1、第一章彈塑性力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 在彈塑性力學(xué)中經(jīng)常采用矢量和張量符號(hào)，這些符號(hào)具有簡(jiǎn)潔的優(yōu)點(diǎn),可以將各種力學(xué)關(guān)系用簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)形式表示出來。這樣，就可以將大部分注意力集中在物理原理上而不是方程本身。1.1.1標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.1.2矢量場(chǎng)的散度1.1.3矢量場(chǎng)的旋度1.1 矢量1.1.1 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 假定在空間某區(qū)域定義一個(gè)標(biāo)量函數(shù)假定在空間某區(qū)域定義一個(gè)標(biāo)量函數(shù) ，那么可以得到，那么可以得到 別別對(duì)三個(gè)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)三個(gè)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，3,2,1ixGii gradG其中，三個(gè)其中，三個(gè) 為矢量為矢量 的分量，稱為的分量，稱為 的梯度，它描述了標(biāo)量的梯度，它描述了標(biāo)量場(chǎng)變化最大的方向和最大的變化率場(chǎng)變

2、化最大的方向和最大的變化率, ,也可表示為也可表示為iGG即即123Tjxxxx1.1.1 標(biāo)量場(chǎng)的梯度可以證明，可以證明， 垂直于垂直于 的曲面。的曲面。算子矢量算子矢量 自身沒有實(shí)際意義，而是一種方便運(yùn)算的符號(hào)。自身沒有實(shí)際意義，而是一種方便運(yùn)算的符號(hào)。332211xexexe123,xxx常數(shù)123jxxxx 1.1.2 矢量場(chǎng)的散度 算子 與一個(gè)矢量V 的點(diǎn)積定義為這個(gè)矢量場(chǎng)的散度312123vvvdivxxx VV 是一個(gè)標(biāo)量；不像矢量那樣有三個(gè)分量。由于 不存在，因而點(diǎn)積 不能互相交換： VVVVV1.1.3 矢量場(chǎng)的旋度 與與 的叉積可寫成的叉積可寫成 的形式，稱之為的形式，稱之

3、為 的旋的旋度。度。 123123curlxxxvvv123eeeVV如果 的偏導(dǎo)數(shù)存在，可以證明稱為稱為 的拉普拉斯算子。的拉普拉斯算子。2232222212xxxVVV2 220 TkTt(4) 泊松方程泊松方程(2) 拉普拉斯方程拉普拉斯方程(1) 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程1.21.2 常見的數(shù)學(xué)物理方程常見的數(shù)學(xué)物理方程 20 T2 Tf(3) 波動(dòng)方程波動(dòng)方程22220 uaut一維熱傳導(dǎo)方一維熱傳導(dǎo)方程的展開形式程的展開形式tTkxT222波動(dòng)方程的波動(dòng)方程的展開形式展開形式tuzuyuxu222222222介紹與張量有關(guān)的幾個(gè)記法和概念：介紹與張量有關(guān)的幾個(gè)記法和概念：1.3.1 1

4、.3.1 指標(biāo)記法指標(biāo)記法1.3.2 1.3.2 求和約定求和約定1.3.3 1.3.3 微分的記法微分的記法1.3.4 1.3.4 符號(hào)符號(hào)1.3.5 1.3.5 符號(hào)（置換符號(hào)）符號(hào)（置換符號(hào)）1.3.6 1.3.6 笛卡爾張量的定義笛卡爾張量的定義1.3.7 1.3.7 張量性質(zhì)張量性質(zhì)ijr s te1.3 張 量 代表矢量代表矢量 的所有分量，即當(dāng)?shù)乃蟹至?，即?dāng) 寫作寫作 時(shí)，指標(biāo)時(shí)，指標(biāo) 的值的值 從從 1 到到 3 變化。變化。注：注： 321,xxxfxfxfXfjiivVivi 和和 代表同一個(gè)矢量代表同一個(gè)矢量。ixjx1.3.11.3.1 指標(biāo)記法指標(biāo)記法 一個(gè)矢量一個(gè)

5、矢量 可采用不同的方式表示：可采用不同的方式表示：iiiivevevevevvvvV31332211321,VV123,iVv vvv矢量的指標(biāo)記法矢量的指標(biāo)記法1.3.2 1.3.2 求和約定求和約定舉例說明求和約定的規(guī)則?？紤]下面的方程組：舉例說明求和約定的規(guī)則?？紤]下面的方程組：333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa作為第一步縮寫，可以寫成：作為第一步縮寫，可以寫成：112233jjjjjjaxbaxbaxb最后可以縮寫為：最后可以縮寫為：ijjia xb其中其中 稱為稱為自由標(biāo)自由標(biāo)， 稱為稱為啞標(biāo)啞標(biāo)。ij第一行第一行第

6、二行第二行第三行第三行關(guān)于下標(biāo)的約定可以總結(jié)為以下三條規(guī)則：關(guān)于下標(biāo)的約定可以總結(jié)為以下三條規(guī)則：1. 如果在一個(gè)方程或表達(dá)式的一項(xiàng)中，一種下標(biāo)只出現(xiàn)一如果在一個(gè)方程或表達(dá)式的一項(xiàng)中，一種下標(biāo)只出現(xiàn)一次，則稱之為次，則稱之為“自由指標(biāo)自由指標(biāo)”，自由指標(biāo)在表達(dá)式或方程的，自由指標(biāo)在表達(dá)式或方程的每一項(xiàng)中必須只出現(xiàn)一次。每一項(xiàng)中必須只出現(xiàn)一次。2. 如果在一個(gè)表達(dá)式或方程的一項(xiàng)中，一種指標(biāo)正好出現(xiàn)如果在一個(gè)表達(dá)式或方程的一項(xiàng)中，一種指標(biāo)正好出現(xiàn)兩次，則稱之為兩次，則稱之為“啞標(biāo)啞標(biāo)”，它表示從，它表示從1到到3求和。啞標(biāo)在其求和。啞標(biāo)在其他任何項(xiàng)中可以正好出現(xiàn)兩次，也可以不出現(xiàn)。他任何項(xiàng)中可以正

7、好出現(xiàn)兩次，也可以不出現(xiàn)。3. 如果在一個(gè)表達(dá)式或方程的一項(xiàng)中，一種指標(biāo)出現(xiàn)的次如果在一個(gè)表達(dá)式或方程的一項(xiàng)中，一種指標(biāo)出現(xiàn)的次數(shù)多于兩次，則是錯(cuò)誤的。數(shù)多于兩次，則是錯(cuò)誤的。1.3.3 1.3.3 微分的記法微分的記法矢量矢量 的散度：的散度：312123, i iiivvvvvxxxx V3 , 32, 21 , 1,vvvviiV在上邊的連等式中，在上邊的連等式中， 就是一種典型的微分記法。在下標(biāo)中，第一就是一種典型的微分記法。在下標(biāo)中，第一個(gè)指標(biāo)表示個(gè)指標(biāo)表示 的分量，逗號(hào)表示對(duì)第二個(gè)指標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，第二個(gè)指的分量，逗號(hào)表示對(duì)第二個(gè)指標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，第二個(gè)指標(biāo)對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的坐標(biāo)軸，所以標(biāo)對(duì)應(yīng)于

8、相應(yīng)的坐標(biāo)軸，所以iiv,V123jxxxx 1.3.3 1.3.3 微分的記法微分的記法同理，同理， 的梯度可作如下表示：的梯度可作如下表示：2,11,22,33,ii 123123jjeeeexxxx123,xxx偏導(dǎo)數(shù)的記法：逗號(hào)后面緊跟一個(gè)下標(biāo)偏導(dǎo)數(shù)的記法：逗號(hào)后面緊跟一個(gè)下標(biāo) i 時(shí)，表示某物時(shí)，表示某物理量對(duì)理量對(duì) x i 求偏導(dǎo)數(shù)。求偏導(dǎo)數(shù)。利用偏導(dǎo)數(shù)的記法，偏導(dǎo)數(shù)均可縮寫為：利用偏導(dǎo)數(shù)的記法，偏導(dǎo)數(shù)均可縮寫為： 偏導(dǎo)數(shù)的記法偏導(dǎo)數(shù)的記法,( )( )iix,ii jjuux,ijij kkx,ijij kkx,ijij klklxx,ijij klklxx,ii klkluux

9、x1.3.4 1.3.4 符號(hào)符號(hào)ij100010001ij稱為稱為KroneckerKronecker符號(hào)，也稱符號(hào)，也稱置換算子置換算子。后一名稱源于下式后一名稱源于下式: :jiijvv在將在將 作用于作用于 時(shí)時(shí),只是將只是將 中的中的 用用 置換；置換；ijjvjijv對(duì)于單位矢量，當(dāng)對(duì)于單位矢量，當(dāng) 時(shí)時(shí), 點(diǎn)積點(diǎn)積 ； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)積時(shí)，點(diǎn)積 。這正好與這正好與 的的 分量一致，因此有分量一致，因此有 ji 1jieeji 0jieeijijije e10ijijij顯然顯然 111113212223313233100010001ij運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律 1122333iimimii

10、mmjijaaTTKroneckerKronecker符號(hào)符號(hào) 1.3.5 1.3.5 符號(hào)（符號(hào)（置換符號(hào)置換符號(hào)）rste 符號(hào)有符號(hào)有27個(gè)元素，這些元素根據(jù)下標(biāo)值規(guī)定個(gè)元素，這些元素根據(jù)下標(biāo)值規(guī)定為為 +1， -1，0。例如。例如 ， ，這種，這種定義是根據(jù)將下標(biāo)交換成定義是根據(jù)將下標(biāo)交換成1，2，3自然順序所需交自然順序所需交換的次數(shù)而定的。換的次數(shù)而定的。若若下標(biāo)交換次數(shù)為偶數(shù)，則元素的值為下標(biāo)交換次數(shù)為偶數(shù)，則元素的值為1；若若下標(biāo)交換的次數(shù)為奇數(shù)，則元素的值為下標(biāo)交換的次數(shù)為奇數(shù)，則元素的值為-1；若若下標(biāo)出現(xiàn)重復(fù)，則元素的值為下標(biāo)出現(xiàn)重復(fù)，則元素的值為0。1123e1132e

11、rste11 2 311 3 20ijkijkijke， ， 為 ，等的偶排列， ， 為 ， ，等的奇排列有相等下標(biāo)時(shí)偶排列偶排列：有序數(shù)組有序數(shù)組1 1，2 2，3 3逐次對(duì)換兩個(gè)相鄰的數(shù)字逐次對(duì)換兩個(gè)相鄰的數(shù)字, ,對(duì)對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)而得到的排列；換次數(shù)為偶數(shù)而得到的排列；奇排列奇排列：有序數(shù)組有序數(shù)組1 1，2 2，3 3逐次對(duì)換兩個(gè)相鄰的數(shù)字逐次對(duì)換兩個(gè)相鄰的數(shù)字, ,對(duì)對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)而得到的排列。換次數(shù)為奇數(shù)而得到的排列。12323131213232121311eeeeee 1.3.5 1.3.5 符號(hào)（符號(hào)（置換符號(hào)置換符號(hào)）rste如如 1.3.5 1.3.5 符號(hào)（符號(hào)（置換符號(hào)

12、置換符號(hào)）rste 采用圖解法確定交錯(cuò)張量的符號(hào)。假設(shè)將數(shù)字采用圖解法確定交錯(cuò)張量的符號(hào)。假設(shè)將數(shù)字1，2，3放在一個(gè)圓的圓周上，放在一個(gè)圓的圓周上，如果下標(biāo)是按如果下標(biāo)是按順時(shí)針方向順時(shí)針方向排列，則排列，則符號(hào)為正符號(hào)為正，如果下標(biāo)是按如果下標(biāo)是按逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向排列，則排列，則符號(hào)為負(fù)符號(hào)為負(fù)。 置換符號(hào)置換符號(hào)為縮寫提供了另一種方法，如：為縮寫提供了另一種方法，如：111213212223313233123rstrstaaaaaaea aaaaa同理有同理有ijjiijkkijkku vu veeUVee在證明時(shí)，可以省去證明冗長(zhǎng)的中間步驟，如表達(dá)式在證明時(shí)，可以省去證明冗長(zhǎng)的中間

13、步驟，如表達(dá)式 ，由于下標(biāo)，由于下標(biāo) 必須互不相同必須互不相同，所以可，所以可能的組合有能的組合有 。 因而因而3jjkkeu v3jk， 和3,1,2,2,1jkjk和311232 31323 22 33 2jjkkeu veu veu vu vu v用同樣的方法可以證明其他兩項(xiàng)。用同樣的方法可以證明其他兩項(xiàng)。231 3 1213 1 33 11 32jjkkeu veu veu vu vu v312 1 2321 2 11 22 13jjkkeu veu veu vu vu v下面用一個(gè)例子來說明置換符號(hào)的用途：下面用一個(gè)例子來說明置換符號(hào)的用途：例：利用指標(biāo)證明例：利用指標(biāo)證明0其中其中

14、 為一標(biāo)量函數(shù)。為一標(biāo)量函數(shù)。123123123kkiiijkijkjjkkxxxxxxxeexxxx eeeeee證：證：( , , )x y z對(duì)于對(duì)于 ，表達(dá)式，表達(dá)式 產(chǎn)生產(chǎn)生矢量的一個(gè)分量。矢量的一個(gè)分量。對(duì)于對(duì)于 ，非零項(xiàng)為，非零項(xiàng)為 和和 。所以所以3 ,2, 1i/jijkkixxe e1i2,3jk3,2jk22222332123132123320jkjkxxx xx xx xx xeee 對(duì)于對(duì)于 ，可得到同樣的結(jié)果，可得到同樣的結(jié)果，2i 和 i = 322221221312321312210jkjkxxx xx xx xx xeee 222231132312132311

15、30jkjkxxx xx xx xx xeee 得證。得證。 1.3.6 1.3.6 笛卡爾張量的定義笛卡爾張量的定義 有些量既不是矢量也不是標(biāo)量。例如物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣有些量既不是矢量也不是標(biāo)量。例如物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。引入與物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的量量。引入與物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的量 。當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，此量按下式變化時(shí)，此量按下式變化ijx xijikjlklx xl lx x引入張量的概念。如果每個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系都有引入張量的概念。如果每個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系都有 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，且這些數(shù)當(dāng)?shù)芽栕鴺?biāo)系變到另一個(gè)時(shí)，按規(guī)與之對(duì)應(yīng)，且這些數(shù)當(dāng)?shù)芽栕鴺?biāo)系變到另一個(gè)時(shí)，按規(guī)律律23ijTijijikjl

16、TTll變化則這變化則這 個(gè)數(shù)全體就稱為三維空間中的二階張量。個(gè)數(shù)全體就稱為三維空間中的二階張量。 ：是：是 過渡到新坐標(biāo)系的系數(shù)。過渡到新坐標(biāo)系的系數(shù)。23ijlijT一階張量一階張量：ii kkTlT二階張量二階張量：i jisjks kTllT三階張量三階張量：ijkimjnkpm n pTlllT張量可以有任意階，從以上表達(dá)式中可以得出張量一般張量可以有任意階，從以上表達(dá)式中可以得出張量一般的變換規(guī)則。由于受笛卡爾坐標(biāo)系的限制，所以這些張的變換規(guī)則。由于受笛卡爾坐標(biāo)系的限制，所以這些張量稱為笛卡爾張量。量稱為笛卡爾張量。同理可定義其它階張量同理可定義其它階張量在高等數(shù)學(xué)中有坐標(biāo)的在高等

17、數(shù)學(xué)中有坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換，如下圖中所示：，如下圖中所示：可以證明如下結(jié)論：可以證明如下結(jié)論：irjrijri rjijlllloldoldnewnew下面證明其中一個(gè)結(jié)論：下面證明其中一個(gè)結(jié)論：irjrijl l112233123123iiiiiiiij jee e ee eee e el el el el e所以所以rijijirjk kirir jrjkrkeel elel ll l即即irjrijll證畢證畢r i r jijll同理同理1.3.7 1.3.7 張量性質(zhì)張量性質(zhì)張量相等即對(duì)應(yīng)分量相等；張量相加即對(duì)應(yīng)分量相加；張張量相等即對(duì)應(yīng)分量相等；張量相加即對(duì)應(yīng)分量相加；張量相乘

18、構(gòu)成一個(gè)新的張量量相乘構(gòu)成一個(gè)新的張量,通常其階數(shù)是原張量的階數(shù)之通常其階數(shù)是原張量的階數(shù)之和；和；n階張量縮并后變?yōu)殡A張量縮并后變?yōu)閚-2階張量等等。下面簡(jiǎn)單的舉例階張量等等。下面簡(jiǎn)單的舉例說明說明:1. 一個(gè)張量在一個(gè)坐標(biāo)系中的所有分量都為一個(gè)張量在一個(gè)坐標(biāo)系中的所有分量都為0，則在所有，則在所有坐標(biāo)系中的所有分量都為坐標(biāo)系中的所有分量都為0。這個(gè)結(jié)論在減少數(shù)學(xué)和物理。這個(gè)結(jié)論在減少數(shù)學(xué)和物理證明方面很有幫助，如：要考慮由力證明方面很有幫助，如：要考慮由力 產(chǎn)生的應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)力 ，以后將證明，為滿足平衡條件以后將證明，為滿足平衡條件 ，現(xiàn)將它重寫，現(xiàn)將它重寫為為 ，因?yàn)?，因?yàn)?是零矢量，因

19、此只需在一個(gè)是零矢量，因此只需在一個(gè)坐標(biāo)系中證明即可。坐標(biāo)系中證明即可。 iFijijijF,0,ijijiFDiD2.一個(gè)三階張量與一個(gè)二階張量相乘，構(gòu)成一個(gè)五階張量。一個(gè)三階張量與一個(gè)二階張量相乘，構(gòu)成一個(gè)五階張量。 證明：證明： r s tirjsijlltm vu vk mk uAlllABllBrstm vuvirjsijlkmltkuClllAllBCABrstuvrstuvm vrstuvirjsijklmlt kuCl ll llC則則令令所以所以 為五階張量。為五階張量。3.三階張量縮并成一階張量三階張量縮并成一階張量證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)樗运杂忠驗(yàn)橛忠驗(yàn)閕risrsl l所以所以rsrstrstrsiikktktAlAlAr s tirjsijkk tAlllAr s tirisiikk tAlllA()ri rjijll又又100010001r s所以所以112233rstrstttrrtssttAAAAAAC112233()iikkttttkttAlAAAl C因因則則iikkAC得證。得證。kttkl CC二階對(duì)稱張量二階對(duì)稱張量反對(duì)稱張量反對(duì)稱張量 jiijTTjiijTT任意一個(gè)二階張量，總是可以分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)分對(duì)稱張量之和。張量的對(duì)稱和反對(duì)稱性質(zhì)，可以推廣到二階以上高階張量。