1、會計(jì)學(xué)1第線性系統(tǒng)的時域分析第線性系統(tǒng)的時域分析(fnx)第一頁，共72頁。斜坡(xip)函數(shù))(tr，t0At，t02)(sAsRA=1時，為單位斜坡函數(shù)。斜坡函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)(do sh)就是階躍函數(shù)。第2頁/共72頁第1頁/共72頁第二頁，共72頁。3.加速度函數(shù)(hnsh)(tr，t0 A，t02t32)(sAsR21A時，稱為單位拋物線函數(shù)，這時在分析隨動系統(tǒng)(xtng)時常用斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)。31)(ssR第3頁/共72頁第2頁/共72頁第三頁，共72頁。.脈沖(michng)函數(shù))(tr0,At)0(t當(dāng)時，令得單位脈沖函數(shù)，的面積等于，即有的積分就是單位階躍函數(shù) 的拉氏變換

2、為1。0)(t)(t 1)(dtt)(t)(t第4頁/共72頁第3頁/共72頁第四頁，共72頁。正弦(zhngxin)函數(shù)tAtrsin)(系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入(shr)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)，在第五章將專門討論，這一章僅討論系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)，也就是時域響應(yīng)。第5頁/共72頁第4頁/共72頁第五頁，共72頁。一階系統(tǒng)的框圖(kungt)如下系統(tǒng)的傳函為11)()(ssRsC分析系統(tǒng)在零初始條件下對典型輸入(shr)信號的響應(yīng)第6頁/共72頁第5頁/共72頁第六頁，共72頁。01)(11) 1(1)(1)(tetcsssssCssRt，單位(dnwi)階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位(dnwi)

3、階躍響應(yīng)是一條指數(shù)曲線，它的特點(diǎn)是：第7頁/共72頁第6頁/共72頁第七頁，共72頁。（）在t=0處，曲線的斜率為 。（）t=時，曲線上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。（）t=時，輸出達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%， ?？梢娨浑A系統(tǒng)(xtng)的時間常數(shù)反映了系統(tǒng)(xtng)的響應(yīng)速度，響應(yīng)快。13%984時，1當(dāng)系統(tǒng)的輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%或98%時，我們(w men)認(rèn)為系統(tǒng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間稱為系統(tǒng)的響應(yīng)時間，對于一階系統(tǒng)，響應(yīng)時間為。)43(第8頁/共72頁第7頁/共72頁第八頁，共72頁。單位斜坡(xip)響應(yīng)0)1 ()(,11111)(,1)(2222tetettcssssssCssRtt

4、，輸出與輸入(shr)的誤差為0),1 ()()()(tetctrtet當(dāng)時，t)(te越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。第9頁/共72頁第8頁/共72頁第九頁，共72頁。單位(dnwi)脈沖響應(yīng)01)(11)(1)(tetcssCsRt，也可直接由單位階躍響應(yīng)的求導(dǎo)得出上式結(jié)果一階系統(tǒng)的特征(tzhng)可用一個參量時間常數(shù)來表示第10頁/共72頁第9頁/共72頁第十頁，共72頁。響應(yīng)時間為（）t=0時，單位階躍響應(yīng)的變化率為t=0時，單位脈沖響應(yīng)的幅值為單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)可以看出，系統(tǒng)對某信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)

5、數(shù)反之，系統(tǒng)對某信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該信號響應(yīng)的積分。這是線性定常系統(tǒng)不同于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的重要特性。11第11頁/共72頁第10頁/共72頁第十一頁，共72頁。在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時，二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性常被視為一種(y zhn)基準(zhǔn)，雖然實(shí)際中的系統(tǒng)不盡是二階系統(tǒng)，但高階系統(tǒng)?？梢杂枚A系統(tǒng)近似。因此對二階系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行重點(diǎn)討論。21221)()(kksskksRsC212211kksskk第12頁/共72頁第11頁/共72頁第十二頁，共72頁。令則,21,221nnkk2222)()(nnnsssRsC上式為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。阻尼比或衰減系數(shù)無阻尼自然(zrn)震蕩角頻率

6、由系統(tǒng)的特征方程不難求出閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為nnss)1()1(2221n第13頁/共72頁第12頁/共72頁第十三頁，共72頁。一二階系統(tǒng)一二階系統(tǒng)(xtng)的單位階躍響應(yīng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的響應(yīng)(xingyng)分三種情況討論過阻尼的情況閉環(huán)極點(diǎn)為）（1nnss)1()1(2221是小于零的兩個實(shí)根21,1ss，第14頁/共72頁第13頁/共72頁第十四頁，共72頁。系統(tǒng)的單位(dnwi)階躍響應(yīng)可求得如下：22110212222)()2()(ssAssAsAsssssssssCnnnn按不同極點(diǎn)(jdin)的情況求系數(shù)210,AAA)1(121)()()1(121)()(1)(2222

7、22110021ssssssssCAsssCAssCA第15頁/共72頁第14頁/共72頁第十五頁，共72頁。求拉氏反變換(binhun)，得 0,111211)(2)1(2)1(222teetcttnn可見，單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量兩部分組成(z chn)，而暫態(tài)分量包含兩項(xiàng)衰減的指數(shù)項(xiàng)比較兩項(xiàng)的衰減指數(shù)，當(dāng) 時，后一項(xiàng)的衰減指數(shù)遠(yuǎn)大于前一項(xiàng)，就是后一項(xiàng)衰減得很快，只在響應(yīng)的初期有影響。所以對過阻尼二階系統(tǒng)，當(dāng)時，可以近似為一階系統(tǒng)，將后一項(xiàng)忽略。得到近似傳遞函數(shù)：222211)()(sssssRsCnnnn第16頁/共72頁第15頁/共72頁第十六頁，共72頁。近似(jn s)傳函

8、與原傳函的初始值和終值保持不變。01)()1(2tetctn，系統(tǒng)的響應(yīng)(xingyng)時間為）達(dá)到%95()1(32n相當(dāng)于慣性時間常數(shù)n)1(12在工程上，當(dāng)時，使用上述近似關(guān)系已有足夠的準(zhǔn)確度了5 . 1此時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：第17頁/共72頁第16頁/共72頁第十七頁，共72頁。欠阻尼的情況(qngkung)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為10nnjsjs)1()1(2221是一對(y du)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因?yàn)閷?shí)部極點(diǎn)為負(fù)所以位于左半平面。單位階躍輸入時，輸出的拉氏變換為：),(n)1)(1()(222nnnnnjsjsssC第18頁/共72頁第17頁/共72頁第十八頁，共72頁。查拉氏變換(b

9、inhun)表，可求得：0),1arctan1sin(111)(222ttetcntn欠阻尼時，系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 的第一項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)分量(fn ling)，第二項(xiàng)是振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的阻尼正弦振蕩，其振蕩頻率為)(tc21ndd稱為阻尼自然振蕩頻率。第19頁/共72頁第18頁/共72頁第十九頁，共72頁。響應(yīng)為時，可得系統(tǒng)的無阻尼當(dāng)0ttcncos1)(是無阻尼等幅振蕩，為系統(tǒng)的無阻尼自然頻率。越小。的范圍在越大的總是小于dnd),10( ,n第20頁/共72頁第19頁/共72頁第二十頁，共72頁。.臨界阻尼的情況(qngkung) 1(1當(dāng)時，閉環(huán)極點(diǎn)(jdin)為：ns2, 1單位階躍響應(yīng)(xi

10、ngyng)的拉氏變換為22)()(nnsssc求其拉氏反變換，得0)1 (1)(ttetcntn，此時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為單調(diào)上升曲線。二階系統(tǒng)有兩個參數(shù)和，阻尼比是二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)，不同阻尼比的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)有很大區(qū)別。n第21頁/共72頁第20頁/共72頁第二十一頁，共72頁。取橫坐標(biāo)為，不同阻尼比值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線族如圖所示：tn從圖可見：（）越小，振蕩越厲害，當(dāng)增大到以后，曲線變?yōu)閱握{(diào)上升。（）之間時，欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。（）在無振蕩時，臨界阻尼系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)。（）過阻尼系統(tǒng)過渡過程時間長。8 . 05 . 0第22頁/共72頁第21

11、頁/共72頁第二十二頁，共72頁。二二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)二二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無阻尼自然振蕩角頻率對系統(tǒng)的響應(yīng)具有決定性的影響?，F(xiàn)在針對阻尼的情況，討論暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與特征參量的關(guān)系。欠阻尼時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為n) 10(0),1arctan1sin(11)(222ttetcntn（）（）第23頁/共72頁第22頁/共72頁第二十三頁，共72頁。1.上升時間在暫態(tài)過程中，第一次達(dá)到(d do)穩(wěn)態(tài)值的時間在（）式中令c(t)=1，可得rt0)1arctan1sin(1222tentn故只有時，, 0rntrett.2 , 1 , 0,1arctan1

12、22nntrn則必有第24頁/共72頁第23頁/共72頁第二十四頁，共72頁。因?yàn)?yn wi)上升時間是第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間，故取n=1,于是)1arctan(111arctan222dnrt峰值時間響應(yīng)(xingyng)由零上升到第一個峰值所需的時間pt對（）求一階系數(shù)，并令其為零，得0)sin(1)cos(1)(22pdtnpdtdtttetedttdcnnp第25頁/共72頁第24頁/共72頁第二十五頁，共72頁。移項(xiàng)(y xin)并約去公因子后得21)tan(ndpdt到達(dá)第一個峰值(fn zh)時，從而得pdt21ndptpnpntt一定時，一定時，第26頁/共72頁第25頁/共

13、72頁第二十六頁，共72頁。3最大超調(diào)量pM最大超調(diào)量發(fā)生(fshng)在時刻，將代入（）式，便得ptt ptt %10021eMp從上式可見，完全(wnqun)由決定，pMpM01%1000ppMM，第27頁/共72頁第26頁/共72頁第二十七頁，共72頁。調(diào)整時間st)(tc與穩(wěn)態(tài)值之間的差值達(dá)到允許范圍（取或）時的暫態(tài)過程時間)(c)02. 0(05. 0)sin(11)()(2或tetccedtn滿足上式的值有多個，按定義，其中最小的值是調(diào)整時間stst為簡單起見，采用近似的計(jì)算方法，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到0.05或0.02時，暫態(tài)過程結(jié)束，因此忽略正弦函數(shù)的影響(yngxing)，得到第2

14、8頁/共72頁第27頁/共72頁第二十八頁，共72頁。)02.0(05.0112或tne由此可求得nnsnnstt4)1ln(2141%)2(3)1ln(2131%)5(229 . 00st近似與成反比n在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時，通常由要求的決定，所以由所決定pMstn第29頁/共72頁第28頁/共72頁第二十九頁，共72頁。結(jié)論：（）根據(jù)值的大小可以間接判斷一個二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性 ，單位階躍響應(yīng)為單調(diào)曲線，沒有超調(diào)和振蕩，但調(diào)整時間較長，系統(tǒng)反應(yīng)遲緩 ，響應(yīng)為單調(diào)曲線，調(diào)整時間比的情況短 ，輸出為等幅振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作(gngzu)。一般希望二階系統(tǒng)工作(gngzu)在欠阻尼狀態(tài)下，但不能過小，否則

15、大，多，長，為了限制超調(diào)量，應(yīng)在0.40.8之間，這時超調(diào)量將在25%2.5%之間 101110pMst第30頁/共72頁第29頁/共72頁第三十頁，共72頁。因?yàn)?yn wi)只和有關(guān)，常根據(jù)允許的來選擇pMpM（）以閉環(huán)極點(diǎn)在平面上的位置(wi zhi)可以大致估計(jì)和的大小與閉環(huán)極點(diǎn)，到實(shí)軸的距離成反比可近似地認(rèn)為與閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離成反比在一定時，可通過改變來改變，越大，越短stptpt21nst21nstnnst第31頁/共72頁第30頁/共72頁第三十一頁，共72頁。例：已知單位(dnwi)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)2(4)(sssG確定系統(tǒng)(xtng)的和，并求最大超調(diào)量和調(diào)整時

16、間npMst解：因?yàn)榭傻胹teMsssssGnspnnnn33%)5(%3.16%1005.02224)2(4)2()(212，第32頁/共72頁第31頁/共72頁第三十二頁，共72頁。三二階系統(tǒng)三二階系統(tǒng)(xtng)的脈沖響應(yīng)的脈沖響應(yīng)2222)(nnnsssc通過對單位階躍響應(yīng)(xingyng)求導(dǎo)可得到單位脈沖響應(yīng)(xingyng)時1001sin1)(22ttetcntnn，10)(2ttetctnn，101212)()1(2)1(222teetctntnnn，第33頁/共72頁第32頁/共72頁第三十三頁，共72頁。臨界阻尼和過阻尼情況，單位脈沖響應(yīng)總是大于，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是單調(diào)

17、曲線欠阻尼時，響應(yīng)曲線圍繞(wiro)零值衰減振蕩第34頁/共72頁第33頁/共72頁第三十四頁，共72頁。根據(jù)單位階躍響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)之間的關(guān)系，單位脈沖響應(yīng)以一段曲線下所包圍的面積等于，曲線與t 軸所包圍面積的總和（或數(shù)和）為ptt0pM1第35頁/共72頁第34頁/共72頁第三十五頁，共72頁。凡是用高階微分方程描述的系統(tǒng)(xtng)，稱為高階系統(tǒng)(xtng)。高階系統(tǒng)(xtng)的閉環(huán)傳函分母中s的最高幕次n2.高階系統(tǒng)(xtng)閉環(huán)傳函的一般形式為qirknknkkimjjnnnnmmmmsspszsKsRsCasasasabsbsbsbsRsC1122111101110)2()

18、()()()()()(或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)極點(diǎn)對數(shù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)個數(shù)，rqrqn2第36頁/共72頁第35頁/共72頁第三十六頁，共72頁。系統(tǒng)的單位(dnwi)階躍響應(yīng)為0)1cos(1)(121tteDeAtcrkkknktkqitpinkki，數(shù)。是由零、極點(diǎn)確定的常式中knkiDA,從上式可見，高階系統(tǒng)的單位(dnwi)階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量兩個部分組成。而暫態(tài)分量又是由一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)分量的合成.高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)決定。系統(tǒng)極點(diǎn)在左半平面離虛軸越遠(yuǎn)，響應(yīng)的分量衰減得越快。第37頁/共72頁第36頁/共72頁第三十七頁，共72頁。.各暫態(tài)分量的系數(shù)還

19、和零點(diǎn)(ln din)的位置有關(guān)。若一對零、極點(diǎn)很靠近，則該極點(diǎn)對暫態(tài)響應(yīng)的影響很小（此時對應(yīng)的系數(shù)很?。Ｈ裟硞€極點(diǎn)附近沒有零點(diǎn)(ln din)，且距離原點(diǎn)較近，則就大，對暫態(tài)分量的影響就大。由于以上兩點(diǎn)，對于系數(shù)很小的分量和衰減很快的分量常常忽略，用低階系統(tǒng)的響應(yīng)去近似高階系統(tǒng)的響應(yīng)。這就是合理的簡化，既不改變問題的性質(zhì)，又使處理過程簡單。iAiAiA第38頁/共72頁第37頁/共72頁第三十八頁，共72頁。.如果高階系統(tǒng)(xtng)中距虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部比其他極點(diǎn)實(shí)部的五分之一還要小，并且附近不存在零點(diǎn)可以認(rèn)為系統(tǒng)(xtng)的響應(yīng)主要由該極點(diǎn)決定這些對系統(tǒng)(xtng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用

20、的閉環(huán)極點(diǎn)，稱為系統(tǒng)(xtng)的主導(dǎo)極點(diǎn)如果找到一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)(xtng)就可近似地作為二階系統(tǒng)(xtng)分析。第39頁/共72頁第38頁/共72頁第三十九頁，共72頁。一穩(wěn)定的基本概念一穩(wěn)定的基本概念一個線性系統(tǒng)正常工作的首要條件是系統(tǒng)必須一個線性系統(tǒng)正常工作的首要條件是系統(tǒng)必須保持穩(wěn)定這向我們提出兩個問題：什么樣的系保持穩(wěn)定這向我們提出兩個問題：什么樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的；線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是什統(tǒng)是穩(wěn)定的；線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是什么么一個控制系統(tǒng)，如果在擾動的作用下，偏離了一個控制系統(tǒng)，如果在擾動的作用下，偏離了原有的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動消失后，又能回到原來原有的

21、平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動消失后，又能回到原來的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；反之，當(dāng)擾動的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；反之，當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)不能回到原有的平衡狀態(tài)，或偏離量消失后，系統(tǒng)不能回到原有的平衡狀態(tài)，或偏離量隨時間增長而增長，則該系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)隨時間增長而增長，則該系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)在實(shí)際使用中，系統(tǒng)總要受到各種在實(shí)際使用中，系統(tǒng)總要受到各種( zhn)擾動的作用，顯然不穩(wěn)定系統(tǒng)就無法工作擾動的作用，顯然不穩(wěn)定系統(tǒng)就無法工作第40頁/共72頁第39頁/共72頁第四十頁，共72頁。高階系統(tǒng)的單位(dnwi)階躍響應(yīng)為rkkknktkqitpiteDeAtcnkki121)1cos(1)(如

22、果系統(tǒng)穩(wěn)定，其暫態(tài)分量的各個項(xiàng)隨著時間的增長(zngzhng)應(yīng)很快趨近于，從上式看：指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)為負(fù)值，就是說實(shí)數(shù)極點(diǎn)應(yīng)位于負(fù)實(shí)軸上；振蕩衰減項(xiàng)的指數(shù)部分應(yīng)為負(fù)值，也就是說共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部應(yīng)為負(fù)，即共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于左半平面；系統(tǒng)中只要有一個極點(diǎn)位于右半平面，或虛軸上，暫態(tài)分量就是發(fā)散的或不衰減的，系統(tǒng)就不穩(wěn)定iPnkk由此可得到線性系統(tǒng)(xtng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)(xtng)特征方程的所有根（系統(tǒng)(xtng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)），均位于左半平面第41頁/共72頁第40頁/共72頁第四十一頁，共72頁。二勞斯穩(wěn)定判據(jù)二勞斯穩(wěn)定判據(jù)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)(xtng)的穩(wěn)定與否，取決于特征根的穩(wěn)定

23、與否，取決于特征根的實(shí)部是否均為負(fù)值（左半平面）但是求解高的實(shí)部是否均為負(fù)值（左半平面）但是求解高階系統(tǒng)階系統(tǒng)(xtng)的特征方程是相當(dāng)困難的而勞斯的特征方程是相當(dāng)困難的而勞斯判據(jù)，避免解特征方程，只需對特征方程的系數(shù)進(jìn)判據(jù)，避免解特征方程，只需對特征方程的系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，就可以判斷系統(tǒng)行代數(shù)運(yùn)算，就可以判斷系統(tǒng)(xtng)的穩(wěn)定性，的穩(wěn)定性，因此這種數(shù)據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)因此這種數(shù)據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)將系統(tǒng)(xtng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式0121110nnnnnasasasasa第42頁/共72頁第41頁/共72頁第四十二頁，共72頁。并將各系數(shù)(xsh)排列成勞斯表第43

24、頁/共72頁第42頁/共72頁第四十三頁，共72頁。.170613150412130211aaaaabaaaaabaaaaab表中的有關(guān)(yugun)系數(shù)為一直進(jìn)行到求得的b值全部(qunb)等于零為止。第44頁/共72頁第43頁/共72頁第四十四頁，共72頁。這一計(jì)算(j sun)過程一直進(jìn)行到與對應(yīng)的一行為止。為了簡化數(shù)值運(yùn)算，可以用一個正整數(shù)去除或乘某一行的各項(xiàng)，并不改變結(jié)論的性質(zhì)。.141713131512121311bbaabbbbaabcbbaabc0S第45頁/共72頁第44頁/共72頁第四十五頁，共72頁。 勞斯判據(jù)：系統(tǒng)(xtng)極點(diǎn)實(shí)部為正實(shí)數(shù)根的數(shù)目等于勞斯表中第一列的

25、系數(shù)符號改變的次數(shù)。系統(tǒng)(xtng)極點(diǎn)全部在復(fù)平面的左半平面的充分必要條件是方程的各項(xiàng)系數(shù)全部為正值，并且勞斯表的第一列都具有正號。第46頁/共72頁第45頁/共72頁第四十六頁，共72頁。KsssKKsssKsRsC56)5(1)()(23例3-2 設(shè)反饋控制系統(tǒng)如圖 所示，求滿足穩(wěn)定(wndng)要求時K的臨界值。解：閉環(huán)傳函系統(tǒng)(xtng)的特征方程為列出勞斯表根據(jù)勞斯判據(jù)(pn j)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其第一列均為正數(shù)，即K0，30-K0 0K30得到滿足穩(wěn)定的臨界值30CK第47頁/共72頁第46頁/共72頁第四十七頁，共72頁。（1）若得 負(fù)值 ，應(yīng)將結(jié)果改 假定我們不取K為負(fù)值。（

26、2）實(shí)際上要求系統(tǒng)工作在K小于臨界值的狀態(tài)，當(dāng)K=臨界值時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是等幅振蕩，相當(dāng)于有一對共軛負(fù)數(shù)極點(diǎn)位于虛軸上。顯然不能正常工作。CK CK 02 .勞斯判據(jù)的兩種特殊情況（1）某行第一列的系數(shù)為零，該行其余各項(xiàng)中某些項(xiàng)不等于零。在這種情況下，可以用一個很小的正數(shù) 來代替零值項(xiàng)，然后按通常的方法計(jì)算勞斯表中其余各項(xiàng)。如果 上面一行的系數(shù)符號與 下面一行的系數(shù)符號相反，表明有一個符號變化。第48頁/共72頁第47頁/共72頁第四十八頁，共72頁。例3-3 特征方程為0122234ssss勞斯表為考察第一列各項(xiàng)系數(shù)。當(dāng)時，是一個很大的負(fù)數(shù)因此第一列各項(xiàng)數(shù)值的符號改變了兩次。按勞斯判據(jù)

27、，該系統(tǒng)有兩個極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的022 第49頁/共72頁第48頁/共72頁第四十九頁，共72頁。（）某行所有系數(shù)均為零的情況如果出現(xiàn)這種情況，則表明在平面中有對稱于原點(diǎn)的實(shí)根，或共軛虛根存在?？捎孟率龇椒ㄌ幚淼谝徊剑喝≡厝珵榱愕那耙恍?，以其系數(shù)組成輔助方程，式中的均為偶次（根是對稱出現(xiàn)的）第二步：求輔助方程對的導(dǎo)數(shù)，以其系數(shù)代替全為零值的一行，第三步：用通常的方法繼續(xù)求下面各行的系數(shù)，并判斷(pndun)穩(wěn)定性第四步：解輔導(dǎo)方程，得各對稱根第50頁/共72頁第49頁/共72頁第五十頁，共72頁。例已知系統(tǒng)(xtng)特征方程，判斷穩(wěn)定性01616201282)(23456sss

28、ssssD勞斯表為行的各項(xiàng)組成輔助方程將4sssdssdAsssA124)(86)(324將輔助方程求導(dǎo)后的系數(shù)作為行的元素，并往下計(jì)算各行，得：3s第51頁/共72頁第50頁/共72頁第五十一頁，共72頁。勞斯表的第一列各項(xiàng)符號沒有改變，因此系統(tǒng)在右半平面沒有極點(diǎn)但由于行的各項(xiàng)為零，說明有共軛虛數(shù)極點(diǎn)?？捎奢o助(fzh)方程求出。解3s220864, 32, 124jsjsss，得第52頁/共72頁第51頁/共72頁第五十二頁，共72頁。小結(jié)：系統(tǒng)穩(wěn)定(wndng)的充要條件是系統(tǒng)的特征根位于左半平面勞斯判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定(wndng)性，還可給出使系統(tǒng)穩(wěn)定(wndng)的某一參數(shù)的范

29、圍。勞斯判據(jù)沒有也不能說明為避免系統(tǒng)不穩(wěn)定(wndng)，應(yīng)該爭取的校正途徑第53頁/共72頁第52頁/共72頁第五十三頁，共72頁。我們曾經(jīng)規(guī)定了系統(tǒng)(xtng)暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)現(xiàn)在要討論系統(tǒng)(xtng)跟蹤輸入信號的精確度或抑制干擾信號的能力穩(wěn)態(tài)誤差：一個穩(wěn)定系統(tǒng)(xtng)經(jīng)過足夠長的時間后其暫態(tài)響應(yīng)已衰減到微不足道，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之間的誤差我們不考慮由于元件的不靈敏，零點(diǎn)漂移和老化所造成的永久性誤差穩(wěn)態(tài)誤差只與輸入信號的形式和系統(tǒng)(xtng)結(jié)構(gòu)參量有關(guān)第54頁/共72頁第53頁/共72頁第五十四頁，共72頁。型系統(tǒng)型型分別稱為節(jié)個數(shù)開環(huán)傳函中串聯(lián)積分環(huán)系統(tǒng)的時間常數(shù)，系統(tǒng)的

30、總開環(huán)增益OvvTK, 2 , 1 , 0) 1() 1() 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(112121vnjjvmiivnvmsTssksTsTsTsssksHsG一、控制系統(tǒng)的類型一、控制系統(tǒng)的類型對控制系統(tǒng)按照跟蹤階躍輸入對控制系統(tǒng)按照跟蹤階躍輸入(shr)信號，斜坡輸入信號，斜坡輸入(shr)信號和拋物線輸入信號和拋物線輸入(shr)信號的能力進(jìn)行分類設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)信號的能力進(jìn)行分類設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為傳函為第55頁/共72頁第54頁/共72頁第五十五頁，共72頁。二、誤差傳遞函數(shù)(hnsh)、單位反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)(hnsh)閉：)()(11)()(1)()()()

31、()(sRsGsRsGsGsRsCsRsE)(1)()()(sGsGsRsC)(11)()(sGsRsE)(1)(lim)(lim)(limsGsRssSEteesstsr誤差(wch)信號定義(dngy)為單位反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)系統(tǒng)對輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差可由終值定理求得，為：第56頁/共72頁第55頁/共72頁第五十六頁，共72頁。例一階系統(tǒng)(xtng)TsTsTssRsE1111)()(a)(b)TsTsTssessRsTsTssessRssrssr202011lim1)(011lim1)(，第57頁/共72頁第56頁/共72頁第五十七頁，共72頁。例二階系統(tǒng)(xtng)222)2()(

32、)(nnnsssssRsE(a)(b)nnnnssrnnnssrssssssessRssssssessR212)2(lim1)(012)2(lim1)(22202220，這兩個都是型系統(tǒng)（ =1），對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差(wch)為，對斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差(wch)為一個常數(shù)。v第58頁/共72頁第57頁/共72頁第五十八頁，共72頁。擾動誤差傳遞函數(shù)干擾誤差傳函的形式隨干擾信號源在系統(tǒng)中作用點(diǎn)的改變而不同，現(xiàn)只說明一種情形，根據(jù)同樣方法(fngf)可以推出其他情形的擾動誤差傳函。)()(1)()()(212sGsGsGsNsC令，得等效框圖0)(sR第59頁/共72頁第58頁/共72頁第五十九頁

33、，共72頁。擾動(rodng)穩(wěn)態(tài)誤差)()()(1)(1lim2120sNsGsGsGsessn)()(1)()()(212sGsGsGsNsEn擾動(rodng)誤差傳函而在時，0)(sR)()(sCsEn第60頁/共72頁第59頁/共72頁第六十頁，共72頁。三靜態(tài)誤差系數(shù)三靜態(tài)誤差系數(shù)靜態(tài)位置誤差系數(shù)靜態(tài)位置誤差系數(shù)在單位階躍信號作用在單位階躍信號作用(zuyng)下，系下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差pK)0()0(111)()(1lim0HGssHsGsessr令)0()0()()(lim0HGsHsGKsp為靜態(tài)位置誤差(wch)系數(shù)，則穩(wěn)態(tài)誤差(wch)終值為psrKe11第61

34、頁/共72頁第60頁/共72頁第六十一頁，共72頁。a.型系統(tǒng)(xtng)KeKsTsKKsrnjjmiisp11)1()1(lim110b.型、型系統(tǒng)(xtng)0) 1() 1(lim110srvnjjvmiispesTssKK21或v第62頁/共72頁第61頁/共72頁第六十二頁，共72頁。結(jié)論：結(jié)論： （1）當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳函中無積分環(huán)節(jié)）當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳函中無積分環(huán)節(jié)時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，欲時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，欲減小穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增大開環(huán)增益減小穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增大開環(huán)增益K。但。但K的的增大受系統(tǒng)穩(wěn)定性的制約。增大受系統(tǒng)穩(wěn)定性的制約。（2）若要求系統(tǒng)對單位階躍輸入）若要求系統(tǒng)對單位階躍輸入(shr)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，應(yīng)使系統(tǒng)開環(huán)傳的穩(wěn)態(tài)誤差為零，應(yīng)使系統(tǒng)開環(huán)傳函中有一個以上的積分環(huán)節(jié)。也即采用函中有一個以上的積分環(huán)節(jié)。也即采用型型或或型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。第63頁/共72頁第62頁/共72頁第六十三頁，共72頁。2速度誤差系數(shù)速度誤差系數(shù)系統(tǒng)在單位斜坡信號作用系統(tǒng)在單位斜坡信號作用(zuyng)下，穩(wěn)態(tài)誤差終下，穩(wěn)態(tài)誤差終值為值為定義定義為靜態(tài)速度誤差系數(shù)，于是穩(wěn)態(tài)誤差終值為為靜態(tài)速度誤差系數(shù)，于是穩(wěn)態(tài)誤差終值為)()(lim0sHssGKsvvsrKe1)()(1lim1)()(1lim020sHssGssHsGsesssrvK第64頁/共