1、角度計(jì)算中的經(jīng)典模型【舉一反三】模型1雙垂直模型模型2A字模型模型3雙內(nèi)角平分線模型角度計(jì)算中的經(jīng):模型4內(nèi)外角平分線模型模型5雙外角平分線模型模型68字模型模型7燕尾模型模型8箏型UHHHn【模型1雙垂直模型】【條件】/B=/D=/ACE=90.【結(jié)論】/BAC=/DCE,/ACB=/CED.【例1】（2019春?潤州區(qū)校級(jí)月考）如圖，在ABC中，ZACB=90,F是AC延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)DAB,垂足為D,FD與BC相交于點(diǎn)E,/BED=55.求/A的度數(shù).【變式1-1（2019秋?涼州區(qū)校級(jí)期中）如圖，4ABC中，ZB=ZC,FDBC,DEXAB,ZAFD=152求/A的度數(shù).【變式1-2(

2、2019春?蓮湖區(qū)期中)如圖，在ACB中，/ACB=90,CDAB于D.(1)求證：/ACD=ZB;(2)若AF平分/CAB分別交CD、BC于E、F,求證：/CEF=/CFE.【變式1-3(1)如圖，在RtABC中，ZACB=90,CDXAB,垂足為D,/ACD與/B有什么關(guān)系？為什么？(2)如圖，在RtAABC中，/C=90,D、E分別在AC,AB上，且/ADE=/B,判斷ADE的形狀是什么？為什么？(3)如圖，在RtABC和RtADBE中，/C=90,/E=90,AB,BD,點(diǎn)C,B,E在同一直線上，D【結(jié)論】/BDE+ZCED=180+ZA【例2】（2019春?資中縣月考）如圖所示，AB

3、C中，/0=75,若沿圖中虛線截去/C,則/1+/2等于多少度？【變式2-1（2019春?長沙縣校級(jí)期中）如圖，已知/A=40,求/1+/2+/3+/4的度數(shù).那么,【變式2-2（2019春？肝胎縣期中）我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？(S3)I.嘗試探究：（1）如圖1,/DBC與/ECB分別為ABC的兩個(gè)外角，試探究/A與/DBC+/ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？n.初步應(yīng)用：(2)如圖2,在ABC紙片中剪去CED,得到四邊形ABDE,Z1=130,則/2-Z0=;(3)小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的

4、一個(gè)問題：如圖3,在ABC中，BP、CP分別平分外角/DBC、ZECB,/P與/A有何數(shù)量關(guān)系？請利用上面的結(jié)論直接寫出答案.【變式2-3(2019春?鹽都區(qū)期中)(1)如圖1,已知ABC為直角三角形，/A=90,若沿圖中虛線剪去/A,則/1+/2等于A.90B,1350,270D,315Ad(2)如圖2,已知ABC中，/A=50,剪去/A后成四邊形，則/1+72=.(3)如圖2,根據(jù)(1)與(2)的求解過程，請你歸納猜想/1+/2與/A的關(guān)系是.(4)如圖3,若/A沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究/1+/2與/A的關(guān)系并說明理由.【模型3雙內(nèi)角平分線模型】【條件】BP、CP分別為/A

5、BC、/ACB的角平分線.【結(jié)論】/P=90+1/A.2【例3】(2018秋?開封期中)如圖，ABC中，(1)若/B=70,點(diǎn)P是ABC的/BAC和/ACB的平分線的交點(diǎn)，求/APC的度數(shù).(2)如果把(1)中/B=70這個(gè)條件去掉，試探索/APC和/B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.A【變式3-1（2018秋?徐聞縣期中）如圖，在ABC中，/ABC與/ACB的平分線交于點(diǎn)O.(1)如圖1,已知/ABC=40,/ACB=60,求/BOC的度數(shù).(2)如圖2,已知/A=90,求/BOC的度數(shù).（3）如圖1,設(shè)/A=m,求/BOC的度數(shù).【變式3-2（2019春?南崗區(qū)期末）已知在ABC中，/A=100,點(diǎn)

6、D在ABC的內(nèi)部連接BD,CD,且/ABD=/CBD,/ACD=/BCD.（1）如圖1,求/BDC的度數(shù);（2）如圖2,延長BD交AC于點(diǎn)E,延長CD交AB于點(diǎn)F,若/AED-/AFD=12,求/ACF的度數(shù).（圖180.如圖1,在ABC中,【變式3-3（2019春?東阿縣期末）已知任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的和是/ABC的角平分線BO與/ACB的角平分線CO的交點(diǎn)為O(1)若/A=70,求/BOC的度數(shù)；(2)若/A=a,求/BOC的度數(shù)；(3)如圖2,若BO、CO分別是/ABC、/ACB的三等分線，也就是/OBC=1/ABC,ZOCB=-/ACB,33/A=a,求/BOC的度數(shù).P的平分線B

7、DD【模型4內(nèi)外角平分線模型】BD為AABC的角平分線，CD為4ABC外角/ACE4-1（2019秋?衛(wèi)濱區(qū)校級(jí)期中）如圖CP分別為/ABC、ZACD的角平分線【結(jié)論】/A=1ZP(1)若/ABC=60,/DCE=70,則/D=(2)若/ABC=70,/A=80,則/D=（3）當(dāng)/ABC和/ACB在變化，而/A始終保持不變，則/D是否發(fā)生變化？為什么？由此你能得出什么結(jié)論？（用含/A的式子表示/D）5【變式4-3（2018秋?彭水縣校級(jí)月考）如圖，已知BD是ABC的角平分線，CD是4ABC的外角/ACE的外角平分線，CD與BD交于點(diǎn)D.若/A=50，則/D=(2)若/A=80，則/D=(3)若

8、/A=130,則/D=(5)若/D=36,則/A=綜上所述，你會(huì)得到什么結(jié)論？證明你的結(jié)論的準(zhǔn)確性.【模型5雙外角平分線模型】【條件】BP、CP分別為/EBC、/BCD的角平分線.【結(jié)論】/P=90-1ZA.2【例5】(2018秋?鄂倫春自治旗月考)如圖，ABC中，分別延長ABC的邊AB、與/BCE的平分線相交于點(diǎn)P,愛動(dòng)腦筋的小明在寫作業(yè)的時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：(1)若/A=60,則/P=;(2)若/A=40,則/P=;(3)若/A=100,則/P=;(4)請你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納/A與/P的關(guān)系.AC至UD、E,/CBD/BCF的平分線,【變式5-1(2019秋？團(tuán)風(fēng)縣校級(jí)月考)BD、CD分別是AB

9、C的兩個(gè)外角/CBE、求證：/BDC=901/A2,【變式5-2(2019春?雨城區(qū)校級(jí)期中)如圖，BI,CI分別平分ABC的外角/DBC和/ECB,(1)若/ABC=40,/ACB=36,求/BIC的大??；(2)若/A=96,試求/BIC;(3)根據(jù)前面問題的求解，請歸納/BIC和/A的數(shù)量關(guān)系并進(jìn)行證明.【變式5-3如圖，在ABC中，BD,CD是內(nèi)角平分線，BP,CP是/ABC,/ACB的外角平分線，分別交于點(diǎn)D,P.(1)若/A=30,求/BDC,/BPC的度數(shù).(2)若/A=m,求/BDC,/BPC的度數(shù)(直接寫出結(jié)果，不必說明理由)(3)想一想，/A的大小變化，對/D+/P的值是否有

10、影響，若有影響，請說明理由，若無影響，直接求【結(jié)論】/A+ZB=ZD+ZE.【例6】(2019春?輝縣市期末)圖1,線段AB、CD相交于點(diǎn)O,連接AD、CB,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2,在圖1的條件下，/DAB和/BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：(1)在圖1中，請直接寫出/A、/B、/C、/D之間的數(shù)量關(guān)系：;(2)仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；(3)圖2中，當(dāng)/D=50度，/B=40度時(shí)，求/P的度數(shù).(4)圖2中/D和/B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問/P與/D、/B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出結(jié)果，

11、不必證明).圖1圄2【變式6-1(2018春?新泰市期中)已知：如圖，AM,CM分別平分/BAD和/BCD.若/B=32,/D=38,求/M的度數(shù)；探索/M與/B、/D的關(guān)系并證明你的結(jié)論.BNH-1【變式6-2(2018秋?南昌期中)如圖1,已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O,連接AC、BD,則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”.(1)求證：/A+/C=/B+/D;(2)如圖2,若/CAB和/BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,且與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N.以線段AC為邊的“8字型”有個(gè)，以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有個(gè)；若/B=100,/C=120,求/P的度數(shù)；若角平分線中角的關(guān)系改為“/CA

12、P=1/CAB,/CDP=1/CDB，試探究/P與/B、/C之間存在33的數(shù)量關(guān)系，并證明理由.【變式6-3(2018秋？青島期末)【問題背景】(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明/A+/B=/C+/(二CDQ圖、“時(shí)圖1國上/EC郢D【簡單應(yīng)用】(2)如圖2,AP、CP分別平分/BAD、/BCD,若/ABC=20,ZADC使用問題(1)中的結(jié)論)【問題探究】(3)如圖3,直線AP平分/BAD的外角/FAD,CP平分/BCD的外角/=16,猜想/P的度數(shù)為D=26,求/P的度數(shù)（可直接BCE,若/ABC=36,/ADC【拓展延伸】(4)在圖4中，若設(shè)/C=x,/B=y,/CAP

13、=1/CAB,/CDP=1ZCDB,試問/P與/C、ZB之間33的數(shù)量關(guān)系為（用x、y表布/P）（5）在圖5中，AP平分/BAD,CP平分/BCD的外角/BCE,猜想/P與/B、ZD的關(guān)系，直接寫出結(jié)論.【模型7燕尾模型】【結(jié)論】/BPC=/A+/B+/C.【例7】（2019春?冠縣期末）（1）探究：如圖1,求證：/BOC=/A+/B+/C.(2)應(yīng)用：如圖2,/ABC=100,/DEF=130,求/A+/C+/D+/F的度數(shù).【變式7-1（2019秋?平度市期末）材料閱讀：如圖所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品-圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”.解決問題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究/B

14、DC與/A,/B,/C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問題:I.如圖，把一塊三角尺DEF放置在ABC上，使三角尺的兩條直角邊DE,DF恰好經(jīng)過點(diǎn)B,C,若ZA=40,則/ABD+/ACD=.n.如圖，BD平分/ABP,CD平分/ACP,若/A=40,/BPC=130,求/BDC的度數(shù).【變式7-2（2019秋?阜陽月考）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中整體思想與轉(zhuǎn)化思想是我們常用到的數(shù)學(xué)思想.如圖（1）中，求/A+/B+/C+/D+/E的度數(shù)等于多少時(shí)，我們可以連接CD,利用三角形的內(nèi)角和則有/B+/E=/ECD+/BDC,這樣/A、/B、/C、/D、/E的和就轉(zhuǎn)化到同一個(gè)AC

15、D中，即/A+/B+/C+/D+/E=180.圖（2）中/A+ZB+ZC+ZD+/E的度數(shù)等于.圖（3）中/A+ZB+/C+/D+/E的度數(shù)等于.圖（4）中/A+ZB+/C+/D+/E+/F的度數(shù)等于.【變式7-3（2019秋?襄城區(qū)期中）已知：點(diǎn)D是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、CD.（1）如圖1,若/A=28,/B=72,/C=11,求/ADC;（2）如圖2,若存在一點(diǎn)P,使得PB平分/ABC,同時(shí)PD平分/ADC,探究/A,/P,/C的關(guān)系并證明；（3）如圖3,在（2）的條件下，將點(diǎn)D移至/ABC的外部，其它條件不變，探究/A,/P,/C的關(guān)系并證明.圖1囤2郅【模型8箏型】【例8】(

16、2019春?邳州市校級(jí)月考)如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張ABC紙片，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，A與A重合.(1)若/A=75,則/1+/2=.(2)若/A=n,則/1+72=.(3)由(1)(2)探索/A與/1+/2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【變式8-1(2018春?遷安市期末)動(dòng)手操作：一個(gè)三角形的紙片ABC,沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A，處.觀察猜想(1)如圖1,若/A=40,則/1+/2=;若/A=55,則/1+/2=;若/A=n,則/1+/2=.探索證明：(2)利用圖1,探索/1、/2與/A有怎樣的關(guān)系？請說明理由.拓展應(yīng)用：(3)如圖2,把ABC折疊后，BA平分/A