1、分式的意義和性質(zhì)、分式的概念41、用A、B表示兩個(gè)整式，A-B可以表示成-的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做A分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。這就是分式的概念。研究分式就從這里展開。2、既然除式里含有字母的有理代數(shù)式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不意義。一般地說，在一個(gè)分式里，分子中的字母可取任意數(shù)值，但分母中的字母，只能取不使分一定可以取任意值。分式-的分子A可取任意數(shù)值，但分母B不能為零，因?yàn)橛昧阕龀龜?shù)沒有母等于零的值A(chǔ)3. (1)分式：二，當(dāng)B=0時(shí)，分式無意義(2)分式:(2)分式:A二，當(dāng)BO時(shí)，分式有意義。(3)分式:時(shí),分式的值為零。A(4)分式

2、：二，當(dāng)1/7時(shí),分式的值為1(5)分式:(5)分式:皿同號(hào)時(shí)，即"或B<0-4<0時(shí),A匸為正數(shù)。(6)分式:(7)分式:4宮。U>0U<0A左，當(dāng)(円B異號(hào)時(shí)，即5或、U時(shí)，貳為負(fù)數(shù)AMioU<0A，當(dāng)'時(shí)或'時(shí)，J為非負(fù)數(shù)三、分式的基本性質(zhì):1、學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)應(yīng)該與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比。不同點(diǎn)在于同乘以或同除以同一個(gè)不等于零的整式，這個(gè)整式可以是數(shù)也可以是字母，只要是不為零的整式。A=AM=AA_2、這個(gè)性質(zhì)可用式子表示為:-二匚丄I：（M為不等于零的整式）3、學(xué)習(xí)基本性質(zhì)應(yīng)注意幾點(diǎn):（1）分子與分母同乘或同除的整式的值不能為零；

3、（2）易犯錯(cuò)誤是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子;（3）如果分子或分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)。4、分式變號(hào)法則的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)。5、分式的分子，分母和分式的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變，如下列式子:AA-A-AA-A-AA=3一成雖一占BBB-B。四、約分：1、約分是約去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母,使分式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式，最簡(jiǎn)分式又叫既約分式。2、約分的理論依據(jù)是分式的基本性質(zhì)3、約分的方法:90S圧-X1)1(2)1(3)-（1）如果分式的分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，就約去分子和分母中相同因式的最低次幕，當(dāng)分子和分母

4、的系數(shù)是整數(shù)時(shí)，還要約去它們的最大公約數(shù)。例1,請(qǐng)說岀下列各式中哪些是整式，那些是分式？（+y(4)(5)_；a2-二a(6)O解：根據(jù)分式定義知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。說明：判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式要緊緊抓住除式中含不含字母。這里-是分式，不a2-b2（ab）（a-）a2-a2-b2能因?yàn)長(zhǎng)=:一-=a+b，而認(rèn)為八門是整式，a+b是分式-的值。要區(qū)分分式的值和分式這兩個(gè)不同的概念。另外護(hù)是整式而不是分式。雖然分母中有n但n不是4-占字母而是無理數(shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的除式中不含字母。例2,在分式（1）一亠（3）一中，字母x的值有什么限制?解：（1）在

5、h-中，當(dāng)x=2時(shí)，使得分母x-2=0,.xk2,-2（2）在-中，當(dāng)x=-2時(shí)，使得分母x+2=0,xK-2,（3）在“中，當(dāng)x=-2或x=3時(shí)，使得分母（x+2）（x-3）=0，xK-2且x3o齊-1例3,x為何值時(shí)，分式；，（1）無意義；（2）值為零；（3）值為1;（4）值為非負(fù)數(shù)。3解：（1）V當(dāng)分母2x+3=0時(shí)分式無意義，x=-i時(shí)，分式無意義。/2（2）v當(dāng)lr_1=°時(shí)，分式值為零。二A"，x=1時(shí)分式值為零。力T*Q(3) .當(dāng)打U7時(shí)，分式值為1x=-4時(shí)分式值為17-1>0(4).當(dāng)?+3>0或7-1>0(4).當(dāng)?+3>0或,

6、1<0牛CD時(shí)，分式值為非負(fù)數(shù)x>1或XV-二時(shí)分式值為非負(fù)數(shù)6-2|勒例4,當(dāng)x取何值時(shí)，分式(1)值為零；(2)無意義；(3)有意義。解：(1).當(dāng)(x+3)(x-1)工0時(shí)，分式有意義，當(dāng)x=3且xl時(shí)分式有意義。又.6-2|x|=0時(shí)分式值為零，則3-|x|=0,|x|=3,x=±3。#-3fijXIx=3時(shí)分式值為零。(2).(x+3)(x-1)=0分式無意義，即x+3=0或x-1=0，x=-3或x=1時(shí)分式無意義。說明：對(duì)于(1)也可先令分子為零，求岀字母的所有可能值為x=±3后，再逐一代入分母驗(yàn)證是否為零，不為零者即為所求。對(duì)于(2)當(dāng)x+3=0或

7、x-1=0時(shí)，都會(huì)使分式的分母等于零，所以要注意或”字的使用。解：(3).(x+3)(x-1)工00寸分式有意義。即x+3工0且x-1工0時(shí)，x-3且xl時(shí)分式有意義，說明：對(duì)于(3)分母(x+3)(x-1)只有不為零時(shí)，分式有意義，而(x+3)(x-1)工0當(dāng)x+3=0或x-1=0都會(huì)使(x+3)(x-1)=0，所以應(yīng)將x=-3和x=1都同時(shí)排除掉，寫成x工3且x工1,用且"字，而不用或”字。意義為x不能為-3而且還不能為1,即-3和1都不能取。因?yàn)槿∪魏纹渲幸粋€(gè)值，分母(x+3)(x-1)都會(huì)為0,而使分式都會(huì)無意義。例5,寫岀等式中未知的分子或分母：x-y_()一必區(qū)_ba十(

8、1) 一：(；(3;(1)分析：這類問題要從已知條件入手，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分析變化的過程，如(1)右邊分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左邊分母為x+y，所以需將左式的分子和分母同乘以(x-y)。解:未知的分子是(x-y)2,(2)(2)分析：左邊分子a2-ab=a(a-b),而右邊分子是a-b,所以需將左式的分子和分母同除以解:-ah-占)_b=L<L一：，未知的分母是bo(3)ta2+ab=a(a+b)(將分子因式分解)(3)ta2+ab=a(a+b)(將分子因式分解)二-(比較分子，發(fā)現(xiàn)分子、分母同乘以二-(比較分子，發(fā)現(xiàn)分子、分母同乘以a)a(a+A)丄，2ab即為所求

9、的分母。a(a+A)丄，2ab即為所求的分母。例6,把下列分式的分子和分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù)。11X+V31x-y(1)：；(2)0.4*2-0.7(1)分析:子和分母同乘以(1)分析:子和分母同乘以先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍數(shù)為15,再據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，分15。1_一天+-y351rx-y解:-；04fl-0.7Z?®如4a-lh(2) 解：:=：二匚.注：必須乘以分子和分母的每一項(xiàng)，避免發(fā)生(0.2a+3b)>10=2a+3b這樣的錯(cuò)誤。一5ac例7,不改變分式的值，使下列分式中分子與分母不含號(hào)，(1)-T2處護(hù)；(2)-解：根據(jù)分式的符號(hào)法則得：7x/7x

10、y2-5ac2Sac2（1）-一；（2）-二-二。注意：分式、分子和分母的符號(hào)中，任意改變其中兩個(gè)，分式的值不變。（1）中改變分式本身和分母兩個(gè)負(fù)號(hào)，（2）中改變分子和分母兩個(gè)負(fù)號(hào)。例8,不改變分式的值，依照x的降幕排列，使分子和分母中x的最高項(xiàng)的系數(shù)都為正數(shù)。5-X-X-7T（1），；（2）。5-x-+5-Ra-5解：（1）.1=.*=人-_=.!Z；十無十說明：解題可分為三步：（1）先將分式的分子和分母都按x的降幕排列，這步只是運(yùn)用加法交換律，不改變符號(hào)。（2）將分子和分母的最高項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，只要提取公因式-1即可，提取時(shí)注意每項(xiàng)都要變號(hào)。（3）運(yùn)用符號(hào)法則進(jìn)行變號(hào)。注意：如果分子或分母

11、的首項(xiàng)為負(fù)，則必須先將負(fù)號(hào)提到括號(hào)外面，再使用符號(hào)法則，要注意避免下列的錯(cuò)誤：-x+5x仍.；二一止O-1弘畀020臚臚丁加例9,約分：（1）（2）if，。-1為05屛（-3沙訃4解：（1）Lb一F、一1=-3yz10。注意：分母的因式約去后得1,分式變?yōu)檎?。若化?jiǎn)分式錯(cuò)誤：5工才01了心九吒砂"£嚴(yán)片-非=o。苜即二時(shí)千萬不要犯下列（2）if，=t=_=u注意：分母的負(fù)號(hào)一般要移去。（2）如果分式的分子或分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先分解因式，然后再約分。ab+j-1（兀2_x_2）卻例10、約分：（1），一滬；（2）口2-4+3；（3）工-1；（4）兀一1）（2一??；解：（）“!

12、='，.廠1。（5）._.一。a-ba-b1I注意：不要把-'：約成心一=“，也不要將最后結(jié)果寫成:，因?yàn)榉质降臋M線表示括號(hào)，再寫括號(hào)就多余了。/+%-7Qx+恥一1）_厘+7（2）r_=；二L；'I。a+6（-76lz_7注：不要將-約做一-1，因?yàn)檫@樣是分子分母都減a，不是同除以相同的整式。+*十工_1弘十（兀J仗_加十$（3）上-=.1=.1一=x2+i。x3-J：2+X1注：不要犯下面的錯(cuò)誤：.；一=x3-x2。（X_斗_2尸（工-2）0十1）F（“2）3（"1尸（4）L=-J1。注意：這里應(yīng)用到了（2-x）3=-（x-2）3的變形。17-F+1（5）

13、二1=.1（分子按x的降幕排列）-曲-1）=二，1（分子提取公因式-1）=一"（分子、分母都分解因式）7+1）=-（約去公因式：x-1）點(diǎn)+1=-（應(yīng)用分式的符號(hào)法則）說明：此題的解法，一方面顯示岀分式約分的一般步驟，另一方面在解題的右側(cè)的括號(hào)內(nèi)寫岀運(yùn)算的算理，平日的化簡(jiǎn)是不寫這些的，但不是它不存在，在思維上它是不可缺少的。分?jǐn)?shù)的乘除法的關(guān)鍵是約分，而分式乘除法的關(guān)鍵也是約分，就是說，分式乘除法運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是約分，它能使運(yùn)算的結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式。同分?jǐn)?shù)的約分一樣，分式的約分是應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，把分式的分子、分母同除以它們的公因式，把分式化簡(jiǎn)，因此約分的關(guān)鍵在于正確尋找到分式分子、分母中的公因式。附錄：一、本講教學(xué)內(nèi)容及要求單元節(jié)次知識(shí)要點(diǎn)教學(xué)要求分式分式（1）分式概念（2）有理式概念A(yù)（了解）A分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)（2）分