1、5.5 微分一、微分的概念二、微分的計算三、高階微分四、微分在近似計算中的應(yīng)用五、小結(jié)一、微分的概念一、微分的概念復(fù)習(xí)，導(dǎo)數(shù)定義 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)Ax .,很小時可忽略很小時可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx

2、01、問題的提出、問題的提出再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時時當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值因此希望用 問題問題: :這個線性函數(shù)這個線性函數(shù)(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?2、微分的定義、微分的定義定義定義x0 x0 xx( )yf xy00()xxU

3、 x 相應(yīng)地函數(shù)的增量為00()()yf xxf x ()yAxox 0.x xdyAx即 .的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實質(zhì)微分的實質(zhì)) )0( )x xdf xAx或 由定義知由定義知: :(1);dyx是自變量的改變量的線性齊次函數(shù);)()2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等價無窮小是等價無窮小與與時時當(dāng)當(dāng)ydyA dyy xAxo )(1).0(1x;)(,)4(0有有關(guān)關(guān)和和但但與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與xxfxA ).(,)5(線線性性主主部部很很小小時時當(dāng)當(dāng)dyyx 3、可微的條件、可微的條件).(,)

4、()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點在點函數(shù)函數(shù)定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點即函數(shù)即函數(shù)(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在點在點函數(shù)函數(shù)).(.0 xfA 可可微微可

5、可導(dǎo)導(dǎo)dydx( )xxx 例例1 1解解.02. 0, 23時的微分時的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)數(shù)也叫該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數(shù)的微分即函數(shù)的微分dxdy4、微分的幾何意義、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) ).,對應(yīng)的增量對應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時坐標(biāo)增量時是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 P

6、 .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點在點很小時很小時當(dāng)當(dāng) 二、微分的計算 1、四則運(yùn)算法則與基本初等函數(shù)微分公式、四則運(yùn)算法則與基本初等函數(shù)微分公式dxxfdy)( 微分算法微分算法: : 計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 由由 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxx

7、ddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)si

8、n()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 2、一階微分形式的不變性、一階微分形式的不變性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自變變量量時時若若則則微函數(shù)微函數(shù)的可的可即另一變量即另一變量是中間變量時是中間變量時若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，知( )dyftdt ,)(dxdtt .)(dxxfdy ( )( )fxt dt,( )xyf x無論 是自變量還是中間變量 函數(shù)的微分形式總是結(jié)論結(jié)論：微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)( 用微分形式不變性是計算復(fù)合函數(shù)的微分可以不漏、不亂、不易出錯。例例

9、4 4解解.,sindybxeyax求求設(shè)設(shè) )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例3 3解解.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例5 5解解在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1cost

10、dtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 三、高階微分 1.概念( )dyfx dx定義： 即2d yd dy 即1nnd yd dy二階或二階以上的微分，統(tǒng)稱為高階微分。 即32d yd d y2,3,n 2.高階微分的計算高階微分的計算 由微分定義，2( )d yd dyd fx dx2( )fxdx23( )d yd fxdx3( )fxdx 1(1)( )nnd fxdx( )( )nnfxdx( )fx dxdx2( )fxdxdx1n

11、nd yd dy1(1)( )nnfxdxdx 上述高階微分公式又可寫為：注意： 上述計算總假定對應(yīng)導(dǎo)數(shù)存在。,nndxdx1;nnd xnxdx20.d xd dx( )( )nnnd yfxdx( )( )nnnd yfx dx1,2,n 222( )( ) d yfxdxfx d x3. 高階微分不具有形式不變性( )yfg t由一階微分形式不變性知：( )dyfx dx但對高階微分 從而2( )d yd dyd fx dx( )( )dfxdxfx d dx 故高階微分不具有微分形式不變性。 例 解： 法1 于是22 cosytt 22222 cos2cos4sinyttttt 222

12、22cos4sind ytttdt法2 222( )( )d yfxdxfx d x22sincosxdxxd x 22222sin2cos2ttdttdt 22222cos4sintttdt錯誤22( )d yfxdx222sin2ttdt 2224sintt dt 解法，見幾何意義四、微分在近似計算中的應(yīng)用 1、計算函數(shù)增量的近似值、計算函數(shù)增量的近似值00( )()0,yf xxfxx若在點 處的導(dǎo)數(shù) 且很小時例例1 1?,05. 0,10問面積增大了多少問面積增大了多少厘米厘米半徑伸長了半徑伸長了厘米的金屬圓片加熱后厘米的金屬圓片加熱后半徑半徑解解,2rA 設(shè)設(shè).05. 0,10厘米厘

13、米厘米厘米 rr2AdArr05. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 2、計算函數(shù)的近似值、計算函數(shù)的近似值01).( );f xxx求在點附近的近似值)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x 例例1 1.0360coso的近似值的近似值計算計算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 2).( )0;f xx 求在點附近的近似

14、值.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式)(很小時很小時x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為弧度為弧度為弧度為弧度證明證明,1)()1(nxxf 設(shè)設(shè),)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例2 2.計計算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0

15、110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 3、誤差估計、誤差估計由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤差，我們把它叫做差，我們把它叫做間接測量誤差間接測量誤差.定義：定義：.,的絕對誤差的絕對誤差叫做叫做那末那末為為它的近似值它的近似值如果某個量的精度值為如果某個量的精度值為aaAaA .的相對誤差的相對誤差叫做叫做的比值的比

16、值而絕對誤差與而絕對誤差與aaaAa 問題問題:在實際工作中在實際工作中,絕對誤差與相對誤差無法求得絕對誤差與相對誤差無法求得?辦法辦法: :將誤差確定在某一個范圍內(nèi)將誤差確定在某一個范圍內(nèi). .,的相對誤差限的相對誤差限叫做測量叫做測量而而的絕對誤差限的絕對誤差限叫做測量叫做測量那末那末即即又知道它的誤差不超過又知道它的誤差不超過測得它的近似值是測得它的近似值是如果某個量的精度值是如果某個量的精度值是AaAaAaAAAAA 通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為絕對誤絕對誤差差與與相對誤差相對誤差.量量y相對誤差限為相對誤差限為00().yf x間接測量誤差0(

17、 )()yf xf x0()fxx0()xfx00()()xfxf x0yy例例3 3.,005. 041. 2誤差誤差并估計絕對誤差與相對并估計絕對誤差與相對求出它的面積求出它的面積米米正方形邊長為正方形邊長為 解解則則面積為面積為設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為,yx.2xy ,41. 2時時當(dāng)當(dāng) x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 ,005. 0 x 邊長的絕對誤差為邊長的絕對誤差為005. 082. 4 y 面積的絕對誤差為面積的絕對誤差為).(0241. 02m yy 面積的相對誤差為面積的相對誤差為8081. 50241. 0 %

18、.4 . 0 五、小結(jié)五、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做叫做微分學(xué)微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 10000它是無窮小它是無窮小實際上實際上定義域是定義域是它的它的的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而微分而微分處的導(dǎo)數(shù)是一個定數(shù)處的導(dǎo)數(shù)是一個定數(shù)在點在點函數(shù)函數(shù)Rx

19、xxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 000000002.,()( )(,(),()()( )(,().fxyf xxf xdyfxxxyf xxf xx從幾何意義上來看是曲線在點處切線的斜率 而微 分是曲線在點處的切線方程在點的縱坐標(biāo)增量近似計算的基本公式近似計算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小時時當(dāng)當(dāng) x ,0時時當(dāng)當(dāng) x1nnd yd dy( )( )nnnd yfx dx思考題思考題 因因為為一一元元函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性

20、性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性是是等等價價的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是微微分分”，這這說說法法對對嗎嗎？思考題解答思考題解答說法不對說法不對. 從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念的極限，它們是完全不同的概念. 一、一、 填空題：填空題：1 1、 已知函數(shù)已知函數(shù)2)(xxf 在點在點x處的自變量的增量為處的自變量的增量為0.20.2，對應(yīng)的函數(shù)增量的線性全部是，對應(yīng)

21、的函數(shù)增量的線性全部是dy=0.8=0.8，那，那么自變量么自變量x的始值為的始值為_._.2 2、 微分的幾何意義是微分的幾何意義是_._.3 3、 若若)(xfy 是可微函數(shù)，則當(dāng)是可微函數(shù)，則當(dāng)0 x時，時， dyy 是關(guān)于是關(guān)于x 的的_無窮小無窮小. .4 4、 xdxd sin_ . .5 5、 dxedx2_ . .6 6、 xdxd3sec_2 . .7 7、 xexY22 , ,_22dxdedYx . .8 8、 _)2(arctan2 xed， _ xde. .練練 習(xí)習(xí) 題一題一二、二、 求下列的函數(shù)的微分：求下列的函數(shù)的微分：1 1、 12 xxy；2 2、 2)1l

22、n(xy ；3 3、 21arcsinxy ；4 4、2211arctanxxy ； 5 5、xeyx3cos3 ，求，求3 xdy； 6 6、求由方程、求由方程22)cos(yxxy 所確定的所確定的 y微分微分. .一一、1 1、- -2 2；2 2、曲曲線線的的切切線線上上點點的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)的的相相應(yīng)應(yīng)增增量量；3 3、高高階階； 4 4、Cx cos1；5 5、Cex 221； 6 6、Cx 3tan31；7 7、xex22,； 8 8、xxee4222 . .二二、1 1、dxx232)1( ； 2 2、dxxx1)1ln(2 ；練習(xí)題一答案練習(xí)題一答案3 3、 10 ,101,122xxdxxxdxdy；4 4、dxxx412 ；5 5、dx3；6 6、dxxy. .一、一、 填空題：填空題：1 1、 利用公式利用公式)()()(000 xxxfxfxf 計算計算)(xf時，要求時，要求_很小很小. .2 2、 當(dāng)當(dāng)0 x時 ， 由 公 式時 ，