1、信號與系統(tǒng)翟倩電話664351）郵箱：第一章第一章 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)n教材：信號與線性系統(tǒng)分析（吳大正）n參考書：n1、鄭君里，楊為理，信號與系統(tǒng)，高等教育出版社，2000n2、陳生潭，郭寶龍，信號與系統(tǒng)（第二版），西安電子科技大學出版社n3、奧本海姆 等，信號與系統(tǒng)（第二版），劉樹棠譯，西安交通大學出版社本章內容本章內容n1.1 緒言n1、信號的概念n2、系統(tǒng)的概念n1.2 信號的描述與分類n1、信號的描述n2、信號的分類n1.3 信號的基本運算n1、加法和乘法n2、時間變換n1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)n一、階躍函數(shù)n二、沖激函數(shù)n三、沖激函數(shù)的性質n1.5 系

2、統(tǒng)的描述n一、系統(tǒng)的數(shù)學模型n二、系統(tǒng)的框圖表示n1.6 系統(tǒng)的特性和分析方法1.1 緒論n一、信號的概念n1. 消息n人們常常把來自外界的各種報道統(tǒng)稱為消息。n（感覺、思想、意見等）n2. 信息通常把消息中有意義的內容稱為信息。n本課程中對“信息”和“消息”兩詞不加嚴格區(qū)分。n信號是信息的載體。通過信號傳遞信息。n信號我們并不陌生，如鈴聲聲信號，表示該上課了；n十字路口的紅綠燈光信號，指揮交通；n電視機天線接受的電視信息電信號；n廣告牌上的文字、圖象信號等等。n為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉換成便于傳輸和處理的信號。3. 信號n一般而言，系統(tǒng)(system)是指若干相互關聯(lián)的事物

3、組合而成具有特定功能的整體。n如手機、電視機、通信網(wǎng)、計算機網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號。n信號的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。n信號的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。n系統(tǒng)的基本作用是對輸入信號進行加工和處理，將其轉換為所需要的輸出信號。二、系統(tǒng)的概念n一、信號的描述一、信號的描述n信號是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時間或位置變化的物理量。n信號按物理屬性分：電信號和非電信號。它們可以相互轉換。電信號容易產(chǎn)生，便于控制，易于處理。n本課程討論電信號本課程討論電信號-簡稱簡稱“信號信號”。n電信號的基本形式：隨時

4、間變化的電壓或電流。n描述信號的常用方法（1）表示為時間的函數(shù) （2）信號的圖形表示-波形n“信號”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。1.2 信號的描述和分類二、信號的分類n1. 確定信號和隨機信號n可以用確定時間函數(shù)表示的信號，稱為確定信號或規(guī)則信號。如正弦信號。n若信號不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計特性，如在某時刻取某一數(shù)值的概率，這類信號稱為隨機信號或不確定信號。n電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號就是兩種典型的隨機信號。n研究確定信號是研究隨機信號的基礎。n本課程只討論確定信號。本課程只討論確定信號。確定信號與隨機信號波形確定信號與隨機信號波形 n

5、在連續(xù)的時間范圍內(-t）有定義的信號稱為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。n這里的“連續(xù)”指函數(shù)的定義域時間是連續(xù)的，但可含間斷點，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。n時間和幅值都為連續(xù)的信號稱為模擬信號。模擬信號。2. 連續(xù)信號和離散信號根據(jù)信號定義域的特點可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。離散時間信號n僅在一些離散的瞬間才有定義離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。若幅值也離散就為數(shù)字信號。n這里的“離散”指信號的定義域時間是離散的時間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余無定義無定義。n如右圖的f(t)僅在一些離散時刻tk(k = 0,1,2,)才有定義，其余時間無定義

6、。相鄰離散點的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號可表示為f(kT)，簡寫為f(k)，這種等間隔的離散信號等間隔的離散信號也常稱為序列。其中k稱為序號。n上述離散信號可簡畫為 用表達式可寫為或寫為f(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，通常將對應某序號通常將對應某序號m的序列值稱為第的序列值稱為第m個樣點的個樣點的“樣樣值值”。3. 周期信號和非周期信號n周期信號(period signal)是定義在(-，)區(qū)間，每隔一定時間T (或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復變化的信號。n連續(xù)周期信號f(t)滿足nf(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,n

7、離散周期信號f(k)滿足nf(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,n滿足上述關系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號的周期。n不具有周期性的信號稱為非周期信號。n解：兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為其周期為T1和和T2的最小公倍數(shù)。的最小公倍數(shù)。n（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為n1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= sncos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為n2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) sn由于T1/T2= 3/2為有理數(shù)

8、，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2。n（2） cos2t 和sint的周期分別為T1=s，T2= 2 s，由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號。例1 判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint解：f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ，m=0,1,2,例2 判斷正弦序列f(k) = sin(k)是否為周期信號，若是，確定其周期。式中稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見：當2/ 為整數(shù)時，正弦序列周期N = 2/ 。當2/ 為有

9、理數(shù)時，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N= M(2/ )，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。如如=3，問，問，M=?，N=?當2/ 為無理數(shù)時，正弦序列為非周期序列。)(sin)2(sinmNkmkn解（1） sin(2k) 的數(shù)字角頻率為1 = 2 rad；由于2/ 1 =為無理數(shù)，故f2(k) = sin(2k)為非周期序列。n（2） sin(3k/4) 和cos(0.5k)的數(shù)字角頻率分別為1 = 3/4 rad， 2 = 0.5radn由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4為有理數(shù)，故它們的周期分別為N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 為周期序列，其周期為N1和N2的最小公

10、倍數(shù)8。n由上面幾例可看出：連續(xù)正弦信號一定是周期信號n而正弦序列不一定是周期序列。兩連續(xù)周期信號之和不兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。而兩周期序列之和一定是周期序列。例3 判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。（1） f2(k) = sin(2k) （2）f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k)4能量信號與功率信號n將信號f (t)施加于1電阻上，它所消耗的瞬時功n率為| f (t) |2，在區(qū)間( , )的能量和平均功率定義為n（1）信號的能量n（2）信號的功率若信號f (t)的能量有界，即E ,則稱其為能量有限

11、信號，簡稱能量信號。此時P = 0若信號f (t)的功率有界，即P ,則稱其為功率有限信號，簡稱功率信號。此時E = n相應地，對于離散信號，也有能量信號、功率信號之分。時限信號時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的信號)為能量信號; 周期信號屬于功率信號，而非周期信號可能是能量信號，也可能是功率信號。有些信號既不是屬于能量信號也不屬于功率信號，如 f (t) = e t。問題問題n1、什么是信號？什么是系統(tǒng)？為什么把這兩個概念連在一起？n2、信號f(t)=e-2|t|是 信號（填“能量”或“功率”）。 n從數(shù)學表達式來看，信號可以表示為一個或多個變量的函數(shù)，稱為一維或多維函數(shù)。n語音信號可表示為

12、聲壓隨時間變化的函數(shù)，這是一維信號。n而一張黑白圖像每個點(像素)具有不同的光強度，任一點又是二維平面坐標中兩個變量的函數(shù)，這是二維信號。還有更多維變量的函數(shù)的信號。n本課程只研究一維信號，且自變量多為時間。且自變量多為時間。5一維信號與多維信號6因果信號與反因果信號n常將t = 0時接入系統(tǒng)的信號f(t) 即在t 0，則將f ()右移；否則左移。n如平移與反轉相結合n已知f(t)如下圖所示，請畫出f(2-t)法一：先平移f (t) f (t +2), 再反轉f (t +2) f ( t +2)n法二：先反轉 f (t) f ( t)再平移f ( t) f ( t +2)= f (t 2)3.

13、 尺度變換（橫坐標展縮）n將f (t) f (a t) ， 稱為對信號f (t)的尺度變換。n若a 1 ，則波形沿橫坐標壓縮橫坐標壓縮；若0 a 1 ，則展開。如n信號的尺度變換在實際生活中的例子對于離散信號，對于離散信號，由于由于f (a k) 僅在為僅在為a k 為整數(shù)時為整數(shù)時才有意才有意義，義， 進行尺度變換時可能會使部分信號丟失。因此一進行尺度變換時可能會使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。般不作波形的尺度變換。見見p10n三種運算的次序可任意。但一定要注意始終對時間t 進行。n例：已知例：已知f (t)，畫出，畫出f ( 4 2t)。平移、反轉、尺度變換相結合平移、反轉、尺

14、度變換相結合也可以先壓縮、再平移、最后反轉。也可以先壓縮、再平移、最后反轉。1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)n階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱為奇異函數(shù)。研究奇異函數(shù)的性質要用到廣義函數(shù)（或分配函數(shù)）的理論。n這節(jié)課首先直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)這節(jié)課首先直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。n一、階躍函數(shù)一、階躍函數(shù)n下面采用求函數(shù)序列極限 的方法定義階躍函數(shù)。的方法定義階躍函數(shù)。n選定一個函數(shù)序列n(t)如圖所示。階躍函數(shù)性質：階躍函數(shù)性質：n（1）可以方便地表示某些信號 r(t)=t (t),斜升函數(shù)斜升函數(shù)f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2)（2）用階躍函數(shù)表

15、示信號的作用區(qū)間n問：如何用階躍函數(shù)表示如下信號問：如何用階躍函數(shù)表示如下信號二、沖激函數(shù)n單位沖激函數(shù)是個奇異函數(shù)，它是對強度極大，作用時間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由狄拉克最早提出）也可采用下列直觀定義：對如下圖所示的矩形脈沖pn(t) 。高度無窮大，寬度無窮小，面積為高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對稱窄脈沖。的對稱窄脈沖。沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關系可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點的導數(shù)也存在。如f(t) = 2(t +1)-2(t -1) f(t) = 2(t +1)-2(t -1)三、沖激函數(shù)的性質（1）n1. 與普通函數(shù)f(t) 的乘積取樣性質n若f(t)在t

16、 = 0 、t = a處存在，則？沖激偶信號沖激偶信號n 對沖激信號(t)求時間導數(shù)，得到一個新的奇異信號，即沖激偶信號，其表示式為 ( )( )dttdt0t(t)見書見書p14門函數(shù)門函數(shù)n下圖所示矩形脈沖g(t)常稱為門函數(shù)。g(t)1-/2-/20 t特點特點:寬度為，幅度為1。2|, 02|, 1)(tttg利用移位階躍函數(shù)，門函數(shù)可表示為：利用移位階躍函數(shù)，門函數(shù)可表示為：)2()2()(tttg沖激函數(shù)的導數(shù)(t)n(t) 也稱沖激偶n(t)的定義：)0( )()( fdttft ?)( dtt)()()(11tdtttt移位移位0的定義：例題例題?)()(tn(t) 的尺度變換

17、？復合函數(shù)形式的沖激函數(shù)n實際中有時會遇到形如f(t)的沖激函數(shù)，其中f(t)是普通函數(shù)。并且f(t) = 0有n個互不相等互不相等的實根的實根ti ( i=1，2，n)；)(.)( 21)()()(2iiiiiiitttftttftttftftf見書見書p22f(t)可以展開成泰勒級數(shù)可以展開成泰勒級數(shù)n若若f(t)=0的的n個根個根t=ti都是單根，即在都是單根，即在t=ti處處f(ti) 0，則則在在t=ti附近附近有：有：)(| )( |1)( )(iiiitttftttftf)(| )( |1)(1iinitttftf意義：意義：是位于各是位于各ti處，處，n個沖激函數(shù)構成的沖擊函個

18、沖激函數(shù)構成的沖擊函數(shù)序列。數(shù)序列。例：若f(t)=4t2-1,則有? 142t)21(41)21(41tt1.4 1.4 系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的描述n系統(tǒng)分類：系統(tǒng)分類：n按數(shù)學模型的不同,系統(tǒng)可分為:即時系統(tǒng)即時系統(tǒng)與動態(tài)動態(tài)系統(tǒng)系統(tǒng);連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng);線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系非線性系統(tǒng)統(tǒng);時變系統(tǒng)時變系統(tǒng)與時不變時不變( (非時變非時變) )系統(tǒng)系統(tǒng)等等.n1 1、即時系統(tǒng)、即時系統(tǒng)指的是指的是在任意時刻的響應(輸出信號)僅決定與該時刻的激勵(輸入信號),而與它過去的歷史狀況無關的系統(tǒng)。n2、如果系統(tǒng)在任意時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關而且與它過去的歷史狀況有關,就稱之為動態(tài)系統(tǒng)。動態(tài)系

19、統(tǒng)。系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的描述3、當系統(tǒng)的激勵是連續(xù)信號時,若響應也是連續(xù)信號,則稱其為連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)。4、當系統(tǒng)的激勵是離散信號時,若其響應也是離散信號,則稱其為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)。5、連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)常組合使用,可稱為混合混合系統(tǒng)系統(tǒng)一、系統(tǒng)的數(shù)學模型一、系統(tǒng)的數(shù)學模型數(shù)學模型數(shù)學模型: :系統(tǒng)基本特性的數(shù)學抽象系統(tǒng)基本特性的數(shù)學抽象, ,是以數(shù)是以數(shù)學表達式來表征系統(tǒng)的特性學表達式來表征系統(tǒng)的特性. . 描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程微分方程, 而描述離散系統(tǒng)的數(shù)學模型是差分方程。差分方程。系統(tǒng)分析的基本思想：系統(tǒng)分析的基本思想：1. 根據(jù)工程實際應用，對系統(tǒng)

20、建立數(shù)學模型。根據(jù)工程實際應用，對系統(tǒng)建立數(shù)學模型。通常表現(xiàn)為通常表現(xiàn)為描述描述輸入輸出關系的方程。輸入輸出關系的方程。2. 建立求解這些數(shù)學模型的方法。建立求解這些數(shù)學模型的方法。)()()()(tutututuscRL)()(tuCtic)()()(tuRCtRitucR)()()(tuLCtiLtucL )(1)(1)()(tuLCtuLCtuLRtusccc 例：寫出右圖示電路的微分方程。例：寫出右圖示電路的微分方程。Us（t）LR+ - +-Uc（t）C解：根據(jù)解：根據(jù)KVL有有利用以上各元件端電壓與電流的關系可得：利用以上各元件端電壓與電流的關系可得：二、系統(tǒng)的框圖表示二、系統(tǒng)的框

21、圖表示 系統(tǒng)的數(shù)學模型所包括基本運算： 相乘、微分、相加運算。 將這些基本運算用一些理想部件符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運算關系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。積分器的抗干擾特性比積分器的抗干擾特性比微分器的好。微分器的好。1 1、表示系統(tǒng)功能的常用基本單元有、表示系統(tǒng)功能的常用基本單元有: :積分器：積分器：見書見書p25系統(tǒng)模擬：n實際系統(tǒng)實際系統(tǒng)方程方程模擬框圖模擬框圖n實驗室實現(xiàn)實驗室實現(xiàn)指導實際系統(tǒng)設計指導實際系統(tǒng)設計n例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。n解：將方程寫為y”(t) = f(t) ay(t) by(t)n例二（見書例

22、二（見書p25）已知某連續(xù)系統(tǒng)如下圖所示，寫出）已知某連續(xù)系統(tǒng)如下圖所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。該系統(tǒng)的微分方程。 y(t)+ f(t)- x(t) x(t) x(t) a0 b0 b2 b1解：解：圖中有兩個積分器，因而系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。設右端積分器的輸出為x(t)，那么各積分器的輸入分別是 x(t),x(t)。左方加法器的輸出為)()()( )( 01tftxatxatxn為了得到系統(tǒng)的微分方程，要消去為了得到系統(tǒng)的微分方程，要消去x(t)及其及其導數(shù)。導數(shù)。右方加法器的輸出為右方加法器的輸出為)()( )( )(012txbtxbtxbty)() () (0001020 xabxabxab

23、ya)() () (1011121xabxabxabya )( ) ( ) ( 012xbxbxby以上三式相加并整理得：以上三式相加并整理得：)()( )( )()( )( 01201tfbtfbtfbtyatyaty)()()( )( 01tftxatxatx即：即：二、離散系統(tǒng)n設第k個月初的款數(shù)為y(k),這個月初的存款為f(k),上個月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為y(k-1),n則y(k)=y(k-1)+ y(k-1)+f(k) n 即y(k)-(1+)y(k-1) = f(k)n若設開始存款月為k=0，則有y(0)= f(0)。n上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方

24、程差分方程。n所謂差分方程是指由未知輸出序列輸出序列項與輸入序列輸入序列項構成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。1. 解析描述建立差分方程例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為元/元，求第k個月初存折上的款數(shù)。n由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。n2. 差分方程的模擬框圖n基本部件單元有：n數(shù)乘器，加法器，遲延單元（移位器）例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。n解：設輔助變量x(k)如圖nx(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)n即x(k) +2x(k-1) +3x(k-

25、2) = f(k)ny(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2)n消去x(k) ，得ny(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2)n方程框圖用變換域方法和梅森公式簡單，第7章討論。根據(jù)框圖求解微分或差分方程的一根據(jù)框圖求解微分或差分方程的一般步驟：般步驟：(1)選中間變量x()。對于連續(xù)系統(tǒng)對于連續(xù)系統(tǒng),設其最右端積分器的輸出x(t);對于離散系統(tǒng)對于離散系統(tǒng)，設其最左端延遲單元的輸入為x(k)；（2）寫出各加法器輸出信號的方程；（3）消去中間變量x()n解：解：設輔助變量x(t)如圖所示。n由左端加法器得例：已知框圖如下圖所示，寫出系統(tǒng)的微分方程。

26、例：已知框圖如下圖所示，寫出系統(tǒng)的微分方程。 x(t) x(t) x(t) y(t)+ f(t)- 3 2 4 5)()(3)( 2)( tftxtxtx) 1 ()()(3)( 2)( tftxtxtxn由（2）式可知，響應y(t)是x(t)及其各階導數(shù)的線性組合，因而以y(t)為未知變量的微分方程左端的系數(shù)應與式（1）相同。n由（2）式得 由右端加法器得由右端加法器得)2()( 4)(5)(txtxty)( 43)(53)(3)( 42)( 52)( 2)( 4)( 5)( txtxtytxtxtytxtxty)(3)( 2)( 4)(3)( 2)( 5)(3)( 2)( txtxtxtx

27、txtxtytyty)( 4)(5tftf) 1 ()()(3)( 2)( tftxtxtx1.6 系統(tǒng)的特性和分析方法系統(tǒng)的特性和分析方法n一、系統(tǒng)特性一、系統(tǒng)特性n二、系統(tǒng)分析方法二、系統(tǒng)分析方法一、系統(tǒng)特性一、系統(tǒng)特性n連續(xù)的或離散的系統(tǒng)可分為：連續(xù)的或離散的系統(tǒng)可分為：n1、線性的和非線性的；n2、時變的和時不變（非時變）的；n3、因果的和非因果的；n4、穩(wěn)定的和非穩(wěn)定的。n本書主要討論線性時不變系統(tǒng)本書主要討論線性時不變系統(tǒng)n（1）線性性質n系統(tǒng)的激勵f ()所引起的響應y() 可簡記為y() = T f ()。n線性性質包括兩方面：齊次性和可加性。n若系統(tǒng)的激勵f ()增大a倍時，

28、其響應y()也增大a倍，即T af () = a T f ()則稱該系統(tǒng)是齊次的。n若系統(tǒng)對于激勵f1()與f2()之和的響應等于各個激勵所引起的響應之和，即T f1()+ f2() = T f1()+T f2() 則稱該系統(tǒng)是可加的。1 1、線性系統(tǒng)：、線性系統(tǒng)：滿足線性性質的系統(tǒng)。n若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的，即nTa f1() + bf2() = a T f1() + bT f2()（2）動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵 f () 有關，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)有關。初始狀態(tài)也稱“內部激勵”。完全響應可寫為y () = T f () , x(0)n當動態(tài)

29、系統(tǒng)滿足下列三個條件時該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：n可分解性可分解性：ny () = yzs() + yzi() = T f () , 0+ T 0，x(0)n零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性：nTa f () , 0 = a T f () , 0 (齊次性)nTf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0 ( (可加性可加性) )n或或nTaf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0零狀態(tài)響應為零狀態(tài)響應為yzs() = T f () , 0零輸入響應為零輸入響應為yzi() = T 0，x(0)nT0,ax(0)=

30、aT 0,x(0) (齊次性)nT0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0)n( (可加性可加性) )n或或nT0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)零輸入線性：零輸入線性：注：三個條件缺一不可注：三個條件缺一不可例題例題n解：（1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1n顯然， y (t) yzs(t) yzi(t)不滿足可分解性，可分解性，故為非線性。n（2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0)ny (t) = yzs(t) + yzi(t)

31、滿足可分解性；n由于Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t)不滿足零狀態(tài)線性。n故為非線性系統(tǒng)。例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1（2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)|（3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)n（3） yzs(t) = 2 f (t) , yzi(t) = x2(0) ，顯然滿足可分解性；n由于T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不滿足零輸入線性。n故為非線性系統(tǒng)。（3） y (t) = x2(0) + 2 f

32、 (t)ny (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 滿足可分解性；nTa f1(t)+ b f2(t) , 0例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，滿足零狀態(tài)線性滿足零狀態(tài)線性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-t x1(0)+ be-t x2(0)= aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 滿足零輸入線性滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。2、時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)n滿足時不變性質的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。n（1）時不變性質n若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時間，

33、其零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應也也延遲多少時間，延遲多少時間，n即若T0，f(t) = yzs(t)n則有nT0，f(t - td) = yzs(t - td)n系統(tǒng)的這種性質稱為n時不變性或移位不變性）n解(1)令g (k) = f(k kd)nT0，g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 )n而y (k kd) = f (k kd) f (kkd 1)n顯然顯然T0，f(k kd) = y (k kd) 故該系統(tǒng)是時不變的故該系統(tǒng)是時不變的. .n(2) 令g (t) = f(t td)nT0，g (t) = t g (t) = t f (t td)n而y (t td)= (t td) f (t td)n顯然顯然T0，f(t td) y (t td) 故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。例：判斷下列系