1、第一章第一章 試驗數(shù)據(jù)的誤差分析試驗數(shù)據(jù)的誤差分析11.1 1.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念1.1.11.1.1真值和平均值真值和平均值 通過測量儀表測量某種物理量，儀表所示值（測量值）與實際值之通過測量儀表測量某種物理量，儀表所示值（測量值）與實際值之間存在的差別即是誤差：間存在的差別即是誤差：=|=|測量值測量值- -真值真值| |。 真值即真實值，是指在一定條件下，被測量客觀存在的實際值。真值即真實值，是指在一定條件下，被測量客觀存在的實際值。真真值在不同場合有不同的含義。值在不同場合有不同的含義。 理論真值理論真值：也稱絕對真值，如平面三角形三內(nèi)角之和恒為：也稱絕對

2、真值，如平面三角形三內(nèi)角之和恒為18O18O。 規(guī)定真值規(guī)定真值：國際上公認(rèn)的某些基準(zhǔn)量值，如：國際上公認(rèn)的某些基準(zhǔn)量值，如19821982年國際計量局召開年國際計量局召開的米定義咨詢委員會提出新的米定義為的米定義咨詢委員會提出新的米定義為“米等于光在真空中米等于光在真空中1 1299792458 299792458 秒時間間隔內(nèi)所經(jīng)路徑長度秒時間間隔內(nèi)所經(jīng)路徑長度”。這個米基準(zhǔn)就當(dāng)作計量長度。這個米基準(zhǔn)就當(dāng)作計量長度的規(guī)定真值。的規(guī)定真值。2 相對真值相對真值：計量器具按精度不同分為若干等級，上一等級的指示：計量器具按精度不同分為若干等級，上一等級的指示值即為下一等級的真值，此真值稱為相對真

3、值。例如，在力值的傳遞值即為下一等級的真值，此真值稱為相對真值。例如，在力值的傳遞標(biāo)準(zhǔn)中，用二等標(biāo)準(zhǔn)測力機校準(zhǔn)三等標(biāo)準(zhǔn)測力計，此時二等標(biāo)準(zhǔn)測力標(biāo)準(zhǔn)中，用二等標(biāo)準(zhǔn)測力機校準(zhǔn)三等標(biāo)準(zhǔn)測力計，此時二等標(biāo)準(zhǔn)測力機的指示值即為三等標(biāo)準(zhǔn)測力計的相對真值。機的指示值即為三等標(biāo)準(zhǔn)測力計的相對真值。 對于被測物理量，真值通常是個未知量，對于被測物理量，真值通常是個未知量，由于誤差的客觀存在，由于誤差的客觀存在，真值一般是無法測得的。真值一般是無法測得的。 測量次數(shù)無限多時，根據(jù)正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等的誤差分布規(guī)測量次數(shù)無限多時，根據(jù)正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等的誤差分布規(guī)律，在不存在系統(tǒng)誤差的情況下，它們的平均值極為

4、接近真值。故在律，在不存在系統(tǒng)誤差的情況下，它們的平均值極為接近真值。故在實驗科學(xué)中真值的定義為無限多次觀測值的平均值。實驗科學(xué)中真值的定義為無限多次觀測值的平均值。 但實際測定的次數(shù)總是有限的，但實際測定的次數(shù)總是有限的，由有限次數(shù)求出的平均值，只能由有限次數(shù)求出的平均值，只能近似地接近于真值，可稱此平均值為最佳值（或可靠值）。近似地接近于真值，可稱此平均值為最佳值（或可靠值）。1.11.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念nxnxxxxniin1213常用的平均值有以下幾種：常用的平均值有以下幾種：設(shè)有設(shè)有n n個試驗值：個試驗值：x x1 1，x x2 2，x xn n1.1

5、.算術(shù)平均值算術(shù)平均值2.2.加權(quán)平均值加權(quán)平均值niiniiinnnxxxxx112122111.1 1.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念i4(1)(1)當(dāng)試驗次數(shù)很多時，當(dāng)試驗次數(shù)很多時，可以將權(quán)理解為試驗值可以將權(quán)理解為試驗值x xi i在很大的測量總數(shù)在很大的測量總數(shù)中出現(xiàn)的頻率中出現(xiàn)的頻率n ni i/n/n。(2)(2)如果試驗值是在同樣的試驗條件下獲得的，但來源于不同的組，如果試驗值是在同樣的試驗條件下獲得的，但來源于不同的組，這時加權(quán)平均值計算式中的這時加權(quán)平均值計算式中的x xi i代表各組的平均值，而代表各組的平均值，而 代表每組試代表每組試驗次數(shù)。驗次數(shù)。

6、如書上如書上P4P4例例1 11 1，這時加權(quán)平均值即為總算術(shù)平均值。，這時加權(quán)平均值即為總算術(shù)平均值。1.11.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念組測量值平均值1234100.357,100.343,100.351100.360,100.348100.350,100.344,100.336,100.340,100.345100.339,100.350,100.340100.350100.354100.343100.343例例1 11 1求其加權(quán)平均值求其加權(quán)平均值346.10035233343.1005343.1002354.1003350.100wx1.11.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理

7、的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念5此即總算術(shù)平均值此即總算術(shù)平均值例例1 12 2 測定測定PHPH值時，得到兩組數(shù)據(jù)，其平均值為：值時，得到兩組數(shù)據(jù)，其平均值為：02. 053. 81 . 05 . 821xx；試求它們的平均值。試求它們的平均值。53. 82500100250053. 81005 . 8250002. 011001 . 012221PHww，1.11.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念6(3)(3)根據(jù)權(quán)與絕對誤差的平方成反比來確定權(quán)數(shù)根據(jù)權(quán)與絕對誤差的平方成反比來確定權(quán)數(shù)，如書上，如書上P4P4例例1 12 2。nxnxxxxniin1222221均方根74

8、.4.均方根平均值均方根平均值5.5.調(diào)和平均值調(diào)和平均值niinxnxxxnH1211111可見，可見，調(diào)和平均值是試驗值倒數(shù)的算術(shù)平均值的倒數(shù)。調(diào)和平均值是試驗值倒數(shù)的算術(shù)平均值的倒數(shù)。1.11.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念3.3.幾何平均值幾何平均值nniinnGxxxxx12181.1.21.1.2誤差與偏差誤差與偏差1.1.誤差的產(chǎn)生誤差的產(chǎn)生（1 1）系統(tǒng)誤差）系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差是由某些系統(tǒng)誤差是由某些固定不變的因素引起固定不變的因素引起的，這些因素影響的結(jié)果的，這些因素影響的結(jié)果永遠永遠朝一個方向偏移朝一個方向偏移，其大小及符號在同一組實驗測量中完全相同。當(dāng)實

9、驗，其大小及符號在同一組實驗測量中完全相同。當(dāng)實驗條件一經(jīng)確定，系統(tǒng)誤差就是一個客觀上的恒定值，條件一經(jīng)確定，系統(tǒng)誤差就是一個客觀上的恒定值，多次測量的平均值多次測量的平均值也不能減弱它的影響也不能減弱它的影響。系統(tǒng)誤差隨實驗條件的改變按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差隨實驗條件的改變按一定規(guī)律變化。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因有以下幾方面：產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因有以下幾方面：測量儀器的因素，如儀器設(shè)計上的缺點，刻度不準(zhǔn)，儀表未進行校正測量儀器的因素，如儀器設(shè)計上的缺點，刻度不準(zhǔn)，儀表未進行校正或標(biāo)準(zhǔn)表本身存在偏差，安裝不正確等；或標(biāo)準(zhǔn)表本身存在偏差，安裝不正確等；測量方法因素，如近似的測量方法或近似的計算公式等引起

10、的誤差；測量方法因素，如近似的測量方法或近似的計算公式等引起的誤差；1.11.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念9測量人員的習(xí)慣和偏向或動態(tài)測量時的滯后現(xiàn)象等，如讀數(shù)偏測量人員的習(xí)慣和偏向或動態(tài)測量時的滯后現(xiàn)象等，如讀數(shù)偏高或偏低所引起的誤差。高或偏低所引起的誤差。 針對以上具體情況，分別改進儀器和實驗裝置，以及提高測試技針對以上具體情況，分別改進儀器和實驗裝置，以及提高測試技能，對系統(tǒng)誤差予以解決。能，對系統(tǒng)誤差予以解決。（2 2）隨機誤差）隨機誤差 它是由它是由某些不易控制的因素造成某些不易控制的因素造成的。如外界溫度的微小波動、儀器的。如外界溫度的微小波動、儀器的輕微振動、

11、電壓的微小波動等引起的誤差。的輕微振動、電壓的微小波動等引起的誤差。在相同條件下做多次測量，其誤差數(shù)值是不確定的，時大時小，時在相同條件下做多次測量，其誤差數(shù)值是不確定的，時大時小，時正時負(fù)，沒有確定的規(guī)律，這類誤差稱為隨機誤差或偶然誤差。這類正時負(fù)，沒有確定的規(guī)律，這類誤差稱為隨機誤差或偶然誤差。這類誤差產(chǎn)生原因不明，因而無法控制和補償。誤差產(chǎn)生原因不明，因而無法控制和補償。若對某一量值進行足夠多次的等精度測量，就會發(fā)現(xiàn)隨機誤差服從若對某一量值進行足夠多次的等精度測量，就會發(fā)現(xiàn)隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律，這種規(guī)律可用正態(tài)分布曲線表示。統(tǒng)計規(guī)律，這種規(guī)律可用正態(tài)分布曲線表示。1.11.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處

12、理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念正態(tài)分布具有以下特點：正態(tài)分布具有以下特點：正態(tài)分布曲線對稱，以平均值為中心；正態(tài)分布曲線對稱，以平均值為中心；當(dāng)平均值時，曲線處于最高點、當(dāng)當(dāng)平均值時，曲線處于最高點、當(dāng)x x向左右偏離時，向左右偏離時，曲線逐漸降低，整個曲線呈中間高、兩邊低的形狀；曲線逐漸降低，整個曲線呈中間高、兩邊低的形狀；曲線與橫坐標(biāo)軸所圍成的面積等于曲線與橫坐標(biāo)軸所圍成的面積等于1 1。 隨著測量次數(shù)的增加，隨機誤差的算術(shù)平均值趨近于零，所以多隨著測量次數(shù)的增加，隨機誤差的算術(shù)平均值趨近于零，所以多次測量結(jié)果的算術(shù)平均值將更接近于真值。次測量結(jié)果的算術(shù)平均值將更接近于真值。10過失誤

13、差是一種與實際事實明顯不符的誤差，過失誤差明顯地歪曲過失誤差是一種與實際事實明顯不符的誤差，過失誤差明顯地歪曲試驗結(jié)果。誤差值可能很大，且無一定的規(guī)律。試驗結(jié)果。誤差值可能很大，且無一定的規(guī)律。它主要是由于實驗人員粗心大意、操作不當(dāng)造成的，如讀錯數(shù)據(jù)，記它主要是由于實驗人員粗心大意、操作不當(dāng)造成的，如讀錯數(shù)據(jù)，記錯或計算錯誤，操作失誤等。錯或計算錯誤，操作失誤等。（3 3）過失誤差）過失誤差1.1 1.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念 在測量或?qū)嶒灂r，只要認(rèn)真負(fù)責(zé)是可以避免這類誤差的。存在過在測量或?qū)嶒灂r，只要認(rèn)真負(fù)責(zé)是可以避免這類誤差的。存在過失誤差的觀測值在實驗數(shù)據(jù)整理時應(yīng)

14、該剔除。失誤差的觀測值在實驗數(shù)據(jù)整理時應(yīng)該剔除。112.2.誤差與偏差的基本概念誤差與偏差的基本概念（1 1）絕對誤差）絕對誤差絕對誤差是指實測值與被測之量的真值之差絕對誤差是指實測值與被測之量的真值之差：絕對誤差絕對誤差= =觀察值觀察值- -真值真值xxxxxxtt或或(2)(2)相對誤差相對誤差相對誤差是指絕對誤差與被測真值（或?qū)嶋H值）的比值相對誤差是指絕對誤差與被測真值（或?qū)嶋H值）的比值：真值真值絕對誤差絕對誤差相對誤差相對誤差1001.1 1.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念%100tRxxE 由于誤差是不可避免的，故真值往往是得不到的。所以由于誤差是不可避免的，故真

15、值往往是得不到的。所以絕對誤絕對誤差、相對誤差的概念只有理論上的價值差、相對誤差的概念只有理論上的價值。121.11.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念（3 3）偏差）偏差 表示測量值與平均值之間的差值表示測量值與平均值之間的差值。 一組試驗數(shù)據(jù)的精密度可以用一組試驗數(shù)據(jù)的精密度可以用平均偏差平均偏差和和標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差兩種方法來表示。兩種方法來表示。 我們可以根據(jù)測量儀器的精度等級或最小刻度來計算最大絕對誤我們可以根據(jù)測量儀器的精度等級或最小刻度來計算最大絕對誤差差 。例如某壓強表注明的精度等級為。例如某壓強表注明的精度等級為1.51.5級，則表明該表絕對誤差為最級，則表明該表

16、絕對誤差為最大量程的大量程的1.5%1.5%，如果最大量程為，如果最大量程為0.4MPa0.4MPa，則該壓強表的絕對誤差為，則該壓強表的絕對誤差為0.006MPa0.006MPa；又如某天平的最小刻度為；又如某天平的最小刻度為0.1mg0.1mg，則其最大絕對誤差為，則其最大絕對誤差為0.1mg0.1mg。ndnxxdniinii11標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差又稱均方根誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)偏差又稱均方根誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)差。A A、當(dāng)試驗次數(shù)、當(dāng)試驗次數(shù)n n無窮大時，稱為無窮大時，稱為總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差：nnxxnxxndniniiiniinii12121212/)()(

17、平均偏差平均偏差 設(shè)試驗值和算術(shù)平均值之間的偏差為設(shè)試驗值和算術(shù)平均值之間的偏差為d di i，則平均偏差定義式為：，則平均偏差定義式為：d131.11.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念1/)(1)(112121212nnxxnxxndsniniiiniinii141.1 1.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念 誤差與偏差的含義不同，必須加以區(qū)別。但是由于在一般情況下，誤差與偏差的含義不同，必須加以區(qū)別。但是由于在一般情況下，真實值是不知道的真實值是不知道的( (測量的目的就是為了測得真實值測量的目的就是為了測得真實值) )，因此，因此處理實際處理實際問題時常常在

18、盡量減小系統(tǒng)誤差的前提下，把多次平均測量值當(dāng)作真問題時常常在盡量減小系統(tǒng)誤差的前提下，把多次平均測量值當(dāng)作真實值，把偏差當(dāng)作誤差。實值，把偏差當(dāng)作誤差。 例：分析鐵礦石中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，得到如下數(shù)據(jù)：例：分析鐵礦石中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，得到如下數(shù)據(jù)：37.4537.45，37.2037.20，37.5037.50，37.3037.30，37.2537.25（% %），計算測量結(jié)果的平均值、平均偏差、相對），計算測量結(jié)果的平均值、平均偏差、相對平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、相對標(biāo)準(zhǔn)偏差。平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、相對標(biāo)準(zhǔn)偏差。B B、試驗次數(shù)一般為有限次，于是稱為、試驗次數(shù)一般為有限次，于是稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差：%

19、34.37x%108. 05/)%09. 016. 004. 014. 011. 0(d%29. 0%100%34.37%108. 0%100 xd 35. 0100%34.37%13. 0%13. 0RSDs各次測量值的偏差分別是：各次測量值的偏差分別是：0.11%0.11%，-0.14%-0.14%，-0.04%-0.04%，0.16%0.16%，-0.09%-0.09%解：解：1.1 1.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念15 在在ExcelExcel中，可以用有關(guān)內(nèi)置函數(shù)來計算這些試驗值的常用統(tǒng)計量：中，可以用有關(guān)內(nèi)置函數(shù)來計算這些試驗值的常用統(tǒng)計量：3.試驗數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度

20、試驗數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度 誤差可能由隨機誤差或系統(tǒng)誤差單獨造成，也可能是二者的疊誤差可能由隨機誤差或系統(tǒng)誤差單獨造成，也可能是二者的疊加，引入加，引入精密度、正確度、準(zhǔn)確度精密度、正確度、準(zhǔn)確度三術(shù)語來說明這一問題。三術(shù)語來說明這一問題。（1 1）精密度）精密度 精密度反映了隨機誤差大小的程度精密度反映了隨機誤差大小的程度，是指在一定的試驗條件下，是指在一定的試驗條件下，多次試驗值的彼此符合程度，即多次試驗值的彼此符合程度，即試驗值分散程度試驗值分散程度。161.11.1 有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念（2 2）正確度）正確度()AVERAGEx ()GEOMEANxG()HARMEAN

21、H ()AVEDEVd ()2VARs樣本方差()2VARP樣本總體方差()STDEVs樣本標(biāo)準(zhǔn)差()STDEVP樣本總體標(biāo)準(zhǔn)差 準(zhǔn)確度反映了系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合準(zhǔn)確度反映了系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合，表示了試驗結(jié)果與，表示了試驗結(jié)果與真值的一致程度。真值的一致程度。 精密度、正確度、準(zhǔn)確度三者之間的關(guān)系可用下圖來說明：精密度、正確度、準(zhǔn)確度三者之間的關(guān)系可用下圖來說明： 圖圖A A精密度不好，但正確度好；圖精密度不好，但正確度好；圖B B的精密度好，但正確度不好；的精密度好，但正確度不好；圖圖C C的精密度和正確度都好，即準(zhǔn)確度好。的精密度和正確度都好，即準(zhǔn)確度好。171.11.1 有關(guān)數(shù)

22、據(jù)處理的基本概念有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念 正確度反映了系統(tǒng)誤差的大小正確度反映了系統(tǒng)誤差的大小，是指在一定的試驗條件下，所，是指在一定的試驗條件下，所有系統(tǒng)誤差的綜合。有系統(tǒng)誤差的綜合。（3 3）準(zhǔn)確度）準(zhǔn)確度1.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗1.2.11.2.1隨機誤差的估計隨機誤差的估計1.1.極差極差：極差是指一組試驗值中最大值與最小值的差值。：極差是指一組試驗值中最大值與最小值的差值。minmaxxxR2.2.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：若隨機誤差服從正態(tài)分布，則可用標(biāo)準(zhǔn)差來反映隨機誤：若隨機誤差服從正態(tài)分布，則可用標(biāo)準(zhǔn)差來反映隨機誤差的大小，標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的分散性越低

23、，精密度越高，隨機誤差的大小，標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的分散性越低，精密度越高，隨機誤差越小，試驗數(shù)據(jù)的正態(tài)分布曲線越尖。差越小，試驗數(shù)據(jù)的正態(tài)分布曲線越尖。3.3.方差方差：方差即標(biāo)準(zhǔn)差的平方，分為總體方差和樣本方差，顯然方：方差即標(biāo)準(zhǔn)差的平方，分為總體方差和樣本方差，顯然方差也反映了數(shù)據(jù)的分散程度，即隨機誤差的大小。差也反映了數(shù)據(jù)的分散程度，即隨機誤差的大小。181.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗 隨機誤差的大小可以用試驗數(shù)據(jù)的精密度來反映，而精密度的隨機誤差的大小可以用試驗數(shù)據(jù)的精密度來反映，而精密度的好壞可用方差來度量，因此可用方差檢驗判斷試驗結(jié)果的隨機誤差好壞可

24、用方差來度量，因此可用方差檢驗判斷試驗結(jié)果的隨機誤差之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。191.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗章節(jié)。學(xué)工業(yè)出版社）的第一（第二版，李云雁，化設(shè)計與數(shù)據(jù)處理檢驗。可以參閱試驗隨機誤差或精密度進行的試驗數(shù)據(jù)之間的檢驗來對具有正態(tài)分布檢驗、可用F2201.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗。差異的概率為顯著的概率，或者說兩者無表示兩方差有顯著差異無顯著差異。判斷兩方差之間有與臨界值進行比較，可，將計算得到的可查取臨界值分布由附錄的該統(tǒng)計量服從自由度為計量：服從正態(tài)分布，構(gòu)造統(tǒng)，設(shè)有一組試驗數(shù)據(jù)檢驗。適用于一個總體方差的隨機誤

25、差進行檢驗，它數(shù)據(jù)的已知的情況下，對試驗方差檢驗是在試驗數(shù)據(jù)總體檢驗1)(11) 1(,) 1 (222222n21222fnfsnxxx211.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗偏大）?？傮w方差偏?。ɑ驍鄶?shù)據(jù)的方差與是否比屬于單側(cè)檢驗，用于判、右側(cè)檢驗。否則有顯著增大，稱為體方差無顯著增大，該數(shù)據(jù)的方差與原總，、若左側(cè)檢驗。否則有顯著減少，稱為體方差無顯著減少，該數(shù)據(jù)的方差與原總，、若無顯著差異的情況。檢驗。用于只需判斷有有顯著差異，稱為雙側(cè)否則方差之間無顯著差異，則該組數(shù)據(jù)與原總體、CB)(C)(B22222)1(22222)21(ffffA221.2 1.2 試

26、驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗。修后穩(wěn)定性有顯著變化之外，顯然儀器經(jīng)過檢落在區(qū)間。，查取臨界值雙側(cè)檢驗：，可用映的是隨機誤差的大小解：“穩(wěn)定性”實際反）（性是否有了顯著變化。問儀器經(jīng)過檢修后穩(wěn)定。試，樣的樣品，數(shù)據(jù)如下：用它測定同，分光光度計檢修后，正常情況下測定方差的濃度，在某樣品中：用某分光光度計測定例新版教材)449.14,237. 1 (449.14)6(237. 1)6(036. 015. 0000135. 0) 17() 1(000135. 005. 0165. 0159. 0176. 0145. 0161. 0156. 0142. 015. 0Al5110P220

27、25. 02975. 0222222223sns231.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗性較之前有顯著減少。波動說明技改后甲醇含量的查取臨界值左側(cè)檢驗：用以前有明顯減少，應(yīng)該解：判斷波動性是否比）小。（醇含量的波動性是否更。試問技術(shù)改造后甲量的方差個樣品結(jié)果樣品甲醇含抽檢，技術(shù)改造后，藝下甲醇含量的方差的含量的波動性。原工醇，以減少工業(yè)酒精中甲：某工廠進行技術(shù)改造例新版教材, 3 .10848.13)24(3 .1035. 015. 0) 125() 1(05. 015. 02535. 06110P2295. 0222222sns241.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估

28、計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗否則有顯著增大。無顯著增大，比方差，則判斷方差，且右側(cè)檢驗：若。減小，否則有顯著減小無顯著比方差，則判斷方差，且左側(cè)檢驗：若異。著差異，否則有顯著差無顯與方差，可判斷方差雙側(cè)檢驗：若可作出檢驗結(jié)果。值與臨界值比較，即，將分布。對于給定的該統(tǒng)計量服從，構(gòu)造統(tǒng)計量：和方差分別為都服從正態(tài)分布，樣本，兩組數(shù)據(jù)，和，設(shè)有兩組試驗數(shù)據(jù)：的精密度的比較。態(tài)分布的試驗數(shù)據(jù)之間檢驗適用于兩組具有正檢驗21),(121),(121),(F),(FF),(FFFF)2(2121)1(21221)21(2122212221)2()2(2)2(1)1()1(2)1(121ffFFFff

29、FFFffFffffssssxxxxxxnn251.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗有顯著提高。新法比舊法的精密度沒），（。因為），（左側(cè)檢驗。查取臨界值減小，即舊法的方差是否有顯著要檢驗新法方差比舊法有顯著提高，只需）新法的精密度是否比（沒有顯著差異。兩種測量方法的精密度值介于二者之間，。查取臨界值，雙側(cè)檢驗法）采用解：（）密度有顯著提高。（）新法是否比舊法的精（否有顯著差異；）兩種方法的精密度是試問（，舊法：，新法：的含量，結(jié)果如下：某廢水中（舊法）測定新法）和：用原子吸收光譜法（例新版教材,109319. 01092F779. 3)10, 9(F,252. 0

30、)10, 9(F350. 01023. 11029. 4F ,1023. 11029. 4105. 021179. 0183. 0164. 0174. 0176. 0161. 0156. 0155. 0165. 0181. 0153. 0173. 0174. 0179. 0166. 0161. 0169. 0168. 0159. 0175. 0163. 0AlEDTA7111P95. 095. 0025. 0975. 04522214225213FFFFssssF1.2.21.2.2系統(tǒng)誤差的檢驗系統(tǒng)誤差的檢驗秩和檢驗法秩和檢驗法 秩和檢驗法可以檢驗兩組數(shù)據(jù)間是否存在顯著性差異，如果秩和檢驗法

31、可以檢驗兩組數(shù)據(jù)間是否存在顯著性差異，如果一組數(shù)據(jù)無系統(tǒng)誤差時，可用該法判斷另一組數(shù)據(jù)有無系統(tǒng)誤差一組數(shù)據(jù)無系統(tǒng)誤差時，可用該法判斷另一組數(shù)據(jù)有無系統(tǒng)誤差。 設(shè)有兩組實驗數(shù)據(jù)：設(shè)有兩組實驗數(shù)據(jù)：x x1 1(1)(1)， x x2 2(1)(1)， x xn1n1(1)(1)與與x x1 1(2)(2)， x x2 2(2)(2)， x xn2n2(2)(2) ，其中，其中n n1 1，n n2 2分別是兩組試驗數(shù)據(jù)的個數(shù)，假設(shè)這兩組試驗數(shù)據(jù)分別是兩組試驗數(shù)據(jù)的個數(shù)，假設(shè)這兩組試驗數(shù)據(jù)是相互獨立的，是相互獨立的，n n1 1nn2 2。 首先將這首先將這n n1 1+n+n2 2個試驗數(shù)據(jù)混在

32、一起，按從小到大的次序排列，個試驗數(shù)據(jù)混在一起，按從小到大的次序排列，每每個試驗值在序列中的次序號叫該值的秩個試驗值在序列中的次序號叫該值的秩，然后將屬于第，然后將屬于第1 1組數(shù)據(jù)的秩組數(shù)據(jù)的秩相加，其和記為相加，其和記為R R1 1，同理可得，同理可得R R2 2。如果兩組數(shù)據(jù)之間無顯著差異，則。如果兩組數(shù)據(jù)之間無顯著差異，則R R1 1就不應(yīng)該太小或太大，對于給定的顯著水平就不應(yīng)該太小或太大，對于給定的顯著水平 和和n n1 1，n n2 2，由秩和，由秩和臨界值表（見附錄臨界值表（見附錄1 1）可查得）可查得R R1 1的上下限的上下限T T1 1和和T T2 2。261.2 1.2

33、試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗 如果如果R R1 1TT2 2或或R R1 1TT1 1, ,則認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，如果則認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，如果T T1 1RR1 1TTT2 2，故兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，乙組數(shù)據(jù)有系統(tǒng)誤差。，故兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，乙組數(shù)據(jù)有系統(tǒng)誤差。1.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗281.2.31.2.3過失誤差的檢驗過失誤差的檢驗 在一組條件完全相同的重復(fù)試驗中，個別的測量值可能會出現(xiàn)異在一組條件完全相同的重復(fù)試驗中，個別的測量值可能會出現(xiàn)異常。如測量值過大或過小，這些過大或過小的測量數(shù)據(jù)是不正常的，常。如測量值過大

34、或過小，這些過大或過小的測量數(shù)據(jù)是不正常的，或稱為可疑的。對于這些可疑數(shù)據(jù)應(yīng)該用數(shù)理統(tǒng)計的方法判別其真?zhèn)?，或稱為可疑的。對于這些可疑數(shù)據(jù)應(yīng)該用數(shù)理統(tǒng)計的方法判別其真?zhèn)?，并決定取舍。常用的方法有拉依達法、格拉布斯法。并決定取舍。常用的方法有拉依達法、格拉布斯法。1.1.拉依達法拉依達法 當(dāng)試驗數(shù)據(jù)較多時使用拉依達法最為簡單，因為此法無須查表，當(dāng)試驗數(shù)據(jù)較多時使用拉依達法最為簡單，因為此法無須查表，但是試驗數(shù)據(jù)較少時，不能應(yīng)用拉依達法，即但是試驗數(shù)據(jù)較少時，不能應(yīng)用拉依達法，即n10n10時用時用3s3s作界限，作界限，或或n5n5時用時用2s2s作界限均無法舍去異常數(shù)據(jù)。注意：作界限均無法舍去異

35、常數(shù)據(jù)。注意：計算計算s s時應(yīng)該包括時應(yīng)該包括可疑數(shù)據(jù)可疑數(shù)據(jù)x xp p。 如果如果 則應(yīng)將則應(yīng)將x xp p從該組試驗值中剔除。從該組試驗值中剔除。 例子見書上例子見書上P11P11例例1 16 6ssxxdpp23 或s205. 0s301. 0取，取291.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗例例1 16 6 有一組數(shù)據(jù)：有一組數(shù)據(jù)：0.1280.128，0.1290.129，0.1310.131，0.1330.133，0.1350.135，0.1380.138，0.1410.141，0.1420.142，0.1450.145，0.1480.148，0.167

36、0.167，用拉依達法判斷偏差較大的，用拉依達法判斷偏差較大的0.1670.167這一數(shù)據(jù)是否屬于異常值？這一數(shù)據(jù)是否屬于異常值？計算包括計算包括0.1670.167在內(nèi)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差：在內(nèi)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差：0116. 0140. 0sx，027. 0140. 0167. 0 xxdpp0335. 001116. 033s不應(yīng)該剔除。這一值并不異常，時，當(dāng)0.1670.013sdp1.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗302.2.格拉布斯法格拉布斯法 格拉布斯法能夠適用于試驗數(shù)據(jù)較少時的檢驗。格拉布斯法能夠適用于試驗數(shù)據(jù)較少時的檢驗。s)n ,(xxdpp),(

37、n 當(dāng)當(dāng) 則應(yīng)該將則應(yīng)該將x xp p從該組試驗值中剔除。這里從該組試驗值中剔除。這里 稱為格拉布斯檢稱為格拉布斯檢驗臨界值，它與試驗次數(shù)驗臨界值，它與試驗次數(shù)n n及顯著水平及顯著水平 有關(guān)，附錄有關(guān)，附錄2 2給出了給出了 的數(shù)值。的數(shù)值。),(n例子見書上例子見書上P12P12例例1 17 7。311.21.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗例例1 17 7 有一組數(shù)據(jù)：有一組數(shù)據(jù)：10.2910.29，10.3310.33，10.3810.38，10.4010.40，10.4310.43，10.4610.46，10.5210.52，10.82(%) 10.82(%)

38、，試問是否有數(shù)據(jù)應(yīng)該被剔除？（，試問是否有數(shù)據(jù)應(yīng)該被剔除？（ =0.05=0.05）(1)(1)檢驗檢驗10.8210.8203216045108050.s.x),.(；查表得，32. 016. 003. 2)8 ,05. 0(s這個值應(yīng)該被剔除。所以8210320370.dp(2)(2)檢驗檢驗10.5210.52小，都應(yīng)保留。據(jù)的偏差都比不應(yīng)該被剔除，剩余數(shù)故，5210521015012015007809419410780401070507050.d.s.s.xp),.(),.(1.2 1.2 試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗321.3 1.3 有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示有效

39、數(shù)字和試驗結(jié)果的表示1.3.11.3.1有效數(shù)字有效數(shù)字 能夠代表一定物理量的數(shù)字，稱為有效數(shù)字。有效數(shù)字只能具有能夠代表一定物理量的數(shù)字，稱為有效數(shù)字。有效數(shù)字只能具有一位可疑值，有效數(shù)字的末位數(shù)往往是估計出來的，具有一定的誤差。一位可疑值，有效數(shù)字的末位數(shù)往往是估計出來的，具有一定的誤差。測量中所使用的儀器儀表只能達到一定的精度，因此有效數(shù)字的位數(shù)測量中所使用的儀器儀表只能達到一定的精度，因此有效數(shù)字的位數(shù)可反映試驗的精度或表示所用試驗儀表的精度，不能隨便多寫或少寫?？煞从吃囼灥木然虮硎舅迷囼瀮x表的精度，不能隨便多寫或少寫。 數(shù)字?jǐn)?shù)字0 0是否是有效數(shù)字，取決于它在數(shù)據(jù)中的位置。一般是

40、否是有效數(shù)字，取決于它在數(shù)據(jù)中的位置。一般第一個第一個非非0 0數(shù)前的數(shù)字都不是有效數(shù)字?jǐn)?shù)前的數(shù)字都不是有效數(shù)字，而第一個非而第一個非0 0數(shù)后的數(shù)字都是有效數(shù)數(shù)后的數(shù)字都是有效數(shù)字字。例如。例如29mm29mm和和29.00mm29.00mm并不等價，前者為兩位有效數(shù)字，后者是四并不等價，前者為兩位有效數(shù)字，后者是四位有效數(shù)字，它們是用不同精度的儀器測量得到的數(shù)值。位有效數(shù)字，它們是用不同精度的儀器測量得到的數(shù)值。 小數(shù)點的位置并不影響有效數(shù)字的位數(shù)，例如小數(shù)點的位置并不影響有效數(shù)字的位數(shù)，例如50mm50mm，0.050m0.050m，5.05.010104 4umum的有效數(shù)字位數(shù)都為的

41、有效數(shù)字位數(shù)都為2 2，三個數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度是相同的。改，三個數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度是相同的。改變單位不能改變有效數(shù)字的位數(shù)，如變單位不能改變有效數(shù)字的位數(shù)，如5.05.010104 4umum，不能寫成，不能寫成50000um 50000um 。1.3.21.3.2有效數(shù)字的運算規(guī)則有效數(shù)字的運算規(guī)則331.31.3 有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示341.31.3 有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示3.3.乘方、開方運算乘方、開方運算: : 乘方、開方后的結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與其底數(shù)相同，也可比乘方、開方后的結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與其底數(shù)相同，也可比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。原

42、數(shù)多保留一位有效數(shù)字。2.42.42 2=5.8=5.8或或5.765.764.4.對數(shù)運算對數(shù)運算: : 對數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。對數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如：例如：lg5.6=0.75lg5.6=0.755. 5. 常數(shù)及自然數(shù)：常數(shù)及自然數(shù)： 在所有計算式中，常數(shù)在所有計算式中，常數(shù),e,e等、自然數(shù)等的有效數(shù)字位數(shù)，認(rèn)等、自然數(shù)等的有效數(shù)字位數(shù)，認(rèn)為無限制，需要幾位就取幾位。為無限制，需要幾位就取幾位。 351.31.3 有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示1.3.31.3.3有效數(shù)字的修約規(guī)則有效數(shù)字的修約規(guī)則 常用的常用的“四

43、舍五入四舍五入”的方法對數(shù)值進行取舍，得到的均值偏大。的方法對數(shù)值進行取舍，得到的均值偏大。 而而“四舍六入五留雙四舍六入五留雙”數(shù)值取舍規(guī)則數(shù)值取舍規(guī)則 ，進舍的狀況具有平衡性，變，進舍的狀況具有平衡性，變大的可能性與變小的可能性是一樣的。規(guī)則規(guī)定：大的可能性與變小的可能性是一樣的。規(guī)則規(guī)定：4 4和和4 4以下的數(shù)字舍以下的數(shù)字舍去，去，6 6和和6 6以上的數(shù)字進位；若是以上的數(shù)字進位；若是5 5這個數(shù)字，如果它前面一個數(shù)是奇這個數(shù)字，如果它前面一個數(shù)是奇數(shù)就入，是偶數(shù)就舍。如果有多位數(shù)字要舍取，不能從最后一位數(shù)字?jǐn)?shù)就入，是偶數(shù)就舍。如果有多位數(shù)字要舍取，不能從最后一位數(shù)字開始連續(xù)進行取

44、舍。開始連續(xù)進行取舍。1.4 1.4 誤差的傳遞誤差的傳遞設(shè)間接測量值與直接測量值之間存在下面的函數(shù)關(guān)系：設(shè)間接測量值與直接測量值之間存在下面的函數(shù)關(guān)系：),(21nxxxfy361.31.3 有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示對上式進行全微分：對上式進行全微分：nndxxfdxxfdxxfdy2211nxxxy,21用用 分別代替分別代替ndxdxdxdy,21nnxxfxxfxxfy2211或或niiixxfy1 考慮最不利的情況考慮最不利的情況直接測量誤差不抵消，從而引起誤差的累直接測量誤差不抵消，從而引起誤差的累積，故取絕對值得到間接測量值的絕對誤差為：積，故取絕對值得到間接測量值的絕對誤差為：371.41.4 誤差的傳遞誤差的傳遞niiixxfy1381.41.4 誤差的傳遞誤差的傳遞誤差傳遞系數(shù)式中ixf直接測量值的誤差ix誤差間接測量值的最大絕對iy相對誤差的計算公式為：相對誤差的計算公式為：niiiyxxfyy1391.4 1.4 誤差的傳遞誤差的傳遞niiiyxf122 或或niiiysxfs122項，得到兩