1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2020年高考文科數(shù)學(xué)立體幾何題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一 立體幾何證明例1 如圖五面體中,四邊形是矩形,面,、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：面；（2）求證：面.【答案】 見(jiàn)解析【解析】（1）連結(jié).因?yàn)樗倪呅问蔷匦?且為的中點(diǎn),所以為的中點(diǎn). 又因?yàn)闉锳E的中點(diǎn),所以, 又因?yàn)槊?面,所以面. （2）取的中點(diǎn),連結(jié).因?yàn)?且, 所以四邊形為平行四邊形,所以,且. 在中,.所以,故. 由面,得, 因?yàn)?所以面. 【易錯(cuò)點(diǎn)】定理證明所用知識(shí)點(diǎn)不清楚【思維點(diǎn)撥】證明幾何體中的線面平行與垂直關(guān)系時(shí),要注意靈活利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,抓住其中的平行與垂直關(guān)系.如該題中的（1

2、）問(wèn)需要利用五面體中的面是矩形,根據(jù)對(duì)角線的性質(zhì)確定線段與的中點(diǎn).（2）問(wèn)中利用勾股定理驗(yàn)證線線垂直關(guān)系,這些都是證明空間平行與垂直關(guān)系的基礎(chǔ).例2 在平行六面體中，求證：(1)平面；(2)平面平面【答案】 見(jiàn)解析【解析】(1)在平行六面體中，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?2)在平行六面體中，四邊形為平行四邊形又因?yàn)?，所以四邊形為菱形，因此又因?yàn)?，所以又因?yàn)?，平面，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平面【易錯(cuò)點(diǎn)】定理證明所用知識(shí)點(diǎn)不清楚【思維點(diǎn)撥】證明幾何體中的線面平行與垂直關(guān)系時(shí),要注意靈活利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,抓住其中的平行與垂直關(guān)系.題型二 立體幾何體積求解例1 如圖所示，在三棱錐中，平

3、面平面，三角形為等邊三角形，且，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面.（2）求證：平面平面 .（3）求三棱錐的體積. 【答案】 見(jiàn)解析【解析】（1）依題意，分別為，的中點(diǎn)，則是的中位線，所以，平面，平面，故平面.（2）因?yàn)樵谥校覟榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面.（3）由（2）知，平面，所以【易錯(cuò)點(diǎn)】定理證明所用知識(shí)點(diǎn)不清楚【思維點(diǎn)撥】證明幾何體中的線面平行與垂直關(guān)系時(shí),要注意靈活利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,抓住其中的平行與垂直關(guān)系.例2 如圖所示，在三棱錐中，為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）當(dāng)平面時(shí)，求三棱錐的體積【答案】

4、 見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)椋?，所以平面.又因?yàn)槠矫妫?（2）因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，所以在等腰中，.又由（1）可知，所以平面.由為線段上一點(diǎn)，則平面，所以又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（3）當(dāng)平面時(shí)，平面,且平面平面,可得.由是邊的中點(diǎn)知，為邊的中點(diǎn).故而，因?yàn)槠矫妫云矫?由，為邊中點(diǎn)知，又，有，即因此，.【易錯(cuò)點(diǎn)】注意體積幾何證明題條件的嚴(yán)謹(jǐn)性【思維點(diǎn)撥】證明幾何體中的線面平行與垂直關(guān)系時(shí),要注意靈活利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,抓住其中的平行與垂直關(guān)系.掌握線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用及其體積的求解方法.題型三 幾何體的外接球問(wèn)題例1 （1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這

5、個(gè)球的表面積是（ ）A B C D（2）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是 .【答案】C； 【解析】（1），選C； （2），【易錯(cuò)點(diǎn)】 外接球球心位置不好找【思維點(diǎn)撥】 應(yīng)用補(bǔ)形法找外接球球心的位置題型四 立體幾何的計(jì)算例1 如圖,已知三棱錐的底面是直角三角形,直角邊邊長(zhǎng)分別為和,過(guò)直角頂點(diǎn)的側(cè)棱長(zhǎng)為,且垂直于底面,該三棱錐的主視圖是()【答案】 【解析】顯然由空間直角坐標(biāo)系可知,該幾何體在面內(nèi)的點(diǎn)保持不動(dòng),在軸上的點(diǎn)在面內(nèi)的射影為坐標(biāo)原點(diǎn),所以該幾何體的主視圖就是其在面面的表面圖形,即主視圖應(yīng)為高為,底面邊長(zhǎng)為的直角三角形故選.【易錯(cuò)點(diǎn)】 該題易出現(xiàn)的問(wèn)題是誤以為軸

6、上的點(diǎn)在面的射影落在軸的正半軸上而誤選,【思維點(diǎn)撥】判斷幾何體的三視圖應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：（1）明確幾何體的放置位置和角度,注意投影線和投影面；（2）準(zhǔn)確把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,特別是幾何體中的線面垂直關(guān)系等；（3）注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.【鞏固訓(xùn)練】題型一 立體幾何的證明1.如圖,在四棱錐中,底面為菱形, ,點(diǎn)在線段上,且,為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面,求三棱錐的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）為的中點(diǎn), 底面為菱形, ,平面.（2）, 平面平面,平面平面,平面, ,.平面,平面.,.2.如圖,在直三棱柱中,是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若,求證：.【答案】

7、見(jiàn)解析.【解析】證明：（1）如圖,連接,交于點(diǎn),連結(jié).據(jù)直三棱柱性質(zhì)知四邊形為平行四邊形,所以為的中點(diǎn).又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以. 又因?yàn)槠矫?平面,所以平面. （2）因?yàn)?為的中點(diǎn),所以. 據(jù)直三棱柱性質(zhì)知平面,又因?yàn)槠矫?所以.又因?yàn)?平面,所以平面, 又因?yàn)槠矫?所以,即. 題型二 立體幾何體積求解1. 如圖所示，四棱錐中，底面，為線段上一點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明平面；（2）求四面體的體積【答案】（1） （2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，且，又，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形.所以.又平面，平面，所以平面.(2)由(1) 平面.所以.所以.2.如圖所示，四棱錐中，側(cè)面為等

8、邊三角形且垂直于底面，.（1）證明：直線平面；（2）若面積為，求四棱錐的體積.【答案】（1） （2）【解析】（1）在平面內(nèi)，因?yàn)椋?又平面，平面，故平面.（2）取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，.由，及，得四邊形為正方形，則.因?yàn)閭?cè)面是等邊三角形且垂直于底面，平面平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫妫?設(shè)，則，.取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則，所以.因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得（舍去），于是，.所以四棱錐的體積.題型三 幾何體的外接球問(wèn)題1. 在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是 .【答案】【解析】正三棱錐的對(duì)棱互垂直。證明如下：如圖（3）-1，取的中點(diǎn)，連接，交于，連接，則是底面正

9、三角形的中心，平面，平面，同理：，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，本題圖如圖（3）-2， ，平面，平面，故三棱錐的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，即，正三棱錐外接球的表面積是2. 在四面體中，則該四面體的外接球的表面積為（ ） 【答案】D【解析】在中，的外接球直徑為，選D3.一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為，則這個(gè)球的體積為 .【答案】【解析】解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為，正六棱柱的高為，底面外接圓的關(guān)徑為，則，底面積為，球的體積為4. 如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線及粗虛線畫(huà)出的某多面體的三視圖,則該多面體外接球的表面積為（

10、 ）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)三視圖，還原原圖如圖所示，為棱中點(diǎn)，根據(jù)幾何體判斷解得該幾何體外接球的表面積為，故選D題型四 立體幾何的計(jì)算1.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（ ）A. B. C. D.【答案】【解析】由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為故選D.2.一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（ ）.A B C D【答案】【解析】由該幾何體的三視圖，在長(zhǎng)為2，寬為1，高為1的長(zhǎng)方體中還原其立體圖形，如圖所示.由圖及三視圖中所給的數(shù)據(jù)可知，與為等腰直角三角形，與為等邊三角形，所以四面體的表面積為.故選C.3.一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）.A. B.