1、實用文檔數(shù)列通項公式的十種求法一、公式法*.an = & (n -1)d = dn ai -d (n N )an 二 aiqn; a1 qn(n N*) q二、累加法an i -an f (n)例1已知數(shù)列an滿足an書=an +2n+1, a1 =1 ,求數(shù)列an的通項公式。an = n2例2 已知數(shù)列an滿足an邛 =an +2M3n+1, ai=3,求數(shù)列an的通項公式。(an =3n +n -1.)三、累乘法an 1 = f(n)an例3已知數(shù)列an滿足an書=2(n+1)5n父an, a1 = 3 ,求數(shù)列an的通項公式。 n(n 二)(an =3M2nx5 !.)評注：本題解題的關(guān)

2、鍵是把遞推關(guān)系an書=2(n+1)5 Man轉(zhuǎn)化為 電也=2(n+1)5n，進而求an出且，包衛(wèi)| a3 a2 a1即得數(shù)列an的通項公式。 an 4 an 2a2 a1例4已知數(shù)列an滿足a1 =1, an =a1 +2a2 +3a3十川+(n 1)an,(n至2),求an的通項/一 / n!、式。(an =.)2評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an平=(n+1)an(n之2)轉(zhuǎn)化為9n = n + 1(n之2),an進而求出 且，亙衛(wèi)411，包 包，從而可得當(dāng)n 2 2時，an的表達式，最后再求出數(shù)列an的 anan/a2通項公式。四、待定系數(shù)法an 1 = Pan q an 1 = P

3、an f nan 2 = Pan 1 qan(其中p, q均為常數(shù))。例5 已知數(shù)列 an滿足an書=2an +3M5，a1 = 6 ,求數(shù)列an的通項公式。 n -1n、(an =2+5 )評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an書=2an + 3M5n轉(zhuǎn)化為an書5n* =2(an 5n),從而可知數(shù)列an-5n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an-5n的通項公式，最后再求出數(shù)列 an的通項公式。例6已知數(shù)列an滿足an書=3an +5 M 2n +4, ai = 1 ,求數(shù)列 an的通項公式。(an =133n-1 -52n -2 )評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an書=3an +5父2n +

4、4轉(zhuǎn)化為 an+5x2n41+2=3(an +5父2” +2),從而可知數(shù)列an +5M2n+2是等比數(shù)列，進而求 出數(shù)列an +5父2n +2的通項公式，最后再求數(shù)列 an的通項公式。例7已知數(shù)列an滿足an由=2an +3n2 +4n +5, ai =1 ,求數(shù)列an的通項公式。/_ n: ：4 _ 2 一 一(an =2-3n - 10n -18)評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an+=2an +3n2+4n+5轉(zhuǎn)化為22an+3(n+1) +10(n+1)+18=2(an +3n +10n+18),從而可知數(shù)歹U22%+3n +10n+18是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an+3n +10n

5、+18的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。五、遞推公式為Sn與an的關(guān)系式（或Sn = f（an） 0 （n=1）解法：這種類型一般利用an=Sn -Sn（n2）1例8已知數(shù)列&n 前n項和Sn =4an 產(chǎn).（1）求an書與an的關(guān)系；（2）求通項公式an.六例9已知數(shù)列an滿足an書=3an +2父3n +1, a1=3,求數(shù)列an的通項公式。解：an.=3an +2 M 3n+1兩邊除以3n/，得 解3an 21=.一 .一n33 3an 1 an3n 13n21,=一- -1,故3 3n 1an _,an3n 一( 3n吟an J and _an_9 _an_也電、.色一) J

6、-N工) (金工一小當(dāng))(o2 - O1 ) oan 4 an 43333331、 ，21、21213)(-7n)(-7n)HI(-72)-33333333二四o J J, J3(3n3n3nl 3n32)因此亙=26(1一3。3n 31 -312 3n一 2 c 1c 1則 an = n 33.3an +231轉(zhuǎn)化為十九322評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式進而求出（，患）（察-表2）（需-碧）M信-力母,即得數(shù)列半 3333333333的通項公式，最后再求數(shù)列 an的通項公式。七、對數(shù)變換法(當(dāng)通項公式中含哥指數(shù)時適用)n 5例10已知數(shù)列an滿足an邛=2父3父an , ai = 7

7、,求數(shù)列an的通項公式。n 5n 5斛：因為an中二2父3 Man, ai = 7 ,所以an 0, an+0。在an書=2父3 xan式兩邊取常用對數(shù)得lg an書=5lg an+n lg3+lg 2設(shè) lgan書+x(n+1) + y=5(lgan +xn + y) 將式代入 式，得5lgan+nlg lg 2x n(+ 1)y = 5ag + xn + y，兩邊消去5 lgan 并整理,得(lg3 +x)n +x + y+lg 2 =5xn + 5y ,則lg3 x = 5x 54，故x y lg2 = 5ylg34Ig3 Ig2164代入式，得lgan書+幽(n+1)+/+星=5(lg

8、an+蛆n+蛆+%)強 n In41644164由lga19K里十監(jiān)=lg7十映1十庭十跖/0及式，41644164得lgan+/n+配+監(jiān)=0,4164, lg3,彳、lg3 lg2 lg an1(n 1)4164I lg3lg3lg2lg an n n 4164所以數(shù)列l(wèi)g a+魴n+1g3+旭馬是以lg7十監(jiān)十監(jiān)十螞工為首項，以5為公比的等 n 41644164比數(shù)列,則1g”詈n嚕十*(叱號十腎號)5:因此lg3 lg3 lg2 nlg3 lg3 lg2lg an = (lg 7 )5- n -4164464111n11二 (lg 7 lg 34lg 36lg 24)5n1 -lg 3

9、 - lg 316 - lg 27111n 11= lg(7 34 3石 24)5n1-lg(33花 2、111n 11-lg(7 34 3歷 24)5n,lg(34 3詁 2:5n。5n -J5n 1川g(7 5n,3k 3* 2k)5n_4n5nx= lg(7 5n,3 16 2干)5n _4n J5n - J則 an = 75n-x 3 16 乂 2k。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an+=2 M 3n M a5轉(zhuǎn)化為lg an 1lg an -/（1）+ /+星=5（lgan+幽n+/+口），從而可知數(shù)列41644164口3n+lg3+監(jiān)是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列l(wèi)g a

10、n+3n +螞3+監(jiān)的通項4164n 4164公式，最后再求出數(shù)列前的通項公式。八、迭代法例11已知數(shù)列an滿足an* =a：（n*）2n, a1=5,求數(shù)列an的通項公式。解：因為 *=非出2：所以 an=a3nT=anr2n3nH1)(n 4)n 2(n (n 0 (n 1) n 2(nZ (n Q2) 2n、32(n 4) n 2(n (n標準文案=IH3n -L23l.|.|(n 1) (n 二)n 21 21111 (nJ) (n 2 (n 1)=a1=al3n1n! 2n(n Qn(n_1)nXn!2o又a1 =5 ,所以數(shù)列an的通項公式為an =53評注：本題還可綜合利用累乘法

11、和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式an4r = a;（n書）2n兩邊取常用對數(shù)得lgan.=3(n+1)M2nMlgan,即1g亙t = 3(n+1)2n ,再由累乘法可推知n(n 1)-2-n 1n(n J)3n 1n!2_.,從而 an = 52 。1g anlgan;處比川姐蛆lg*lg53j2 iganj igan2Iga? iga九、數(shù)學(xué)歸納法例12已知數(shù)列an滿足明書=an8(n+1)2-Z2(2n 1)2(2n 3)2a1-,求數(shù)列an的通項公式。9解：由 an1 =an.8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2及 a1 =89a2=ai8(1 1)a3-a2a4二a3(2

12、 1 1)2(2 1 3)28(2 1)(2 2 1)2(2 2 3)28(3 1)(2 3 1)2(2 3 - 3)288 2一 9 9 252425248 325 25 49488 4= 十由此可猜測an(2n 1)2 -12(2n 1)248498049 49 8181,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。(1)當(dāng) n =1 時，a,=，一 八 2 一(2M1+1)一1一8,所以等式成立。2(2 1 1)2(2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即2,胃11r,則當(dāng)n = k+1時,ak 1 =ak.8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2 一18(k 1)= Z2 - -Z2-Z2(2k

13、 1)(2k 1) (2k 3)(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1) 22(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 3)2 8(k 1)=Z 2 -2(2k 1) (2k 3)222(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 1)2二22(2k 1)2(2k 3)2-2(2k 3) -1一(2 k 3)222(k 1) 12 -1 2 2(k 1) 12由此可知，當(dāng)n = k +1時等式也成立。根據(jù)(1), (2)可知，等式對任何 nw N都成立。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。十、換元法1 一例13已知數(shù)列an滿足an書= (1+4a16十。1十244)，a, =1 ,求數(shù)列an的通項公式。解：令 bn = 1 24an ,則 an =2 -1)24.121故 an+ =24(bn+1),代入 an+ =16(1+4an +j1 + 24an)得加-凱泰-1) bn即 4b：1 =(bn 3)2因為bn =，1 +24an 0,故bn+ =+24十10-13則 26由=3 +3,即 4+=bn十一，22一，、，1可化為 bn+-3=-(bn -3),2 - 1 .所以bn 3是以bl 3 =小+24a1