1、第五節(jié)第五節(jié) 曲線擬合（非線性回歸分析）曲線擬合（非線性回歸分析）（可化為直線的曲線回歸方程）（可化為直線的曲線回歸方程） 一元線性回歸方程是一種最簡單的回歸，但在實際工作一元線性回歸方程是一種最簡單的回歸，但在實際工作中，遇到的卻也很多。因為任何一種曲線回歸，在一個很小中，遇到的卻也很多。因為任何一種曲線回歸，在一個很小的區(qū)間內(nèi)，都可以認(rèn)為是直線回歸。的區(qū)間內(nèi)，都可以認(rèn)為是直線回歸。 盡管如此，直線回歸并不能代替曲線回歸。盡管如此，直線回歸并不能代替曲線回歸。 生物學(xué)中呈曲線關(guān)系的例子很多：生物學(xué)中呈曲線關(guān)系的例子很多：細(xì)菌生長的數(shù)量與時間的關(guān)系細(xì)菌生長的數(shù)量與時間的關(guān)系年齡與身高的關(guān)系年齡

2、與身高的關(guān)系作物種植密度與作物產(chǎn)量的關(guān)系作物種植密度與作物產(chǎn)量的關(guān)系輻射強(qiáng)度或藥物的濃度與致死率的關(guān)系輻射強(qiáng)度或藥物的濃度與致死率的關(guān)系 為了將回歸曲線直線化，首先要了解兩個變量間所為了將回歸曲線直線化，首先要了解兩個變量間所呈的函數(shù)關(guān)系。呈的函數(shù)關(guān)系。兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，可以根據(jù)專業(yè)知識去判定。兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，可以根據(jù)專業(yè)知識去判定。例如：例如：生長曲線一般呈生長曲線一般呈S形曲線關(guān)系。形曲線關(guān)系。細(xì)菌的生長量與時間的關(guān)系為指數(shù)函數(shù)關(guān)系等。細(xì)菌的生長量與時間的關(guān)系為指數(shù)函數(shù)關(guān)系等。此外還可以由散點圖來判定兩個變量的關(guān)系。此外還可以由散點圖來判定兩個變量的關(guān)系。我們將數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q，

3、將曲線化為直線，再按我們將數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q，將曲線化為直線，再按直線回歸分析的方法處理，就可以求出相應(yīng)的曲線直線回歸分析的方法處理，就可以求出相應(yīng)的曲線回歸方程，這一分析過程，就稱為回歸方程，這一分析過程，就稱為曲線擬合曲線擬合。一、對數(shù)函數(shù)曲線的擬合一、對數(shù)函數(shù)曲線的擬合1、對數(shù)方程的一般表達(dá)式：、對數(shù)方程的一般表達(dá)式：xbaylg2、對數(shù)曲線、對數(shù)曲線 的圖象的圖象xbaylg3、 直線化方法：直線化方法： 若令若令 ，則有，則有l(wèi)gxx bxay4、求、求 a 和和 b 的值：的值：,xyxSSSSb xbyaxbaylg例：在水稻塑料薄膜青苗床內(nèi)空氣最高溫度和室外空氣最高溫例：在水稻塑

4、料薄膜青苗床內(nèi)空氣最高溫度和室外空氣最高溫度資料列于下表，試求它們之間的相關(guān)關(guān)系。度資料列于下表，試求它們之間的相關(guān)關(guān)系。序號序號12345678910X7.27.911.816.912.018.718.920.221.822.7Y13.821.424.933.632.339.540.136.940.242.6X0.85730.89761.07191.22791.07921.27181.27651.30541.33851.3560序號序號11121314151617181920X22.923.123.323.623.827.027.628.630.731.4Y44.636.635.144.44

5、4.143.948.348.546.350.4X1.35981.36361.36741.37291.37651.43141.44091.45641.48711.4969X：室外氣溫：室外氣溫 Y：苗床內(nèi)氣溫：苗床內(nèi)氣溫首先首先,根據(jù)上表的數(shù)據(jù)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)(x，y)繪制散點圖。繪制散點圖。由散點圖看由散點圖看x與與y的關(guān)系符合曲線類型，很象的關(guān)系符合曲線類型，很象b0時的對數(shù)函數(shù)曲線時的對數(shù)函數(shù)曲線y=a+blgx，所以做，所以做x=lgx的對數(shù)轉(zhuǎn)換，并求的對數(shù)轉(zhuǎn)換，并求x=lgx。以（。以（x，y）作散）作散點圖，散點近似于線性分布。點圖，散點近似于線性分布。求一級和二級數(shù)據(jù)：求一級和二級數(shù)

6、據(jù)：,835.25x, 5 .767y,5943.1022yxxyxSSSSb xylg6832.498058.25所以有：所以有：回歸關(guān)系的檢驗可以進(jìn)行回歸系數(shù)或相關(guān)系數(shù)的檢驗。回歸關(guān)系的檢驗可以進(jìn)行回歸系數(shù)或相關(guān)系數(shù)的檢驗。,2918. 1x6275. 0 xSS,375.38y6175.1721ySS1762.31/nyxyxSSyxxbya6832.496275. 01762.318058.252918. 16832.49375.38苗床內(nèi)最高氣溫苗床內(nèi)最高氣溫y與空氣最高氣溫與空氣最高氣溫x（lgx）之間的線性關(guān)系）之間的線性關(guān)系二、指數(shù)曲線的擬合二、指數(shù)曲線的擬合1、一般化方程：、

7、一般化方程：,xbaybxeay2、描述的現(xiàn)象：、描述的現(xiàn)象：細(xì)菌的繁殖細(xì)菌的繁殖土壤中某些殺蟲劑的分解曲線土壤中某些殺蟲劑的分解曲線放射性同位素的衰變放射性同位素的衰變水果、蔬菜的腐敗和溫度的關(guān)系水果、蔬菜的腐敗和溫度的關(guān)系,xbay3、直線化的方法：、直線化的方法：方程的兩邊取常用對數(shù)，有方程的兩邊取常用對數(shù)，有 lg y = lga + xlgb另另lgy = y，lga = a，lgb = b，則有：，則有：y=a+bx4、指數(shù)曲線、指數(shù)曲線 的圖象的圖象xaby 例：棉花紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，建立棉花紅鈴例：棉花紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，建立棉花紅

8、鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)與溫度的回歸方程。蟲產(chǎn)卵數(shù)與溫度的回歸方程。x 溫度溫度21232527293235y 產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)711212466115325y=lgy0.84511.04141.32221.38021.81922.06072.5119由由(x，y)的散點圖可見，的散點圖可見，x 與與 y 有曲線回歸關(guān)系有曲線回歸關(guān)系,散點分布近于指數(shù)函數(shù)曲散點分布近于指數(shù)函數(shù)曲線的分布線的分布將將y=lgy與與x做散點圖做散點圖(x，lgy)，x與與lgy的分布近似于線性分布。的分布近似于線性分布。X 與與 lgy 的分布近似于線性分布，做線性回歸：的分布近似于線性分布，做線性回歸：xbay,lglglgbx

9、ay解：解：4510.17/0925. 2,5687. 1,981.107143.147,4286.27,192nyxyxSSSSyySSxxxyyx1181. 07143.1474510.17xxySSSSbxy3125. 10214. 06706. 14286.271181. 05687. 1xbya3125. 110101181. 0bb0214. 010106706. 1aa回歸關(guān)系的檢驗：可以利用回歸關(guān)系的檢驗：可以利用 b 或者或者 r 進(jìn)行檢驗，主要是對線進(jìn)行檢驗，主要是對線性關(guān)系的檢驗，線性回歸或相關(guān)顯著，則指數(shù)回歸關(guān)系的擬性關(guān)系的檢驗，線性回歸或相關(guān)顯著，則指數(shù)回歸關(guān)系的擬合

10、就顯著。合就顯著。三、冪函數(shù)曲線的擬合三、冪函數(shù)曲線的擬合1、一般化方程：、一般化方程：bxay2、冪函數(shù)、冪函數(shù) 曲線的圖象曲線的圖象bxay3、直線化的方法：、直線化的方法：兩邊取常用對數(shù)，使之線性化，得：兩邊取常用對數(shù)，使之線性化，得：xbaylglglg令：令：lgy = y，lgx = x，lga = a，則：，則：y= a+bx上式符合直線回歸方程的一般形式。上式符合直線回歸方程的一般形式。四、怎樣知道利用對數(shù)轉(zhuǎn)換四、怎樣知道利用對數(shù)轉(zhuǎn)換 最好的方法依然是繪制兩個變量的散點圖，如果散最好的方法依然是繪制兩個變量的散點圖，如果散點不符合直線或狹長形的橢圓，則可在雙邊對數(shù)紙上，點不符合

11、直線或狹長形的橢圓，則可在雙邊對數(shù)紙上，再將散點繪制出來，若散點的分布符合線性或狹長橢圓，再將散點繪制出來，若散點的分布符合線性或狹長橢圓，則可以進(jìn)行則可以進(jìn)行x與與y的雙對數(shù)轉(zhuǎn)換。的雙對數(shù)轉(zhuǎn)換。例題：在突變實驗中，用不同劑量的射線，照射植物的種子，結(jié)果苗期高例題：在突變實驗中，用不同劑量的射線，照射植物的種子，結(jié)果苗期高度與成活株之間有一定的關(guān)系。用度與成活株之間有一定的關(guān)系。用X射線照射大麥的種子，記處理株第一射線照射大麥的種子，記處理株第一葉平均高度占對照株高度的百分?jǐn)?shù)為葉平均高度占對照株高度的百分?jǐn)?shù)為X，存活百分?jǐn)?shù)為，存活百分?jǐn)?shù)為Y，得到以下結(jié)果，得到以下結(jié)果，試對兩者的關(guān)系進(jìn)行分析。

12、試對兩者的關(guān)系進(jìn)行分析。X283240506072808085Y812182830556185801、畫兩個變量的散點圖：、畫兩個變量的散點圖：由不同數(shù)據(jù)變換的散點圖可見，由不同數(shù)據(jù)變換的散點圖可見，X與與Y的關(guān)系是冪函數(shù)的關(guān)系。的關(guān)系是冪函數(shù)的關(guān)系。bxay按照冪函數(shù)的直線化方法，求二級數(shù)據(jù)：按照冪函數(shù)的直線化方法，求二級數(shù)據(jù)：7361. 16245.152658. 0 xxSSx5022. 15202.130824. 1yySSy5297. 0/nyxyxSSyx9928. 12658. 05297. 0 xyxSSSSb9577. 17361. 19928. 15022. 1xbyaY

13、對對 X 的回歸方程為：的回歸方程為：9928. 19577. 1 xy因為：因為：a = lga，所以：，所以：a = 10-1.9577 = 0.0110所以：所以：9928. 1011. 0 xy五、曲線的檢驗五、曲線的檢驗有時將同一組數(shù)據(jù)，我們將其做指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)形式的變有時將同一組數(shù)據(jù)，我們將其做指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)形式的變換，都能得到換，都能得到X與與Y的擬合曲線，并且可能在做線性回歸關(guān)的擬合曲線，并且可能在做線性回歸關(guān)系檢驗的時候，線性關(guān)系都顯著。系檢驗的時候，線性關(guān)系都顯著。 那么，究竟哪一條擬合曲線是最好的呢？那么，究竟哪一條擬合曲線是最好的呢？一般情況下，以剩余平方和或稱之為

14、誤差平方和的大小來判一般情況下，以剩余平方和或稱之為誤差平方和的大小來判斷，即斷，即SSe最小時的擬合曲線為最好的曲線。最小時的擬合曲線為最好的曲線。xxyyeSSSSSSSS/2niiieyySS12可以對一組數(shù)據(jù)嘗試進(jìn)行多種擬合，找出可以對一組數(shù)據(jù)嘗試進(jìn)行多種擬合，找出SSe最小，其為最好最小，其為最好的擬合曲線。的擬合曲線。必須用必須用 來計算，來計算，不可以用不可以用 來計算。來計算。四、概率對數(shù)變換四、概率對數(shù)變換在輻射育種和藥理學(xué)實驗中，經(jīng)常遇到尋找半致死劑量的在輻射育種和藥理學(xué)實驗中，經(jīng)常遇到尋找半致死劑量的問題。問題。致死率（致死率（y）與劑量（）與劑量（x）間的關(guān)系曲線往往呈

15、）間的關(guān)系曲線往往呈S形。在半致形。在半致死處，曲線的斜率最大，與死亡率的交點最清楚，因此在死處，曲線的斜率最大，與死亡率的交點最清楚，因此在實際工作中，常常采用半致死劑量這一標(biāo)準(zhǔn)。實際工作中，常常采用半致死劑量這一標(biāo)準(zhǔn)。確定半致死劑量，最常用的方法就是概率對數(shù)轉(zhuǎn)換，當(dāng)我們確定半致死劑量，最常用的方法就是概率對數(shù)轉(zhuǎn)換，當(dāng)我們把死亡率做概率轉(zhuǎn)換，輻射劑量做對數(shù)轉(zhuǎn)換后，兩者會呈很把死亡率做概率轉(zhuǎn)換，輻射劑量做對數(shù)轉(zhuǎn)換后，兩者會呈很好的線性關(guān)系。好的線性關(guān)系。1、概率轉(zhuǎn)換：、概率轉(zhuǎn)換：P（u up）= p，其中，其中， p 為死亡率，即為為死亡率，即為 y 值，值，up為為y的值。的值。2、對數(shù)轉(zhuǎn)換

16、：、對數(shù)轉(zhuǎn)換：x= lgx，x 為輻射劑量。為輻射劑量。則：則：y=a+bx，y與與x間有很好的線性關(guān)系。間有很好的線性關(guān)系。3、半致死劑量：、半致死劑量：所謂的半致死劑量，即為所謂的半致死劑量，即為Y=50%時的輻射或藥物劑量時的輻射或藥物劑量X，用，用LD50來表示，當(dāng)來表示，當(dāng)p = y = 0.5時，時，P（uup）= 0.5，則，則 up= 0。將將up= y= 0 代入代入 y= a + bx，則有則有 ：0 = a + bx，則有：則有：x= -a/b，因為因為 x = lgx，所以，所以 bax10此時的此時的x即為即為半致死劑量半致死劑量，用，用LD50表示。表示。baLD1

17、050例題：用不同劑量的例題：用不同劑量的 射線照射小麥品種庫斑克，射線照射小麥品種庫斑克，調(diào)查死苗率，得到以下結(jié)果：調(diào)查死苗率，得到以下結(jié)果：劑量（劑量（Kr）x 14 16 18 20 22 24 26 死苗率（死苗率（%）y 6 10 40 70 80 93 95 x=lgx1.146 1.204 1.255 1.301 1.342 1.380 1.415y=up-1.555 -0.842 -0.253 0.524 0.842 1.476 1.645利用原始數(shù)據(jù)繪制散點圖，利用原始數(shù)據(jù)繪制散點圖，x與與y為為S形曲線形狀，形曲線形狀，將將y與與x做概率轉(zhuǎn)換和對數(shù)轉(zhuǎn)換，則兩者的散點圖呈做概

18、率轉(zhuǎn)換和對數(shù)轉(zhuǎn)換，則兩者的散點圖呈線性關(guān)系。線性關(guān)系。因此，對轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)（因此，對轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)（褐色褐色）進(jìn)行線性分析：）進(jìn)行線性分析： bxay求二級數(shù)據(jù)：求二級數(shù)據(jù)：057. 0,292. 1,043. 9xSSxx577. 8,262. 0,837. 1ySSyy10526.12057. 0690. 0 xyxSSSSb690. 0/nyxyxSSyx378.15292. 110526.12262. 0 xbya10526.12378.15 xy10526.12378.15 xy62 110625.12378.15LDa = -15.378 , b = 12.10526答答:半致死劑量為半致死劑量為18.6（Kr）五、曲線的檢驗五、曲線的檢驗有時將同一組數(shù)據(jù)，我們將其做指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)形式的變有時將同一組數(shù)據(jù)，我們將其做指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)形式的變換，都能得到換，都能得到X與與Y的擬合曲線，并且可能在做線性回歸關(guān)的擬合曲線，