1、 第八章 習題課習題課機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、 基本概念基本概念 二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法 三、多元函數(shù)微分法的應用三、多元函數(shù)微分法的應用 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法一、一、 基本概念基本概念連續(xù)性 偏導數(shù)存在 方向導數(shù)存在可微性1. 多元函數(shù)的定義、極限 、連續(xù) 定義域及對應規(guī)律 判斷極限不存在及求極限的方法 函數(shù)的連續(xù)性及其性質2. 幾個基本概念的關系機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 討論二重極限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令, xky 01l

2、im0kkxx原式解法解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式時, 下列算法是否正確是否正確?分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 此法第一步排除了沿坐標軸趨于原點的情況, 此法排除了沿曲線趨于原點的情況. 時例如xxy21lim2230 xxxx原式此時極限為 1 .第二步 未考慮分母變化的所有情況, , 1,111xyxxy時例如解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 此法忽

3、略了 的任意性,時當4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr極限不存在 !由以上分析可見, 三種解法都不對, 因為都不能保證自變量在定義域內以任意方式趨于原點 .特別要注意, 在某些情況下可以利用極坐標求極限, 但要注意在定義域內 r , 的變化應該是任意的. 同時還可看到, 本題極限實際上不存在 .0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 連續(xù);, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0(yxff所

4、以知在點(0,0) 處連續(xù)且偏導數(shù)存在 , 但不可微 . 2. 證明證明:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 而)0 , 0(f,00時，當yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在點(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 已知求出 的表達式. ),(yxf解法解法1 令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解法解法2 )()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下與解法1 相同., )(),(22yxyxyxyxf

5、,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,則xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法顯示結構隱式結構1. 分析復合結構(畫變量關系圖)自變量個數(shù) = 變量總個數(shù) 方程總個數(shù)自變量與因變量由所求對象判定2. 正確使用求導法則“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”注意正確使用求導符號3. 利用一階微分形式不變性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 設其中 f 與F分別具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程兩邊對 x 求導, 得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1

6、 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一階導數(shù)或偏導數(shù), 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(99 考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解法解法2 0),(, )(zyxFyxfxz方程兩邊求微分, 得化簡消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. .設),(zyxfu 有二階連續(xù)偏導數(shù), 且,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu解解

7、:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx 1cos tyx 1yx 1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 練習題練習題: 設函數(shù) f 二階連續(xù)可微, 求下列函數(shù)的二階偏導數(shù).2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解答提示解答提示: )() 1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 f

8、xyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22第 1 題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2222fxyyxz) (2xy21f 2222fxy : ),()3(2xyxfz 22fxyyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、多元函數(shù)微分法的應用三、多元函數(shù)微分法的應用1 1.在幾何中的在幾何中的應用應用求曲線在切線及法平面 (關鍵: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法線 (關鍵: 抓住法向量) 2. 極值與最值問題極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 求解最值

9、問題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4.4.在第一卦限作橢球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小, 并求切點. 解解: 設, 1),(222222czbyaxzyxF切點為),(000zyxM則切平面的法向量為,220ax,220by202czM即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby )(2020 xxax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(zyxFFFn 問題歸結為求222222zcybxas在條件1222222czbyax下的條件極值問題 .設拉格朗日函數(shù)222

10、222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 切平面在三坐標軸上的截距為,02xa,02yb02zc令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由實際意義可知cbacccbabbcbaaaM,為所求切點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 唯一駐點例例5.22yxz求旋轉拋物面與平面之間的最短距離.解：解：2261zyxd設為拋物面上任一點， 則 P ),(zyxP22yxz的距離為022zyx問題歸結為(min)22(2zyx

11、約束條件:022zyx目標函數(shù):22 zyx作拉氏函數(shù))()22(),(222yxzzyxzyxF機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程組得唯一駐點02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由實際意義最小值存在 ,241414161mind647故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上求一點 , 使該點處的法線垂直于練習題：練習題：1. 在曲面yxz ,093zyx并寫出該法線方程 .提示提示: 設所求點為, ),(000zyx則法線方程為000zzyyxx利用113100 xy得3,1,3000zyx平面0y0 x1000yxz 法線垂直于平面點在曲面上機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 在第一卦限內作橢球面1222222czbyax的切平面使與三坐標面圍成的四面體體積最小,并求此