1、會計學1材料力學材料力學(ci lio l xu)梁的撓梁的撓第一頁，共36頁。第1頁/共36頁第二頁，共36頁。71 概述概述(i sh)72 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程73 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移74 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移75 梁的剛度校核梁的剛度校核目目 錄錄第2頁/共36頁第三頁，共36頁。7 7 概概 述述研究范圍：等直梁在對稱彎曲時位移的計算。研究范圍：等直梁在對稱彎曲時位移的計算。研究目的：對梁作剛度校核研究目的：對梁作剛度校核(xio h)； 解超靜定梁（為變形幾何條件提供補充方程）。解超靜定梁（為變形幾何條件提供補充方程）。第3

2、頁/共36頁第四頁，共36頁。第4頁/共36頁第五頁，共36頁。1.1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移(wiy)(wiy)。用。用v v表示。表示。 與與 f f 同向為正，反之為負。同向為正，反之為負。2.2.轉角轉角(zhunjio)(zhunjio)：橫截面繞其中性軸轉動的角度。用：橫截面繞其中性軸轉動的角度。用 表示，順時針轉動為正，反之為負。表示，順時針轉動為正，反之為負。二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣锨€：變形后，軸線變?yōu)楣饣?gung hu)(gung hu)曲線，該曲線稱為撓曲線。曲線，該曲線稱為撓曲線。 其方程為：其方

3、程為：v =f (x)v =f (x)三、轉角與撓曲線的關系：三、轉角與撓曲線的關系：一、度量梁變形的兩個基本位移量一、度量梁變形的兩個基本位移量 (1) ddtgfxf小變形小變形PxvC C1f第5頁/共36頁第六頁，共36頁。 7-2 7-2 梁的撓曲線梁的撓曲線(qxin)(qxin)近似微分方程近似微分方程zzEIxM)(1一、撓曲線一、撓曲線(qxin)近似微分方程近似微分方程zzEIxMxf)()( 式（2）就是撓曲線近似(jn s)微分方程。)( )1 ()(1232xffxf 小變形小變形fxM00)( xffxM00)( xf(1)第6頁/共36頁第七頁，共36頁。)()(

4、xMxfEI 對于等截面(jimin)直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：)()(xMxfEI 1d)()(CxxMxfEI21d)d)()(CxCxxxMxEIf 1.1.微分方程微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的積分的積分2.2.位移位移(wiy)(wiy)邊界條件邊界條件PABCPD 7-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移第7頁/共36頁第八頁，共36頁。討論： 適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構件的平面(pngmin)彎曲。 可應用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條 件）確定。

5、 優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點：計算較繁。 支點位移(wiy)條件： 連續(xù)(linx)條件： 光滑條件：光滑條件：0Af0Bf0Df0DCCffCC右左或寫成CC右左或寫成CCff第8頁/共36頁第九頁，共36頁。 例例1 1 求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度(nod)(nod)及最大轉角。及最大轉角。建立(jinl)坐標系并寫出彎矩方程)()(LxPxM寫出微分方程(wi fn fn chn)并積分應用位移邊界條件求積分常數(shù))()(xLPxMfEI 12)(21CxLPfEI213)(61CxCxLPEIf061)0(23CPLEIf02

6、1)0()0(12CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLC解：解：PLxfx第9頁/共36頁第十頁，共36頁。寫出彈性(tnxng)曲線方程并畫出曲線3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max最大撓度(nod)及最大轉角xfPL第10頁/共36頁第十一頁，共36頁。解：解：建立建立(jinl)(jinl)坐標系并寫出彎矩方程坐標系并寫出彎矩方程)( 0)0( )()(LxaaxaxPxM寫出微分方程(wi fn fn chn)并積分112)(21DCxaPfEI21213)(61DxDCxCxaPEIf )( 0)0( )(Lxaaxx

7、aPfEIxfPLa 例例2 2 求下列各等截面直梁的彈性曲線求下列各等截面直梁的彈性曲線(qxin)(qxin)、最大撓度及最大轉角。、最大撓度及最大轉角。第11頁/共36頁第十二頁，共36頁。應用位移(wiy)邊界條件求積分常數(shù)061)0(23CPaEIf021)0(12CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC)()(afaf)()(aa11DC 2121DaDCaCPLaxf第12頁/共36頁第十三頁，共36頁。寫出彈性(tnxng)曲線方程并畫出曲線)(a 36)0( 3)(6)(32323Lx axaEIPax axaxaEIPxfaLEIPaLff36)(2maxEIP

8、aa2)(2max最大撓度(nod)及最大轉角PLaxf第13頁/共36頁第十四頁，共36頁。 例例3 3 試用積分法求圖示梁的撓曲線方程和轉角方程，并求試用積分法求圖示梁的撓曲線方程和轉角方程，并求C C截面撓度和截面撓度和A A截面轉角。設梁的抗彎剛度截面轉角。設梁的抗彎剛度(n d)EI(n d)EI為常數(shù)。為常數(shù)。 解：解：1 1外力分析：求支座約束反力。外力分析：求支座約束反力。研究梁研究梁ABCABC，受力分析如圖，列平衡方程：，受力分析如圖，列平衡方程：FRFRlFlRmFRRFBABABAy5 . 15 . 005 . 10第14頁/共36頁第十五頁，共36頁。 2內(nèi)力分析：分

9、區(qū)(fn q)段列出梁的彎矩方程：)23(212211xlFMFxM)23()0(21llxlx，3變形變形(bin xng)分析：分析：AB段：段：由于由于 積分后得：積分后得：EIFxEIxMy2)(1111 111311111211112111111124)(42)(DxCxEIFDxCdxxEIFxyCxEIFCdxxEIFyx第15頁/共36頁第十六頁，共36頁。BC段：由于(yuy) ，積分后得：)23()(2222xlEIFEIxMy 2223222222222222222222222)6143()2123()()223()23()(DxCxlxEIFDxCdxxlxEIFxyC

10、xlxEIFCdxxlEIFyx邊界條件：邊界條件：當當連續(xù)光滑連續(xù)光滑(gung hu)條件：條件：代入以上積分公式中，解得：代入以上積分公式中，解得： 0002211ylxyx時，；時，212121，時，當yylxxEIFlDDEIFlCEIFlC4065123212221，第16頁/共36頁第十七頁，共36頁。故撓曲線方程和轉角(zhunjio)方程分別為： 由此可知： EIFlxlxEIFxEIFlxEIFx3)2123()(124)(22222222111EIFlxEIFlxlxEIFxEIFlxEIFy465)6143(121232232221231)(8)23()(12)0(32

11、2211向下；逆時針方向EIFllxyyEIFlxCA第17頁/共36頁第十八頁，共36頁。7-4 7-4 疊加法計算疊加法計算(j sun)(j sun)梁梁的位移的位移一、載荷疊加一、載荷疊加 多個載荷同時作用于結構多個載荷同時作用于結構(jigu)(jigu)而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構(jigu)(jigu)而引起的變形的代數(shù)和。而引起的變形的代數(shù)和。121122()( )()()nnnPPPPPP、 、121122()()()()nnnf PPPf PfPfP、 、二、結構二、結構(jigu)(jigu)形式疊加（逐段剛化法）形式疊加（

12、逐段剛化法）第18頁/共36頁第十九頁，共36頁。 例例4 4 按疊加原理求按疊加原理求A A點轉角點轉角(zhunjio)(zhunjio)和和C C點撓度。點撓度。解、 載荷(zi h)分解如圖 由梁的簡單載荷(zi h)變形表， 查簡單載荷(zi h)引起的變形。EIPafPC63EIPaPA424524qCqafE IEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa第19頁/共36頁第二十頁，共36頁。EIPafPC63EIPaPA424524qCqafE IEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa 疊加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534第20

13、頁/共36頁第二十一頁，共36頁。 例例5 5 試用疊加法求圖示梁試用疊加法求圖示梁C C截面撓度截面撓度(nod)(nod)和轉角。設梁的抗彎剛度和轉角。設梁的抗彎剛度EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。 （已知（已知AB=BC=l/2AB=BC=l/2） ( a)( b) + 解：將原圖解：將原圖(yun t)(yun t)分解成圖分解成圖(a)(a)和圖和圖(b)(b)所示情況。所示情況。 查表，對于(duy)圖(a)有：)(82)2()(243)2(221331順時針，向下EIlFEIlFEIlFEIlFyBB第21頁/共36頁第二十二頁，共36頁。于是有：對于圖(b)有：故梁C截面撓度為：轉角為

14、： (順時針) 說明：對于圖(a)：BC段無內(nèi)力，因而BC段不變形(bin xng)，BC段為直線 。EIFlEIFllEIlFEIlFlyyBCBBC8,485)2(824)2(211323111)()(222023202順時針，向下EIlFEIlMEIlFEIlMyCC)(4829248533321向下EIFlEIFlEIFlyyyCCCEIFlEIFlEIFlCCC89822221第22頁/共36頁第二十三頁，共36頁。 例例6 6 按疊加原理按疊加原理(yunl)(yunl)求求C C點撓度。點撓度。解：解：載荷載荷(zi h)(zi h)無限分解如圖無限分解如圖由梁的簡單(jindn

15、)載荷變形表， 查簡單(jindn)載荷引起的變形。疊加22(d)(34)48dP CP bLbfE IbLbqxxqPd2d)(d02220(34)d24q bLbbE ILdPCqCff22240.5000(34)d24240Lq bLbq LbE ILE Iq00.5L0.5LxdxbxfC第23頁/共36頁第二十四頁，共36頁。 例例7 7 結構形式疊加（逐段剛化法結構形式疊加（逐段剛化法) ) 原理原理(yunl)(yunl)說明。說明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxf21ffffPL1L2ABC剛化剛化AC段段PL1L2ABC剛化剛化BC段段PL1L2ABCM

16、xf第24頁/共36頁第二十五頁，共36頁。7-5 7-5 梁的剛度梁的剛度(n d)(n d)校校核核)100012501( :對土建工程( maxLfLfLf一、梁的剛度一、梁的剛度(n d)(n d)條件條件 其中(qzhng)稱為許用轉角；f/L稱為許用撓跨比。通常依此條件進行如下三種剛度計算：、校核剛度：校核剛度：、設計截面尺寸設計截面尺寸：、設計載荷：設計載荷：(對于土建工程，強度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構件例外） maxLfLfmax max第25頁/共36頁第二十六頁，共36頁。 例8 圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。已知梁的橫截面為邊長a=200mm的正方形，均布

17、載荷集度 ，彈性模量(tn xn m lin)E1=10GPa，鋼拉桿的橫截面面積A=250mm2，彈性模量(tn xn m lin)E2=210GPa，試求拉桿的伸長量及梁跨中點D處沿鉛垂方向的位移。kN/m40q 解：靜力分析，求出支座解：靜力分析，求出支座A點的約束點的約束(yush)反力及拉桿反力及拉桿BC所受的力。列平衡方程：所受的力。列平衡方程：kN40,40012202BABABAyFKNRqFmqFRF第26頁/共36頁第二十七頁，共36頁。本題既可用積分法，也可用疊加法求圖示梁D截面的撓度。積分法：拉桿BC的伸長為梁AB的彎矩方程為撓曲線的近似(jn s)微分方程積分得： m

18、m29. 2m1029. 210250102103104036932AElFEANllBxxxRxqxMA40202)(22)4020(40103124020)(224121xxaExxIExMy DCxxxyCxxy)3201220(10403)20320(10403342232，第27頁/共36頁第二十八頁，共36頁。邊界條件：當 時， ；當 時，代入上式得故當 時， 。疊加法： 說明：AB梁不變形，BC桿變形后引起(ynq)AB梁中點的位移，與BC不變形，AB梁變形后引起(ynq)AB梁中點的位移疊加。 0 x0ym2xm1029. 23ly010145.113DC，xxxy334210

19、145.11)3201220(10403m1xmm395. 7m10395. 73ymm395. 7384253212114221IEqAEFflyyyB第28頁/共36頁第二十九頁，共36頁。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB 例例9 9 下圖為一空心圓截面下圖為一空心圓截面(jimin)(jimin)梁，內(nèi)外徑分別為：梁，內(nèi)外徑分別為：d=40mmd=40mm、D=80mmD=80mm，梁的，梁的E=210GPaE=210GPa，工程規(guī)定，工程規(guī)定C C點的點的f/L=0.00001f/L=0.00001，B B點的點的 =0.001=0.001弧度，試

20、校核此梁的剛度。弧度，試校核此梁的剛度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM第29頁/共36頁第三十頁，共36頁。P2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafBC32233解： 結構變換，查表求簡單(jindn)載荷變形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf第30頁/共36頁第三十一頁，共36頁。P2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EIL