1、一.比例的根本性質(zhì)(注：注：a, b, c, d 都不等于零都不等于零)bcaddcba) 1 (acbcbba2)2(b是是a,c的比例中項(xiàng)的比例中項(xiàng))二.比例的根本方法：1、交叉相乘法；、交叉相乘法；2、兩邊同加減；、兩邊同加減；3、設(shè)、設(shè)“t法法dbcadcba) 1 (ddcbbadcba)2(三.比例的常見證明方法：bafdbecafedcba)3(“更比定理更比定理“合比定理合比定理“等比定理等比定理1. 假設(shè)假設(shè)a, b, c, d成比例成比例,且且a=2, b=3, c=4,那么那么d= 62、以下各組線段的長(zhǎng)度成比例的是、以下各組線段的長(zhǎng)度成比例的是 A. 2 , 3, 4,

2、 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4 四.練習(xí)一：Dmn m= n56知 ,求 的值.3、；，求）已知、xxxx3: )1 () 1( :1 (4；，求）已知（yxyxyx2132256213337_.(),()_.cmcm+-+-23， 23兩數(shù)的比例中項(xiàng)是兩線段 2323的比例中項(xiàng)是7(),_,_.xyzxyzyxyzxyz-+=+-+1則379344119756、知、知1, 2, 3三個(gè)數(shù)，請(qǐng)他再添上一個(gè)數(shù)，寫出一個(gè)三個(gè)數(shù)，請(qǐng)他再添上一個(gè)數(shù)，寫出一個(gè)比例式。比例式。 1cm1“設(shè)設(shè)t法法.A AP

3、 PB B點(diǎn)點(diǎn)P P把線段把線段ABAB分成兩部分分成兩部分, ,假設(shè)假設(shè)那么稱線段那么稱線段ABAB被點(diǎn)被點(diǎn)P P黃金分割黃金分割, ,點(diǎn)點(diǎn)P P為線段為線段AB AB 的的 黃金分割點(diǎn)黃金分割點(diǎn), , APAP與與ABAB的比值的比值 這個(gè)比值稱為這個(gè)比值稱為 黃金比黃金比. .PBAPAPAB=五.黃金分割:618. 0215ABAP六、畫黃金分割點(diǎn)；六、畫黃金分割點(diǎn)；知線段知線段AB=a,用直尺和圓規(guī)作出它的黃金分割點(diǎn)用直尺和圓規(guī)作出它的黃金分割點(diǎn)作法作法:ABCED如下圖，點(diǎn)如下圖，點(diǎn)D即為所要求作的即為所要求作的線段線段AB的黃金分割點(diǎn)。的黃金分割點(diǎn)。MABFCDEGH如下圖，點(diǎn)如

4、下圖，點(diǎn)H即為所要求作即為所要求作的線段的線段AB的黃金分割點(diǎn)。的黃金分割點(diǎn)。一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)。一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)。1.1.作頂角為作頂角為3636的等腰的等腰ABC;ABC;量出量出 底底BCBC與腰與腰ABAB的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度, ,計(jì)算計(jì)算: ; : ; 2.2.作作BB的平分線的平分線, ,交交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)D,D,量出量出CDCD的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度, , 再計(jì)算再計(jì)算: . (: . (準(zhǔn)確到準(zhǔn)確到0.001)0.001)DDC CA AB BE EBCABCDBC0.6180.6180.6180.618DD頂角為頂角為3636的等腰三角形稱為的等腰三角形稱為 黃金三角形黃金三角

5、形 點(diǎn)點(diǎn)D D是線段是線段ACAC的黃金分割點(diǎn)的黃金分割點(diǎn). .七.練習(xí)二：l斷定兩個(gè)三角形類似的方法斷定兩個(gè)三角形類似的方法:l1. 定義定義l2. 平行于三角形一邊的直線截其它兩邊平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或其延伸或其延伸線線),所截得的三角形與原三角形類似所截得的三角形與原三角形類似.-“平行平行l(wèi)3. 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形類似兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形類似.-“AAl4. 兩邊對(duì)應(yīng)成比例兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個(gè)三角形類似且夾角相等的兩個(gè)三角形類似.l -“SASl5. 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形類似三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形類似.-“SSS 八、回想與反思ABCDEA

6、DEBCEDCBA回想與反思類似三角形的性質(zhì)：類似三角形的性質(zhì)：1.類似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。類似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。2 .類似三角形對(duì)應(yīng)高之比，對(duì)應(yīng)中線比，對(duì)應(yīng)角平分線類似三角形對(duì)應(yīng)高之比，對(duì)應(yīng)中線比，對(duì)應(yīng)角平分線比等于類似比。比等于類似比。3.類似三角形周長(zhǎng)比等于類似比，面積比等于類似類似三角形周長(zhǎng)比等于類似比，面積比等于類似比的平方。比的平方。4. 三角形的重心分每一條中線成三角形的重心分每一條中線成1：2的兩條線段。的兩條線段。5.類似多邊形周長(zhǎng)比等于類似比，面積比等于類似類似多邊形周長(zhǎng)比等于類似比，面積比等于類似比的平方。比的平方。類似的根本圖形類似的根本圖形A

7、BCDE(1)DEBCABCDEDEBC(2)ABCDE(3)ABCD(4)BAD=CAB2=BDBCABCDACB=90，CDAB(5)ABCDE(6)D=C例例1.知：如圖，知：如圖，ABC中，中，P是是AB邊上的一點(diǎn)，連邊上的一點(diǎn)，連結(jié)結(jié)CP滿足一個(gè)什么條件時(shí)滿足一個(gè)什么條件時(shí) ACPABC 解解:A= A，當(dāng)當(dāng)1= ACB 或或2= B時(shí)，時(shí)， ACPABC APBC121、條件探求型、條件探求型答：當(dāng)答：當(dāng)1= ACB 或或2= B 或或AC APAB時(shí)時(shí), ACPABC. A= A，當(dāng)當(dāng)AC:APAB:AC時(shí)，時(shí)， ACPABC例例2.將兩塊完全一樣的等腰直角三角板擺成如圖的樣子，

8、將兩塊完全一樣的等腰直角三角板擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中的一切點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，那么圖中有假設(shè)圖形中的一切點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，那么圖中有類似不包括全等三角形嗎？如有，把它們一類似不包括全等三角形嗎？如有，把它們一 一寫一寫出來出來.解：有類似三角形，它們是：解：有類似三角形，它們是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA ADE BAE CDA2、結(jié)論探求型、結(jié)論探求型CABDEGF2 G K H F B A E D C第題例例3如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，那么以下圖中的三角形陰影部分與，那么以下圖中的三角形陰影部分與左圖中左圖中ABC類似的是類似

9、的是 ABCDABC十一十一. .填空、選擇題填空、選擇題: :1 1、如圖，、如圖，DEBC, DEBC, AD:DB=2:3, AD:DB=2:3, 那么那么 AED AED和和 ABCABC 的類似比為的類似比為. .ABCDE2:552cm2、 知三角形甲各邊的比為知三角形甲各邊的比為3:4:6， 和它類似的三和它類似的三角形乙的最大邊為角形乙的最大邊為10cm，那么三角形乙的最短邊，那么三角形乙的最短邊為為_cm.3、等腰三角形、等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為的腰長(zhǎng)為18cm，底邊長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為6cm,在腰在腰AC上取點(diǎn)上取點(diǎn)D, 使使ABC BDC, 那那么么DC=_.4.4.如圖，如圖

10、，ADE ADE ACB,ACB, 那么那么DE:BC=_ DE:BC=_ 。5.5.如圖，如圖，D D是是ABCABC一邊一邊BCBC 上一點(diǎn)，銜接上一點(diǎn)，銜接AD,AD,使使 ABC ABC DBADBA的條件是的條件是 . . A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CDBC D. AB2=BDBC C. AB2=CDBC D. AB2=BDBC6.D6.D、E E分別為分別為ABC ABC 的的ABAB、ACAC上上的點(diǎn)，且的點(diǎn)，且DEBCDEBC，DCB= ADCB= A，把每?jī)蓚€(gè)類似的三角

11、形稱為一組，那把每?jī)蓚€(gè)類似的三角形稱為一組，那么圖中共有類似三角形么圖中共有類似三角形_組。組。ACBDE27331:31:3D DABEDCDCBA7、D點(diǎn)是點(diǎn)是ABC的邊的邊AC上的一點(diǎn)，過上的一點(diǎn)，過D點(diǎn)畫點(diǎn)畫線段線段DE，使點(diǎn)，使點(diǎn)E在在ABC的邊上，并且點(diǎn)的邊上，并且點(diǎn)D、點(diǎn)點(diǎn)E和和ABC的一個(gè)頂點(diǎn)組成的小三角形與的一個(gè)頂點(diǎn)組成的小三角形與ABC類似。問：這樣的三角形可以畫幾個(gè)？類似。問：這樣的三角形可以畫幾個(gè)？畫出畫出DE，并且寫出添線方法。，并且寫出添線方法。ABC(3)DE1E2E3E4十二、證明題：1. D為ABC中AB邊上一點(diǎn)， ACD=ABC. 求證：AC2=ADAB.E

12、 EA AB BC CD DM MABCD2. ABC中中,BAC是直角，過斜是直角，過斜 邊中點(diǎn)邊中點(diǎn)M而垂直于斜邊而垂直于斜邊BC的直線的直線 交交CA的延伸線于的延伸線于E，交，交AB于于D， 連連AM. 求證：求證： MAD MEA AM2 =MD ME1. 如圖如圖,平行四邊形平行四邊形ABCD中中,AE:EB=2:3, 那么那么SAPE :SCPD=_.ABCDEP1.如圖如圖,梯形梯形ABCD中中,對(duì)角線對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O,設(shè)設(shè)OCD, OAD ,OAB, OCB的面積分別為的面積分別為S1,S2,S3,S4,且且 試探求試探求S1,S2,S3,S4之間的數(shù)量關(guān)系

13、之間的數(shù)量關(guān)系.AODCB13CDABS1S2S3S4“同高型同高型1.如圖如圖,梯形梯形ABCD中中,對(duì)角線對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O,設(shè)設(shè)OCD, OAD ,OAB, OCB的面積分別為的面積分別為S1,S2,S3,S4,且且 試探求試探求S1,S2,S3,S4之間的數(shù)量關(guān)系之間的數(shù)量關(guān)系.AODCB13CDABS1S2S3S4“同底等高型同底等高型2.2.等積法等積法: :等底等高的兩三角形面積相等等底等高的兩三角形面積相等. .1.1.直接法直接法: :根據(jù)三角形的面積公式解題根據(jù)三角形的面積公式解題. .12S 底 高類似三角形的面積比等于類似比的平方類似三角形的面積比等于類

14、似比的平方. .3.3.等比法等比法: :將面積比轉(zhuǎn)化為線段比將面積比轉(zhuǎn)化為線段比. .在類似三角形中求面積的常用方法在類似三角形中求面積的常用方法等底等底( (或同底或同底) )的三角形面積之比等于高之比的三角形面積之比等于高之比. .等高等高(或同高或同高)的三角形面積之比等于對(duì)應(yīng)底之比的三角形面積之比等于對(duì)應(yīng)底之比. 1.在在ABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)從點(diǎn)A開開場(chǎng)沿場(chǎng)沿AB邊向邊向B點(diǎn)以點(diǎn)以2cm/秒的速度挪動(dòng)，點(diǎn)秒的速度挪動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)從點(diǎn)B開場(chǎng)沿開場(chǎng)沿BC向點(diǎn)向點(diǎn)C以以4cm/秒的速度挪動(dòng)，假設(shè)秒的速度挪動(dòng)，假設(shè)P、Q分別從分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘同時(shí)

15、出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘BPQ與與BAC類似？類似？分析：由于分析：由于PBQ與與ABC有公共角有公共角B；所以；所以假設(shè)假設(shè)PBQ與與ABC類似，那么有兩種能夠一種類似，那么有兩種能夠一種情況為情況為 ,即即PQAC;另一種情況為另一種情況為 CBQBABPBABQBCBPBB BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒 2.如圖，知：如圖，知：ABDB于點(diǎn)于點(diǎn)B ，CDDB于點(diǎn)于點(diǎn)D，AB=6，CD=4，BD=14.問：在問：在DB上能否存上能否存在在P點(diǎn)，使以點(diǎn)，使以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形類似？假設(shè)存在，計(jì)算出點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形類似？假設(shè)

16、存在，計(jì)算出點(diǎn)P的位置；假設(shè)不存在，請(qǐng)闡明理由。的位置；假設(shè)不存在，請(qǐng)闡明理由。4614ADCBE解解:假設(shè)存在這樣的點(diǎn)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使，使ABPCDP 設(shè)設(shè)PD=x，那么，那么PB=14x，6：4=14x:x那么有那么有AB:CD=PB:PD或或AB:PD=PB:CDx=5.6P6x14x4ADCB設(shè)設(shè)PD=x，那么，那么PB=14x，6：x=14x :4x=2或或x=12x=2或或x=12或或x=5.6時(shí)，以時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三為頂點(diǎn)的三角形與以角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形類似為頂點(diǎn)的三角形類似Px=2或或x=12或或x=5.6時(shí)，以時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三為頂點(diǎn)的三角形

17、與以角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形類似為頂點(diǎn)的三角形類似46x14xDBCAp3.如圖，在如圖，在ABC中，中，C=90，P為為AB上上一點(diǎn)，且點(diǎn)一點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)不與點(diǎn)A重合，過點(diǎn)重合，過點(diǎn)P作作PEAB交交AC邊于邊于E點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)E不與點(diǎn)不與點(diǎn)C重合，假設(shè)重合，假設(shè)AB=10，AC=8， 設(shè)設(shè)AP 的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為x， 四邊四邊形形PECB的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為y，求，求y與與x之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系式式 x E A P C B4、如圖，正方形、如圖，正方形ABCD中，中，AB4，G為為DC中中點(diǎn)，點(diǎn)，E在在BC邊上運(yùn)動(dòng)，邊上運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)B、點(diǎn)、點(diǎn)C不重合不重合設(shè)設(shè)BEx，過，過E

18、作作GA平行線交平行線交AB于于F，設(shè)，設(shè)AFEG面積為面積為y，寫出，寫出y與與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量量x的取值范圍。的取值范圍。ABCDEFG5、如圖，正方形、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)，點(diǎn)P是是BC邊上不與點(diǎn)邊上不與點(diǎn)B、C重合的恣意一點(diǎn)，連重合的恣意一點(diǎn)，連結(jié)結(jié)AP，過點(diǎn)，過點(diǎn)P作作PQAP交交DC于點(diǎn)于點(diǎn)Q,設(shè)設(shè)BP的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為xcm,CQ的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為ycm. (1)求點(diǎn)求點(diǎn)P在在BC上運(yùn)動(dòng)的過程中上運(yùn)動(dòng)的過程中y的最大值的最大值;(2)當(dāng)當(dāng)y = cm時(shí)時(shí),求求x的值的值.41ABCDPQ6.如圖如圖,在線段在線段BA上任取一上任取

19、一P，連結(jié)，連結(jié)PC,過過P作作PEPC，與線段，與線段DB交于點(diǎn)交于點(diǎn)E，1試確定試確定AP=2.5時(shí)點(diǎn)時(shí)點(diǎn)E的位置；的位置；2假設(shè)設(shè)假設(shè)設(shè)AP=x，BE=y，試寫出，試寫出y關(guān)于自關(guān)于自變量變量x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取的取值范圍值范圍.438ADCBPEFABCDE7.在在ABC中，中，BAC=90,AB=AC=2，點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別以每秒分別以每秒 個(gè)單位和個(gè)單位和每秒每秒1個(gè)單位的速度沿個(gè)單位的速度沿BC和和CA方向方向運(yùn)動(dòng)，那么運(yùn)動(dòng)了幾秒后，運(yùn)動(dòng)，那么運(yùn)動(dòng)了幾秒后，ABD和和CDE類似。類似。2ABCDE在在ABC中，中，BAC=90,AB=AC=1，點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別以每秒分別以每秒 個(gè)單位和個(gè)單位和每秒每秒1個(gè)單位的速度沿個(gè)單位的速度沿BC和和CA方向方向運(yùn)動(dòng)，那么運(yùn)動(dòng)了幾秒后，運(yùn)動(dòng)，那么運(yùn)動(dòng)了幾秒后，CDE面面積最大。積最大。28.等腰等腰ABC中，中，AB=AC=8。BAC=120，P為為BC的中點(diǎn)，小慧拿著含的中點(diǎn)，小慧拿著含30角的透明三角板，使角的透明三角板，使30角的頂角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)點(diǎn)落在點(diǎn)P，三