1、1/20五、六、七章小結(jié)五、六、七章小結(jié)典型例題分析典型例題分析課外練習(xí)題課外練習(xí)題數(shù)值分析典型例題數(shù)值分析典型例題 II2/20 若插值結(jié)點(diǎn)若插值結(jié)點(diǎn) x0, x1,xn 是是(n+1)個(gè)互異點(diǎn)個(gè)互異點(diǎn),則滿足則滿足插值條件插值條件P(xk)= yk (k = 0,1,n)的的n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式 P(x)=a0 + a1x + anxn存在而且惟一存在而且惟一。1.多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值存在唯一性定理存在唯一性定理nnnkkknyxlyxlyxlyxlxL)()()()()(11000 2.Laglarge插值公式插值公式插值基插值基)()()()(110knknnkjjjkjkxxx

2、xxxxxxl ( k = 0, 1, 2, , n )3/203.插值誤差插值誤差(余項(xiàng)余項(xiàng))估計(jì)估計(jì))()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnnn )()()(101nnxxxxxxx 其中其中,注記注記: n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式插值的插值結(jié)點(diǎn)最佳選擇是插值的插值結(jié)點(diǎn)最佳選擇是(n+1)次切次切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)。 ( j = 0,1, , n-1 ) jjjjjjxxxfxfxxf 111)()(,jjjjjjjjjxxxxfxxfxxxf 212121,( j = 0,1,n-2 ) 4. 均差均差定義定義4/20)(,)(,)()()(011000 xx

3、xfxxxfxxfxNnnn 5.牛頓插值公式牛頓插值公式1)(0 x )()()(11xxxxkkk ( k=1,2,n )注記注記:均差具有對(duì)稱性：均差具有對(duì)稱性：)(,110 xxxxxfRnnn 牛頓插值余項(xiàng)牛頓插值余項(xiàng)jjyxH)(jjmxH)( j = 0, 1 )6.三三次次Hermite插值插值)()()()()(11001100 xmxmxyxyxH ,0110 xxfxxf ,201210 xxxfxxxf 5/20 給定給定a , b 的分劃的分劃: a = x0 x1 xn = b.已知已知f(xj) = yj (j = 0,1,n), 如果如果 ,),(,),(,),

4、()(1212101nnnxxxxSxxxxSxxxxSxS滿足滿足: (1) S(x)在在 xj，xj+ 1上為三次多項(xiàng)式上為三次多項(xiàng)式; (2) S”(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上連續(xù)上連續(xù); (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,n). 則稱則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)為三次樣條插值函數(shù).7. 三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù)6/20擬合函數(shù)擬合函數(shù): (x)=a0 0(x) + a1 1(x) + +an n(x)8.數(shù)據(jù)擬合的線性模型數(shù)據(jù)擬合的線性模型離散數(shù)據(jù)離散數(shù)據(jù) x x1 x2 xm f(x) y1 y2 ym mnmnmmnnyyyaaaxxxxxxxxx211010221

5、2011110)()()()()()()()()( yaG yGaGGTT 超定方程組超定方程組)()(1yGGGaTT 超定方程組最小二乘解超定方程組最小二乘解:7/209. 插值型求積公式插值型求積公式), 1, 0(,)(nkdxxlAbakk )()(0fRxfAdxxfnkkkba 求積系數(shù)求積系數(shù):拉格朗日插值基拉格朗日插值基 : nkjjjkjkxxxxxl0)()(12)(3 fabfR (1)梯形公式求積余項(xiàng)梯形公式求積余項(xiàng):(2)辛卜生公式求積余項(xiàng)辛卜生公式求積余項(xiàng):)(290)()4(55 fabfR 8/2010. 復(fù)合梯形求積公式復(fù)合梯形求積公式 )(2)()(211

6、 njjnxfbfafhfT),(,)(12)(2bahfabfRh )(4)(2)()(3112112 mkkmkkmxfxfbfafhfS11. 復(fù)合復(fù)合Simpson公式公式),(,)(1804)4(bahfabfRh mabh2 nabh 9/20)()()()(1hOhxfxfxfjjj 一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算)()()()(1hOhxfxfxfjjj 12. 數(shù)值求導(dǎo)公式數(shù)值求導(dǎo)公式)()()(2)()(2211hOhxfxfxfxfjjjj 二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算)(2)()()(211hOhxfxfxfjjj 11 jjjjxxxxh10/20例例1.設(shè)設(shè)x0, x1, x

7、2, , xn為互異的結(jié)點(diǎn)為互異的結(jié)點(diǎn), ,求證求證 Lagrange 插值基函數(shù)滿足下列恒等式插值基函數(shù)滿足下列恒等式1)(0 njjxl(1)knjjkjxxlx 0)(2)( k = 1,n )證證: (1)令令 1)()(0 njjnxlxP在插值結(jié)點(diǎn)處在插值結(jié)點(diǎn)處 Pn(xj) = 0 ( j = 0,1,2,n )n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 Pn(x)有有 n+1 個(gè)相異零點(diǎn)個(gè)相異零點(diǎn)Pn(x) = 0 1)(0 njjxl11/20)()()()()()(00jnjjnjnjjxfxlxRxfxlxf 所以所以將將 f(x) = xk (k n) 代入代入, 得得knjjkjxxlx

8、0)(k =0,1,2,n)思考思考: : f(x)是是(n+1)次多項(xiàng)式且最高次項(xiàng)系數(shù)次多項(xiàng)式且最高次項(xiàng)系數(shù)為為1，取互異的插值結(jié)點(diǎn)取互異的插值結(jié)點(diǎn)x0，x1，xn，構(gòu)造插值多構(gòu)造插值多項(xiàng)式項(xiàng)式Pn(x), ,插值余項(xiàng)為多少插值余項(xiàng)為多少？(2) 取取 f(x) = xk f(n+1)(x)=0 Rn(x) =0推論推論: 若若 則則 nkkkxaxf0)()()()(0 xfxlxfnjjj 12/20例例2. 如果如果X*是方程組是方程組GTGX=GTb的解的解，則則X*是超定方是超定方程組程組GX=b的最小二乘解的最小二乘解 證證 由題設(shè)由題設(shè),有有GT(b GX*)=0.對(duì)任意對(duì)任意

9、n維向量維向量Y，故故22*22|)()(|YXGGXbGYb 22*22*22|)(|YXGGXbGYb 22*22|GXbGYb | b GY |2 | b GX*|2等式僅當(dāng)?shù)仁絻H當(dāng)Y=X*時(shí)成立時(shí)成立。所以所以X*是超定方程組是超定方程組GX=b的最小二乘解。的最小二乘解。13/20Ex1 次埃爾米特插值的適定性問題次埃爾米特插值的適定性問題, ,給定插值條件給定插值條件：f(x0)=y0，f (x1)=m1，f( x2)=y2，插值結(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足什么插值結(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件能使插值問題有唯一解條件能使插值問題有唯一解。 思考思考: 帶導(dǎo)數(shù)條件的二次插值多項(xiàng)式公式適定性帶導(dǎo)數(shù)條件的二次插值多

10、項(xiàng)式公式適定性 f(0)=y0，f(1)=y1，f(0)=m0；解解: 設(shè)設(shè) H(x) = a0 + a1x + a2x2 , H(x) = a1 + 2a2x 210210222120012101ymyaaaxxxxx2201xxx 14/20Ex2.如果如果 xa, b , t-1, 1,(1)用線性插值方法推導(dǎo)聯(lián)系兩個(gè)區(qū)間的映射用線性插值方法推導(dǎo)聯(lián)系兩個(gè)區(qū)間的映射tabbax22 )13(21)(22 ttp(2) 對(duì)于對(duì)于 t-1, 1上的二次正交多項(xiàng)式上的二次正交多項(xiàng)式將其轉(zhuǎn)換為將其轉(zhuǎn)換為xa, b 上的二次正交多項(xiàng)式上的二次正交多項(xiàng)式)(21baxabt 15/20 xxxx )(

11、,1)(10 證證 取取擬合函數(shù)擬合函數(shù):Ex3. 驗(yàn)證線性驗(yàn)證線性 回歸公式回歸公式)(),(),()(),(),()(11110000 xyxyx x x1 x2 xm y y1 y2 ym y = a + b x 其中其中 b = lxy / lxx ,xbya mkkxxxxl12)( mkkkxyyyxxl1)(顯然顯然yxy )(),(),(0000 xxxylly/),(),(111 bxabxxbyxxbyx )()()( 16/20Ex4. 在區(qū)間在區(qū)間0，1上取上取m+1個(gè)等距點(diǎn)個(gè)等距點(diǎn) ( ( k = 0,1,1, ,m ) )對(duì)拋物線對(duì)拋物線 y = x2 做線性擬合做

12、線性擬合. . 考察極限情況考察極限情況)1/( mkxkmxaaxP101)( Ex5* 若若 x0, x1,x2 是互異結(jié)點(diǎn)是互異結(jié)點(diǎn),利用二次拉格朗插值基利用二次拉格朗插值基確定范德蒙矩陣的逆矩陣確定范德蒙矩陣的逆矩陣1222211200111 xxxxxx17/20Ex6. 左矩形公式左矩形公式 2)(2)()()()(abfafabdxxfba 2)(2)()()()(abfbfabdxxfba 3)(24)()2()()(abfbafabdxxfba 令令 uadxxfuF)()()()(),()(, 0)( fFafaFaF 2)(2)()()()(abfafabdxxfba 練

13、習(xí)練習(xí):證明證明泰勒展式泰勒展式)(2)()()()()(2 FauaFauaFuF 18/20練習(xí)練習(xí): 1.寫出復(fù)合右矩形公式并推導(dǎo)求積誤差寫出復(fù)合右矩形公式并推導(dǎo)求積誤差 2.寫出復(fù)合中矩形公式并推導(dǎo)求積誤差寫出復(fù)合中矩形公式并推導(dǎo)求積誤差Ex7. 復(fù)合左矩形求積公式及其誤差復(fù)合左矩形求積公式及其誤差 njjnjbafhjhafhdxxf1210)(2)()( 介值定理介值定理),()()(11baffnnjj ),(),(2)(bafhabxfRh 19/20Ex8.利用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分利用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分 10sindxxxI使其截?cái)嗾`差不超過使其截?cái)嗾`差不超過 0.510-3,應(yīng)算多少次函數(shù)值？應(yīng)算多少次函數(shù)值？ 提示提示： 10)cos(sin)(dtxtxxxf練習(xí)練習(xí): : 給定積分給定積分當(dāng)要求誤差小于當(dāng)要求誤差小于10-3時(shí)用復(fù)合梯形公式和時(shí)用復(fù)合梯形公式和Simpson公公式計(jì)算時(shí)式計(jì)算時(shí), 需要計(jì)算多少次函數(shù)值？需要計(jì)算多少次函數(shù)值？ dxxex 3