1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)提要第一章隨機事件與概率1 .事件的關(guān)系A(chǔ)uBA=BABABAQ*AB=*2 .運算規(guī)則(1)A，jB=B=AAB=BA(2) (A一B)一C=A(B一C)(AB)C=A(BC)(3) (A一B)C=(AC)一(BC)(AB)一C=(A_C)(BC)(4) A_BABABA_B3.概率P(A)滿足的三條公理及性質(zhì)：(1)0<P(A)<1(2)P(C)=1nn(3)對互不相容的事件Ai,A2,，An,有P(UAk)=£P(Ak)(n可以取8)k4k1(4)P=0(5)P(可=1P(A)(6)P(A-B)=P(A)-P(AB)，若AuB,則P(B_A)=P

2、(B)-P(A),P(A)<P(B)P(AB)=P(A)P(B)-P(AB)(8)P(A一B一C)=P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)P(ABC)4 .古典概型：基本事件有限且等可能5 .幾何概率6 .條件概率(1)定義：若P(B)>0,則P(A|B)=P(AB)P(B)(2) 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)若B1,B2，Bn為完備事件組，P(Bi)>0,則有n(3) 全概率公式：P(A)=£P(BJP(A|Bj)i1(4) Bayes公式：P(Bk|A)='、P(Bi)P(A|Bi)1 17.事件的獨立性：A,B獨立u

3、P(AB)=P(A)P(B)(注意獨立性的應(yīng)用)第二章隨機變量與概率分布1 .離散隨機變量：取有限或可列個值，P(X=Xi)=Pi滿足(1)Pi之0,(2)£Pi=1(3)對任意DuR,P(XwD)=£pii:為.D2 .連續(xù)隨機變量：具有概率密度函數(shù)f(x),滿足(1)f(x)>0,-f(x)dx=1；.一二二bP(aWXWb)=ff(x)dx；(3)對任意awR,p(x=a)=03.幾個常用隨機變量名稱與記號分布列或爸度數(shù)學(xué)期望力差兩點分布B(1,p)P(X=1)=p,P(X=0)=q=1pppq二項式分布B(n,p)P(X=k)=C：pkqn”,k=0,1,2，

4、n,npnpqPoisson分布P(九)-kP(X=k)=e±,k=0,1,2,k!九X幾何分布G(p)P(X=k)=qk，p,k=1,2,1pq2p均勻分布U(a,b)-1.f(x)=,aExWb,b-aa+b2(b-a)F()=0,F()=1;(2)單調(diào)非降；(3)右連續(xù)；(4)P(a<X<b)=F(b)F(a),特另IJP(X>a)=1F(a);(5)對離散隨機變量，F(xiàn)(x)=£Pi；i：%二xx,(6)對連續(xù)隨機變量，F(xiàn)(x)=Lf(t)dt為連續(xù)函數(shù)，且在f(x)連續(xù)點上，F(xiàn)(x)=f(x)5.正態(tài)分布的概率計算以小(x)記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1

5、)的分布函數(shù)，則有2x-L(1)(0)=0.5；(2)陽x)=1G(x)；(3)若XN(R,o)，則F(x)=中(一)；12指數(shù)分布E(*Jf(x)=ee,x>01九1TTA正態(tài)分布N(N,。2)1_(x42f(x)-=e2c2V2n。2CJ4.分布函數(shù)F(x)=P(X<x),具有以下性質(zhì)(4)以U值記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的上側(cè)0分位數(shù)，則P(X>ua)=a=1-C>(ua)6.隨機變量的函數(shù)Y=g(X)(1)離散時，求Y的值，將相同的概率相加；(2)X連續(xù)，g(x)在X的取值范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則fY(y)=fx(g,(y)l(g,(y)'l

6、,若不單調(diào)，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。第三章隨機向量1 .二維離散隨機向量，聯(lián)合分布列P(X=x,Y=y)=pu,邊緣分布列P(X=Xi)=p“P(Y=yj)=pj有(1) pj20；(2)Zpu=1；(3)p,=£pu,p,j=£Pijjj2 .二維連續(xù)隨機向量，聯(lián)合密度f(x,y),邊緣密度fX(x),fY(y),有4040(1)f(x,y)之0；(2)fLf(x,y)=1；(3)P(X,Y)wG)=£f(x,y)dxdy；4 4)fX(x)=ff(x,y)dy,fv(y)=f(x,y)dx，一|*"03.二維均勻分布,其中m(G)為G的面積(xy)-G

7、f(x,y)=m(G)，(，y)f(x,y)=exp：2(1-P2)：(x-E)(y卜2)4(丫一匕)2I,0,其它且*N(X,%24.二維正態(tài)分布(X,Y)N(Ni,N2,Oi,O2,P),其密度函數(shù)(牢記五個參數(shù)的含義),YN(L戶2)；5 .二維隨機向量的分布函數(shù)F(x,y)=P(X<x,Y<y)有(1)關(guān)于x,y單調(diào)非降；(2)關(guān)于x,y右連續(xù)；(3) F(x,-«)=F(iy)=F()=0；(4) F(,f)=1,F(x,F=Fx(x),F(y,y)=FY(y);(5) P(x1<XEx?$<丫Ey?)=F(x2y2)F(x11y2)F(x2,%)+

8、F(x1，y1)；(6)對二維連續(xù)隨機向量,f(x,y)=-F(x,y):x:y6 .隨機變量的獨立性X,Y獨立uF(x,y)=Fx(x)Fy(y)(1) 離散時X,Y獨立仁pij=pi,pj(2) 連續(xù)時X,Y獨立=f(x,y)=fX(x)fY(y)22.(3) 二維正態(tài)分布X,Y獨立=P=0,且X+YN(»+N2e1+仃2)7 .隨機變量的函數(shù)分布(1) 和的分布Z=X+Y的密度fz(z)=Lf(zy,y)dy=L，f(x,zx)dx(2) 最大最小分布第四章隨機變量的數(shù)字特征1.期望(1)離散時E(X)=£xiR,E(g(X)=£g(x。pi；(2)連續(xù)時E

9、(X)=fxf(x)dx,E(g(X)=f：g(x)f(x)dx；二維時E(g(X,Y)=£g(K,yj)pj,E(g(X,Y)=亡g(x,y)f(x,y)dxdy-2-2i，j(4)E(C)=C;(5)E(CX)=CE(X);(6) E(X+Y)=E(X)+E(Y)；(7) X,Y獨立時，E(XY)=E(X)E(Y)2 .方差(1)方差D(X)=E(X-E(X)2=E(X2)(EX)2,標(biāo)準(zhǔn)差<r(X)=Jd(X)；(2) D(C)=0,D(X+C)=D(X)；(3) D(CX)=C2D(X)；(4) X,Y獨立時，D(X+Y)=D(X)+D(Y)3 .協(xié)方差(1) Cov(

10、X,Y)=E(XE(X)(YE(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)；(2) Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);(3) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);(4) Cov(X,Y)=0時，稱X,Y不相關(guān)，獨立二不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時等價；(5)D(X+丫)=D(X)十D(Y)+2Cov(X,Y)4.相關(guān)系數(shù)Pxy=C0V(X,Y)；有|P區(qū)1,IPxy|=1=三a,b,P(Y=aX+b)=1二(X)二(Y)5.k階原點矩w=E(Xk),k階中心矩Nk=E(XE(X)k第五章大數(shù)定律與中心極限定理1.Chebyshe

11、v不等式P|XE(X)上目<-(-或P|XE(X)|<*>1(2 .大數(shù)定律3 .中心極限定理(1)設(shè)隨機變量X1,X2，Xn獨立同分布E(Xj)=N,D(Xi)=a12,則n工Xi彘N(倘n。2),i4-1n或/Xi靛N(巴n、Xi-n(2)設(shè)m是n次獨立重復(fù)試驗中A發(fā)生的次數(shù)，P(A)=p,則對任意x,有l(wèi)impm_Lnp<x=6(x)或理解為若XB(n,p),則XN(np,npq)f而近似第六章樣本及抽樣分布1 .總體、樣本(1) 簡單隨機樣本：即獨立同分布于總體的分布(注意樣本分布的求法)(2) 樣本數(shù)字特征：E(X)=N,2D(X)='；n(E(S樣本

12、方差S2=Z(Xi-X)2n-1iw)=仃2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差S='n：-X)2樣本k階原點矩Vk-X)k1/.k.,1一=一乙Xi,樣本k階中心矩k=一乙(Xintnid2 .統(tǒng)計量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)3 .三個常用分布(注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點定義)(1) X2分布？2=X；+X；+X；72(n),其中X1,X2，Xn獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),若X72(n1),Y/2(山)且獨立，則X+Y72(n1+出)；X2,、(2) t分布t=-=t(n),其中XN(0,1),Y12(n)且獨立;Y/n(3) F分布F="F（ni,n2）,其中X22（ni）,Y

13、72（出）且獨立，有下面的Y/n21 1性質(zhì)f(n2,ni),Fi(ni,n2)=F-F.(n2,ni)4.正態(tài)總體的抽樣分布o(jì)inoo(1)XN(d。/n);(2)x(XiN)/(n)；i4(3)(n-i)S72(n_i)且與X獨立；(4)t=Xt(ni);二S/、n(5)(X-Y)-(Ri-匕)15n:四+02-2),sJnTSiFxg2S,vnin21r奧-2(6)22lrSiTX)第七章參數(shù)估計1 .矩估計：（1）根據(jù)參數(shù)個數(shù)求總體的矩；（2）令總體的矩等于樣本的矩；（3）解方程求出矩估計2 .極大似然估計：（1）寫出極大似然函數(shù)；（2）求對數(shù)極大似然函數(shù)（3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；（4）令導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)為0,解出極大似然估計（