1、數(shù)學分析電子教案數(shù)學分析電子教案重慶郵電大學數(shù)理學院重慶郵電大學數(shù)理學院高等數(shù)學教學部高等數(shù)學教學部沈世云沈世云數(shù)學數(shù)學 數(shù)學數(shù)學 而且是一種而且是一種思維模式思維模式; 不僅是一種不僅是一種知識知識, 而且是一種而且是一種素養(yǎng)素養(yǎng); 不僅是一種不僅是一種科學科學, , 而且是一種而且是一種文化文化; 能否運用數(shù)學觀念能否運用數(shù)學觀念定量思維定量思維是衡量是衡量 民族科學文化素質(zhì)的一個重要標志民族科學文化素質(zhì)的一個重要標志.不僅是一種不僅是一種工具工具, 數(shù)學數(shù)學 一、簡明數(shù)學史一、簡明數(shù)學史 2 2、初等、初等( (常量常量) ) 數(shù)學時期數(shù)學時期 ( (公元前公元前600175060017

2、50年年) ) 古希臘數(shù)學科學地位獨立；歐氏古希臘數(shù)學科學地位獨立；歐氏“幾何原本幾何原本”確立數(shù)學成完確立數(shù)學成完 整科學；初等幾何、算術、代數(shù)、三角等成獨立學科。整科學；初等幾何、算術、代數(shù)、三角等成獨立學科。3 3、高等（變量）數(shù)學時期、高等（變量）數(shù)學時期 (1750(1750年年 1820 1820年年) ) 笛卡爾創(chuàng)建了解析幾何；牛頓笛卡爾創(chuàng)建了解析幾何；牛頓-萊布尼茲創(chuàng)建了微積分學；萊布尼茲創(chuàng)建了微積分學； 分析學、微分方程、概率論、射影幾何取得很大成就。分析學、微分方程、概率論、射影幾何取得很大成就。 4 4、近代數(shù)學時期、近代數(shù)學時期 (1820(1820年年19451945

3、年年) ) 非歐幾何、集合論導致科學革命；拓撲學、數(shù)理邏輯、非歐幾何、集合論導致科學革命；拓撲學、數(shù)理邏輯、 復變函數(shù)、近世代數(shù)、泛函分析、微分幾何相繼問世。復變函數(shù)、近世代數(shù)、泛函分析、微分幾何相繼問世。 5 5、科學數(shù)學化時期、科學數(shù)學化時期 (1945(1945年年 ) ) 原子彈、電子計算機、運籌學、模糊數(shù)學、數(shù)學建模。原子彈、電子計算機、運籌學、模糊數(shù)學、數(shù)學建模。 馬克思：只有成功運用數(shù)學時，一門學科才算真正完善。馬克思：只有成功運用數(shù)學時，一門學科才算真正完善。 1 1、數(shù)學萌芽、數(shù)學萌芽 ( (數(shù)形數(shù)形) ) 時期時期 ( (公元前公元前20002000公元前公元前600)60

4、0) 貿(mào)易、測量、航海的需要而整理形成，如埃及金字塔的貿(mào)易、測量、航海的需要而整理形成，如埃及金字塔的 建筑。特點：片斷、零散、建筑。特點：片斷、零散、 缺乏邏輯、沒有形成體系。缺乏邏輯、沒有形成體系。1、訓練思維的需要、訓練思維的需要（數(shù)學是思維體操）（數(shù)學是思維體操）；2、經(jīng)濟與科技發(fā)展的需要、經(jīng)濟與科技發(fā)展的需要（科技是第一生產(chǎn)力，（科技是第一生產(chǎn)力， 數(shù)學是科技的基礎）數(shù)學是科技的基礎）；3、軍事斗爭的需要、軍事斗爭的需要（世一戰(zhàn)為化學戰(zhàn)、世二戰(zhàn)為（世一戰(zhàn)為化學戰(zhàn)、世二戰(zhàn)為 物理戰(zhàn)、海灣戰(zhàn)爭為數(shù)學戰(zhàn)）物理戰(zhàn)、海灣戰(zhàn)爭為數(shù)學戰(zhàn)）；5、未來從事科學研究的需要、未來從事科學研究的需要（數(shù)學位

5、于三大重點（數(shù)學位于三大重點 基礎學科之首，為此碩士研究生入學考分數(shù)由基礎學科之首，為此碩士研究生入學考分數(shù)由 100150 ） 。4、數(shù)學是科學技術的載體，為學習、數(shù)學是科學技術的載體，為學習后繼課程后繼課程提供提供 必須的數(shù)學工具必須的數(shù)學工具（物理、計算機、電子、機械、（物理、計算機、電子、機械、 經(jīng)濟、運籌、統(tǒng)計、會計等等）經(jīng)濟、運籌、統(tǒng)計、會計等等）； 二、為何要學數(shù)學二、為何要學數(shù)學整理筆記、完成作業(yè)、查閱參考書、整理筆記、完成作業(yè)、查閱參考書、使用工具書；使用工具書；1 1、樹立自信，親近數(shù)學；、樹立自信，親近數(shù)學；2 2、抓好四個環(huán)節(jié)，突出兩個重點；、抓好四個環(huán)節(jié)，突出兩個重點

6、；3 3、重視獨立思考，依靠自學取勝；、重視獨立思考，依靠自學取勝；預習環(huán)節(jié)預習環(huán)節(jié)聽講環(huán)節(jié)聽講環(huán)節(jié)復習環(huán)節(jié)復習環(huán)節(jié)小結(jié)環(huán)節(jié)小結(jié)環(huán)節(jié)會作筆記會作筆記(概要概要,重點重點, 難點難點,疑點疑點) 、緊跟、緊跟講解、講解、 擅于應答。擅于應答。了解大致內(nèi)容、熟悉基本結(jié)構、找出難了解大致內(nèi)容、熟悉基本結(jié)構、找出難點、試圖解決之點、試圖解決之寫總結(jié)寫總結(jié)（定義、定理、性質(zhì)、典型解題（定義、定理、性質(zhì)、典型解題方法）方法）；制表格；制表格 (條件、性質(zhì)、結(jié)論、條件、性質(zhì)、結(jié)論、幾何意義幾何意義)。三、如何學好數(shù)學；三、如何學好數(shù)學；四四. 數(shù)學分析簡介數(shù)學分析簡介 數(shù)學分析是高等學校數(shù)理科學專業(yè)的一門專

7、業(yè)基礎課，通過本課程的教學使學生對極限思想和方法有較深刻的認識，使學生的思維能力得到鍛煉和提高。特別是基于強化基礎、偏重一元微積分系統(tǒng)知識的教學，學生應能正確理解數(shù)學分析的基本概念，基本掌握數(shù)學分析中常用的論證方法，獲得較熟練的演算技能和初步應用的能力。本課程不僅對許多后繼課程的學習有直接影響，而且對學生數(shù)學基本功的訓練與良好專業(yè)素質(zhì)的培養(yǎng)起著十分重要的作用。五五. 數(shù)學分析與其它課程關系數(shù)學分析與其它課程關系 數(shù)學分析與另外兩門基礎課（高等代數(shù)、解析幾何）相互協(xié)調(diào)，并以其自身為主干構成現(xiàn)代數(shù)學各分支的共同基礎。幾乎所有專業(yè)課都需要該課程的支撐。其后續(xù)課程主要有實變函數(shù)、復變函數(shù)、泛函分析、點

8、集拓撲等。它是學習常微分方程、偏微分方程、概率論、數(shù)學模型等應用性較強課程必備的直接基礎，也對數(shù)值計算、數(shù)學實驗、邏輯學、計算科學等學科的學習有著潛在的深遠影響。六六. 課程學時與總分課程學時與總分 課程總學時224學時，14學分， 具體分配如下： 第一學期數(shù)學分析（1）88學時，5.5學分 第二學期數(shù)學分析（2）88學時，5.5學分 第三學期數(shù)學分析（3）48學時，3學分變量變量數(shù)學分析的主要內(nèi)容數(shù)學分析的主要內(nèi)容數(shù)學分析數(shù)學分析函數(shù)函數(shù)極限方法極限方法極限論極限論微分學微分學積分學積分學級數(shù)論級數(shù)論（單變量和多變量）（單變量和多變量）工具工具基礎基礎中心中心對象對象對象對象變動觀點變動觀點

9、關系關系內(nèi)容內(nèi)容教材及參考資料 1.教材：數(shù)學分析（第三版），歐陽光中，高等教育出版社 2.參考資料 1）數(shù)學分析講義（第三版），劉玉鏈等編,高等教育出版社,1992 2）數(shù)學分析學習指導（上、下冊），吳良森等編，高等教育出版社，2004 3）數(shù)學分析的思想方法，朱勻華等編，中山大學出版社，1998 4）吉米多維奇數(shù)學分析習題集解答，山東科技出版社，1983 第一章第一章 變量與函數(shù)變量與函數(shù)1 1 實數(shù)實數(shù)2 2 函數(shù)的概念函數(shù)的概念3 3 復合函數(shù)與反函數(shù)復合函數(shù)與反函數(shù)4 4 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)1.1 1.1 實數(shù)實數(shù)一一 . .集合與實數(shù)的性質(zhì)集合與實數(shù)的性質(zhì)二二. . 絕對值與

10、不等式絕對值與不等式1. 我們用符號“” 表示“任取”或“對于任意的”或“對于所有的” ,符號“” 稱為全稱量詞. 幾個常用符號幾個常用符號2. 我們用符號“”表示“存在”.例：命題“對任意的實數(shù)x, 都存在實數(shù)y, 使得x+y=1”可表示為“xR, yR,使x+y=1”符號“”稱為存在量詞.3. 我們用符號“”表示“充分條件”比如, 若用p, q分別表示兩個命題或陳述句. 或 “推出” 這一意思.則“ p q”表示“ 若p成立, 則q也成立”. 即p是q成立的充分條件.4. 我們用符號“”表示“當且僅當”比如“p q”表示“p成立當且僅當q成立” 或者說p成立的充要條件是q成立.或 “充要條

11、件” 這一意思.1.集合v集合 集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. 集合可用大寫的字母A, B, C, D 等標識.v元素 組成集合的事物稱為集合的元素. 集合的元素可用小寫的字母a, b, c, d 等標識. a是集合M的元素記為aM, 讀作a屬于M. a不是集合M的元素記為aM, 讀作a不屬于M.一一. 集合與實數(shù)的性質(zhì)集合與實數(shù)的性質(zhì)v集合的表示列舉法 把集合的全體元素一一列舉出來. 例如Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法 若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成, 則M可表示為 Mx | x具有性質(zhì)P . 例如M(x, y)| x, y為實數(shù), x2y21

12、. v幾個數(shù)集 所有自然數(shù)構成的集合記為N, 稱為自然數(shù)集. 所有實數(shù)構成的集合記為R, 稱為實數(shù)集. 所有整數(shù)構成的集合記為Z, 稱為整數(shù)集. 所有有理數(shù)構成的集合記為Q, 稱為有理集.v子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 則稱A是B的子集, 記為AB(讀作A包含于B). AB若xA, 則xB. 顯然, NZ, ZQ, QR.2.集合的運算 設A、B是兩個集合, 則 ABx|xA或xB稱為A與B的并集(簡稱并). ABx|xA且xB稱為A與B的交集(簡稱交). ABx|xA且xB稱為A與B的差集(簡稱差). ACIAx|xA為稱A的余集或補集, 其中I為全集.提示: 如果研究某個問題限

13、定在一個大的集合I中進行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 則稱集合I為全集或基本集. v集合運算的法則 設A、B、C為任意三個集合, 則有 (1)交換律 ABBA, ABBA; (2)結(jié)合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)對偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC. (AB)CACBC的證明所以(AB)CACBC. xACBC, xAC且xBCxABxA且xB x(AB)Cv直積(笛卡兒乘積) 設A、B是任意兩個集合, 則有序?qū)?AB(x, y)|xA且yB稱為集合A與集合B的直積.

14、 例如, RR(x, y)| xR且yR 即為xOy面上全體點的集合, RR常記作R2. . .區(qū)間區(qū)間: : 是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù)是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.,baRba 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxabbxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度區(qū)間長度: b-a: b-a注意注意:有時常用有時常用X,

15、Y等表示不指明是開的或閉的區(qū)間等表示不指明是開的或閉的區(qū)間. .鄰域鄰域: :. 0,且是兩個實數(shù)與設a,叫做這鄰域的中心點a.叫做這鄰域的半徑. ),(axaxaOxaaa鄰域的去心的點a. 0),(0axxaO,鄰域的稱為點數(shù)集aaxx說明: 對于負實數(shù)x,y,若有-x = -y與-x -y, 則分別稱x = y與x x)4.實數(shù)集v兩個實數(shù)的大小關系 說明: .自然規(guī)定任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù).)2 , 1(, 2 , 1,. 90 , 90), 2 , 1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxl

16、lkkkkkkkknn或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負整數(shù)若記為相等與則稱若有為整數(shù)為非負整數(shù)其中 給定兩個非負實數(shù)LLLLLLL 定義1 定義2 LLLL, 2 , 1 , 0101.210210，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位過剩近似的稱為而有理數(shù)位不足近似的為實數(shù)稱有理數(shù)為非負實數(shù)設說明: .101.210210210nnnnnnaaaaxaaaaxnaaaaxLLLL與分別規(guī)定為位不足近似與過剩近似的負實數(shù)說明: .,210210LLxxx，nxxxx，nxxnn即有增大時不增當過剩近似即有增大時不減當?shù)牟蛔憬茖崝?shù)命題1 .,:.位過剩近似的表示位不足近似

17、的表示其中的充要條件是則為兩個實數(shù)與設nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnnLL5.實數(shù)的性質(zhì) 1).實數(shù)集R對加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運算是封閉的.即任意兩個實數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實數(shù). 2).實數(shù)集是有序的.即任意兩個實數(shù)a, b必滿足下述三個關系之一: a b .3).實數(shù)集的大小關系具有傳遞性.即若a b, b c,則有acv實數(shù)的性質(zhì) .，則存在正整數(shù) n,使得 nb a. 即對任何4).實數(shù)具有阿基米德性,a b 0,5).實數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個不相等的實數(shù)之間幾有另一個實數(shù),且既有在理數(shù),也有無理數(shù).6).實數(shù)集R與數(shù)軸上的點具有一一

18、對應關系.即任一實數(shù)都對應數(shù)軸上唯一的一點,反之,數(shù)軸上的每一點也都唯一的代表一個實數(shù).v實數(shù)的性質(zhì) 例1 證明 .:,yrxr，yx滿足存在有理數(shù)證明為實數(shù)設.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負整數(shù)由于.,:,babaRba則有若對任何正數(shù)證明設例2 .,.bababababa，從而必有矛盾這與假設為正數(shù)且則令有則根據(jù)實數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法證明 1.1.常量與變量常量與變量: : 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量常量（常數(shù)）（常數(shù)）,注意注意 常量與變量是相對常量與變量是相對“過程過程

19、”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為而數(shù)值變化的量稱為變量變量（變數(shù)）（變數(shù)）.常量與變量的表示方法：常量與變量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示等表示變變量量.一、基本概念. 函數(shù)的概念函數(shù)的概念二、函數(shù)概念例例 圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正多邊形的周長nnrlnsin2L, 5 , 4 , 3 n3l5l4l6l圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n 邊形邊形Orn )因變量因變量自變量自變量.)(,000處的函數(shù)值處的函數(shù)值為函數(shù)在點為函數(shù)在點稱稱時時當當xxfXx .),()(稱為函數(shù)的值域函數(shù)值全體組成的數(shù)集YXxxfyyXf數(shù)集數(shù)集X叫做

20、這個函數(shù)的叫做這個函數(shù)的定義域定義域)(xfy ()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對應法則對應法則f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域定義域與與對應規(guī)律對應規(guī)律.xyXY約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值的一切實數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : X211xy 例如，例如，) 1 , 1( : X關于函數(shù)定義的幾點說明關于函數(shù)定義的幾點說明: :;1).(.)()1 (YyXxYXfxfff即映射的一個單值對應到是函數(shù)的區(qū)別與函數(shù)值函數(shù).)(1 , 1)(),(,sin:.,是一個數(shù)值而函數(shù)值例也可能沒有原象可

21、能對應多個一個反之xfXfYXxyXxX，xYy.0,;210, 0,21:.,.)(|)(22，RtgT，TtgtSRxfxXxxfy值域從抽象的函數(shù)看值域自由落體公式例而定還要視實際問題的意義函數(shù)的定義域和值域然而的集合有意義的實數(shù)定義域是使.)3(中才是具體的只有在具體函數(shù)是抽象的對應規(guī)律定義中，f，.)2(出其定義域給定一個函數(shù)一定要指.)(:)4(圖象法等列表法解析法常見有公式法的單值對應規(guī)律的方法是用于確定函數(shù)表示法、，YX .),(,)(. 2constCbaxCxfy常值函數(shù)例0,10, 00,1)(. 322xxxxxxfy分段函數(shù)例2)1(,0)0(,0)1(fff幾個特殊

22、的函數(shù)舉例幾個特殊的函數(shù)舉例 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線例例. “y 是是x的最大整數(shù)的最大整數(shù)部分部分”確定了一個函數(shù)確定了一個函數(shù) y=x, 稱為取整函數(shù)稱為取整函數(shù).Rx. 1)(0 ,)(, ,),(,xxxxxxRx，是一個非負小數(shù)是一整數(shù)其中注意84. 0)16. 2(, 316. 25 . 0)27(, 327 例例. 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當當當當當當1-1xyoxxx sgn.sgn,sgn|,:的的符符號號的的作作用用起起了了調(diào)調(diào)整整總總有有注注xxxxxRx 是無理數(shù)時是無理數(shù)

23、時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxDy01)(有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo例例. 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)).(,10, 0sin.sin1, 01sinxyyyxyKeplerxxyyxx確定了一個隱函數(shù)為常數(shù)方程得方程 例例. 函數(shù)有時可由方程確定函數(shù)有時可由方程確定. 如如.:.,0),(是是一一個個隱隱函函數(shù)數(shù)一一個個方方程程一一般般不不一一定定就就注注稱稱為為隱隱函函數(shù)數(shù)確確定定的的函函數(shù)數(shù)關關系系凡凡能能由由方方程程yxF例例. 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg（5）函數(shù)的圖象函數(shù)

24、的圖象.),(坐坐標標平平面面上上的的點點有有序序?qū)崒崝?shù)數(shù)對對一一一一對對應應yx.,)(),(),(又又稱稱曲曲線線的的圖圖象象函函數(shù)數(shù)稱稱為為平平面面點點集集XxxfyXxxfyyxGoxy),(yxxyYX .)(至多有一個公共點軸平行的直線與任何一條與能表示一個函數(shù)平面點集GyxfyG性質(zhì)性質(zhì)：（6）函數(shù)的相等與不等函數(shù)的相等與不等).()(,)(;)(xgxfXxiiXigf均均有有對對它它們們有有相相同同的的定定義義域域相相等等和和函函數(shù)數(shù)).()(.,xgxftsXxXgf一一個個但但至至少少存存在在相相同同或或者者雖雖然然定定義義域域或或者者它它們們的的定定義義域域不不同同不不

25、等等和和函函數(shù)數(shù)注：分清和“函數(shù)值的相等與不等”。.cossin1.sinsin:22相相等等和和不不相相等等和和例例xxxyxyxxxyxy例例脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形其波形如圖所示如圖所示,寫出電壓寫出電壓U與時間與時間 的函的函數(shù)關系式數(shù)關系式.)0( tt解：解：UtoE),2(E )0 ,( 2 ,2, 0時時當當 ttEU2 ;2tE 單三角脈沖信號的電壓單三角脈沖信號的電壓,2(時時當當 t),(200 tEU)(2 tEU即即,),(時時當當 t. 0 U其表達式為其表達式為是一個分段函數(shù)是一個分段函數(shù),)(tUU ),(, 0,2(),

26、(22, 0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E )0 ,( 2 例例1010.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設設 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故（）單值函數(shù)與多值函數(shù) 在函數(shù)的定義中在函數(shù)的定義中,對每個對每個x D, 對應的函數(shù)值對應的函數(shù)值y總是唯總是唯一的一的, 這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù)這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù). 如果給定一個對應法則如果給定一個對應法則, 按這個法則按這個法則, 對每個對每個x D, 總有確定的總有確定的y值與之對應值與之對應, 但這個但這個y不總是唯

27、一的不總是唯一的, 我們稱我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù)這種法則確定了一個多值函數(shù). 例如, 由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個多值函數(shù): 此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個單值分支 221)(xrxyy. 22xry. 三、函數(shù)的一些幾何特性M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界M-MyxoX0 x,)(, 0,)(成成立立有有若若上上有有定定義義在在數(shù)數(shù)集集設設MxfXxMXxf1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,)(Xxf的的定定義義域域為為設設函函數(shù)數(shù),2121時時當當及及上上任任意意兩兩點

28、點如如果果對對于于xxxxX;)()(單調(diào)增加的單調(diào)增加的嚴格嚴格上是上是在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)Xxf),()()()() 1 (2121xfxfxfxf恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoX)(xfy )(1xf)(2xfxyoX,)(Xxf的的定定義義域域為為設設函函數(shù)數(shù),2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于xxxxX;)()(單調(diào)減少的嚴格上是在則稱函數(shù)Xxf),()()()() 1 (2121xfxfxfxf恒有恒有當當X是區(qū)間時稱為是區(qū)間時稱為f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.例例113函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對對于于關關于于原原點點對對稱稱

29、設設數(shù)數(shù)集集,XxX)()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf圖形關于圖形關于y軸對稱軸對稱)()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 有有對對于于關關于于原原點點對對稱稱設設數(shù)數(shù)集集,XxX圖形關于原點對稱圖形關于原點對稱偶偶函函數(shù)數(shù)為為偶偶數(shù)數(shù)奇奇函函數(shù)數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)例例,:nnxyn都內(nèi)的任何函數(shù)證明定義在對稱區(qū)間例)(),(. 21xfll.與一個偶函數(shù)之和可以表示成一個奇函數(shù):證構造兩個函數(shù)，設法由)(xf使得一個是奇函數(shù)一個是偶函數(shù)，).(xf且兩者之和恰為),()(21)

30、(xfxfxF令)()(21)(xfxfxG)()(21)(xfxfxF),(xF).()()(xGxFxf且)()(21)(xfxfxG)( xG ,)(是偶函數(shù)xF,)(是奇函數(shù)xG所以因為.這種表示法是唯一的我們還可以進一步證明我們只要能證明，)()(),()(xGxQxFxH.問題就能獲得解決,)(是奇函數(shù)xQ,)(是偶函數(shù)設xH且)()()(xQxHxf)()(xQxH)()()(xQxHxf從而: ) 2( ) 1 ()()(21)(xfxfxH)()(21)(xfxfxG)(xF: ) 2( ) 1 ()(xG.故表示法是唯一的) 1 () 2(4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:（通常

31、說周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l使使得得如如果果存存在在常常數(shù)數(shù), 0)()(xfxf且且為周為周則稱則稱)(xf,)(,XxXx有有對對于于任任意意.)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xf.恒成立恒成立例例1313解解,01)( QxQxxD設設.)().21 (),57(的性質(zhì)并討論求xDDD, 1)57( D, 0)21( Doxy1有界函數(shù)有界函數(shù), 偶函數(shù)偶函數(shù),周期函數(shù)周期函數(shù)(無最小正周期無最小正周期)不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),四、小結(jié).基本概念基本概念常量與變量常量與變量, 實數(shù)實數(shù), 區(qū)間區(qū)間, 鄰域鄰域,

32、 絕對值絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的概念. .函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性有界性, ,單調(diào)性單調(diào)性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .,2 ,.sin,lnsin)() 12( ,2(,sinln,sin), 0(,ln:意義則無如否則才有意義的定義域時在的定義域使其值域包含只有限制構成新函數(shù)與例xxyuyxuZkkkxxyRxxuuuy 1 , 0(u 一、一、 復合函數(shù)復合函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 復合函數(shù)和反函數(shù)復合函數(shù)和反函數(shù)yxXxeiyuUuxXx1,.,1,1,*為上定義了一個函數(shù)，記于是在X,),(Xxxfy., 稱為中間變量稱為復合函數(shù) uf則對且值域為域為,*UUUX的定義的定義域

33、為：若)(,)(. 1xfuUuyDef的值即可以復合的條件是與注)(,:1*xfuUUf.)( 的定義域域不超出uy), 1,1:Uuy例), 5),(, 52uxxu復合函數(shù)), 22,(,4)5(122xxxy)., 1), 22,(, 5,*2UXxu限制此時).(),(,cos)(, 12)(:2xfgxgfxxgxxf求例).12cos()(, 1cos2)(:22xxfgxxgf解!)()(:2不是一回事與注xfgxgf.:3到有限個函數(shù)的情形復合函數(shù)的概念可推廣注)., 1, )32ln(32,ln,:xxyxvvuuy例.11)(1,1111)(:xxfxxxxf知由解),(

34、)(,)(111)(xfxfffxxfxff.)()(xxffxffff.111111)11 ()(1(xxxxfxff).1, 0(),)(1(),(),(,1)(:1xxxffxffffxffxxxf求設例例2：).(,0, 10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求設解：1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)()1 (時當x, 0 x或, 12)( xx;20 x, 0 x或, 11)(2 xx; 1x,1)()2(時當x, 0 x或, 12)( xx;2x, 0 x或, 11)(2 xx; 01x綜上所述.2, 120011, 2,)(2122xxxxxexe

35、xfxx.arcsinln) 1 (:35xtgy 例,arcsin,ln,:35xttwwvtgvuuy解)(lnln(ln)2(32xy .ln,ln,ln:32xttwwvvuuy解2. 復合函數(shù)的“分解”： 簡單函數(shù)二、反函數(shù)二、反函數(shù)例例:),(, 12YXxy).1(21,|,yxXxyYy對1. Def : ,| ),( . , )( XxyXfyXxxfy若對設函數(shù)，表為的反為上定義了一個函數(shù)，稱則在)()( , )( .xfyXfyxfts).( ),(1Xfyyfx根據(jù)定義，有).()( ,)( ) 1 (212121xfxfxxXxxXfX且之間是一一對應的，即與互為反函

36、數(shù)。與)( )( )2(1yfxxfy).( , )( ; , )( )3(11XfyyyffXxxxff例：)., 0( , , ) 10(yRxaayx不存在反函數(shù)。其反函數(shù) , ), 0 , ),(, )., 0(,log)(21yxxyyyyfxa)., 0 , ,0 ,()., 0 , ), 0yyxxyyxx反函數(shù)若反函數(shù)若Th. 減減少少）。上上也也嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)增增加加（或或它它在在則則必必存存在在反反函函數(shù)數(shù)少少）上上嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)增增加加（或或減減在在設設)(),(,)(1XfyfxXxfy證明：用反證法。存在函數(shù)，即證先證.)( . ,1),()(yxftsXxXfy

37、xfy).(),(),(),(.),(,)()(221121211121211xfyxfyyfxyfxyyXfyyXfyfx即又設且上嚴增。設在其次證).(,)(1),()()()(.)()(, . ),(12102121210yfxyxfxxfyxfxfXxfyyxfxfxxXxxtsXfy反函數(shù)即存在矛盾。于是，上嚴格單增在這與已知有，且對某個假設注1. 函數(shù)嚴格單調(diào)僅是存在反函數(shù)的充分條件，而不是必 要條件。例： . 10 , 01 ,1)(xxxxxfyxy-1112上存在反函數(shù)上非單調(diào)函數(shù)，而在在2 , 0)1 , 1( 1 , 1f. 21 ,1, 10 , )(1yyyyyfx嚴

38、增。上在故有否則上嚴增，故必有在又由)()().()(,( ,)(),()(12121212121XfyfxxfxfxxxxXxfyxfxfyy注2. 函數(shù)存在反函數(shù)與否跟討論的定義區(qū)間有關。例：.1 , 1 ,arccos; , 0 ,cos. 1 , 1 ,arcsin; 2,2 ,sinxyxyxyxy2. 函數(shù)及其反函數(shù)的圖像).()( ) 1 (1xfyxfy的反函數(shù)表示為符號恰好相反。與通常使用因變量的表示中，自變量在反函數(shù),)(1xyyfx).()()()(111xfyyfxyfxxfy改寫為表達出來，必須把在同一坐標系內(nèi)把他們是同一條曲線。為與在圖形上，曲線互為反函數(shù)。與)()

39、(1xfyxfy例：)., 0(,lg),(,10.) 1(2112xxyxyxyxyx和互為函數(shù)與(2) 圖像之間的關系：互相對稱。的圖像關于直線與xyxfyxfy)()(1)(1xfyxy )(xfy ),(xyMyOxFig 7),(yxM對稱。關于直線與上，則點即在曲線若點xyxyMyxMyfxxfyyxM),(),()()(),(11、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù) 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。雙曲函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。第三節(jié)第三節(jié) 初等函數(shù)初等函數(shù)2、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 3、冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 4、三角函數(shù)、三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xy