1、第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程 第二節(jié) 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 第三節(jié) 拉氏變換與反變換 第四節(jié) 傳遞函數(shù) 第五節(jié) 傳遞函數(shù)的方塊圖 為了從理論上對控制系統(tǒng)進(jìn)行性能分析，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。 時域模型：微分方程 復(fù)域(s域)模型：傳遞函數(shù) 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型12345建立數(shù)學(xué)模型的方法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。(內(nèi)部工作機制確定) 人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并

2、用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為 內(nèi)部工作機制不了解系統(tǒng)模型輸入輸出誤差12345 合理的數(shù)學(xué)模型是指所建立的數(shù)學(xué)模型既有準(zhǔn)確性，又有簡化性。 一般應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)及要求的計算精度，略去 一些次要因素，使模型既能準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的動態(tài)本質(zhì)又能簡化分析計算的工作。除非系統(tǒng)含有強非線性或參數(shù)隨時間變化較大，一般應(yīng)盡可能采用線性定常數(shù)數(shù)學(xué)模型描述控制系統(tǒng)。 第一節(jié)第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程 工程中的控制系統(tǒng)，不管它是機械的、電氣的、液壓的、氣動的，還是熱力的、化學(xué)的，其運動規(guī)律都可以用微分方程加以描述。123451110111101( )( )( )( )( )( )(

3、 )( )nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc taaaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdtKK線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式(n階)l 不出現(xiàn)變量高次項和交叉項l 定常系統(tǒng)：系數(shù)是常量一、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟 1.根據(jù)基本的物理、化學(xué)定律，列寫出系統(tǒng)中每一個元件的輸入與輸出的微分方程。 2.確定系統(tǒng)的輸入與輸出量，消去其余的中間量，寫成標(biāo)準(zhǔn)化形式，從而求得系統(tǒng)輸出與輸入的微分方程。二、控制系統(tǒng)微分方程的列寫例1 質(zhì)量阻尼彈簧系統(tǒng) dtdyBky工件工件tftftytykB Bma)a)b b) )12345彈簧

4、力阻尼力輸出量 位移 y(t)圖21 質(zhì)量阻尼彈簧系統(tǒng)輸入量 外力 f(t)根據(jù)牛頓第二定律kydtdyBftdydm22整理得fkydtdyBtdydm22為二階常系數(shù)線性微分方程12345 例2 RLC 電路)(tur)(tucRLCtucturti12345圖22 RLC電路 輸入電壓 輸出電壓crudtdiLRiu1 ccduuidtiCCdtrcccuudtduRCdtudLC22消去中間變量 i 可得為二階常系數(shù)線性微分方程12345根據(jù)基爾霍夫定律RLCtucturti例3 齒輪傳動鏈T11BJ22BJ122z1zTI1圖23 齒輪傳動鏈輸入量 軸I的輸入轉(zhuǎn)矩輸出量 軸I的角位移

5、軸I 、 II 軸I 、II 上總轉(zhuǎn)動慣量 軸I軸I 、II上粘性阻尼系數(shù) 軸I 、 II的角位移齒輪I 、 II齒數(shù) 齒輪II對I的阻力轉(zhuǎn)矩 齒輪I對II的阻力轉(zhuǎn)矩齒輪的傳動比1J1B1T1Z2J2B2Z2Ti122T1TiZZTT12121211TiT iZZ1221121i各軸轉(zhuǎn)矩平衡方程TTdtdBdtdJ11121212222222TdtdBdtdJ得得1234511BJ22BJ122z1zTI2T1TTdtdiBBdtdiJJ1221212221)1()1(整理得寫成 TdtdBdtdJ12122211iJJJ2211iBBB折算到軸I上的總的轉(zhuǎn)動慣量 折算到軸I上的總的粘性阻尼系

6、數(shù)其中12345dtd111BdtdJ若輸出量為 則方程變?yōu)?2345例4 電樞控制式直流電動機 )(tua)(tm+-aRaLtucmfiai圖24 電樞控制式直流電動機原理圖輸入量 電樞電壓輸出量 電動機角速度 激磁電流為恒值 電動機產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩 電樞電流 電樞回路總電感 電樞回路總電阻 電動機軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量 電動機軸上的等效粘性阻尼系數(shù) 負(fù)載轉(zhuǎn)矩 電樞繞阻的反電勢 電動機反電勢系數(shù) 電動機的轉(zhuǎn)矩系數(shù)fimTaiaLaRmJBlTeeCmC( )au t繞阻等效電阻電動機產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩 ammiCT meCe12345反電勢安培定律楞次定律+-aRaLtucmfiai電樞回路電壓平衡方程aa

7、aaaueiRdtdiL克?；舴蚨? )au t( )ai tmTme電機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程mlmmmTTBdtdJ牛頓定律主動力矩：電動機產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩粘性摩擦力矩負(fù)載轉(zhuǎn)矩memamemamemamemmaCCBRdtdCCRJCCBLdtdCCJL) 1()(22整理得消去中間變量mTeai)(1llaaemaaeTdtdTRLCCRuCaaaRLTemmabCCJRTeeCK1meaCCRK 令得：mmbamabBKdtdTBKTdtdTT) 1()(22)(llaaeTdtdTTKuK123450lTaemmbamabuKBKdtdTBKTdtdTT) 1()(22當(dāng) 時負(fù)載轉(zhuǎn)矩電樞電壓

8、0aaaLTR一般電樞電感較小，可以忽略不計，maemmbuKBKdtdT) 1(aemmbuKdtdBKdtdT) 1(22總輸出為角位移 ，上式變成 比較以上四例可以看出，物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相似的數(shù)學(xué)模型。 以上幾例得到的方程均為線性常系數(shù)微分方程，它們的一個重要性質(zhì)是具有齊次性和疊加性。 事實上，絕對的線性元件和線性系統(tǒng)是不存在的，所有的元件和系統(tǒng)在不同程度上都存在著非線性性質(zhì)。 非線性系統(tǒng)一般不能應(yīng)用疊加原理，數(shù)學(xué)上處理也比較困難。為了便于研究，對一些可以進(jìn)行線性化處理的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究。 123452小偏差法 假設(shè)系統(tǒng)在平衡點附近工作一元函數(shù) 為輸出量 為輸入

9、量 第二節(jié)第二節(jié) 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化常用的線性化方法有以下兩種：1忽略弱的非線性因素 如果元件的非線性因素弱，或不在系統(tǒng)線性工作范圍內(nèi)，非線性因素可忽略。 例如例如:例1和例3忽略了干摩擦、齒輪傳動中的間 隙；例4忽略了電樞反應(yīng)、渦流和磁滯的影響12345 xfy tx tyAyyxx0 x0 xf0yxdxdyx0y圖25 某系統(tǒng)的非線性特性12345如果函數(shù)在平衡點A（x,y）處連續(xù)可微，則 可在A點附近展開成泰勒級數(shù) xfy 202200)(! 21)(00 xxdxydxxdxdyyyxx 由于很小，略去上式中二階以上高階項，得）（000 xxdxdyyyx即

10、xdxdyyx0增量形式的線性化方程123450|xdxdy是 在點（x,y）的導(dǎo)數(shù) xfxdxdyx0|表示當(dāng)x由點 移到其附近x點時切線的增量 0 x 由此可見，線性化方程是以切線的增量近似代替曲線的增量。因此，小偏差線性化的方法，從幾何意義上來說，就是在工作點附近的一個小范圍內(nèi)，用切線來代替曲線。 如果把坐標(biāo)原點取在平衡點A處，系統(tǒng)的初始條件就等于零 ,即這時線性方程變成000 yxxdxdyyx012345但應(yīng)該理解到，線性化的微分方程是從平衡點算起的增量方程。二元函數(shù) 在系統(tǒng)工作點 附近，也可將其展開成泰勒級數(shù)，即 ),(21xxfy ),(02010yxx2202022220210

11、12122101021220202101010)(|)(2(|! 21)(|)(|xxxyxxxxxxyxxxyxxxyxxxyyy）其中，yyy01101xxx2202xxx12345略去高次項得202101|xxyxxyy二元函數(shù)的線性化方程01|xy為在工作點處對 的偏導(dǎo)數(shù) 1x02|xy為在工作點處對 的偏導(dǎo)數(shù) 2x12345例5 通過滑閥節(jié)流口的流量公式 ),(2pxfpxCqvvd設(shè)滑閥的工作點為 可得 ),000qpxv（pPqxxqqvv00|12345流量流量系數(shù)系數(shù)滑閥面滑閥面積梯度積梯度閥芯閥芯位移位移油液油液密度密度節(jié)流節(jié)流口壓口壓力降力降1234500022|pCpC

12、xqKddvq000022|1212|pxCpxCpqKvdvdc線性化方程pKxKqcvq注意下列幾點：1）必須明確系統(tǒng)平衡工作點對不同的工作點，線性化的結(jié)果不同 因不同工作點的切線斜率不同2）線性化是在系統(tǒng)平衡點附近小范圍內(nèi)進(jìn)行3）對于某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦特性等，當(dāng) 它們對系統(tǒng)影響很小時，可忽略不計12345Ayyxx0 x0 xf0yxdxdyx0y微分方程解微分方程f(t)代數(shù)方程F(s)解代數(shù)方程L1L求解微分方程求解微分方程第三節(jié)第三節(jié) 拉氏變換與反變換拉氏變換與反變換 復(fù)數(shù)的相關(guān)概念復(fù)數(shù)的相關(guān)概念1）復(fù)數(shù)）復(fù)數(shù)2）復(fù)函數(shù)）復(fù)函數(shù)sj( )( )(

13、)xyF sF sjF s例例( )11F ssj j( )xF s( )yjF s123123121200 模、相角模、相角 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)模 22( )xyF sFF相角( )arctanyxFF xF( )( )( )xyF sF sjF s一、拉氏變換的定義一、拉氏變換的定義以時間t 為自變量的實變函數(shù)f(t)，它的定義域是 當(dāng) 時， f(t)=0，那么f(t)的拉普拉斯變換定義為 0t0t0)()()(dtetftfLsFst式中，s為復(fù)變數(shù) （ 、 均為實數(shù)）jsF(s)是函數(shù)f(t)的拉氏變換，是一個復(fù)變函數(shù)，通常也稱F(s)為f(t)的象函數(shù) f(t)為F(s)的原函數(shù) 拉氏

14、反變換為11( )( )( )2jstjf tL F sF s e dsj12345二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換 1.單位階躍函數(shù)1（t） )0(1)0(0)( 1tttStLsF1)( 1 )(f(t)t112345 011stLtt edt011stess 0atatstL eeedt 0a s tedt011a s tesasa 2.指數(shù)函數(shù) )0()0(0)(tettfat3.正弦函數(shù)和余弦函數(shù) )0(sin)0(0)(ttttf)0(cos)0(0)(ttttfsinsinj tj tecon tjtecon tjt歐拉公式sin22jtjtjtjteetje

15、econt3.正弦函數(shù)和余弦函數(shù) 12345221( )sinsLtFs222( )cosssLtFs4.單位脈沖函數(shù) t )0(1lim)0(00tttt和 )0()0(0tttf(t)t1且 1dttt)(t12345 001limstsLtedt0000111limlimststedtes01lim1ses212 !nxxxexn 2201lim1112!ssss5.單位速度函數(shù) )0()0(0)(ttttff(t)t 21( )F tL ts6.單位加速度函數(shù) )0(21)0(0)(2ttttf32121)(stLsFf(t)t12345 0stL ttedt000udvuvvdu1s

16、tsttuedtdvdtduves 001ststtL teedtss 202101stess7.t的冪函數(shù) )0()0(0)(tttftn簡單常用函數(shù)的拉氏變換和反變換可查表21。123451!nnnL ts 1111!nnLtsn11111 !nnLtsn三、拉氏變換的主要定理三、拉氏變換的主要定理 1.疊加性質(zhì)（線性性質(zhì)） (1) 齊次性 設(shè))()(sFtfL則)()(saFtafL（a 常數(shù)） (2) 疊加性 設(shè))()(11sFtfL)()(22sFtfL則 )()()()(2121sFsFtftfL)()()()(2121sbFsaFtbftafL式中a和b為常數(shù)123452.微分定

17、理 設(shè) )()(sFtfL則 0000 0000) 0 ()(1212333222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsffssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL12345當(dāng)初始條件為零時， 00)0( )0(1nfff則有 sFstfLsFstfLssFtfLnn2 12345式中 ， 是原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在t=0時刻的值。 )0( f、)0( f3.積分定理 設(shè) sFtfL則) 0 (1)(1)() 1(fssFsdttfL式中， 是積分 在t =0時刻的值。 01f dttf12345當(dāng)初始條件為零時， sFsdttfL1對于多重積分是 ( 1)111( )(

18、 )(0) .(0)nnnnnLf t dtF sffsss 當(dāng)初始條件為零時，則有 1nnnLf t dtF ss 123454.延遲定理 設(shè) ，且 t0時 ， sFtfL0)(tf sFeTtfLsT則 函數(shù) 為原函數(shù) 沿時間軸的軸向平移。如圖 2-6所示 )(Ttf)(tfT0tTtftfTtf圖26 平移函數(shù)123455.位移定理 設(shè) sFtfL則位移定理在工程上很有用處，它可以簡化一些復(fù)雜的拉氏變換運算。 例如 asFtfeLat22)(cosasasteLat123456.初值定理 它表明原函數(shù)在 時的數(shù)值，即 0t ssFtfst lim)(lim0既原函數(shù)的初值等于 s 乘以象

19、函數(shù)的終值。 12345123457.終值定理 它表明原函數(shù)在 時的數(shù)值。設(shè) 且 存在，則t sFtfL)(limtft ssFtfst0lim)(lim既原函數(shù)的終值等于 s 乘以象函數(shù)的初值。這一定理對于求瞬態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值是很有用的。 8.相似定理 設(shè) ，則有 sFtfL)(asaFatfL式中 ，a為常數(shù)四、應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程四、應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程原函數(shù)（微分方程的解)取拉式反變換象函數(shù)象函數(shù)的代數(shù)方程取拉式變換微分方程圖27 拉氏變換求解微分方程示意圖 12345根據(jù)定義計算拉氏反變換，要進(jìn)行復(fù)變函數(shù)積分，一般很難直接計算，通常用部分分式展開法將復(fù)雜函數(shù)展開成有理分式函

20、數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù) )(tf1部分分式法 在控制理論中，常遇到的象函數(shù)是s的有理分式，即mnasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm01110111)()()(12345為了將 寫成部分分式，首先將 的分母因式分解，則有 sF sF )()(210111nmmmmpspspsbsbsbsbsF式中 是 的根的負(fù)值，稱為 的極點。按照這些根的性質(zhì)，可以分為以下幾種情況來研究。 nppp,21 0sA sF12345 （1） 的極點為各不相同的實數(shù)時 sF niiinnnmmmmpsApsApsApsApspspsbsbsbsbsAs

21、BsF12211210111)()()()(式中 是待定系數(shù)iA lim( )()iiiiispspAsp F sF s sp12345再根據(jù)拉氏反變換的疊加定理，求原函數(shù) nitpiniiiieApsALsFLtf1111)()(12345例6 求 的原函數(shù)。 32135)(sssssF解 將 寫成部分分式形式，則有 sF321) 3)(2)(1(35)(321sAsAsAsssssF1) 1() 3)(2)(1(35lim)1)(lim111sssssssFAss12345123457) 2() 3)(2)(1(35lim)2)(lim222sssssssFAss6) 3() 3)(2)(

22、1(35lim)3)(lim333sssssssFAss所以362711)(ssssFttteeesFLtf32167)()( （2） 含有共軛復(fù)數(shù)極點時 如果 有一對共軛復(fù)數(shù)極點 、 ，其余極點均為各不相同的實數(shù)極點。將 展開成 sF1p sF2p sFnnnmmmmpsApsApspsAsApspspspsbsbsbsbsF.)()()()()(332121321011112345式中A1和A2通過用2121)()(2121pspspspsAsApspssF或或令等號兩邊的實部、虛部分別相等，得兩個方程式，聯(lián)列求解，即得A1、A2兩個常數(shù)。 而求得)(21psps乘以上式的兩邊)(21ps

23、ps或并令1234512345例7 求 的原函數(shù)。 )1(1)(2sssssF解 將 的分母因式分解,得)(sF1232123211)(2210ssAsAsAjsjssssF20001lim ( ) lim1(1)sssAF s sss ss 12345232121232122111jsjsAsAssssss）（212321232112321AjAjj則 12345利用方程兩邊實部、虛部分別相等得： 232321212121AAAA解之得 0, 121AA查表2-1中第17序號式，得 1, 5 . 0n則) 0(323sin155. 1111)()(5 . 0211ttessssLsFLtft

24、123451111)(22sssssssssF所以 （3） 中含有重極點時，設(shè) 有r個重根)(sF0)( sA)()()()(100111nrrmmmmpspspsbsbsbsbsF將上式展開成部分分式 nnrrrrrpsApsApsApsApsAsF11001002001)()()(123450000)(!11)(!21)()(011002203002001psrrrrpsrpsrpsrpssFdsdrApssFdsdApssFdsdApssFA式中 的求法與單實數(shù)極點情況下相同 的求法如下：nrrAAA,21rAAA00201,，12345因為 tpnnetnpsL0101!111則 )

25、0(!2!1)()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr1234512345) 1()2(3)(2ssssF)(tf解 將 展開成部分分式 )(sF122)(302201sAsAsAsF上式中各項系數(shù)為 例8 求 的原函數(shù) 。 1212322201sssssA 21123lim213ssssAs12345 21311321232222202sssssssssssdsdA12345所以 122221)(2ssssF則 )0(2222)(222teeteetetfttttt2 用拉氏變換求解線性微分方程 1）代入初始條件，對微分方程中的每一項進(jìn)行拉氏

26、變換，經(jīng)過整理，得到輸出變量的拉氏變換表達(dá)式。2）用部分分式法求拉氏反變換，得到微分方程的時域解。12345例2-10 設(shè)某控制系統(tǒng)的微分方程為)()(6)(5)(22txtydttdydttyd若)( 1)(ttx)0(y)0(y求)(ty)0()0()(222ysysYsdtydL)0(5)(55yssYdtdyL)(66sYyLstLtxL1)( 1)(12345零初始條件時ssYss1)()65(23131212116132) 3)(2(1)65(1)(3212ssssAsAsAsssssssY12345tteety32312161)(61)(lim)(tyyt)(lim)(lim0s

27、sFtfst61)65(1lim)(lim)(lim200ssssssYtysst穩(wěn)態(tài)分量終值定理12345第四節(jié)第四節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 在初始條件一定時，拉氏變換與微分方程有對應(yīng)的關(guān)系。既然微分方程可以表示系統(tǒng)或元件的運動特性，拉氏變換也可以表示。 引入系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)。 一、定義一、定義 傳遞函數(shù)，即線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。 設(shè)線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為 123451234512345)()()()()()()()()(0111101111mntrbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtd

28、ammmmmmnnnnnn式中 c(t)為系統(tǒng)的輸出量； r(t)為系統(tǒng)的輸入量； 以及 為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)naaa,10mbbb,10參數(shù)所決定的實常數(shù)。 設(shè)初始條件為零，對上式進(jìn)行拉氏變換，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的一般形式)()()()()()(01110111mnsAsBasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm令s=0，則有 KabG00)0(系統(tǒng)的放大系數(shù)也稱系統(tǒng)的增益 12345二、特征方程、零點和極點二、特征方程、零點和極點令系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母等于零，即有 00111asasasannnn 系統(tǒng)的特征方程，其根為系統(tǒng)特征根 特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)過程。 根據(jù)多項式定理，系統(tǒng)

29、傳遞函數(shù)的一般形式可以寫成 )()()()()()()()()(2121sAsBpspspsazszszsbsRsCsGnnmm12345式中， B（s）=0的根， 稱為傳遞函數(shù)的零點； A（s）=0的根， 稱為傳遞函數(shù)的極點。 ), 2 , 1(mizsi), 2 , 1(nipsi 顯然，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。 零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)諸參數(shù) 和 ，即取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。 mbbb,10naaa,10 一般地說，零點和極點可為實數(shù)或復(fù)數(shù)，也可為零。若為復(fù)數(shù)，必共軛成對出現(xiàn)。 12345 把傳遞函數(shù)的零、極點表示在復(fù)平面上，稱為傳遞函數(shù)的零、極點分布圖。 圖中零點用“o

30、”,極點用“x”表示。 j12-3-1-212-2-1)22)(3(2)(2sssssG零、極點分布圖12345三、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明三、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明 1) 傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。2) 傳遞函數(shù)中各項系數(shù)值完全決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，表達(dá)了系統(tǒng)的固有特性，與外加信號的大小和形式無關(guān)。 3) 由于傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)（或元件）的運動情況。4) 一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關(guān)系， 而不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的特性。nm 5) 傳遞函數(shù)一般分為復(fù)變量S 的有理形式，分子多項式的階次總是低于至多等于分母多項式的階次，即 。這是

31、因為系統(tǒng)中總包含著慣性元件以及受到能源功率的限制之故。 12345四典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)四典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 組成控制系統(tǒng)的元件千差萬別，它們具有不同的結(jié)構(gòu)類型、工作原理和功用,但描述它們動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型有時卻具有相同的性質(zhì)。典型環(huán)節(jié)具有相同數(shù)學(xué)模型的部分許許多多的元件，經(jīng)過典型環(huán)節(jié)歸并后，只有為數(shù)不多的幾種一個元件可以是幾個典型環(huán)節(jié)，也可能是幾個元件是一個典型環(huán)節(jié)。12345表表22 典型環(huán)節(jié)表典型環(huán)節(jié)表序號 環(huán)節(jié)名稱 數(shù)學(xué)表達(dá)式 12345678比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)Ks1s1TsK2222nnnss1Ts1222nsnsse12345

32、1放大（比例）環(huán)節(jié) 微分方程 )()(tkrtcK放大系數(shù)或增益?zhèn)鬟f函數(shù) KsRsCsG)()()(例： 各類放大器 測速發(fā)電機 輸入角速度 輸出電壓uiKu iKssUsG)()()(123452積分環(huán)節(jié) 微分方程 tdttrKtc0)()(傳遞函數(shù) sKsRsCsG)()()(例：液壓缸 tytntqtqtyAa)b)圖28積分環(huán)節(jié)例輸入流量q(t) 輸出活塞位移y(t)忽略壓縮、泄漏 1234512345dttdyAtq)()(SKASsQsYsG1)()()(AK1A活塞有效作用面積 3.微分環(huán)節(jié) 微分方程 dttdrKtc)()(傳遞函數(shù) KssRsCsG)()()(例：離心測速機

33、tytttua)b)圖29微分環(huán)節(jié)例12345輸出飛錘的位置y(t)，輸入角位移(t)dttdKty)()(KsssYsG)()()(測速發(fā)電機 輸出電壓u(t) 輸入若為發(fā)電機轉(zhuǎn)角(t)dttdKtui)()(sKssUsGi)()()(123454. 慣性環(huán)節(jié)微分方程)()()(tKrtcdttdcT傳遞函數(shù)1)()()(TsKsRsCsGT時間常數(shù)例：RC無源網(wǎng)絡(luò)輸入 輸出)(tur)(tucdttiCtutuRtituccr)(1)()()()(urucRCi12345得1111)()()(TsRCssUsUsGrcT=RC電路的時間常數(shù)慣性環(huán)節(jié) 若)( 1)(ttr則tTetc11)

34、(C(t)t1單位階躍響應(yīng)不是瞬時達(dá)到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)具有慣性，慣性環(huán)節(jié)由此得名由于響應(yīng)是非周期增長的，故也稱非周期環(huán)節(jié)123455. 一階微分環(huán)節(jié)微分方程)()()(trdttdrTtc傳遞函數(shù)1)()()(TssRsCsGT時間常數(shù)例：RC無源網(wǎng)絡(luò) 輸入)(tur輸出)(titiCRti1ti2tur12345RtudttduCtititirr)()()()()(21) 1() 1(11)()()(TsKRCsRRCssUsIsGr其中RK1RCT 123456. 振蕩環(huán)節(jié) 微分方程 )()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT傳遞函數(shù) 121)()()(22TssTsRsCsGT時間

35、常數(shù) 阻尼比 1234512345另一種標(biāo)準(zhǔn)形式2222)()()(nnnsssRsCsGTn1無阻尼固有頻率例如 例21質(zhì)量阻尼彈簧系統(tǒng) 微分方程fkydtdyBdtydm22傳遞函數(shù)12111)()()(2222TssTKskBskmkkBsmssFsYsG)()()(2sFsYkBsms1234512345式中kKmkBkmT12mkBmkkBTkB2212122222211)()()(nnnssKmksmBskkmkBsmssFsYsGkK1Tmkn1mBn2mkBkmmBmBn222112345)(22tfkydtdyBdtydm強迫振動022kydtdyBdtydm無阻尼自由振動0

36、22kydtydm自由振動022ymkdtyd0222ydtydnmkn 無阻尼固有頻率12345又比如 例22無源RLC網(wǎng)絡(luò) 微分方程rcccuudtduRCdtudLC22傳遞函數(shù)12111)()()(222TssTRCsLCssUsUsGrc式中LCRCLCT2)sin(tAyn 等幅的周期振蕩、A 由初始條件決定的常數(shù)123457. 二階微分環(huán)節(jié) 微分方程)()(2)()(222trdttdrTdttrdTtC傳遞函數(shù)12)()()(22TssTsRsCsGT時間常數(shù)阻尼比實際中，很難見到二階微分環(huán)節(jié)，它是一種數(shù)學(xué)抽象。123458. 延遲環(huán)節(jié) 微分方程 trtc純延遲時間傳遞函數(shù) 應(yīng)

37、用拉氏變換的延遲定理12345ssesRsCsGsResC)()()()()(例 延遲環(huán)節(jié)常見于液壓、氣動系統(tǒng)中，施加輸入后，往往由于管道長度而延遲了信號傳遞的時間。 典型環(huán)節(jié)與元部件之間并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系。一個控制元件的傳遞函數(shù)，可能是幾個典型環(huán)節(jié)的組和一個典型環(huán)節(jié)，也可能代表幾個實際元部件的組合 例：放大環(huán)節(jié)可以是幾級放大器串聯(lián)的總增益另外，同一元件在不同的系統(tǒng)中的作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。 12345第五節(jié)第五節(jié) 傳遞函數(shù)的方塊圖及運算傳遞函數(shù)的方塊圖及運算 方塊圖又稱動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。采用方塊圖，更便于求傳遞函數(shù)，直觀形象，且表達(dá)了各信號之間的聯(lián)系，有助于了解

38、元件參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。 一一 、 方塊圖符號方塊圖符號 1. 方塊圖單元 G(s)R(s)C(s)()()(sRsGsC123452. 加點法（又稱比較點） +R(s)C(s)B(s)()()(sBsRsC-+R(s)C(s)B(s)()()(sBsRsC123453. 引出點 C(S)C(S)同一信號線上引出的信號，其性質(zhì)、大小完全一樣。 任何控制系統(tǒng)都可以由上述符號組成的方塊圖來表示。 12345二、系統(tǒng)方塊圖的繪制二、系統(tǒng)方塊圖的繪制根據(jù)由微分方程組得到的拉氏變換方程組，對每個子方程都用基本符號表示，并將各個圖形正確地連接起來，即為方塊圖。 例 211 試?yán)L制例24所述電樞控制直

39、流電動機的方塊圖。 1234512345)()()()()()()()()()()(tTtTtBdttdJtiCtTtCteteiRdttdiLtumlmmmammmeaaaaa解 由例 24，列出該直流電動機的微分方程對上述各式在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換可得)()()()(sEsIRssILsUaaaaa)()()()(sTsTsBssJmLmmm)()(sICsTamm)()(sCsEme12345)()()()(1)()()()()(1)(sCsEsTsTBsJssICsTsEsURsLsImeLmmmammaaaa)(sUa)(sIaaaRsL 1)(sE- -eC)(sm )(sE)

40、(sIamC)(sTm)(sTm)(sTL- -)(sm BsJm 112345 根據(jù)以上各式可得到如圖216a、b、c、d所示的單元方塊圖，由單元方塊圖可得到該直流電動機的方塊圖如圖216e所示。 suaaaRsL1mC)(1sTBsJm1)(smeC)(sE216 e)12345例 212 試?yán)L制圖217所示無源網(wǎng)絡(luò)的方塊圖 解 先列寫出該網(wǎng)絡(luò)的微分方程 )()()()()()()(1)()()(21221121titititiRtutiRdttiCtiRtutuccrui i(t)ou(t)i i1 1R R2 2R R1 1(t)i i(t)i i2 2(t)圖 2-17 RC 無源網(wǎng)

41、絡(luò)1234512345對上述各式在零初始條件下分別進(jìn)行拉氏變換 )()()()()()()(1)()()(21221121sIsIsIsIRsUsIRsICssIRsUsUccr作適當(dāng)變換，消去中間變量 可得)(1)()(11sICsRRsUsUcr)(1)(2sURsIc)()(21sIsI、-+ sI sUcCsRR111 sUra)21R sUc sIb)-+ sUcCsRR111 sUr21Rc)圖2-18 網(wǎng)絡(luò)方塊圖12345 根據(jù)這兩個關(guān)系式可畫出它的方塊圖單元如圖218a、b所示。然后再根據(jù)信號流向?qū)⒏鱾鬟f方塊圖連接起來，便可得到網(wǎng)絡(luò)的方塊圖218c。值得指出的是，一個系統(tǒng)或者一

42、個元件、一個網(wǎng)絡(luò)，其方塊圖不是唯一的，可以繪出不同的形式，但經(jīng)過變換后求出的總傳遞函數(shù)應(yīng)該是完全相同的。 1234512345 sUi+ sUoCs11R sI1 sI2 sI2R+- sUo 圖2-19 例2-12網(wǎng)絡(luò)方框圖的另一形式 例212所示網(wǎng)絡(luò)的方塊圖還可用圖219表示。)4()()()()3()()()2()()(1) 1 ()()()(21221121sIsIsIsIRsUsIRsICssIRsUsUooi1234512345由（2）、（4） )()(1)(1)(21112sIsICsRsICsRsI)(1)(11121sICsRsICsR)(1)(11211sICsRsICsR

43、sCR)(1)()(11sIsCRRsUsUoi)(1)()(1)()(211sURsIsIsCRRsUsUoio由（3）)(sUi- -)(sUo)(sICsRR111 )(sUo)(sIR12代入（1）得：12345Ui i(s)RC1 12 2oU(s)R1 11 1+ +R1 1s sc c) )圖圖2 2- -1 18 8網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)方方塊塊圖圖方塊圖的另一種畫法) 1 ()()()()4()()() 1 ()(1)()()2()()()(212121sIsIsIsIRsUsICssUsUsIRsUsUooioi12345CssUsUsIoi)()()(1)(sUi)(sI1- -)(s

44、UoCs)(sUi)(sI2- -)(sUoR1)(sI+ + +)(sI1)(sI2)(sI2)(sUo2R)()(2sIRsUo)()()(21sIsIsI121)()()(RsUsUsIoi12345 sUi+ sUoCs11R sI1 sI2 sI2R+- sUo12345三三 、 方塊圖的等效變換方塊圖的等效變換 等效對方塊圖的任一部分進(jìn)行變換時，變換前后輸入輸出之間總的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。 系統(tǒng)環(huán)節(jié)之間一般有三種基本連接方式，即串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接。1. 串聯(lián)連接特點：前一個環(huán)節(jié)的輸出量是后一個環(huán)節(jié)的輸入量。 圖2-20 環(huán)節(jié)的串聯(lián)連接 sR sG1 sG2 sU sC sR sC

45、 sGa)b)12345)()()(1sRsGsU)()()(2sUsGsC得 )()()()(21sRsGsGsC等效傳遞函數(shù))()()()()(21sGsGsRsCsG由此得niisGsG1)()(n相串聯(lián)環(huán)節(jié)數(shù)123452. 并聯(lián)連接 特點：所有環(huán)節(jié)的輸入量是共同的，連接后的輸出量為 各環(huán)節(jié)輸出量的代數(shù)和。 + sR sG1 sG2 sC1 sC2 sC sR sC sG圖2-21 環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接)()()(11sRsGsC)()()(22sRsGsC12345)()()()()()(2121sRsGsGsCsCsC于是得 )()()()()(21sGsGsRsCsG由此得 )()(1s

46、GsGniin并聯(lián)環(huán)節(jié)的個數(shù) 123453. 反饋連接 -+R(s)C(s) sE sB sG sHR(s)C(s) s圖2-22 環(huán)節(jié)的反饋連接)()()()()()()()()(sBsRsEsCsHsBsEsGsC消去E(s)、B(s)得 )()()()()(sCsHsRsGsC12345上式中分母上的加號對應(yīng)于負(fù)反饋；上式中分母上的減號對應(yīng)于正反饋。單位反饋系統(tǒng)，H(s)=1，此時)(1)()(sGsGs用上述三種基本法則，可求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs得閉環(huán)傳遞函數(shù) 12345例2-12 如圖2-182211121111111)()(RRRCs

47、RCsRRCsRRsUsUrc同樣，利用等效變換法則，可求得圖2-19方塊圖的傳遞函數(shù)2211121211111)()(RRRCsRCsRRCsRRCsRsUsUrc12345 sUi+ sUoCs11R sI1 sI2 sI2R+- sUo 圖2-19 例2-12網(wǎng)絡(luò)方框圖的另一形式12345 可以看出，雖然圖218和圖219的方塊圖形式不同，但求出的傳遞函數(shù)是相同的。 由于實際系統(tǒng)一般較為復(fù)雜,在系統(tǒng)的方塊圖中常出現(xiàn)傳輸信號的相互交叉，這樣，就不能直接應(yīng)用上述三種等效法則對系統(tǒng)化簡。通常需要移動比較點或引出點，以消除信號的相互交叉。在對比較點或引出點作移動時，同樣需要遵守等效法則。 表23

48、列出了方塊圖的等效變換的基本法則。表中沒有給出比較點和引出點交換的法則，因為它們的交換往往會使方塊圖變得復(fù)雜，所以在一般的情況下，兩者不宜交換位置。 12345表2-3 方塊圖的等效變換法則1G1GC21GGR1G1G+21GG +BG1+R+A+BR+AABR+A+BBAR+BR R R RRRRRRRCCCCCCCRRBBBGGGGG序號法則原來的方框圖等效的法則串聯(lián)并聯(lián)比較點后移比較點后移比較點交換1453 212345CGRCCGGRC1G2GAAARC2G1GAAARCGHG1RC+GHRC+GHRCGRRCG1/GRC+H1HGRC引出點后移引出點前移引出點交換反饋回路等效單位反饋

49、6 7 8 9 1012345 例213 用簡化方塊圖的方法,求圖223a所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 解 本題的解法之一是把圖中的比較點b向前移到比較點a之前,如圖223b所示。然后從內(nèi)環(huán)到外環(huán)逐步化簡，最后求得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 3212321213211)()(GGGHGGHGGGGGsRsC+-+-2Ha）1H1G sR sCab2G3G12345+-+-11 Gb)2H1H1G sR sCba2G3G121211HGGGG12GH3Gc)+-+- sR sC12345 sC sR+-2321213211HGGHGGGGGd)3212321213211GGGHGGHGGGGGe) sC sR圖

50、2-23 方框圖的化簡12345上式可寫成如下通式niiLPs11)(式中，n為反饋回路數(shù)；P為前向通道傳遞函數(shù)，即從輸入到輸出的通道上各傳遞函數(shù)之積; 為第 條反饋回路的傳遞函數(shù)，注意，負(fù)反饋時 為負(fù)值。iLiiL 但是，應(yīng)該指出，該公式只適用于有一條前向通道，且所有反饋回路都相互接觸時的場合。 12345+-+-+-R(s)1G2G3G4GC(s)aba)例2-14 用化簡方塊圖的方法，求圖224a所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。+-+-+-R(s)1G2G3G4GC(s)411GGb)12345-+R(s)C(s)21211GGGG43431GGGG411GGc)432143322143211GGG

51、GGGGGGGGGGGR(s)C(s)d)圖2-24 方框圖的化簡12345 解 對于本題，將加法點a跨越方塊 左移，將引出點b跨越方塊 右移，并在反饋通道中串聯(lián)方塊 后，就可根據(jù)串聯(lián)和反饋運算法則，很容易地逐步化簡到圖2-24d所示，故得該系統(tǒng)的總的傳遞函數(shù)為 1G4G)/(141GG432143322143211)()(GGGGGGGGGGGGGGsRsC12345 由此可見，該系統(tǒng)不能用上面通式直接求出它的總的傳遞函數(shù)，其原因在于這個系統(tǒng)中有兩個互相不接觸的回 和 ，路對于這種系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以利用梅遜公式直接求解。 21GG43GG12345四、梅遜公式四、梅遜公式 對于連接關(guān)系比較復(fù)

52、雜的系統(tǒng)方塊圖，利用梅遜公式可由方塊圖直接求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 梅遜公式 )()()(1)()()(ssPssRsCsGkk式中， 為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； 為特征式； )(sG)(s；fedcbaLLLLLLs1)(1234512345 為反饋回路傳遞函數(shù)（負(fù)反饋時為負(fù)值）； 為兩個反饋回路相互不接觸時，該兩反饋回路的傳遞函數(shù)之積； 為三個反饋回路相互不接觸時，該三反饋回路的傳遞函數(shù)之積； 為第k條前向通道傳遞函數(shù)； 為從 中去掉與第k條前向通道相接觸的相關(guān)項后的余項。 aLcbLLfedLLL)(sPk)(sk)(s例2-15 利用梅遜公式，求圖2-25所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 +-+-+-+R(s

53、)C(s)1G2G3G4G1H2H3H 圖2-25 用梅遜公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)12345解 本系統(tǒng)有兩條前向通道，即4123211GGPGGGP12345該系統(tǒng)有五個反饋回路，其傳遞函數(shù)分別為： 上述這五個反饋回路均相互接觸，所以沒有互不接觸的反饋回路，即 ；2322HGGL；1211HGGL。245HGL；3414HGGL；33213HGGGL2434133212321211)(HGHGGHGGGHGGHGGs又因為所有五個反饋回路均與兩條前向通道接觸，所以 1)(1)(21ss系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 243413321232121413211)()()(HGHGGHGGGHGGHGGGGGGGs

54、RsCsG12345例2-16 利用梅遜公式計算例2-14中系統(tǒng)的總的傳遞函數(shù)。 解 該系統(tǒng)有一條前向通道，即 ；有三個反饋回路： 這三個回路中和相互不接觸，所以該回路中 43211GGGGP 。；433322211GGLGGLGGL432143322143214332211)(1)(GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGs12345又因為所有三個反饋回路均與前向通道接觸，所以 求得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 1)(1 s432143322143211)()()(GGGGGGGGGGGGGGsRsCsG12345例2-17 利用梅遜公式求圖2-26所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) +-+-+-R(s)C(s)+-+-R1R1R1Cs1Cs1Cs1 圖2-26 用梅遜公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 12345解 本系統(tǒng)只有一條前向通道，其傳遞函數(shù)為 33311sCRP 12345該系統(tǒng)有五個反饋回路，其傳遞函數(shù)均為 ，故 RCs1RCsLa5 在這五個反饋回路中，有6對彼此不