1、抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考第第3講函數(shù)的奇偶性與周期性講函數(shù)的奇偶性與周期性抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)锳，如果對(duì)于任意的，如果對(duì)于任意的xA，都有，都有_，那么稱函數(shù)，那么稱函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù)如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的xA都有都有_，那么稱函數(shù)，那么稱函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)軸對(duì)稱稱1奇、偶函數(shù)的概念奇、偶函數(shù)的概念f(x)f(x)f

2、(x)f(x)抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反性，則其單調(diào)性恰恰相反(2)在公共定義域內(nèi)在公共定義域內(nèi)兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)(3)若若f(x)為

3、偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|)(4)若奇函數(shù)若奇函數(shù)f(x)定義域中含有定義域中含有0，則必有，則必有f(0)0.f(0)0是是f(x)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件2函數(shù)奇偶性的性質(zhì)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(5)復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”(6)既奇又偶的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)既奇又偶的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)(如如f(x)0，定義域是關(guān)于，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)區(qū)間原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)區(qū)間)(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf

4、(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)_，那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周為這個(gè)函數(shù)的周期期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一的所有周期中存在一個(gè)個(gè)_的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周的最小正周期期3周期性周期性f(x)最小最小抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考一個(gè)命題規(guī)律一個(gè)命題規(guī)律函數(shù)的奇偶性、周期性常和函數(shù)其他性質(zhì)函數(shù)的奇偶性

5、、周期性常和函數(shù)其他性質(zhì)(如單調(diào)性如單調(diào)性)綜綜合，奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的題目常畫示意圖解決，周期性合，奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的題目常畫示意圖解決，周期性與三角函數(shù)相結(jié)合，以客觀題型為主，一般為容易題對(duì)與三角函數(shù)相結(jié)合，以客觀題型為主，一般為容易題對(duì)綜合性解答題，常通過研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶綜合性解答題，常通過研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等，全面了解函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，畫出函數(shù)的示意性等，全面了解函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，畫出函數(shù)的示意圖，從而研究函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間等，是解決函數(shù)最圖，從而研究函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間等，是解決函數(shù)最值、不等式恒成立等問題的基本思路值、不等式恒成立等問題的基本思路

6、【助學(xué)助學(xué)微博微博】抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析由由f(0)0，得，得b1，所以，所以f(1)f(1)(221)3.答案答案3考點(diǎn)自測(cè)考點(diǎn)自測(cè)1(2012海安中學(xué)海安中學(xué))設(shè)設(shè)f(x)為定義在為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，f(x)2x2xb(b為常數(shù)為常數(shù))，則，則f(1)的值是的值是_抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析因?yàn)橐驗(yàn)閒(x3)f(x)，f(x)f(x)，所以，所以mf(2)f(1)f(1)2.答案答案(2，)2(2013泰州學(xué)情調(diào)查泰州學(xué)情調(diào)查)已知周期函數(shù)已知周期函數(shù)f(x)

7、是定義在是定義在R上的奇上的奇函數(shù)，且函數(shù)，且f(x)的最小正周期為的最小正周期為3，f(1)2，f(2)m，則，則m的取值范圍為的取值范圍為_抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考3(2012鹽城檢測(cè)鹽城檢測(cè))設(shè)設(shè)f(x)是定義在是定義在(1,1)上的偶函數(shù)，在上的偶函數(shù)，在(0,1)上遞增，若上遞增，若f(a2)f(4a2)0，則，則a的取值范圍的取值范圍為為_抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考4已知已知f(x)ax2bx是定義在是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那上的偶函數(shù)，那么么ab的值是的值是_抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)

8、考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)(2012蘇州調(diào)研蘇州調(diào)研)已知定義在已知定義在R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)和偶函數(shù)g(x)滿足滿足f(x)g(x)axax2(a0，且，且a1)若若g(2)a，則則f(2)_.考向一考向一函數(shù)奇偶性及其應(yīng)用函數(shù)奇偶性及其應(yīng)用抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié) 奇偶函數(shù)的判斷，要考慮定義域所在區(qū)間關(guān)于奇偶函數(shù)的判斷，要考慮定義域所在區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱對(duì)于奇偶函數(shù)的性質(zhì)，要

9、善于逆用奇偶函數(shù)性原點(diǎn)對(duì)稱對(duì)于奇偶函數(shù)的性質(zhì)，要善于逆用奇偶函數(shù)性質(zhì)以及奇偶函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)解題質(zhì)以及奇偶函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)解題抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓(xùn)練訓(xùn)練1】 (1)已知已知f(x)是定義在是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，f(x)x22x，若，若f(a22)f(a)0，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍是是_抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析(1)f(x)是奇函數(shù)，且在是奇函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞增，所以上單調(diào)遞增，所以f(x)在在R上單調(diào)遞增于是由上單調(diào)遞增于是由f(a22)f(a

10、)f(a)，得，得a22a，即，即a2a20，解得，解得2a0時(shí)，時(shí)，x0，由題意得，由題意得f(x)f(x)，x2xax2bx，從而，從而a1，b1，ab0.答案答案(1)(2,1)(2)0抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例2】 (1)已知奇函數(shù)已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,2，且在區(qū)間，且在區(qū)間2，0內(nèi)遞減，則滿足內(nèi)遞減，則滿足f(1m)f(1m2)0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_；考向二考向二函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的交匯問題函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的交匯問題抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考又又f(x)為奇

11、函數(shù)，且在為奇函數(shù)，且在2,0上遞減，上遞減，在在2,2上遞上遞減，減，f(1m)f(又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，所以，所以0sin 1，于是由得于是由得mm21，即即2m1. 綜合，可知綜合，可知1mf(1m)f(m1)，得，得msin m1.抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案(1)1,1)(2)(，1)方法總結(jié)方法總結(jié) (1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反在關(guān)于

12、原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考2是函數(shù)是函數(shù)f(x)的周期；的周期；函數(shù)函數(shù)f(x)在在(1,2)上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(2,3)上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；函數(shù)函數(shù)f(x)的最大值是的最大值是1，最小值是，最小值是0；抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)試求試求f(0)的值并證明函數(shù)的值并證明函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)；為奇函數(shù)；(2)若若f(m3x)f(3x9x)f(0)，又又f(x)在在R上是單調(diào)函數(shù)，上是單調(diào)函數(shù)，f

13、(x)在在R上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，f(m3x)f(3x9x)3，可化為：可化為：f(m1)3x9xf(2)，(m1)3x9x0對(duì)任意對(duì)任意xR恒成立令恒成立令t3x，則，則t0，問題等價(jià)于：?jiǎn)栴}等價(jià)于：t2(m1)t20在在(0，)上恒成立，上恒成立，抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié) 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是函數(shù)的三大函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是函數(shù)的三大性質(zhì)，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，高考作為考查學(xué)生綜性質(zhì)，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，高考作為考查學(xué)生綜合能力的選拔性考

14、試，在命題時(shí)，常常將它們綜合在一起合能力的選拔性考試，在命題時(shí)，常常將它們綜合在一起命制試題命制試題抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓(xùn)練訓(xùn)練3】 設(shè)設(shè)f(x)是定義在是定義在R上的上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒，恒有有f(x2)f(x)，當(dāng)，當(dāng)x0,2時(shí)，時(shí)，f(x)2xx2.(1)求證：求證：f(x)是周期函數(shù)；是周期函數(shù)；(2)當(dāng)當(dāng)x2,4時(shí)，求時(shí)，求f(x)的解析式；的解析式；(3)計(jì)算計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 013)思維啟迪思維啟迪(1)只需證明只需證明f(xT)f(x)，即可說明，即可說明f(x)是周是周期函數(shù)；期函

15、數(shù)；(2)由由f(x)在在0,2上的解析式求得上的解析式求得f(x)在在2,0上的解析式，上的解析式，進(jìn)而求進(jìn)而求f(x)在在2,4上的解析式；上的解析式；(3)由周期性求和由周期性求和抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)證明證明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為是周期為4的周期函數(shù)的周期函數(shù)(2) )解解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即即f(x)x26x8，x2,4(3)解解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又又f(x

16、)是周期為是周期為4的周期函數(shù)，的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(0)f(1)1.抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考探究提高探究提高判斷函數(shù)的周期只需證明判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x) (T0)便便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點(diǎn)問題函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點(diǎn)問題抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考

17、點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考 函數(shù)奇偶性問題在高考中至多考一道填空題，且可能函數(shù)奇偶性問題在高考中至多考一道填空題，且可能與函數(shù)單調(diào)性和周期性進(jìn)行有機(jī)融合，判斷函數(shù)奇偶性，與函數(shù)單調(diào)性和周期性進(jìn)行有機(jī)融合，判斷函數(shù)奇偶性，除要用好定義，靈活運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)也會(huì)大大方便解除要用好定義，靈活運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)也會(huì)大大方便解題思維過程題思維過程熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)突破6函數(shù)奇偶性的判定方法函數(shù)奇偶性的判定方法抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考審題與轉(zhuǎn)化審題與轉(zhuǎn)化 第一步第一步：奇偶函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)滿足奇：奇偶函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)滿足奇奇奇奇，奇奇，奇偶非奇非偶，偶偶非

18、奇非偶，偶偶偶偶偶第二步第二步：若：若f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則|f(x)|是偶函數(shù)是偶函數(shù)一一、奇偶函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用奇偶函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用【示例示例】 (2011廣東卷改編廣東卷改編)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)和和g(x)分別是分別是R上的上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論：偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論：|f(x)|g(x)是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；|f(x)|g(x)是偶函數(shù)；是偶函數(shù)；f(x)|g(x)|是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；f(x)|g(x)|是偶函數(shù)，其中恒成立的是是偶函數(shù)，其中恒成立的是_抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考規(guī)范解答規(guī)范解答 第

19、三步第三步：因?yàn)椋阂驗(yàn)間(x)是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，所以|g(x)|是偶是偶函數(shù)，又函數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，所以是偶函數(shù)，所以f(x)|g(x)|是偶函數(shù)，所以僅是偶函數(shù)，所以僅恒成立恒成立反思與回顧反思與回顧 第四步第四步：函數(shù)：函數(shù)|f(x)|不一定具有奇偶性，但不一定具有奇偶性，但f(|x|)一定是偶函數(shù)另外，若一定是偶函數(shù)另外，若f(x)是偶函數(shù)，則必有是偶函數(shù)，則必有f(x)f(|x|)還有，本題要求結(jié)論恒成立，是為了排除還有，本題要求結(jié)論恒成立，是為了排除f(x)0，g(x)0這一特殊情況這一特殊情況抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考審題與轉(zhuǎn)化審題與轉(zhuǎn)化 第一步第一步：y|f(x)|圖象關(guān)于圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得軸對(duì)稱，可得y|f(x)|是偶函數(shù)是偶函數(shù)第二步第二步：y|f(x)|是偶函數(shù)是偶函數(shù)|f(x)|f(x)|.規(guī)范解答規(guī)范解答 第三步第三步：若：若yf(x)是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)，則f(x)f(x)，從而，從而|f(x)|f(x)|f(x)|，反之不成立，故填必，反之不成立，故填必要不充分要不充分二、探求函數(shù)二、探求函數(shù)f(x)是奇偶函數(shù)的充要條件是奇偶函數(shù)的充要條件【示例示例】 (2011山東卷改編山東卷改編)對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)yf(x)，xR，“y|f(x)|的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于y軸