1、第六章 空間問題的解答主要內(nèi)容：1.按位移求解空間問題2.半空間體受重力及均布壓力3.半空間體在邊界上受法向集中力4.按應(yīng)力求解空間問題5.等截面直桿的扭轉(zhuǎn)6.扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬7.橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)8.矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)6.1 按位移求解空間問題按位移求解空間問題 按位移求解空間問題，是取位移分量為基本未函數(shù)。 將幾何方程代入物理方程得：)()2(1E)()2(1E)()2(1E)e21(1E)e21(1E)e21(1Exyuxvxwzuzvywzwyvxuxyzxyzzy(6-1)將式(6-1)代入空間問題平衡微分方程得 6.1 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題XYZ0)ze211()1

2、(20)ye211()1 (20)xe211()1 (2222ZwEYvEXuE(6-2)0)ze211()1 (20)e211()1 (2222ZwEKruurErrr對于軸對稱問題，同樣可以得到：(6-3)6.2 半空間體受重力及均布壓力半空間體受重力及均布壓力dzdwzwyvxuezwwvu)(, 0, 0由于對稱，任一鉛直面均為對稱面，則：由此知基本微分方程6-2前兩式自動滿足，第三式成為：問題描述：設(shè)一半空間體，容重為p=g，在水平邊界上受均布壓力q，如右圖所示，體力分量為X=0，Y=0，Z=g。0)211()1 (2E2222gdzwddzwd(a)整理上式并積分得：BAzEgw2

3、)()1 (2)21)(1 (b)將上式代入6-1得：0)(),(1xxyzxyzzyAzgAzg(c)由邊界條件可得gA=q,則：BzEgw2)gq()1 (2)21)(1 (又有位移邊界條件：0)(hzw)zh(2g)zh(q)1 ()21)(1 (22Ew由此解出B代入得： 6.2 半空間體受重力和均布壓力半空間體受重力和均布壓力6.3 半空間體受法向集中力半空間體受法向集中力問題描述： 設(shè)有半空間體，體力不計，在水平面上受法向集中力P。 由于是軸對稱問題，則平衡方程簡化成如下形式：0ze2110e211222wruurrr應(yīng)力邊界條件為：0)(; 0)(0r , 0zzr0r , 0z

4、z由應(yīng)力邊界條件轉(zhuǎn)化來的平衡方程為：0)2(0Prdrz解上面平衡方程和邊界條件得：5253232223,23),(2)21 (3)21 (2RprzRPzzRRRzRpRzrzRRRprzzrzr由此得水平邊界上任一點的沉降為：ErPwz)1 ()(20特征：(1) R無窮大時，各應(yīng)力分量均趨近為0，R趨近為0 時，各應(yīng)力分量為無窮大 (2) 水平截面上的應(yīng)力與彈性常數(shù)無關(guān)。 (3) 水平截面的全應(yīng)力均指向作用點。 6.3 半空間體受集中力作用半空間體受集中力作用6.4 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題按照應(yīng)力求解問題，是取應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。對幾何方程求2次導(dǎo)可得：yxxyxzzx

5、yzxy22y22x2zx22x22z222z22y2zyyz以上為一組相容方程，同樣的方法可以得到另外一組相容方程：yxyxzxzxzyzyzyxzzxyzxyyyzxyzxxxyzxyz2222)(x2)(y2)(x將物理方程代入上述相容方程得：yx)1 (2)xy()xy)(1 (xz)1 (2)zx()zx)(1 (zy)1 (2)yz()yz)(1 (xy222222y22x2zx222222x22z2yz222222z22y2)1(yx)yxz(z)1 ()1(xz)xzy(y)1 ()1(zy)zyx(x)1 (z2zxyzxyy2yzxyzxx2xyzxyz 6.4 按應(yīng)力求解

6、空間問題按應(yīng)力求解空間問題將平衡方程簡化上式得：)yXxY)(1 (yx)1 ()xZzX)(1 (xz)1 ()zYyZ)(1 (zy)1 (yYxXzZ)2(11z)1 (xXzZyY)2(11y)1 (zZyYxX)2(11x)1 (2xy22zx22yz222z222y222x2 6.4 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題同時得到：0yx)1 (0 xz)1 (0zy)1 (0z)1 (0y)1 (0 x)1 (2xy22zx22yz222z222y222x2 6.4 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題滿足上述兩個相容方程，并滿足平衡方程即可求解空間問題的應(yīng)力解。6.5 等截面直桿

7、的扭轉(zhuǎn)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)柱體扭轉(zhuǎn)柱體扭轉(zhuǎn)橫截面翹曲翹曲自由扭轉(zhuǎn)翹曲不受限制約束扭轉(zhuǎn)翹曲受到限制彈性力學(xué)討論自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)柱體自由扭轉(zhuǎn)計算模型自由扭轉(zhuǎn)假設(shè) 1. 剛截面假設(shè) 2.翹曲假設(shè)位移解法基本方程 6.5 等截面直桿扭轉(zhuǎn)等截面直桿扭轉(zhuǎn)z 單位長度相對扭轉(zhuǎn)角 xzvyzu),(yxw022222yx調(diào)和方程柱體扭轉(zhuǎn)邊界條件側(cè)面邊界條件側(cè)面邊界條件xmylmylx翹曲函數(shù)表達(dá)端面邊界條件困難端面邊界條件端面邊界條件T=GD 6.5 等截面直桿扭轉(zhuǎn)等截面直桿扭轉(zhuǎn)柱體扭轉(zhuǎn)應(yīng)力解法扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)y(x, y)普朗特（Prandtl）扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù) 6.5 等截面直桿扭轉(zhuǎn)等截面直桿扭轉(zhuǎn)xyyzxzyy,C

8、y2)(, )(xyGxyxGyyyG2yc=const SyxTdd2y邊界條件側(cè)面?zhèn)让娑嗣娑嗣鎲芜B域取為06.6 薄膜比擬薄膜比擬德國力學(xué)家普朗特（Prandtl） 基本思想： 作用均勻壓力的薄膜與柱體扭轉(zhuǎn)有著相似的微分方程和邊界條件 通過測試薄膜彎曲的情況，分析柱體扭轉(zhuǎn)時橫截面的應(yīng)力分布 薄膜比擬T22222FqZyZxZ薄膜邊界垂度 Z=0 SyxZVdd22薄膜垂度微分方程 薄膜所圍的體積調(diào)整薄膜的高度， 使2V=T，則Z=y 薄膜垂度薄膜垂度Z與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力具有相同的函數(shù)形式與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力具有相同的函數(shù)形式y(tǒng)c=0 SyxTdd2yCy2 6.6 薄膜比擬薄膜比擬 薄膜曲面可以形象地描述柱

9、體橫截面的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分布薄膜的等高線 6.6 薄膜比擬薄膜比擬0sZ0synsyysn,0切應(yīng)力方向沿薄膜等高線切線切應(yīng)力與等高線法線方向?qū)?shù)成正比切應(yīng)力與等高線相切切應(yīng)力線 s6.7 橢圓截面桿件扭轉(zhuǎn)橢圓截面桿件扭轉(zhuǎn)橢圓截面桿件扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)) 1(),(2222byaxmyxy) 1(2222byaxabT最大切應(yīng)力橫截面翹曲xbaTyabTyzxz332,24242222byaxabTyzxzbaTabT2min2max2,2xybGabaTyxw3322),( 6.7 橢圓截面桿件橢圓截面桿件扭轉(zhuǎn)應(yīng)力6.8 矩形截面桿件扭轉(zhuǎn)矩形截面桿件扭轉(zhuǎn)矩形截面桿件扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)構(gòu)造困難應(yīng)力解法基本方程為

10、泊松方程任何泊松方程，只要找到它的一個特解，都可以化成拉普拉斯方程。協(xié)調(diào)方程 特解 yG22)(222byG)(),(),(220byGyxyxyy協(xié)調(diào)方程側(cè)面邊界條件002y0cy0),(,)(),(,0220bxbybyGyaaxyy 6.8 矩形截面桿件矩形截面桿件)(),(),(220byGyxyxyy協(xié)調(diào)方程側(cè)面邊界條件002y0),(,)(),(,0220bxbybyGyaaxyy設(shè) )()(),(0yYxXyxy0 XYYX0022YYXX 6.8 矩形截面桿件矩形截面桿件2YYXXyDxyCYsincosxBxAXsinhcosh根據(jù)薄膜比擬，應(yīng)力函數(shù)為x和y的偶函數(shù)，所以 y

11、xAyxycoscosh),(0協(xié)調(diào)方程的特解線性迭加就是方程通解 yxAyxnnnycoscosh),(00根據(jù)邊界條件 0coscoshbxAnnn0coshxAn0cosbn)2, 1 ,0(,2)12(nbnn所以 ybnxbnAyxn2)12(cos2)12(cosh),(00y 6.8 矩形截面桿件矩形截面桿件根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件)(),(220byGyay則)(2)12(cos2)12(cosh220byGybnabnAn兩邊同時乘以 yybnd2)12(cos并在（-b，b）區(qū)間積分，可得 aGnbAnnncosh)12(32)1(3321應(yīng)力函數(shù) )(coscoshcosh)12(32)1(),(2203321byGyaxnGbyxnnnny 6.8 矩形截面桿件矩形截面桿件yaxnbGyyaxnbGnnnnyznnnnxzcoscoshsinh)12(1)1(162sincoshcosh)12(1)1(16022022由端面面力邊界條件確定 05543tanh)