1、第二章開放式光腔與高斯光束1,證明如圖2.1所示傍軸光線進(jìn)入平面介質(zhì)界面的光線變換矩陣為,根據(jù)幾何關(guān)系可知證明：設(shè)入射光線坐標(biāo)參數(shù)為r1,出射光線坐標(biāo)參數(shù)為r2,Jsin耳="2sin包傍軸光線sin日B日則打反=久也,寫成矩陣形式02 .證明光線通過圖2.2所示厚度為d的平行平面介質(zhì)的光線變換矩陣為1證明：設(shè)入射光線坐標(biāo)參數(shù)為r1,出射光線坐標(biāo)參數(shù)為r2,e2,入射光線首先經(jīng)界面1折射，然后在介質(zhì)2中自由傳播橫向距離d,最后經(jīng)界面2折射后出射。根據(jù)1題的結(jié)論和自由傳播的光線變換矩陣可得一1JL00-01d1r1得證。3 .試?yán)猛稻仃囎C明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其中可以往

2、返無限多次，而且兩次往返即自行閉合。證：設(shè)光線在球面鏡腔內(nèi)的往返情況如下圖所示:其往返矩陣為:10LTl由于是共焦腔，則有1.021R2L1R1=R2一0將上式代入計(jì)算得往返矩陣n10(1)1/01_-1n10|I一01可以看出，光線在腔內(nèi)往返兩次的變換矩陣為單位陣，所以光線兩次往返即自行閉合。是光線在腔內(nèi)往返任意多次均不會(huì)溢出腔外，所以共焦腔為穩(wěn)定腔O4.試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡腔的穩(wěn)定性條件。解：共軸球面腔穩(wěn)定性條件0<g1g2<1其中g(shù)1=1-1,g2RL=1R2對(duì)平凹共軸球面鏡腔有R1=叱r2A0。則g1=1,g2=1-L,再根據(jù)穩(wěn)定性條件R20cgM<1可得0

3、<1-上<1=R2AL。R2對(duì)雙凹共軸球面腔有，R1A0,R2A0則g1=1-R1L,g2上,根據(jù)穩(wěn)定性條件R20:二9必:1可得0:二L1-.R2；0:二R1：二L«0<R2cL。R1R2L對(duì)凹凸共軸球面鏡腔有,R1>0,R2<0則g1L=1一，g?R1,A0,根據(jù)穩(wěn)定性條件R20:二g1g2：二1可得0:二R1LR1八R2RR2:L5.激光器的諧振腔由一面曲率半徑為1m的凸面鏡和曲率半徑為2m的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長(zhǎng)0.5m,其折射率為1.52,求腔長(zhǎng)L在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。解：設(shè)兩腔鏡M1和M2的曲率半徑分別為R1和R2,R1=-1m,R2=2m工

4、作物質(zhì)長(zhǎng)1=0.5m,折射率n=1.52當(dāng)腔內(nèi)放入工作物質(zhì)時(shí)，穩(wěn)定性條件中的腔長(zhǎng)應(yīng)做等效，設(shè)工作物質(zhì)長(zhǎng)為1,工作物質(zhì)左右兩邊剩余的腔長(zhǎng)分別為11和,則11+1+12=L。設(shè)此時(shí)的等效腔長(zhǎng)為L(zhǎng)',則光在腔先經(jīng)歷自由傳播橫向距離11,然后在工作物質(zhì)左側(cè)面折射，接著在工作物質(zhì)中自由傳播橫向距離1,再在工作物質(zhì)右側(cè)面折射，最后再自由傳播橫向距離12,則1O-1O-1-1O-1IM1所以等效腔長(zhǎng)等于L=12-11=(L-l)-nn再利用穩(wěn)定性條件LL0'：,11-1'=：:1(1).2.1由(1)解出2m>Lr>1m貝"L=L0.5(1-)=L0.171.5

5、2所以得到：1.17m<L:二2.17m6 .圖2.3所示三鏡環(huán)形腔，已知1,試畫出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑R在什么范圍內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形腔為非共軸球面鏡腔。在這種情況下，對(duì)于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€，式(2.2.7)中的F=(Rcos6)/2,對(duì)于在與此垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€，F(xiàn)=R/(2cos日)，日為光軸與球面鏡法線的夾角。解:AB1cD-穩(wěn)定條件-11231FF1左邊有21_F2131-20F-2F對(duì)子午線:2.11門012241411十F221F2一211-F31AD：=1F所以有一2F_RF子午=cos9對(duì)弧矢線：卜弧矢2子午光線4=1；：,

6、R3,32._<1或R4.31弧矢光線1_:二R:二31或R-2、.31對(duì)子午線和弧矢光線分別代入上述不等式得任意光線需同時(shí)滿足子午線與弧矢線的條件得21F21或一：:1F2cos二0114、.3,34,31<R<1R>19237 .有一方形孔徑的共焦腔氨窗激光器，L=30cm,方形孔邊長(zhǎng)d=2a=0.12cm,人=632.8nm,鏡的反射率為r1=1,r2=0.96,其他的損耗以每程0.003估計(jì)。此激光器能否作單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來選擇TEM00模，小孔的邊長(zhǎng)應(yīng)為多大？試根據(jù)圖2.5.5作一個(gè)大略的估計(jì)。氨就增益由公式°eg

7、9;=1310Jd估算（l為放電管長(zhǎng)度，假設(shè)l*L）解：TEM01模為第一高階橫模，并且假定TEM00和TEM01模的小信號(hào)增益系數(shù)相同，用g0表示。要實(shí)現(xiàn)單模運(yùn)轉(zhuǎn)，必須同時(shí)滿足下面兩個(gè)關(guān)系式0eg1m（1I.。0.003）1Ieg01、初1-、01-0.003）：1II根據(jù)已知條件求出腔的菲涅耳數(shù)2=1.90.0630632.810由圖2.5.5可查得TEM00和TEM01模的單程衍射損耗為_8.37510、。110氮就增益由公式eg0|=1310d0計(jì)算。代入已知條件有egl=1.0750。將eg'、600、601、r1和r2的值代入I、II式，兩式的左端均近似等于1.05,由此可

8、見式II的條件不能滿足，因此該激光器不能作單模運(yùn)轉(zhuǎn)。為了獲得基模振蕩，在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來增加衍射損耗。若滿足II式的條件，則要求二01-0.047根據(jù)圖2.5.5可以查出對(duì)應(yīng)于601的腔菲涅耳數(shù)N1<0.90由菲涅耳數(shù)的定義可以算出相應(yīng)的小孔闌的邊長(zhǎng)2a；LN'=2.300632.81060.9=0.83mm同理利滿足I式的條件可得2a>0.7mm因此，只要選擇小孔闌的邊長(zhǎng)滿足0.7mm<2a<0.83mm即可實(shí)現(xiàn)tEMOo模單模振蕩。8.試求出方形鏡共焦腔面上TEM30模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎?解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的TE

9、M30模的場(chǎng)分布可以寫成v30（x,y）C30H3x2：；y2e73）令X=j2n/(L,lx,則I式可以寫成V30（x,y）=C30H3Xe（L”二）式中H3(X)為厄米多項(xiàng)式，其值為3H3X=8X-12X由于厄米多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是場(chǎng)的節(jié)點(diǎn)位置，于是令H3(X)=0,得X1=0;x2=,372;x3=-,372考慮到60s=Jl",于是可以得到鏡面上的節(jié)點(diǎn)位置33x1=0;X2=0s;X3=一0s22所以，TEM30模在腔面上有三條節(jié)線，其X坐標(biāo)位置分別在0和士心10s/2處，節(jié)線之間位置是等間距分布的，其間距為石80s/2；而沿y方向沒有節(jié)線分布。9.求圓形鏡共焦腔TEM20和TE

10、M。2模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。解：在拉蓋爾一高斯近似下，可以寫成如下的形式mnr,=Cmn2'cosm中e、sinm中對(duì)于TEMmn,兩個(gè)三角函數(shù)因子可以任意選擇，但是當(dāng)m為零時(shí)，只能選余弦，否則無意義_22對(duì)于TEM20：U，rW)=C1紅)L0I。e喙嚴(yán),I160sV00s9訪2cp22r21一.并且l22=1，代入上式，得到80s)20r,=C202三e-'0s2r行1cos2中取余弦項(xiàng)，根據(jù)題中所要求的結(jié)果，我們?nèi)∏蟪鲧R面上節(jié)線的位置。即：，20r,=C2022左e右.,0s=0，就能cos2：9=0=.=二，:上44同理，對(duì)于TEM02,-02r，-C020L02-

11、2e0s=C2r-2仁0s0L24r2=1二,'0s42r+40s，代入上式并使光波場(chǎng)為零，得到：02，-C0224r2r4、+&0sJ顯然，只要l；4r2二1一-T.0s2r4升+=0即滿足上式4.，0ssin2中鏡面上節(jié)線圓的半徑分別為:1-；.0s10.今有一球面腔，R1=1.5m,R2=-1m,L=80cm。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)；在圖上畫出等價(jià)共焦腔的具體位置。解：該球面腔的g參數(shù)為L(zhǎng)7Lg=1一=-g；=1一=1.8R115R2由此，gK2=0.85,滿足諧振腔的穩(wěn)定性條件0<g1g；<1,因此，該腔為穩(wěn)定腔。由穩(wěn)定腔與共焦腔等價(jià)條

12、件<2fRi=(zi+)Zlif2壬口LYL)R2=+(Z2+)和0<11-<1Z2<R人R2jL=z2-Z1可得兩反射鏡距離等效共焦腔中心O點(diǎn)的距離和等價(jià)共焦腔的焦距分別為z1-1.31mz2-0.51mf=0.50m根據(jù)計(jì)算得到的數(shù)據(jù)，在下圖中畫出了等價(jià)共焦腔的具體位置。16 .某高斯光束腰斑大小為切0=1.14mm,K=10.6am。求與束腰相距30cn10nl1000m遠(yuǎn)處的解：入射高斯光束的共焦參數(shù)光斑半徑8及波前曲率半徑R2二，0-=0.385m''(Z)=-0,1-根據(jù)V<f)2R(z)二z,z求得:z30cm10m1000m切億）1

13、.45mm2.97cm2.96mR(z)0.79m10.0m1000m17 .若已知某高斯光束之80=0.3mm£=632.8nm。求束腰處的q參數(shù)值，與束腰相距30cm處的q參數(shù)值，以及在與束腰相距無限遠(yuǎn)處的q值。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)20f=44.7cm九根據(jù)q(z)=z+q0=z+if,可得束腰處的q參數(shù)為：q(0)=44.7icm與束腰相距30cm處的q參數(shù)為：q(30)=(30+44.7i)cm與束腰相距無窮遠(yuǎn)處的q參數(shù)為：Re(q)T的，1m(q)=44.7cm21.某高斯光束co0=1.2mm,入=10.6。今用F=2cm的錯(cuò)透鏡來聚焦，當(dāng)束腰與透鏡的距離為10n1

14、m10cn0時(shí)，求焦斑的大小和位置，并分析所得的結(jié)果。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)2f=-=0.427m九設(shè)入射高斯光束的q參數(shù)為q1,像高斯光束的q參數(shù)為q2,根據(jù)ABCD&則可知11_1_q1q2f其中q1=l+ifl和f分別為入射高斯光束的焦斑位置和共焦參數(shù)；q2=-l'+if'2-2-一,、，一二,0，二一0l和f分別為像高斯光束的焦斑位置和共焦參數(shù)。f=-2f=一q2=-利用以上關(guān)系可得F-'q1l10m1m10cm0l'2.00cm2.08cm2.01cm2.00cm“,2.40am22.5iim55.3am56.2am從上面的結(jié)果可以看出，由

15、于f遠(yuǎn)大于F,所以此時(shí)透鏡一定具有一定的聚焦作用，并且不論入射光束的束腰在何處，出射光束的束腰都在透鏡的焦平面上。22.CO2激光器輸出光K=10.6am,60=3mm用一F=2cm的凸透鏡距角，求欲得到o0=20及2.5am時(shí)透鏡應(yīng)放在什么位置。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)2f二二2.67m設(shè)入射高斯光束的q參數(shù)為q1,像高斯光束的q參數(shù)為q2,根據(jù)ABCD&則可知qiq2其中qi=l+if1和f分別為入射高斯光束的焦斑位置和共焦參數(shù)；q2=if2.2A.,一一，一一，、，一，二.,0.：-01和f分別為像身斯光束的焦斑位置和共焦參數(shù)。f=f=q2=-FqL利用以上關(guān)系可得F-qi%&

16、#39;=20am時(shí)，1=1.39m,即將透鏡放在距束腰1.39m處；a/=2.5am時(shí)，1=23.87m,即將透鏡放在距束腰23.87m處。23.如圖2.6光學(xué)系統(tǒng)，如射光兒=10.6am,求初及I3。圖2.2解：先求經(jīng)過一個(gè)透鏡的作用之后的束腰半徑及位置由于11=F1,所以11=F1=2cm,九«0=F=22.49am-0所以對(duì)第二個(gè)透鏡，有已知F2=0.05m,根據(jù)l=12fl=13cm-2f=-=1.49910-m九111qiq2f其中q1=1+if1和f分別為入射高斯光束的焦斑位置和共焦參數(shù)；q2=-1'+if'22一.二，0.二.，01和f分別為像高斯光束

17、的焦斑位置和共焦參數(shù)。f=-f'=-九九得0；=14.06am,13=8.12cm24.某高斯光束co0=1.2mm>,=10.6am。今用一望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直。主鏡用鍍金反射鏡R=1m口徑為20cm；副鏡為一錯(cuò)透鏡，F(xiàn)1=2.5cm,口徑為1.5cm；高斯束腰與透鏡相距1=1m,如圖2.7所示。求該望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)為2.二,0f=0.427m由于F1遠(yuǎn)遠(yuǎn)的小于1,所以高斯光束經(jīng)過錯(cuò)透鏡后將聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半徑F10=0=0.028mm(1-F1)2f2這樣可以得到在主鏡上面的光斑半徑為R,.(R)=6cm：10cm二.。即光斑尺

18、寸并沒有超過主鏡的尺寸，不需要考慮主鏡孔徑的衍射效應(yīng)。這個(gè)時(shí)候該望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率為Y、1川21點(diǎn)0=50.925.激光器的諧振腔有兩個(gè)相同的凹面鏡組成，它出射波長(zhǎng)為九的基模高斯光束，今給定功率計(jì)，卷尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測(cè)量該高斯光束公焦參數(shù)f的實(shí)驗(yàn)原理及步驟。解：一、實(shí)驗(yàn)原理通過放在離光腰的距離為z的小孔(半徑為a)的基模光功率為22aP(z)=P°(1-e()(I)式中，Po為總的光功率,P(z)為通過小孔的光功率。記Pi=P(z),則有2(z)22a(II)注意到對(duì)基模高斯光束有2，、3白(z)在(II)式的兩端同時(shí)乘以n/九，則有l(wèi)n(Po-Pi2zf-

19、二f-P。、(III)ln()P0-Pi解此關(guān)于f的二次方程，得AA22f()-z(IV)2.2因?yàn)閍、P0、P1、z都可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦參數(shù)fo二、實(shí)驗(yàn)步驟1 .如上圖所示，在高斯光束的軸線上某一點(diǎn)B處放入于光軸垂直的光闌(其孔半徑為a),用卷尺測(cè)量出B到光腰0(此題中即為諧振腔的中心)的距離z；2 .用激光功率計(jì)測(cè)出通過小孔光闌的光功率P1；3 .移走光闌，量出高斯光束的總功率p0；4 .將所得到的數(shù)據(jù)代入(III)及(IV)式即可求出f(根據(jù)實(shí)際情況決定(IV)式根號(hào)前正負(fù)號(hào)的取舍)。28 .試用自變換公式的定義式qc(lc=l)=q0(2.12.2),利用q參