1、111學學 號：號：xxxxxxxxxxxxxxHEBEI UNITED UNIVERSITY畢畢 業(yè)業(yè) 論論文文GRADUATE THESIS 設計題目：設計題目：區(qū)間線性規(guī)劃模型的求解及其應用的研究區(qū)間線性規(guī)劃模型的求解及其應用的研究學生姓名：學生姓名：xxx專業(yè)班級：專業(yè)班級：xxxxxx學學 院：院：xxxxxx指導教師：指導教師：xxxxxx 2013 年年 5 月月 31 日日河北理工大學理學院-摘要線性規(guī)劃模型廣泛應用于交通運輸業(yè)、工業(yè)、農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟計劃和管理決策等領域。由于實際問題中存在許多不確定因素，因此模型中的系數(shù)不再是精確數(shù)。本文研究含有區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃模型，根據(jù)區(qū)間數(shù)的序

2、關系和代數(shù)運算將含有區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃模型分割為兩個一般的線性規(guī)模型進行求解，通過數(shù)值算例說明該算法的有效性。實際中許多問題為區(qū)間多目標線性規(guī)劃問題，本文采用模糊規(guī)劃法求解該問題，通過伸縮因子將區(qū)間多目標線性規(guī)劃模型分解為多個區(qū)間單目標線性規(guī)劃模型進行求解，通過數(shù)值算例說明該算法的有效性。證券投資組合的優(yōu)化模型是線性規(guī)劃模型的成功應用典范，文章結合區(qū)間線性規(guī)劃模型和證券投資組合給出實例進行分析，說明區(qū)間線性規(guī)劃模型在證券投資中的應用。關鍵詞 區(qū)間線性規(guī)劃；區(qū)間數(shù)；序關系；模糊規(guī)劃法；證券投資abstract-I-AbstractA linear programming model is wide

3、ly used in transportation, industrial, agricultural, economic planning and management decision-making and so. Because there are many uncertain factors in the practical problems, so the coefficients in the model is no longer accurate number. The linear programming model in this paper contains the int

4、erval number linear programming model, segmentation based on interval number and ordering relation algebra with interval numbers of two general linear scale to solve, through numerical examples illustrate the effectiveness of the algorithm.Many practical problems in interval multi-objective linear p

5、rogramming problem, this paper adopts fuzzy programming method to solve the problem, through the expansion factor will interval multi-objective linear programming model is decomposed into multiple interval single-objective linear programming model, a numerical example is used to illustrate the effec

6、tiveness of the algorithm.The optimization model of portfolio is linear programming model of successful application of the model, combining the interval linear programming model and portfolio analysis examples, illustrated the application of interval linear programming model in the securities invest

7、ment.key：interval linear programming；interval number；investment securities；Fuzzy programming; securities investment目 錄-II-目 錄摘要摘要.IABSTRACTABSTRACT.I第 1 章 緒論.1第 2 章 預備知識及背景內(nèi)容.22.1 基本概念 .22.1.1 序關系.22.1.2 區(qū)間數(shù) .22.2 線性規(guī)劃模型的相關概念 .32.2.1 單目標線性規(guī)劃模型的相關概念 .3 2.2.2 多目標線性規(guī)劃模型的相關概念. 3第 3 章 單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型.53.1 區(qū)間

8、數(shù)的運算 .53.2 單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的求解 .53.2.1 單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的一般形式 .53.2.2 單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的求解 .6第 4 章 多目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的建立及求解.10第 5 章 線性規(guī)劃模型在證券投資中的應用.14結論.15參考文獻.16謝辭.17河北聯(lián)合大學理學院-0-第 1 章 緒論眾所周知，傳統(tǒng)的數(shù)學規(guī)劃問題是人們在科學研究、工程技術、生產(chǎn)生活以及經(jīng)濟管理等眾多領域中經(jīng)常面對的問題，它所研究的是在眾多的方案中如何找出最優(yōu)方案。在現(xiàn)實生活和工程領域中，存在著許多不確定性現(xiàn)象，這種不確定現(xiàn)象主要表現(xiàn)在兩個方面，隨機性和模糊性。而在數(shù)學規(guī)劃問題中，獲得信息

9、往往不是精確的數(shù)值，而是一些區(qū)間數(shù)，這種不確定性現(xiàn)象會給決策者作決策時帶來很大的困難。因此對于研究這種含有區(qū)間數(shù)的數(shù)學規(guī)劃問題，具有很重要的理論和實際意義。本文給出了線性規(guī)劃模型的概念建立及單目標和多目標線性規(guī)劃問題的闡述以及決策變量目標函數(shù)的系數(shù)都為區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃問題的建立以及求解，同時描述了這種類型的線性規(guī)劃問題在實際中的應用。本文主要內(nèi)容：（1）介紹線性規(guī)劃模型的建立；（2）介紹多目標線性規(guī)劃問題的建立及求解；（3）闡述了區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃問題的概念及求解；（4）結合證券投資和簡單的運輸問題說明區(qū)間線性規(guī)劃在實際問題中的應用。 在真實的投資環(huán)境中,由于社會、經(jīng)濟和文化、心理等諸多因素的影響

10、,使得證券市場具有很強的不確定性,這種不確定性包含隨機性和模糊性。在這個復雜的金融系統(tǒng)中,由于市場本身的隨機性和模糊性以及影響市場變化的各種因素的模糊性的存在, 對于證券的期望收益率風險損失率和證券的流動性,投資者很難具體給出一個精確值。而區(qū)間方法是處理不確定性風險企業(yè)政府機構之間合作的橋梁風險投資機構與風險企業(yè)在技術研發(fā)和融資過程等方面存在著明顯的信息不對稱,中介機構能有效地減弱這種不對稱,并降低交易成本。河北聯(lián)合大學理學院-1-第 2 章 預備知識及背景內(nèi)容2.1 基本概念2.1.1 序關系序關系是集合元素間的一種二元關系.定義 2.1.1非空集合 S,其元素之間定義了一種二元關系,若滿足

11、:1.不可逆性：對任意a,b,ab,baS若有則沒有。2 傳遞性：對任意a,b,c,ab,bc,acS若有則有。3 反自反性：aaa.S對任意，都沒有S則稱為上的一個偏序或偏序關系。若還滿足：4.岐性：a,b,ab,ba,對任意S有且僅有一個成立。則稱為 S 上的一個全序或全序關系。2.1.2 區(qū)間數(shù)定義 2.1.2 設為實數(shù)域，稱閉區(qū)間為區(qū)間數(shù)，記作，其中R,aaA，全體區(qū)間數(shù)的集合記為。若，稱區(qū)間數(shù),aaR aaI0a為正區(qū)間數(shù)，正區(qū)間數(shù)的集合記為；若，稱區(qū)間數(shù),AaaI0a為負區(qū)間數(shù)，負區(qū)間數(shù)的集合為。,AaaI當時，稱區(qū)間數(shù)為退化區(qū)間數(shù)，即退化為常數(shù)；aaa,Aaaaa當時，稱區(qū)間數(shù)為

12、真區(qū)間數(shù)。aa,Aaa區(qū)間數(shù)的中點定義為，區(qū)間數(shù)的寬度定義為，也可2CaaA l Aaa河北聯(lián)合大學理學院-2-稱之為區(qū)間數(shù)的長度,其半長度為.2WaaA2.2 線性規(guī)劃模型的相關概念2.2.1 單目標線性規(guī)劃模型的相關概念線性規(guī)劃模型的建立需要考慮幾個條件：1.列出約束條件及目標函數(shù)；2.畫出約束條件所要求的可行域；3.在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解及最優(yōu)值。 線性規(guī)劃模型（Linear Programming，簡稱為 LP） ，它的一般形式為：1122nnmax minz c xc xc x（）=1111221nn12112222nn2m11m22mnnm1na xa xa x(,=)ba

13、xa xa x(,=)baxaxax(,=)bxx0 ，采用求和符號，可以簡寫為：max（min）z=jjj 1c xnijjij 1ja x,)bx0n （i=1,2,m j=1,2,n變量。滿足全部約束條件的變量值稱可行解，1x ,xn稱為決策變量1x ,xn可行解的集合稱為可行域，為 D。目標函數(shù)取得最大（最小）值的可行解稱為最優(yōu)解。1x ,xn2.2.2 多目標線性規(guī)劃模型的相關概念 多目標線性規(guī)劃模型如下：河北聯(lián)合大學理學院-3- 111 11221221 122221 122maxnnnnrrrrnnzc xc xc xzc xc xc xzc xc xc x11 11221121

14、 1222221 12212,0nnnnmmmnnmna xa xa xba xa xa xba xaxaxbx xx有效解和弱有效解的定義：定義 2.2.1對于向量規(guī)定：11( ,),(,),nnxxxyyy (1),1,2, ;iixyxy in (2),1,2, ;iixyxy in (3) ,1,2, ;iixyxy in (4)但至少存在一個使.,1,2, ,iix yxy in 1,jnjjxy定義 2.2.2設如果不存在，使得*,xRxR則稱是多目標規(guī)劃問題的有效解（或弱有*()( )()( ),z xz xxz x或z*xR效解） 。河北聯(lián)合大學理學院-4-第 3 章 單目標區(qū)

15、間線性規(guī)劃模型3.1 區(qū)間數(shù)的運算3.1.1 區(qū)間數(shù)的運算定義：3.1.1 設區(qū)間數(shù)的運算定義如下：,( ),a bc dI R ,a bc dac bd ,a bc dad bc,., 0, 0ra rbrr a brb rarrR3.2 單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的求解3.2.13.2.1 單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的一般形式單目標區(qū)間線性規(guī)劃就是目標函數(shù)為單一目標的含有區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃，這一類問題因為涉及了區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃，這里先給出了其一般形式：Max （Min）111212122212,nnnzccxccxccx （3-1）11 1112121111122121222222212211221

16、21( , ),( , ),( , ),0nnnnmmmmmnmnmmna xa xa xbba xa xa xbba xaxaxbbxx 簡寫為Max（Min）121,njjjjzCCx 121( , ),0nijjiijna xb bx ;1,2,im1,2,jn河北聯(lián)合大學理學院-5-其中;均為區(qū)間數(shù)。1212,jjiiccb b1,2,im1,2,jn3.2.2 單目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的求解遇到所給出的最優(yōu)解和最優(yōu)值是區(qū)間數(shù)的實際問題中，常常采用需要具體的最優(yōu)方案，基于此，下面給出規(guī)劃（3-1）的一種新算法。這里討論求最大值的情況，求最小值同理。由區(qū)間數(shù)的運算法則可將（3-1）轉化為(

17、3-2) Max 11njjjzc x . .st21njjjc xs （3-2）21,1,2,nijjija xbim11,1,2,nijjija xb im 0,1,2,1,2, .jxim jn這里,s 是下面（3-3）的最優(yōu)解。 Min 21njjjzc x (3-3). .st21,1,2,nijjija xbim 11,1,2,nijjija xb im 0,1,2,1,2, .jxim jn定理 3.2.1如果是問題（3-2）的最優(yōu)解，則是問題（3-1）的最優(yōu)解。其中*x*x，.*1(,)nxxxn*11jjjZc x河北聯(lián)合大學理學院-6-證明：由于, ,設二者的可行集合為，很

18、明顯0jx 1211nnjjjjjjc xc x,F G的，滿足（3-2）的可行解一定被包含在（3-1）中，所以上述定理是成GF立的。綜上，求解區(qū)間線性規(guī)劃模型（3-1）的算法如下算法 3.1：步驟 1 求出線性規(guī)劃（3-3）的解 s步驟 2 求解線性規(guī)劃（3-2） ，得到問題（3-1）的最優(yōu)解及最優(yōu)值.*x*Z數(shù)值算例Max 1232.6,35.5,64.4,5zxxx . .st126.4,7xx1238,9xxx 31,3x 根據(jù)本文所給出的算法先求解下面一個線性規(guī)劃的最優(yōu)值Max 11232.65.54.4zxxx . .st126.4xx1238xxx31x 127xx1239xxx

19、33x 利用 lingo，求得的最優(yōu)值為 ,1z147.3z *0,7,2Tx 接下來求下面的線性規(guī)劃的最優(yōu)值：Max 2123365zxxx . .st1232.65.54.447.3xxx河北聯(lián)合大學理學院-7-126.4xx1238xxx31x 127xx1239xxx33x 利用 lingo 求出=52 ,因此是最優(yōu)解，最優(yōu)值是2z*2(0,7,2)Tx 0 7 2，*z .47.3,52.河北聯(lián)合大學理學院-8-第 4 章多目標區(qū)間線性規(guī)劃模型的建立及求解 這一節(jié)我們給出求解多目標區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃模型的算法在算法中，通過引入滿意度函數(shù)的概念，得到最優(yōu)滿意度解多目標區(qū)間線性規(guī)劃模型表示為

20、: 11111112122112212112222222111222,max,nnnnnnrrrrrrnrnnzcdxcdxcdxzcdxcdxcdxzcdxcdxcdx 11 11221111221 1222221221 1221212,0nnnnmmmnnmmna xa xa xbba xa xa xbba xaxaxbbx xx記:,()ijm nAa(,)ijijr nCc d111212(,)Tmmbbbbb，.12( ,)Tnxx xx12(,)TrZZ ZZ則上述多目標線性規(guī)劃可用矩陣形式表示為:maxZCx. .st0AxbX模糊規(guī)劃法由于多目標線性規(guī)劃的目標函數(shù)不止一個,要想

21、求得某一個點,使得所有*x的目標函數(shù)都達到各自的最大值,這樣的絕對最優(yōu)解通常是不存在的。因此,在具體求解時,需要采取折衷的方案,使各目標函數(shù)都盡可能的大。模糊數(shù)學規(guī)劃方法可對其各目標函數(shù)進行模糊化處理,將多目標問題轉化為單目標,從而求該問題的模糊最優(yōu)解。具體方法如下：河北聯(lián)合大學理學院-9-先求在約束條件： 下各個單目標的最大值和最小0Axbx,1,2,iZ ir*iZ值，伸縮因子為iZ*,1,2,iiidZZir*1112max1,2,1,2,0,0nijjiiijnkjjkjnZc xdZd ira xb kmx xx 上式為單目標線性規(guī)劃問題。最后求得模糊最優(yōu)值為：.*1(,)TnZc

22、xx利用模糊規(guī)劃法求解區(qū)間多目標線性規(guī)劃模型將原區(qū)間多目標線性規(guī)劃問題先拆解為幾個單目標問題1111111212211max,nnnzcdxcdxcdx2212112222222max,nnnzcdxcdxcdx.111222max,rrrrrrnrnnzcdxcdxcdx11 11221111221 1222221221 1221212,0nnnnmmmnnmmna xa xa xbba xa xa xbba xaxaxbbx xx再利用文章中給出的求解單目標線性規(guī)劃的方法分別求出各目標的最大值和最小值再確定伸縮因子為。iziz*,1,2,iiidZZir本文求解區(qū)間多目標線性規(guī)劃問題的基本

23、步驟為：(1)多目標區(qū)間線性規(guī)劃問題;(2)求解多個單目標區(qū)間線性規(guī)劃問題;(3)利用區(qū)間數(shù)的運算規(guī)則轉換為一般區(qū)間線性規(guī)劃問題;(4)利用模糊數(shù)算法解決該問題。算例：河北聯(lián)合大學理學院-10-Max 11232.6,35.5,64.4,5zxxx 21236,73,42,3zxxx . .st1220,30 xx 12345,50 xxx 310,50 x 先分別求兩個線性規(guī)劃的最優(yōu)解：Max 11232.6,35.5,64.4,5zxxx. . st1220,30 xx12345,50 xxx310,50 x 求得 最優(yōu)解為，最優(yōu)值為。0 30 20，253 280，當目標函數(shù)取最小值時最

24、優(yōu)解為,最優(yōu)值為30,0,15144,165Max 21236,73,42,3zxxx . .st1220,30 xx12345,50 xxx310,50 x 求得最優(yōu)解為,最優(yōu)值為30,0,20220,270當目標函數(shù)為求最小值時最優(yōu)解為,最優(yōu)值為.0,20,25110,155所以.(136,60)id 可列出下面線性規(guī)劃：Max z . .st123365136144xxx12374360210 xxx河北聯(lián)合大學理學院-11-1230 xx1220 xx12350 xxx12345xxx350 x 310 x 120,0nx xx所以原線性規(guī)劃最優(yōu)解為.最優(yōu)值為.(20.8 9.120)

25、Tx ，189.5,236河北聯(lián)合大學理學院-12-第 5 章線性規(guī)劃問題在證券投資中的應用 在真實的投資環(huán)境中,由于社會、經(jīng)濟、文化和心理等諸多因素的影響,使得證券市場具有很強的不確定性,這種不確定性包含隨機性和模糊性。在這個復雜的金融系統(tǒng)中，由于市場本身的隨機性和模糊性以及影響市場變化的各種因素的模糊性的存在, 對于證券的期望收益率、風險損失率和證券的流動性,投資者很難具體給出一個精確值，而區(qū)間方法是處理不確定性風險企業(yè)、政府機構之間合作的橋梁。在證券組合投資問題的研究中，難于用確定的常數(shù)來準確反映某證券的期望收益率與風險損失率。事實上，在現(xiàn)實的證券市場中，由于諸多因素如政治、經(jīng)濟、社會等

26、因素的影響，導致證券的期望收益率與風險損失率具有較強的模糊不確定性因此，在綜合分析各因素影響的基礎上，對某證券的期望收益率與風險損失率作出一個在一定精度范圍內(nèi)的估計，故采用區(qū)間值模糊數(shù)來刻劃某證券的期望收益率與風險損失率，則顯得更為科學與合理。 實際中經(jīng)常把風險證券的收益率,投資風險及證券的流動性用區(qū)間數(shù)來描述,并結合絕對偏差風險函數(shù)的思想建立了一種關于區(qū)間數(shù)的證券投資組合選擇模型。最后利用區(qū)間數(shù)的兩種序關系將所提出的模糊線性規(guī)劃問題轉化為普通的參數(shù)線性規(guī)劃問題進而求其解。下面通過簡單實例說明問題下面是一個證券投資的投資項目和收益：2000 年 1-6 月份齊魯石化，東北高速，武鋼股份和東風汽

27、車 4 種證券的收益和風險損失率變化范圍整理成表；證券名稱齊魯石化東北高速武鋼股份東風汽車收益波動0.0138 0.1343，0.0258 0.2767，0.0339 0.1136，0.0347 0.0867，風險損失率0.0340.0260.0180.022河北聯(lián)合大學理學院-13-依據(jù)銀行規(guī)定去 r=，利率,建立持有期 t 內(nèi)證券投資組合的0.20 0.22，00.05tr 優(yōu)化模型為：+012max z=0.050.038,0.13430.0258,0.2767tttxxx 30.0339,0.1136tx40.0347,0.0867tx . .st12340.0340.0260.018

28、0.022ttttxxxx0.2,0.22 ()012341,0tttttntxxxxxx0,1,4i 先求解下列模型：max 012340.050.0380.02580.03390.0347tttttzxxxxx . .st12340.0340.0260.0180.0220.22ttttxxxx12340.0340.0260.0180.0220.2ttttxxxx () 012341,0tttttntxxxxxx0,1,4i 使用 lingo 求出 max 的值 s 再求max 012340.050.13430.27670.11360.0867tttttzxxxxx . .st012340.

29、050.0380.02580.03390.0347tttttxxxxxs12340.0340.0260.0180.0220.22ttttxxxx12340.0340.0260.0180.0220.2ttttxxxx () 012341,0tttttntxxxxxx0,1,4i 分別求得極大值和投資數(shù) 這樣就能給出理想的投資方案和最大收益。解得最優(yōu)解為（0.2，0.3，0.4，0.1） ，最大收益值為 1.6488.河北聯(lián)合大學理學院-14-結論區(qū)間線性規(guī)劃也是決策活動中經(jīng)常碰到的問題，通過某些特殊的方法可以把這些看似復雜的區(qū)間線性規(guī)劃轉換成經(jīng)典的線性規(guī)劃并加以解決，由于證券投資存在風險性所以使

30、用區(qū)間線性規(guī)劃模型合理的規(guī)劃和分配是十分有必要和合理的。 本文通過給出新算法解決了含有區(qū)間數(shù)的單目標區(qū)間線性規(guī)劃問題，為解決線性規(guī)劃問題提供了新思路和新方法，再結合算例深入闡述了解題過程，同時印證了揭發(fā)的方便性。再利用模糊規(guī)劃法將多目標問題轉化為單目標問題，這就很好地解決了目標函數(shù)之間不能得到同一組最優(yōu)解可以使得目標函數(shù)的值最大的問題，這樣就可以較為方便的解決多目標區(qū)間線性規(guī)劃問題。 證券投資往往是帶有風險和不確定性的，區(qū)間數(shù)的存在加大了證券投資的難度，這樣建立區(qū)間西岸行規(guī)劃模型模型同時應用在證券投資上可以為證券投資做出合理的投資方案，使投資人獲益更多而且可以盡量降低風險投資。 謝 辭-15-參考文獻1陳希孺,倪國熙.數(shù)理統(tǒng)計學教程M.合肥:中國科學技術大學出版社.2010.2胡寶清,模糊理論基礎M,