1、解直角三角形的應(yīng)用(三）-航海問(wèn)題航海問(wèn)題90CABCRt中，在ABCbca1.三邊關(guān)系3. 邊角關(guān)系2.銳角關(guān)系)(222勾股定理cba90BAbaBabBcaAcbBabAbaAcbAcaAcot,tan,cos,sincot,tan,cos,sin90度 1.1.仰角與俯角的定義仰角與俯角的定義 在視線與水平線所成的角中規(guī)定在視線與水平線所成的角中規(guī)定: 視線在水平線上方的叫做仰角，視線在水平線上方的叫做仰角， 視線在水平線下方的叫做俯角。視線在水平線下方的叫做俯角。視線視線鉛鉛垂垂線線水平線水平線視線視線仰角仰角俯角俯角4530200米米POBD 歸納與提高歸納與提高4530PA200

2、米米CBO453045060452002004530ABOPABOP30454502.概念：坡度、坡概念：坡度、坡比比ABhL如圖：坡面的垂直高度如圖：坡面的垂直高度h和和水平寬度水平寬度L的比叫坡度的比叫坡度（或叫坡比）（或叫坡比）用字母表示為用字母表示為 ，坡面與水平面的夾角記作坡面與水平面的夾角記作（叫坡角）（叫坡角） 則則tan =Lhi Lhi 坡度越大，坡角坡度越大，坡角a就越就越大，坡面就越陡大，坡面就越陡.坡度通常寫(xiě)成坡度通常寫(xiě)成1 m的的形式，如形式，如i=1 6.方方向向角角北東西南A A5858 2828 B B北偏東北偏東5858南偏西南偏西2828例題例題1：某船自西

3、向東航行，在：某船自西向東航行，在A出測(cè)得某島在北偏東出測(cè)得某島在北偏東60的方向上，前進(jìn)的方向上，前進(jìn)8千米測(cè)得某島在船北偏東千米測(cè)得某島在船北偏東45 的方向上，問(wèn)（的方向上，問(wèn)（1）輪船行到何處離小島距離最近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？A北南西東北南西東某船自西向東航行，在某船自西向東航行，在A出測(cè)得某島在北偏東出測(cè)得某島在北偏東60的的方向上，前進(jìn)方向上，前進(jìn)8千米測(cè)得某島在船北偏東千米測(cè)得某島在船北偏東45 的方向的方向上，問(wèn)（上，問(wèn)（1）輪船行到何處離小島距離最近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少

4、千米？）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？30458千米ABCD某船自西向東航行，在某船自西向東航行，在A出測(cè)得某島在北偏東出測(cè)得某島在北偏東60的的方向上，前進(jìn)方向上，前進(jìn)8千米測(cè)得某島在船北偏東千米測(cè)得某島在船北偏東45 的方向的方向上，問(wèn)（上，問(wèn)（1）輪船行到何處離小島距離最近？）輪船行到何處離小島距離最近？ （2）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？）輪船要繼續(xù)前進(jìn)多少千米？解：檢測(cè)1：如圖所示，某船以每小時(shí)：如圖所示，某船以每小時(shí)40海海里的速度向正東航行，在里的速度向正東航行，在A點(diǎn)測(cè)得某燈點(diǎn)測(cè)得某燈塔塔C在北偏東在北偏東60方向上，航行方向上，航行1小時(shí)后小時(shí)后到到B點(diǎn)，測(cè)得該燈塔在北偏東點(diǎn)，測(cè)得該燈

5、塔在北偏東30方向方向上，已知該燈塔周?chē)希阎摕羲車(chē)?0海里內(nèi)有暗礁海里內(nèi)有暗礁（1）試說(shuō)明）試說(shuō)明B點(diǎn)是點(diǎn)是否在暗礁區(qū)域外否在暗礁區(qū)域外（2）若繼續(xù)向東航）若繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由 北北東東ABCD船有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)嗎？船有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)嗎？檢測(cè)檢測(cè)2：如圖所示，氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中如圖所示，氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在某港口心在某港口A的正東方向的正東方向400公里處公里處,向向西北方向西北方向BD移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心300公公里的范圍內(nèi)將受其影響，問(wèn)港口里的范圍內(nèi)將受其影響，問(wèn)港口A是是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？ABD東

6、東北北45 C如圖，一船在海面如圖，一船在海面C處望見(jiàn)一燈塔處望見(jiàn)一燈塔A，在它的正，在它的正北方向北方向2海里處，另一燈塔海里處，另一燈塔B在它的北偏西在它的北偏西60的方向，這船向正西方向航行，已知的方向，這船向正西方向航行，已知A、B兩燈兩燈塔的距離為塔的距離為 海里，問(wèn)在這條船的航線上是否海里，問(wèn)在這條船的航線上是否存在一點(diǎn)使兩個(gè)燈塔存在一點(diǎn)使兩個(gè)燈塔A、B同時(shí)分別在該點(diǎn)的東同時(shí)分別在該點(diǎn)的東北、西北方向上？北、西北方向上？2 6已知，如圖，已知，如圖，C城市在城市在B城市的正北方向，兩城市城市的正北方向，兩城市相距相距100千米，計(jì)劃在兩城市間修筑一條高速公千米，計(jì)劃在兩城市間修筑一

7、條高速公路（即線段路（即線段BC），經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)區(qū)），經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)區(qū)A在在B城城市的北偏東市的北偏東40的方向上，又在的方向上，又在C城市的南偏東城市的南偏東56方向上，已知森林保護(hù)區(qū)方向上，已知森林保護(hù)區(qū)A的范圍是以的范圍是以A為為圓心，半徑為圓心，半徑為50千米的圓，問(wèn)：計(jì)劃修筑的這種千米的圓，問(wèn)：計(jì)劃修筑的這種高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)？為什么？高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)？為什么？4:4:由于過(guò)度采伐森林和破壞植被由于過(guò)度采伐森林和破壞植被, ,使我國(guó)某些地使我國(guó)某些地區(qū)受到沙塵暴的侵襲區(qū)受到沙塵暴的侵襲, ,近日近日A A市氣象局測(cè)得沙塵暴市氣象局測(cè)得沙塵暴中心在中心在A A市正東

8、方向市正東方向400km400km的的B B處處, ,正在向正西北方正在向正西北方向轉(zhuǎn)移向轉(zhuǎn)移( (如圖所示如圖所示) )，距沙塵暴中心，距沙塵暴中心300km300km的范圍的范圍內(nèi)將受到其影響內(nèi)將受到其影響. .問(wèn)問(wèn)A A市是否會(huì)受到這次沙塵暴的市是否會(huì)受到這次沙塵暴的影響影響? ?045D北東東ABC1.解直角三角形解直角三角形, ,就是在直角三角形中就是在直角三角形中, ,知道除直角外的其他五個(gè)元知道除直角外的其他五個(gè)元素中的兩個(gè)素中的兩個(gè)( (其中至少有一個(gè)是邊其中至少有一個(gè)是邊), ),求出其它元素的求出其它元素的 過(guò)程過(guò)程. .2.與之相關(guān)的應(yīng)用題有與之相關(guān)的應(yīng)用題有: :求山高

9、或建筑物的高求山高或建筑物的高; ;測(cè)量河的寬度或物體測(cè)量河的寬度或物體的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度; ;航行航海問(wèn)題等航行航海問(wèn)題等. .解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題, ,結(jié)合示意圖結(jié)合示意圖, ,運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)運(yùn)用解直角三角形的知識(shí). .3.當(dāng)遇到當(dāng)遇到30,45,6030,45,60等特殊角時(shí)等特殊角時(shí), ,常常添加合適的輔助線分割出包含常常添加合適的輔助線分割出包含這些角度的直角三角形來(lái)解決某些斜三角形的問(wèn)題這些角度的直角三角形來(lái)解決某些斜三角形的問(wèn)題. .4.應(yīng)用解直角三角形知識(shí)解應(yīng)用題時(shí)應(yīng)用解直角三角形知識(shí)解應(yīng)用題時(shí), ,可按

10、以下思維過(guò)程進(jìn)行可按以下思維過(guò)程進(jìn)行: :尋尋找直角三角形找直角三角形, ,若找不到若找不到, ,可構(gòu)造可構(gòu)造; ; 找到的直角三角形是否可解找到的直角三角形是否可解, ,若不可直接求解若不可直接求解, ,利用題中利用題中 的數(shù)的數(shù)量關(guān)系量關(guān)系, ,設(shè)設(shè)x x求解求解. .若這艘輪船自若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，處按原速度繼續(xù)航行，在途中會(huì)不會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)？若會(huì)，試求輪在途中會(huì)不會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)？若會(huì)，試求輪船最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間；若不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)船最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間；若不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由。明理由。輪船自輪船自A處立即提高船速，向位于東處立即提高船速，向位于東偏北偏北30方向，相距方向，相距60里的里的D

11、港駛?cè)?。為港駛?cè)?。為使臺(tái)風(fēng)到來(lái)之前到達(dá)使臺(tái)風(fēng)到來(lái)之前到達(dá)D港，問(wèn)船速至少港，問(wèn)船速至少應(yīng) 提 高 多 少 ？ （ 提 高 的 船 速 取 整應(yīng) 提 高 多 少 ？ （ 提 高 的 船 速 取 整數(shù)，數(shù)， ）？）？ 北北東東DAB30例例6 如圖所示，一艘輪船以如圖所示，一艘輪船以20里里/時(shí)的速度由西時(shí)的速度由西向東航行，途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心正以向東航行，途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心正以40里里/時(shí)的速度由南向北移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心時(shí)的速度由南向北移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心20 里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺(tái)風(fēng)區(qū)。當(dāng)輪里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺(tái)風(fēng)區(qū)。當(dāng)輪船到船到A處時(shí)，測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心移到位于點(diǎn)處時(shí)，測(cè)

12、得臺(tái)風(fēng)中心移到位于點(diǎn)A正南方正南方向向B處，且處，且AB=100里。里。106 . 313 解題點(diǎn)撥：解題點(diǎn)撥：（1）假設(shè)會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)，設(shè)最初遇到臺(tái)風(fēng)時(shí)間為）假設(shè)會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)，設(shè)最初遇到臺(tái)風(fēng)時(shí)間為t小時(shí)，此時(shí)，輪船在小時(shí)，此時(shí)，輪船在C處，臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)處，臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)E處（如圖），則處（如圖），則有有AC2+AE2=EC2，顯然，顯然，AC=20t里，里，AE=ABBE=10040t，EC=20 ，則（，則（20t）2+（10040t）2=(20 )2， 若若可求出可求出t，則會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)，若不能求出，則會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)，若不能求出t，則不會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)。，則不會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)。解：（解：（1）設(shè)途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)，且

13、最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間為）設(shè)途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)，且最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間為t小小時(shí)，此時(shí)輪船位于時(shí)，此時(shí)輪船位于C處，臺(tái)風(fēng)中心移到處，臺(tái)風(fēng)中心移到E處，連結(jié)處，連結(jié)CE，則有，則有AC=20t，AE=10040t，EC=20 ，在，在RtAEC中，由勾中，由勾股定理，得股定理，得(20t)2+(10040t)2=(20 )2，整理，得整理，得t24t+3=0 =（4）2413=40, 途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)。途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)。 解解得，得，t1=1,t2=3 最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間為最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間為1小時(shí)。小時(shí)。10101010ACEB北北南南西西東東解題點(diǎn)撥：解題點(diǎn)撥： 先求出臺(tái)風(fēng)抵達(dá)先求出臺(tái)風(fēng)抵達(dá)D港的時(shí)間港的

14、時(shí)間t t，因，因AD=60，則，則6060 t=t=提高后的船速，減去原來(lái)的船速，就是應(yīng)提高的速度。提高后的船速，減去原來(lái)的船速，就是應(yīng)提高的速度。 解：解： 設(shè)臺(tái)風(fēng)抵達(dá)設(shè)臺(tái)風(fēng)抵達(dá)D港時(shí)間為港時(shí)間為t小時(shí)，此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心至小時(shí)，此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心至M點(diǎn)。點(diǎn)。 過(guò)過(guò)D作作DFAB，垂足為，垂足為F，連結(jié)，連結(jié)DM。 在在RtADF中，中，AD=60，F(xiàn)AD=60 DF=30 ，F(xiàn)A=30 又又FM=FA+ABBM=13040t，MD=20 （30 ）2+（13040t）2=(20 )2 整理，得整理，得4t2-26t+39=0 解之，得解之，得 臺(tái)風(fēng)抵達(dá)臺(tái)風(fēng)抵達(dá)D港的時(shí)間為港的時(shí)間為 小時(shí)。小時(shí)。 輪

15、船從輪船從A處用處用 小時(shí)到達(dá)小時(shí)到達(dá)D港的速度為港的速度為60 25.5。為使臺(tái)風(fēng)抵達(dá)為使臺(tái)風(fēng)抵達(dá)D D港之前輪船到港之前輪船到D D港，輪船至少應(yīng)提速港，輪船至少應(yīng)提速6 6里里/ /時(shí)。時(shí)。 341313t ,41313t21310131341313413134DAMB30北北東東10F貨船繼續(xù)向西航行途貨船繼續(xù)向西航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎? ?B船有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)嗎？船有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)嗎？1、 審題，畫(huà)圖。審題，畫(huà)圖。 茫茫大海中有茫茫大海中有一個(gè)小島一個(gè)小島A,A,該島四該島四周周1616海里內(nèi)有暗礁海里內(nèi)有暗礁. .今有貨船由東向西今有貨船由東向西航行航行, ,開(kāi)始在

16、距開(kāi)始在距A A島島3030海里南偏東海里南偏東60600 0的的B B處處, ,貨船繼續(xù)向貨船繼續(xù)向西航行。西航行。60觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)被觀測(cè)點(diǎn)被觀測(cè)點(diǎn)A北C30海里？這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為:在在RtABC中中,已知已知A= 60,斜邊斜邊AB=30,求求AC的長(zhǎng)的長(zhǎng)16海里ABC10海里D北東 分析：根據(jù)題意，該島四周分析：根據(jù)題意，該島四周10海里有暗礁，貨輪繼續(xù)向東海里有暗礁，貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到航行的方向如果到A的最短距的最短距離大于離大于10海里，則無(wú)觸礁的危海里，則無(wú)觸礁的危險(xiǎn)。如果小于險(xiǎn)。如果小于10海里，則有觸海里，則有觸礁的危險(xiǎn)。礁的危險(xiǎn)。2555如圖，海中有一個(gè)

17、小島如圖，海中有一個(gè)小島A A，該島四周該島四周1010海里有暗礁，海里有暗礁，今有貨輪自西向東航行，今有貨輪自西向東航行，開(kāi)始在開(kāi)始在A A島南偏西島南偏西5555度的度的B B處，往東行駛處，往東行駛2020海里后，海里后，到達(dá)該島的南偏西到達(dá)該島的南偏西2525度度的的C C處。之后，貨輪繼續(xù)處。之后，貨輪繼續(xù)向東航行。向東航行。 你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？嗎？變式一變式一 如圖，海島如圖，海島A四周四周20海里周?chē)鷥?nèi)為暗礁海里周?chē)鷥?nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在B處見(jiàn)島處見(jiàn)島A在在北偏西北偏西60

18、，航行，航行24海里到海里到C，見(jiàn)島，見(jiàn)島A在北偏西在北偏西30，貨輪繼續(xù)向西航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？，貨輪繼續(xù)向西航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？ABDCNN13060變式二變式二DABDCNN14560如圖，海島如圖，海島A A四周四周2020海里周?chē)鷥?nèi)為暗礁區(qū)，一海里周?chē)鷥?nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在艘貨輪由東向西航行，在B B處見(jiàn)島處見(jiàn)島A A在北偏西在北偏西6060，航行，航行2424海里到海里到C C，見(jiàn)島，見(jiàn)島A A在北偏西在北偏西4545，貨，貨輪繼續(xù)向西航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？輪繼續(xù)向西航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？變式三變式三DABDCNN11560如圖，海島如圖，海島A A四周四周2020海里周?chē)鷥?nèi)為暗礁區(qū)，一艘海里周?chē)鷥?nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在貨輪由東向西航行，在B B處見(jiàn)島處見(jiàn)島A A在北偏西在北偏西6060，航行