1、第6節(jié) 二面角(一)1. 1. 二面角的定義：二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫二面從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫二面角，其大小通過二面角的平面角來度量角，其大小通過二面角的平面角來度量.2. 2. 二面角的平面角：二面角的平面角：(1)定義：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面定義：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角叫做二面角的平面角.(2)范圍：范圍： 0， 3.3.二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：(1)定義法定義法(2)三垂線定

2、理法三垂線定理法(3)作棱的垂面法作棱的垂面法課課 前前 熱熱 身身1.下列命題中：下列命題中：兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；異面直線異面直線a、b分別和一個二面角的兩個面垂直，則分別和一個二面角的兩個面垂直，則a、b組成的角與這個二面角的平面角相等或互補；組成的角與這個二面角的平面角相等或互補；二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小角；內(nèi)作射線所成角的最小角；正四面體相鄰兩個面所成的二面角的平面角是銳角正四面體相鄰兩個面所成的二面角的平面角是銳角.其中，正確命題的序號是其中，正確命題的

3、序號是_.、2.如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角中，二面角B1-AA1-C1的大小為的大小為_，二面角，二面角B-AA1-D的大小為的大小為_，二，二面角面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.245903. 在二面角在二面角-l-的一個平面的一個平面內(nèi)有一條直線內(nèi)有一條直線AB，它，它與棱與棱 l 所成的角為所成的角為45，與平面，與平面所成的角為所成的角為30，則，則這個二面角的大小是這個二面角的大小是_.45或或1354.三棱錐三棱錐ABCD中，中，AB=AC=BC=CD=AD=a，要使三要使三棱錐棱錐ABCD的體積最大，則二面角的體積最大，則二面角B-AC-

4、D的大小是的大小是 （ ）A BCD23324AA5. 在二面角在二面角-a-內(nèi)，過內(nèi)，過a作一個半平面作一個半平面，使二面角，使二面角-a-=45，二面角，二面角-a-=30，則，則內(nèi)的任意一內(nèi)的任意一點點P到平面到平面與平面與平面的距離之比為的距離之比為( )(A) (B)(C) (D)222323【解題回顧】本題是【解題回顧】本題是1990年全國高考題，年全國高考題，(1)的證明關的證明關系較復雜，需仔細分析。系較復雜，需仔細分析。(2)的平面角就是的平面角就是CDE，很，很多考生沒有發(fā)現(xiàn)，卻去人為作角，導致混亂多考生沒有發(fā)現(xiàn)，卻去人為作角，導致混亂.1.在三棱錐在三棱錐SABC中，中，

5、SA平面平面ABC，ABBC，DE垂直平分垂直平分SC ，且分別交，且分別交AC、SC于于D、E，又，又 SA=AB=a，BC=2a，(1)求證：求證：SC平面平面BDE；(2)求平面求平面BDE與平面與平面BDC所成的二面角大小所成的二面角大小.2.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰為的射影恰為AC的中點的中點M. 又知又知AA1與底面與底面ABC所成的角為所成的角為60.(1)求證：求證：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.【解題回顧解題回顧】先由第先由第(1)小題的結論易知小題

6、的結論易知BCAA1，再利用作出棱再利用作出棱AA1的垂面的垂面BNC來確定平面角來確定平面角BNC.將題設中將題設中“AA1與底面與底面ABC所成的角為所成的角為60”改為改為“ BA1AC1 ” 仍可證得三角形仍可證得三角形AA1C為正三角形，所為正三角形，所求求二面角仍為二面角仍為 .本題的解答也可利用三垂線定理來推理本題的解答也可利用三垂線定理來推理.332arctan3.如圖，正三棱柱如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為的底面邊長為a，側棱，側棱長為長為 ，若經(jīng)過對角線，若經(jīng)過對角線AB1且與對角線且與對角線BC1平行的平平行的平面交上底面一邊面交上底面一邊A1C1于點于點D

7、.(1)確定點確定點D的位置，并證明的位置，并證明你的結論；你的結論；(2)求二面角求二面角A1-AB1-D的大小的大小.a22【解題回顧解題回顧】第第(2)題中二面角的放置屬于非常規(guī)位置題中二面角的放置屬于非常規(guī)位置的圖形的圖形(同例同例(1)的變題的變題)，看起來有些費勁，但是一旦，看起來有些費勁，但是一旦將圖形的空間位置關系看明白，即可發(fā)現(xiàn)解決此種問將圖形的空間位置關系看明白，即可發(fā)現(xiàn)解決此種問題的基本方法仍然與常規(guī)位置時相同題的基本方法仍然與常規(guī)位置時相同.4.如圖，已知如圖，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，是正三棱柱，D是是AC的中的中點點.(1)證明證明AB1平面平面DBC1.(

8、2)假設假設AB1BC1，求以，求以BC1為棱，為棱，DBC1與與CBC1為面為面的二面角的二面角的度數(shù)的度數(shù).【解題回顧解題回顧】本題為本題為1994年全國高考理科試題，圖中年全國高考理科試題，圖中的正三棱柱放置的位置和一般放置的位置不同的正三棱柱放置的位置和一般放置的位置不同.這是高這是高考題中常出現(xiàn)的現(xiàn)象，目的是考查各種位置的正三棱考題中常出現(xiàn)的現(xiàn)象，目的是考查各種位置的正三棱柱性質，這一點應引起讀者注意柱性質，這一點應引起讀者注意.1. 二面角是立體幾何的重點、熱點、難點，求二面角二面角是立體幾何的重點、熱點、難點，求二面角的大小方法多，技巧性強但一般先想定義法，再想的大小方法多，技巧

9、性強但一般先想定義法，再想三垂線定理法，如課前熱身三垂線定理法，如課前熱身4，及能力，及能力思維思維方法方法1中，中，如果盲目作垂線，則會干擾思維如果盲目作垂線，則會干擾思維2. 實施解題過程仍要注意實施解題過程仍要注意“作、證、指、求作、證、指、求”四環(huán)節(jié)，四環(huán)節(jié)，計算一般是放在三角形中，因此，計算一般是放在三角形中，因此，“化歸化歸”思想很重思想很重要要.第7節(jié) 二面角(二)1.1.熟練掌握求二面角大小的基本方法：熟練掌握求二面角大小的基本方法：(1)先作平面角，再求其大?。幌茸髌矫娼?，再求其大??；(3)直接用公式直接用公式cos=S射射/S原原 2.2.掌握下列兩類題型的解法：掌握下列兩

10、類題型的解法：(1)折疊問題折疊問題將平面圖形翻折成空間圖形將平面圖形翻折成空間圖形.(2)“無棱無棱”二面角二面角在已知圖形中未給出二面角在已知圖形中未給出二面角的棱的棱.課課 前前 熱熱 身身1. 二面角二面角-AB-的平面角是銳角，的平面角是銳角，C是平面是平面內(nèi)的內(nèi)的點點(不在棱不在棱AB上上)，D是是C在平面在平面上的射影，上的射影，E是棱是棱AB上滿足上滿足CEB為銳角的任意一點，則為銳角的任意一點，則( )(A)CEBDEB(B)CEB=DEB(C)CEBDEB(D)CEB與與DEB的大小關系不能確定的大小關系不能確定A2. 直線直線AB與直二面角與直二面角-l-的兩個半平面分別

11、交于的兩個半平面分別交于A、B兩點，且兩點，且A、B l. 如果直線如果直線AB與與、所成的角所成的角分別是分別是1、2，則，則1+2的取值范圍是的取值范圍是( )(A) (B)(C)(D)2212102212021D3. 在長、寬、高分別為在長、寬、高分別為1、1、2的長方體的長方體ABCDA1B1C1D1中，截面中，截面BA1C1與底面與底面ABCD所成角的余弦值是所成角的余弦值是_.4. 把邊長為把邊長為a的正三角形的正三角形ABC沿著過重心沿著過重心G且與且與BC平平行的直線折成二面角，此時行的直線折成二面角，此時A點變?yōu)辄c變?yōu)?，當，當時，則此二面角的大小為時，則此二面角的大小為_.

12、AaCA3531arccos(1/3)5.已知正方形已知正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O點，若將正點，若將正方形方形ABCD沿對角線沿對角線BD折成折成60的二面角后，給出的二面角后，給出下面下面4個結論：個結論：ACBD；ADCO；AOC為正三角形；為正三角形；過過B點作直線點作直線l平面平面BCD，則直線，則直線l平面平面AOC其其中正確命題的序號是中正確命題的序號是_1.平面四邊形平面四邊形ABCD中，中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿對角線，沿對角線AC將四邊形折成直二面角將四邊形折成直二面角.證：證：(1)AB面面BCD；(2)求面求面ABD與面與面

13、ACD所成的角所成的角.【解題回顧解題回顧】準確畫出折疊后的圖形，弄清有關點、準確畫出折疊后的圖形，弄清有關點、線之間的位置關系，便可知這是一個常見空間圖形線之間的位置關系，便可知這是一個常見空間圖形(四個面都是直角三角形的四面體四個面都是直角三角形的四面體).2.在直角梯形在直角梯形P1DCB中，中，P1DCB，CDP1D，P1D=6，BC=3，DC=3，A是是P1D的中點的中點. 沿沿AB把平面把平面P1AB折起到平面折起到平面PAB的位置，使二面角的位置，使二面角P-CD-B成成45，設設E、F分別為分別為AB、PD的中點的中點.(1)求證：求證：AF平面平面PEC；(2)求二面角求二面

14、角P-BC-A的大?。坏拇笮。弧窘忸}回顧解題回顧】找二面角的平面角時不要盲目去作，而找二面角的平面角時不要盲目去作，而應首先由題設去分析，題目中是否已有應首先由題設去分析，題目中是否已有.3.正方體正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E是是BC的中點，求平的中點，求平面面B1D1E和平面和平面ABCD所成的二面角的正弦值所成的二面角的正弦值.【解題回顧解題回顧】解法一利用公式解法一利用公式 . 思路簡單明思路簡單明了，但計算量較解法二大了，但計算量較解法二大.解法二的關鍵是確定二解法二的關鍵是確定二面角的棱，再通過三垂線定理作出平面角，最終解直面角的棱，再通過三垂線定理作出平面角，最終解直角

15、三角形可求出角三角形可求出.SScos4. 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐如圖，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，中，ABC=90，SA面面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12.(1)求四棱錐求四棱錐SABCD的體積；的體積；(2)求面求面SCD與面與面SBA所成的二所成的二面角的正切值面角的正切值.【解題回顧】【解題回顧】(1)較易，較易，(2)因所求二面角無因所求二面角無“棱棱”，故，故先延長先延長BA、CD以確定棱以確定棱SE，然后證明，然后證明BSC為平面為平面角，本題當然可以用角，本題當然可以用 直接求直接求.原原射射SS cos(I)沿圖中虛線將它們折疊起來，是哪一種特殊

16、幾何體沿圖中虛線將它們折疊起來，是哪一種特殊幾何體?并請畫出其直觀圖，比例尺是并請畫出其直觀圖，比例尺是1/2；(II)需要多少個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為需要多少個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為6cm的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1，請畫出其示意圖，請畫出其示意圖(需在示需在示意圖中分別表示出這種幾何體意圖中分別表示出這種幾何體)；5.如圖為一幾何體的展開圖：如圖為一幾何體的展開圖：(III)設正方體設正方體ABCDA1B1C1D1的棱的棱CC1的中點為的中點為E，試求：異面直線試求：異面直線EB與與AB1所成角的余弦值及平面所成角的余弦值及平面AB1E與平面與平面ABC所成二面角所成二面角(銳角銳角)的余弦值的余弦值.【解題回顧解題回顧】要研究翻折前后的兩個圖形，注意弄清要研究翻折前后的兩個圖形，注意弄清以下幾點：以下幾點：分別畫出翻折前后的平面圖形和立體圖形，字母標分別畫出翻折前后的平面圖形和立體圖形，字母標注要一致；注要一致；翻折前后幾何圖形的位置關系及相關量的變與不變翻折前后幾何圖形的位置關系及相關量的變與不變要分清；要分清；在解決立體圖形問題進行計算時，要盡可能地參照在解決立體圖形問題進行計算時，要盡可能地參照翻折前的平面圖