1、注冊電氣工程師公共基礎(chǔ)輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)馬鴻雁高等數(shù)學(xué)n考試說明：共120題，每題1分。4小時小時n上午段：n高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 24題（題（24分）分）普通物理 12題n普通化學(xué) 12題 理論力學(xué) 13題n材料力學(xué) 15題流體力學(xué) 12題n計算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)10題n電工電子技術(shù) 12題工程經(jīng)濟(jì) 10題高等數(shù)學(xué)n空間解析幾何空間解析幾何n微分學(xué)微分學(xué)n積分學(xué)積分學(xué)n無窮級數(shù)無窮級數(shù)n常微分方程常微分方程n概率與數(shù)理統(tǒng)計概率與數(shù)理統(tǒng)計n向量分析向量分析n線性代數(shù)線性代數(shù)一、空間解析幾何一、空間解析幾何n向量代數(shù)向量代數(shù)n平面平面n直線直線n柱面柱面n旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面n二次曲面二次曲面n空間曲線空間曲線一、空

2、間解析幾何一、空間解析幾何n空間解析幾何是用代數(shù)的方法代數(shù)的方法研究空間空間中幾何問題幾何問題n研究工具：研究工具：幾何向量幾何向量n幾何向量：幾何向量：既有大小、又有方向既有大小、又有方向的量稱為的量稱為向量向量或或矢量。用幾何空矢量。用幾何空間中間中有向線段有向線段來表示的來表示的向量向量為為幾幾何向量（簡稱向量）。何向量（簡稱向量）。幾何向量幾何向量n（1）模：模：向量的大小（長度）、有向向量的大小（長度）、有向線段的長度線段的長度n（2）單位向量單位向量：模為：模為1的向量的向量n（3）零向量零向量：模為：模為0的向量；起點(diǎn)和的向量；起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，終點(diǎn)重合，方向任意方向任意n（4）負(fù)

3、向量負(fù)向量：大小相同，方向相反大小相同，方向相反n（5）自由向量自由向量：與起點(diǎn)無關(guān)的與起點(diǎn)無關(guān)的向量，向量，我們研究的重點(diǎn)我們研究的重點(diǎn)（一）向量代數(shù)n向量和向量坐標(biāo)的概念向量和向量坐標(biāo)的概念n向量的線性運(yùn)算的概念及運(yùn)算規(guī)則向量的線性運(yùn)算的概念及運(yùn)算規(guī)則n向量的模、方向余弦、方向角，非零向向量的模、方向余弦、方向角，非零向量的單位向量量的單位向量n向量數(shù)量積、向量積、混合積的概念、向量數(shù)量積、向量積、混合積的概念、幾何物理意義及運(yùn)算規(guī)則幾何物理意義及運(yùn)算規(guī)則n兩向量相互垂直和相互平行的條件兩向量相互垂直和相互平行的條件n利用向量積求面積利用向量積求面積（一）向量代數(shù)（一）向量代數(shù)n向量代數(shù)是

4、建立平面方程與直線方程、以及研究它們基本性質(zhì)的工具。n1、空間直角坐標(biāo)系n2、向量n3、向量的坐標(biāo)表達(dá)式1、空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系21221221221)()(zzyyxxMM為了將幾何向量的加法、數(shù)乘等運(yùn)算為了將幾何向量的加法、數(shù)乘等運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，引入空間直角轉(zhuǎn)化為數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，引入空間直角坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。(1)空間兩點(diǎn)之間的距離空間兩點(diǎn)之間的距離 1、空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系n（2）定比分點(diǎn)公式）定比分點(diǎn)公式21212121,:zzzyyyxxxMMMMM的坐標(biāo)為：則分點(diǎn)2、向量的坐標(biāo)表達(dá)式、向量的坐標(biāo)表達(dá)式),(zyxOMzkyjxiOM2、向量的坐標(biāo)表達(dá)式、向量

5、的坐標(biāo)表達(dá)式nx,y,z 為向量在為向量在Ox軸、軸、Oy軸、軸、Oz軸正方向上的投影。軸正方向上的投影。nxi、yj、zk為向量在三個坐標(biāo)軸為向量在三個坐標(biāo)軸上的分向量。上的分向量。方向余弦n設(shè)向量與坐標(biāo)軸設(shè)向量與坐標(biāo)軸Ox，Oy，Oz正向的夾角分別正向的夾角分別為為 （角度（角度0 之間之間 ），三個角決），三個角決定了向量的方向。為了方便，常用定了向量的方向。為了方便，常用。稱之為向量的方向余弦來描述向量的方向，cos,cos,cos、方向余弦1coscoscoscoscos,cos222222222222zyxzzyxyzyxxn向量在正方向上的單位向量為向量在正方向上的單位向量為方向

6、余弦)cos,cos,(cos3、向量n向量的加減法 n數(shù)乘向量 n數(shù)量積 n向量積 n兩個向量平行或垂直的充分必要條件 3、向量、向量n(1)線性運(yùn)算線性運(yùn)算n1）向量的加減法）向量的加減法:滿足交換律、結(jié)合律滿足交換律、結(jié)合律nab=(a1b1,a 2b2,a3b3). n2）向量與數(shù)的乘積）向量與數(shù)的乘積n=（a1，a 2，a3），其中），其中為數(shù)量，為數(shù)量，n 滿足結(jié)合律和分配律滿足結(jié)合律和分配律3、向量、向量n（2）數(shù)量積）數(shù)量積n設(shè)設(shè)a、b是兩個向量，稱數(shù)是兩個向量，稱數(shù)cos),(),(bab(cosbababababaaba 或的數(shù)量積或內(nèi)積，記作與為的夾角）與為向量1) 數(shù)量

7、積數(shù)量積推論推論n兩個向量的數(shù)量積等于零的充要條件： a=0,或b=0或n零向量垂直于任何向量零向量垂直于任何向量。n兩個向量互相垂直互相垂直的充要條件：數(shù)數(shù)量積等于零。量積等于零。2aaa22) 數(shù)量積性質(zhì)數(shù)量積性質(zhì)000)()()()(aaaaacbcacbakbabakbkaabba的充要條件3) 數(shù)量積性質(zhì)注意數(shù)量積性質(zhì)注意：n向量的數(shù)量積不滿足消去律向量的數(shù)量積不滿足消去律，即cabbcbacbacbacabacbacaba推不出垂直與即（是說推不出0, 0)0,數(shù)量積的應(yīng)用數(shù)量積的應(yīng)用0),(),(0332211321321babababbbaaa則直角坐標(biāo)系下，判斷兩個向量是否垂

8、直判斷兩個向量是否垂直(3)向量積向量積成右手系和bababababababa,;)(;,sin向量積的坐標(biāo)表達(dá)式321321bbbaaakjiba0,kkjjiijkiijkkijjikikjkji向量積的坐標(biāo)表達(dá)式y(tǒng)xyxzxzxzyzyzyxzyxbbaabbaabbaakbjbibkajaia,1)向量積的推論向量積的推論積相同。鄰邊的平行四邊形的面為、的值與以的面積，則等于平行四邊形由于平行與規(guī)定中有一個是零向量，若bababacbababbabaasin)(0)(0,)(2）向量積性質(zhì)）向量積性質(zhì))()()();()()()()()()(cabacbacbcacbackbabakb

9、kababbaa3) 向量積性質(zhì)注意向量積性質(zhì)注意n（a）不滿足交換律）不滿足交換律n（b）不滿足消去律，即）不滿足消去律，即cabbcbacbacaba推不出推不出0,0,向量積的應(yīng)用向量積的應(yīng)用n求與求與已知兩向量都垂直的向量已知兩向量都垂直的向量n求平行四邊形、三角形的求平行四邊形、三角形的面積面積n判斷兩向量判斷兩向量平行平行0平行與（3）混合積（三重數(shù)積）混合積（三重數(shù)積）n定義：321213122131221333222111333222111)()()()(),(),(),()(zxyyxyzxzxxzyzyzyxzyxzyxcbazyxczyxbzyxaabccba則或混合積（

10、三重數(shù)積）混合積（三重數(shù)積）為鈍角時取負(fù)號。正號，為銳角時取的夾角與為或,coscos)(cbacbacbaabccba混合積（三重數(shù)積）混合積（三重數(shù)積）的絕對值絕對值表示以向量a a，b b，c c為棱的平行六面體的體積平行六面體的體積)(abccba混合積（三重數(shù)積）混合積（三重數(shù)積）)()()()()()(acbcbabaccabbcaabcbcaabccabbacacbcba混合積（三重數(shù)積）混合積（三重數(shù)積）共面cbaabc,0向量代數(shù)的常見題型向量代數(shù)的常見題型（1）向量的基本運(yùn)算）向量的基本運(yùn)算（2）證明恒等式或簡化算式）證明恒等式或簡化算式（3）利用向量方法求解幾何問題）利用

11、向量方法求解幾何問題例題n例1：選擇題，下列命題正確的有（ ）。（1）若a、b均為非零向量，則上述命題都不正確。.;.;.;.babaDbabaCbabaBbabaA例1：選擇題，下列命題正確的有（ ）。（2）.,.;).();().(00, 0.222bacbcaDbabaCcbacbaBbabaA則必有若；或則必定有若例1：選擇題，下列命題正確的有（ ）。（3）).().(cb,).(b.; 00, 0.baccbaDacbaCabaBbabaA積；為棱的平行六面體的體以于的幾何意義是它的值等形的面積；為鄰邊構(gòu)成的平行四邊兩向量與的幾何意義是由或則必有若例1：選擇題，下列命題正確的有（ ）

12、。（4）C. 0.; 0.; 0.; 0.,baDbaCbaBbaAbababa則必有（）。系式為非零向量，且滿足關(guān)已知例1：選擇題，下列命題正確的有（ ）。(5)B.;.;.;., 0,abDcaCcbBbcAbacbacba（）。則滿足關(guān)系式設(shè)三向量例1：選擇題，下列命題正確的有（ ）。(6)A1 .; 2/2.;22 .; 2 ., 22, 2,DCBAbabababa（）。則及的模分別為已知向量例2：選擇題，下列向量為單位向量的有(CD) 。).cos,cos,.(cos;313131.;313131.DkjiCkjiBkjiA解題思路（1）兩個向量a、b平行的判別法：. 0)3),(

13、),(21332211321321bababababbbbaaaaba證明證明）若。，使）證明存在（2）兩個向量a、b垂直的判別法0),(),(201332211321321babababbbbaaaaba證明）若。）證明（3）判共線0,BCABCBA只需證明共線判（4）判共面0,ADACABDCBAADACAB）（共面，只需證明四點(diǎn)共面或判（5）計算面積、體積。為棱的四面體的體積以。積為棱的平行六面體的體以。為鄰邊的三角形的面積以。面積為鄰邊的平行四邊形的以cbacbacbacbababababa)(61V,)(V,21S,S,例3：2042502301 , 0 , 042,5 ,23),4

14、 , 1 , 2(),2, 5 , 3(得：）（）（）（則只需）軸的單位向量為（而）（解：軸垂直？與使?jié)M足什么條件時，才能，試判斷設(shè)OzbaOzbaba例4三點(diǎn)共線。故：證：三點(diǎn)共線。試證不共線，若與設(shè)非零向量DBAeeeeBDABeeCDBCBDDBAeeCDeeBCeeABee,0)(5)(),(5,),(3,82,21212121212121例5四點(diǎn)共面。故：證：共面。試證不共線，若與設(shè)非零向量DCBAeeeeeeeeeeeeeeeeADACABDCBAeeADeeACeeABee,0)(18)(18)(3)(6)(3)82()()(,),(3,82,221121212121212121

15、212121例6555 .12225 .12161215213400542121) 3, 4 , 0(),0 , 5, 4() 1, 3 , 1 (),2 , 6, 5(),2 , 1, 1 (ACSBDkjikjiACABSACABACABCCBA高意義解：利用向量積的幾何邊上的高。的面積及為頂點(diǎn)的求以（二）平面（二）平面n平面的方程平面的方程n平面的法線向量平面的法線向量n平面與平面相互平行、垂直的條件平面與平面相互平行、垂直的條件n平面與平面的夾角平面與平面的夾角n點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離n求平面的方程求平面的方程（二）平面（二）平面1、平面的方程、平面的方程（1）點(diǎn)法式）點(diǎn)法式法線

16、向量：如果一非零向量垂直法線向量：如果一非零向量垂直于一平面，該向量稱為該平面的于一平面，該向量稱為該平面的法線向量。法線向量。（1）點(diǎn)法式nn=(A，B，C)為平面的法向量 n過點(diǎn)過點(diǎn)(x0，y0，z0)以以n為法方向的平為法方向的平面方程為：面方程為：nA(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0。(2)一般式n平面的一般式方程：nAx+By+Cz+D=0，法線向量：n=(A，B，C)。 n特殊的平面方程：如1）3x+4y+5z=0(D=0)，一個通過原點(diǎn)的平面。2）4x+3y-12=0 法線向量：n=(4，3，0)法線向量n在在z軸上的投影為零，因此軸上的投影為零，因此n垂直于垂直于z軸

17、，平面平行于軸，平面平行于z軸。軸。3） z=2 過點(diǎn)(0,0,2)且平行于xOy面的平面。（3）截距式 如果一平面與如果一平面與x,y,z三軸分別交于三軸分別交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三點(diǎn)，則三點(diǎn)，則平面的截距式方程為平面的截距式方程為a, b, c分別為平面在分別為平面在x,y,z軸上的截距軸上的截距。1czbyax(4)特殊平面1）Ax+By+Cz=0 過原點(diǎn)的平面過原點(diǎn)的平面2）Ax+By+D=0 平行于平行于Z軸的平面軸的平面 Ax+Cz+D=0 平行于平行于Y軸的平面軸的平面 By+Cz+D=0 平行于平行于X軸的平面軸的平面3) Ax+By=0 過過

18、Z軸的平面軸的平面 Ax+Cz=0 過過Y軸的平面軸的平面 By+Cz=0 過過X軸的平面軸的平面(4)特殊平面4) Cz+D=0 平行于平行于XOY坐標(biāo)面的平面坐標(biāo)面的平面 Ax+D=0 平行于平行于YOZ坐標(biāo)面的平面坐標(biāo)面的平面 By+D=0 平行于平行于ZOX坐標(biāo)面的平面坐標(biāo)面的平面5) x=0 YOZ坐標(biāo)面坐標(biāo)面 y=0 ZOX坐標(biāo)面坐標(biāo)面 z=0 XOY坐標(biāo)面坐標(biāo)面三元一次方程所表示的圖形是平面三元一次方程所表示的圖形是平面2、有關(guān)平面的問題、有關(guān)平面的問題平面平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0，法線向量法線向量平面平面 2：A2x+B2y+C2z+D2=0，法線向量法線向量)

19、,(1111CBAn ),(2222CBAn （1）兩平面的夾角）兩平面的夾角兩平面的兩平面的法線向量的夾角法線向量的夾角為兩平面為兩平面的夾角。的夾角。夾角通常指夾角通常指銳角銳角。（2）兩平面相互垂直）兩平面相互垂直兩平面兩平面相互垂直即法線向量相互相互垂直即法線向量相互垂直垂直，即，即法線向量的點(diǎn)積為零法線向量的點(diǎn)積為零。兩平面相互平行的充要條件兩平面相互平行的充要條件： 12A1A2+B1B2+C1C2=0（3）兩平面相互平行）兩平面相互平行n兩平面相互平行即兩平面相互平行即法線向量平行法線向量平行，兩平面平行的充要條件：兩平面平行的充要條件：n12 212121CCBBAA（4）兩平

20、面相互重合）兩平面相互重合兩平面重合的充要條件：兩平面重合的充要條件： 1與與 2 重合重合 21212121DDCCBBAA（5）點(diǎn)到平面的距離）點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)點(diǎn)(x1，y1，z1)到平面到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為的距離為 222111CBADCzByAxd（三）直線（三）直線n直線方程和直線的方向向量直線方程和直線的方向向量n直線與直線、直線與平面相互垂直、直線與直線、直線與平面相互垂直、平行的條件平行的條件n直線與直線、直線與平面的夾角直線與直線、直線與平面的夾角n求直線的方程求直線的方程（三）直線（三）直線n1、 直線的方程直線的方程n方向向量：方向向量：如果以如果以非零

21、向量非零向量s(a,b,c)平行于一條已知直線，向量平行于一條已知直線，向量s稱為該稱為該直線的方向向量。直線的方向向量。n直線上的任一向量都平行于該直線直線上的任一向量都平行于該直線的方向向量。的方向向量。（1）直線的標(biāo)準(zhǔn)式（點(diǎn)向式）直線的標(biāo)準(zhǔn)式（點(diǎn)向式或?qū)ΨQ式）方程或?qū)ΨQ式）方程 n過點(diǎn)過點(diǎn)(x0，y0，z0)以以s(a,b,c)為方向向量為方向向量的直線方程是的直線方程是:tczzbyyaxx000特殊情況. 0, 00, 0, 000, 0,00000yyxxcbacbaczzbyyxxcbacba直線方程為時，而中有兩個為零，如當(dāng)直線方程為時，、而中有一個為零，如當(dāng)（2）參數(shù)式方程參

22、數(shù)式方程 n設(shè)設(shè)n則得直線的則得直線的n參數(shù)方程為參數(shù)方程為tczzbyyaxx000ctzzbtyyatxx000（3）一般式方程一般式方程 n兩平面的交線為一直線，即直線的兩平面的交線為一直線，即直線的一般方程一般方程為為 ：0022221111DzCyBxADzCyBxA),(n);,(n;nns2222111121CBACBA其中方向向量（4）兩點(diǎn)式n過點(diǎn) 與的直線方程為： ),(1111zyxM),(2222zyxM121121121zzzzyyyyxxxx2、直線與直線之間的關(guān)系、直線與直線之間的關(guān)系n直線直線L L1：n方向向量方向向量n直線直線L2：n方向向量方向向量),(11

23、11cbas ),(2222cbas （1）兩直線相互平行）兩直線相互平行n相互平行的充要條件相互平行的充要條件 ：nL1 L2 即21ss 212121ccbbaa（2）兩直線相互垂直）兩直線相互垂直n相互相互垂直垂直的充要條件的充要條件：n即na a1 1a a2 2+ +b b1 1b b2 2+ +c c1 1c c2 2=0=0 21LL21ss （3）兩直線的夾角）兩直線的夾角兩直線的夾角兩直線的夾角（一般為銳角）（一般為銳角）滿足：滿足： 222222212121212121coscbacbaccbbaa3、直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系 n 直線直線L1：方向向量方向

24、向量 n平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0， 法方向法方向 ),(1111cbas ),(1111CBAn (1)直線與平面的夾角直線與平面的夾角 n直線與平面的夾角直線與平面的夾角滿足滿足 212121212121111111sinCBAcbacCbBaA(2)直線與平面平行直線與平面平行 直線與平面平行的充要條件直線與平面平行的充要條件：L1 1 011111111CcBbAans即(3)直線與平面垂直直線與平面垂直 n直線與平面垂直的充要條件直線與平面垂直的充要條件： nL11 11111111CcBbAans即例題：例7已知兩點(diǎn) nA(1,-1,2)和B(3.1,1)，求向量的方

25、向余弦。 解解 =3-1，1-（-1），1-2=2，2，-1， 設(shè)的方向角方向角為 則 ,31cos,32cos,32cosBA3) 1(22222BA 例例8 求通過點(diǎn)求通過點(diǎn)P（2,-1,-1),),Q（1,2,3）且）且 垂直于平面垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程的平面方程。 n解 ，已知平面的法矢量n n取n所求平面為：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0即：9x-y+3z-16=043,1,QP5, 3 , 2n1k9j3i27532431kjinQP13 , 1, 9n直線與平面的解題思路直線與平面的解題思路1、下列問題可轉(zhuǎn)化為利用點(diǎn)法式確定平面下列問題可轉(zhuǎn)化為利

26、用點(diǎn)法式確定平面方程：方程：v1）過兩條相交直線，確定一個平面過兩條相交直線，確定一個平面。v取兩條相交直線的兩個方向向量的叉乘取兩條相交直線的兩個方向向量的叉乘向量為所求平面的法線向量，在兩條相向量為所求平面的法線向量，在兩條相交直線上任取一點(diǎn)作為所求點(diǎn)，利用點(diǎn)交直線上任取一點(diǎn)作為所求點(diǎn)，利用點(diǎn)法式法式。直線與平面的解題思路直線與平面的解題思路v2）過兩條平行直線，確定一個平面。）過兩條平行直線，確定一個平面。v在在兩條平行直線上各任取一點(diǎn)兩條平行直線上各任取一點(diǎn)面的法線向量量，叉乘向量為所求平作叉乘向與所給直線的方向向量點(diǎn)，將以其中任一點(diǎn)作為所求2121,PPPP直線與平面的解題思路直線與

27、平面的解題思路v3）過一條直線與直線外一點(diǎn)，確定一個過一條直線與直線外一點(diǎn)，確定一個平面。平面。法線向量叉乘向量為所求平面的乘向量，給直線的方向向量作叉與所作向量已知直線外的點(diǎn)與，由在所給直線上任取一點(diǎn)10011PPPPP直線與平面的解題思路直線與平面的解題思路v4）過一條直線垂直于一個已知平面，過一條直線垂直于一個已知平面，確定一個平面。確定一個平面。線向量乘向量為所求平面的法叉乘，叉已知平面的法線向量作向向量與求點(diǎn)，以給定直線的方作為所在所給直線上任取一點(diǎn)1P 2、下列問題可轉(zhuǎn)化為利用下列問題可轉(zhuǎn)化為利用標(biāo)準(zhǔn)式確定標(biāo)準(zhǔn)式確定直線方程直線方程： 1）過一點(diǎn)且與一已知平面垂直的直線方）過一點(diǎn)且

28、與一已知平面垂直的直線方程。程。v只需將只需將平面的法線向量平面的法線向量作為所求直線的作為所求直線的方向向量方向向量。直線與平面的解題思路直線與平面的解題思路直線與平面的解題思路直線與平面的解題思路2）過一點(diǎn)且與兩條相交直線都垂直）過一點(diǎn)且與兩條相交直線都垂直的直線方程。的直線方程。v只需將兩條直線的只需將兩條直線的方向向量方向向量作叉乘，作叉乘，將叉乘向量作為所求直線的將叉乘向量作為所求直線的方向向方向向量量。3）過一點(diǎn)且與一已知平面平行，與）過一點(diǎn)且與一已知平面平行，與一已知直線相交的直線方程。一已知直線相交的直線方程。為所求直線的方向向量聯(lián)立求解，共面，即與則構(gòu)成的與已知點(diǎn)上任取一點(diǎn)直

29、線知與所求直線相交，在已已知直線垂直，與行，所求直線與已知平面平sPPLssLPPPPPPLLnsns)2(0)(,) 1 (010101001例9 選擇題 .0 , 0 ,9 , 1 , 1.;0 , 0 ,9 , 1 , 1.;, 09 , 1 , 1.;, 027 , 01 , 45.)7 , 1 , 5(),2, 0 , 4() 1 (aDaCaaBbaAnxBA（）。的平面法線向量軸且平行于過點(diǎn)例9 選擇題。與；垂直于上；在上；，但不在平行于（）。則直線：及平面直線., 0224031020123L)2(DCBALzyxzyxzyx例9 選擇題2.;3.;4.;6.,32618251

30、1:)3(2121DCBALLzyyxLzyxL的夾角為（）。與則與直線例9 選擇題。；則必有（）。：程分別為：已知三平面的一般式方32323121321/./.; 09324; 08523; 0125)4(DCBAzyxzyxzyx（四）曲面（四）曲面n旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面的概念旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面的概念n旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面的方程旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面的方程（四）曲面（四）曲面n曲面方程nF(x,y,z)=0n曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該方程；n不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足該方程。n滿足以上兩個條件，該方程稱為曲面方程。曲面研究的兩個基本問題曲面研究的兩個基本問題n1）已知一曲

31、面作為點(diǎn)的幾何軌）已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時，建立這曲面的方程；跡時，建立這曲面的方程；n旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面n2）已知坐標(biāo)）已知坐標(biāo)x,y和和z間的一個方間的一個方程時，研究這方程所表示的曲面程時，研究這方程所表示的曲面的形狀。的形狀。n柱面，二次曲面柱面，二次曲面1、旋轉(zhuǎn)曲面n定義：一條平面曲線繞其平面上的一條定直定義：一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面。線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面。n如：如：xOy平面內(nèi)一段方程為平面內(nèi)一段方程為的曲線的曲線C，繞，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)面，軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)面，該旋轉(zhuǎn)曲面的方程為該旋轉(zhuǎn)曲面的方程為0),(yxf0

32、),(22 zyxf1、旋轉(zhuǎn)曲面n例例1011122222222222222czayxzczyaxxzxczaxxOz轉(zhuǎn)曲面的方程為軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋繞曲面的方程為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)解：繞的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成和軸分別繞坐標(biāo)面上的雙曲線將2、柱面、柱面n定義：平行于定義：平行于定直線定直線并沿并沿定曲線定曲線C移動的直線移動的直線L形成形成的軌跡叫做柱面，定曲線的軌跡叫做柱面，定曲線C為柱面的為柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線L叫做柱面的叫做柱面的母線母線。n如果曲面方程中如果曲面方程中F(x,y,z)=0缺少一個變?nèi)鄙僖粋€變元，則稱其為柱面方程。柱面的母線與元，則稱其為柱面

33、方程。柱面的母線與所 缺 變 元 同 名 的 坐 標(biāo) 軸 平 行 。 如所 缺 變 元 同 名 的 坐 標(biāo) 軸 平 行 。 如F(x,y)=0為母線平行于為母線平行于z軸的柱面方程軸的柱面方程； F(y,z)=0為母線平行為母線平行于于x軸的柱面方程軸的柱面方程； F(x,z)=0為母線平行于為母線平行于y軸的柱面方程。軸的柱面方程。2、柱面。曲線面上的軸的柱面，準(zhǔn)線：母線平行于示母線在空間直角坐標(biāo)系中表）面上的直線軸的柱面，準(zhǔn)線：母線平行于軸的平面：）過。面上的拋物線準(zhǔn)線：軸，母線平行于）拋物柱面：。面上的圓準(zhǔn)線：軸，母線平行于）圓柱面0),(0),(400322:12222222222yx

34、FxOyzyxFyxxOyzyxzRyxxOyzxyRyxxOyzRyx3、二次曲面n三元二次方程三元二次方程所表示的曲面叫做二所表示的曲面叫做二次曲面。次曲面。n平面稱為一次曲面。平面稱為一次曲面。n截痕法：截痕法：利用利用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截面的平面與曲面相截，觀察其截痕，觀察其截痕的形狀。的形狀。特殊的二次曲面 n1）球面方程：球面方程：n(xa)2+(yb)2+(zc)2=R2，n球心：球心：(a，b，c)，半徑：，半徑：R n2）橢球面：橢球面： 1)()()(220220220czzbyyaax特殊的二次曲面特殊的二次曲面n3）單葉雙曲面方程單葉雙

35、曲面方程 ：n4 4）雙葉雙曲面方程：）雙葉雙曲面方程：1222222czbyax1222222czbyax特殊的二次曲面特殊的二次曲面n5）橢圓拋物面方程：n （p,q同號）n6）雙曲拋物面方程：n （p,q同號） zqypx2222zqypx2222例11選擇題(1)已知動點(diǎn)與動點(diǎn)與yOz平面的距離為平面的距離為4個單位個單位，且與定點(diǎn)定點(diǎn)A(5,2,-1)的距離為的距離為3個單位個單位，則動點(diǎn)的軌跡是（）。A 圓柱面；B 平面x=4上的圓；C 平面x=4上的橢圓D 橢圓柱面例11選擇題(2)以曲線L 為母線， 以O(shè)z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程為（）。. 0)(.; 0),(.; 0),(.

36、; 0),(.22222222yxfDzyxfCyzxfBxzyfA00),(xzyf例11選擇題(3)xOy平面上平面上曲線曲線繞繞x軸軸旋轉(zhuǎn)一周，所得曲面方程是（）旋轉(zhuǎn)一周，所得曲面方程是（）。369422 yx.3694 .;36)(94 .;36)(9)(4 .;369)(4 .222222222222yxDzyxCzyzxByzxA例11選擇題(4)方程方程 表示（）。表示（）。A 雙曲柱面與平面雙曲柱面與平面x=2交線；交線；B 雙曲柱面；雙曲柱面； C 雙葉雙曲面；雙葉雙曲面；D 單葉單曲面單葉單曲面214922xzy例11選擇題(5)方程 表示（）。A：xOz平面上曲線 繞y軸

37、旋轉(zhuǎn)所得曲面；B：xOz平面上曲線 z-a=x 繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；C：xOz平面上曲線z-a=y 繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；D：xOz平面上曲線 繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面.222)(yxaz22)(xaz22)(yaz（五）空間曲線（五）空間曲線n空間曲線的方程空間曲線的方程n空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的方程方程(五五)空間曲線空間曲線n1 1、空間曲線可以看作是兩個曲面的交線。、空間曲線可以看作是兩個曲面的交線。n1)1)一般式：一般式： n2)參數(shù)方程：參數(shù)方程：若將空間曲線若將空間曲線L上動點(diǎn)的上動點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)表示為參數(shù)t的函數(shù)：的函數(shù)： 0),

38、(0),(21zyxFzyxF（五）空間曲線（五）空間曲線2、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線空間曲線L L 消去消去z后得而方程而方程 表示的曲線包含表示的曲線包含空間曲線在空間曲線在xOy面上的投影。 0),(0),(21zyxFzyxF0),(yxH00),(zyxH2、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影0),(yxH為母線平行于為母線平行于z軸的柱面軸的柱面以空間曲線為準(zhǔn)線、以空間曲線為準(zhǔn)線、母線平行于母線平行于z軸的柱面為關(guān)于軸的柱面為關(guān)于xOy面的面的投影柱面投影柱面，投影柱面與投影柱面與xOy面的面的交線交線叫做空間叫做空間曲線曲線在在xOy面上的投影曲線面上的投影曲線，簡稱，簡稱投影。投

39、影。例12選擇題32.;392.;092.;02.302222222zxyDzxyCzxyBzxyAxOyzxzy）。上的投影曲線方程為（平面在曲線二、微分學(xué)二、微分學(xué)n極限極限n連續(xù)連續(xù)n導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)n微分微分n偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)n全微分全微分n導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用（一）極限n極限的概念極限的概念n無窮大、無窮小的概念無窮大、無窮小的概念n極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則n兩個極限存在準(zhǔn)則，兩個重要極限兩個極限存在準(zhǔn)則，兩個重要極限n等價無窮小簡化極限運(yùn)算等價無窮小簡化極限運(yùn)算（一）極限n1、定義、定義n數(shù)列的極限：如果對于任意給定的數(shù)列的極限：如果對于任意給定的0，總存在正整數(shù)總存在

40、正整數(shù)N當(dāng)當(dāng)nN時，恒有時，恒有0(或0 (或0，存在自然數(shù)存在自然數(shù)N N，當(dāng)，當(dāng)nNnN時，時，僅有有限多項不滿足僅有有限多項不滿足 un-A ，則數(shù)列則數(shù)列un必定以必定以A為極限為極限例例2.1 選擇題選擇題 （2）函數(shù)極限函數(shù)極限義。的某個去心鄰域內(nèi)有定在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有定義；在點(diǎn)有定義；在點(diǎn)連續(xù)；在點(diǎn)則必有（）。若已知0000)(.)(.)(.)(.,)(lim0 xxxfDxxxfCxxxfBxxxfAKxfxx例例2.1 選擇題選擇題 （3）無窮?。o窮小n下列命題中正確的有（下列命題中正確的有（ ）。）。nA.無窮小量是個絕對值很小很小的無窮小量是個絕對值很小很小的數(shù)；數(shù)；n

41、B.無窮大量是個絕對值很大很大的無窮大量是個絕對值很大很大的數(shù)；數(shù)；nC.x為無窮小量；為無窮小量；nD.0為無窮小量。為無窮小量。例例2.1 選擇題選擇題 (4)0()(lim.; 0)()(1lim.; 0)()(lim.;)()(lim.,)(lim,)(lim000000常數(shù)則必有（）。若kxkfDxgxfCxgxfBxgxfAxgxfxxxxxxxxxxxx例例2.1 選擇題選擇題 (5)n設(shè)設(shè) ，則當(dāng)，則當(dāng)x 0時（ ）。nA.y為無窮小量；為無窮小量；nB. y為無窮大量；為無窮大量；nC.y不為無窮小量，但為無界變量；不為無窮小量，但為無界變量；nD. y存在極限，但極限不為存

42、在極限，但極限不為0。xy12例例2.1 選擇題選擇題 （6）n下列等式中成立的是（）。下列等式中成立的是（）。; 1sinlim.; 1tanlim.; 12sinlim.; 1sinlim.00020 xxDxxCxxBxxAxxxx例例2.1 選擇題選擇題 （7）n當(dāng)當(dāng)x 0時，下列變量（）為時，下列變量（）為x的的等價無窮小量。等價無窮小量。.1sin.;11.;sin.;sin.xxDxxCxxBxxA例例2.1 選擇題選擇題 （8）n變量變量 在過程為在過程為n（）時為無窮大量。（）時為無窮大量。A. x 0;B. x 1;C. x -1;D. x1) 1)(1(32xxxxy6、

43、求極限的方法、求極限的方法1）利用公式利用公式和極限的四則運(yùn)算。和極限的四則運(yùn)算。2）如果函數(shù)為分式，分母的極限為零，）如果函數(shù)為分式，分母的極限為零，分子的極限不為零，則由無窮大量與無分子的極限不為零，則由無窮大量與無窮小量的關(guān)系可知原式的極限為無窮大窮小量的關(guān)系可知原式的極限為無窮大量。量。000lim)(limxxcccxxxx，為常數(shù)6、求極限的方法、求極限的方法3）函數(shù)為分式，且分母與分子的極限都）函數(shù)為分式，且分母與分子的極限都為零時，約公因子；否則進(jìn)行代數(shù)或三為零時，約公因子；否則進(jìn)行代數(shù)或三角恒等變形。角恒等變形。4）mnmnnmbabxbxbaxaxammmnnnx0lim0

44、01101106、求極限的方法、求極限的方法5）利用兩個重要極限）利用兩個重要極限6）利用夾逼準(zhǔn)則）利用夾逼準(zhǔn)則7）利用左右極限）利用左右極限8）利用無窮小量的性質(zhì)，利用等價）利用無窮小量的性質(zhì)，利用等價無窮小代換無窮小代換例例2.2求極限求極限01sinlimsinlimsin1sinlim1sin1sin; 1sinlim)2(23lim032lim) 1 (sin1sinlim)2(23lim) 1 (0020022222022xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx則為無窮小量。為有界變量，則為無窮小量，大量。無窮小量的倒數(shù)為無窮先求解：例例2.3求極限求極限0)1

45、2111(lim, 01lim, 0lim112111, 2 , 1,1111).12111(lim2222222222222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnknknnnnnnnnnnn由夾逼準(zhǔn)則得由于則解：利用夾逼準(zhǔn)則（二）連續(xù)n連續(xù)的定義連續(xù)的定義n連續(xù)性的三個要素連續(xù)性的三個要素n間斷點(diǎn)的定義間斷點(diǎn)的定義n判別間斷點(diǎn)的類型判別間斷點(diǎn)的類型n利用函數(shù)連續(xù)性求極限利用函數(shù)連續(xù)性求極限n閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、連續(xù)的定義n見書第見書第6頁頁n在某一點(diǎn)連續(xù)、左連續(xù)、右連續(xù)在某一點(diǎn)連續(xù)、左連續(xù)、右連續(xù)2、連續(xù)的三要素n函數(shù)函數(shù)f(x)在一點(diǎn)在一點(diǎn) 處連續(xù)的條件是

46、處連續(xù)的條件是：n（1 1） 有定義；有定義；n n（2 2） 存在；存在；n（3 3） 。 0 x)(0 xf)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx3、間斷點(diǎn)n只要不滿足連續(xù)性三要素中的任一條,則f(x)在 處就不連續(xù)，不連續(xù)的點(diǎn)就稱函數(shù)的間斷點(diǎn)不連續(xù)的點(diǎn)就稱函數(shù)的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)分成以下兩類：n第一類間斷點(diǎn)：第一類間斷點(diǎn)： 是f（x）的間斷點(diǎn)，但 及 均存在；n 第二類間斷點(diǎn)：第二類間斷點(diǎn)：不是第一類的間斷點(diǎn)。0 x0 x0 x0 x)(0 xf)(0 xf第一類間斷點(diǎn)1 1）若）若 、 均存在但不均存在但不n相等，則稱這種間斷點(diǎn)為相等，則稱這種間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)；2 2）若）若 及及 均存在而且均存在而且 n相等，則稱這種間斷點(diǎn)為相等，則稱這種間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)。 )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx4、初等函