+104(nN* *).).22320

29、53205(nn) (n1) (n1)2222 320522【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】1.1.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=n=n2 2, ,則則a a8 8= =( () )A.15A.15B.16B.16C.49C.49D.64D.64【解析解析】選選A.aA.a8 8=S=S8 8-S-S7 7=8=82 2-7-72 2=15.=15.2.2.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n=3+2=3+2n n(nN(nN* *),),求求a an n. .【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)镾 Sn n=3+2=3+2n n, ,當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí),a,

30、a1 1=S=S1 1=3+2=3+21 1=5,=5,當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí),S,Sn-1n-1=3+2=3+2n-1n-1, ,所以所以a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=3+2=3+2n n-(3+2-(3+2n-1n-1)=2)=2n-1n-1(n2),(n2),所以所以a an n= =5,n1,2n1,n2.拓展類型等差數(shù)列前拓展類型等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用【典例典例】甲、乙兩物體分別從相距甲、乙兩物體分別從相距70m70m的兩處相向運(yùn)動(dòng)的兩處相向運(yùn)動(dòng), ,甲第一分鐘運(yùn)動(dòng)甲第一分鐘運(yùn)動(dòng)2m,2m,以后每分鐘比前一分鐘多運(yùn)動(dòng)以后每分鐘比前一分鐘多運(yùn)動(dòng)1m,1

31、m,乙每分鐘運(yùn)動(dòng)乙每分鐘運(yùn)動(dòng)5m.5m.(1)(1)甲、乙?guī)追昼姾蟮谝淮蜗嘤黾?、乙?guī)追昼姾蟮谝淮蜗嘤? ?(2)(2)如果甲、乙到達(dá)對方起點(diǎn)后立即折回如果甲、乙到達(dá)對方起點(diǎn)后立即折回, ,甲繼續(xù)每分甲繼續(xù)每分鐘比前一分鐘多運(yùn)動(dòng)鐘比前一分鐘多運(yùn)動(dòng)1m,1m,乙繼續(xù)每分鐘運(yùn)動(dòng)乙繼續(xù)每分鐘運(yùn)動(dòng)5m,5m,那么開那么開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘第二次相遇始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘第二次相遇? ?【解析解析】把物理問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求項(xiàng)數(shù)問題把物理問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求項(xiàng)數(shù)問題. .(1)(1)設(shè)設(shè)n n分鐘后第一次相遇分鐘后第一次相遇, ,依題意有依題意有2n+ +5n=70,2n+ +5n=70,整理整理, ,得得n n2 2+13n-140=0,+